偏导数1
一阶偏导数的求解
一阶偏导数的求解
对于一个多元函数，一阶偏导数的求解是找到函数在每个自变量方向上的变化率。
偏导数可以通过以下方式求解：
1. 对于函数中的每个自变量，将其他自变量视为常数，并对该自变量进行求导。
这个过程称为偏导数的计算。
2. 如果函数是关于一个自变量的一元函数，则其偏导数就是其普通导数。
3. 如果函数是关于多个自变量的函数，则需要对每个自变量分别求偏导数。
偏导数可以通过应用常见的求导规则来计算，例如链式法则、乘积法则和商法则。
举例来说，对于一个二元函数 f(x, y)，我们可以分别对 x 和 y 求偏导数。
记作∂f/∂x 和∂f/∂y。
这样，我们可以得到函数在 x 方向和 y 方向上的变化率。
需要注意的是，偏导数只描述了函数在每个自变量方向上的变化率，而不能完全描述函数的整体变化情况。
为了了解函数在某一点的变化情况，可能还需要考虑二阶偏导数、梯度等更高阶导数。
求偏导数的公式法
求偏导数的公式法偏导数是多元函数在其中一点的偏倚率，是研究多元函数的导数性质的重要工具。
求解偏导数可以使用公式法，这是一种简洁而有效的方法。
在本篇文章中，我们将详细介绍偏导数的公式法，以便读者能够深入了解和掌握该方法。
一、偏导数的定义和意义偏导数是多元函数在其中一点关于一些自变量的导数。
对于具有n个自变量的函数f(x1,x2,...,xn)，它的偏导数可以表示为：∂f/∂xi其中，∂表示偏导数的符号，f表示被求导的函数，xi表示自变量中的第i个。
偏导数描述了函数在该点沿着xi方向的变化率。
偏导数的意义是研究多元函数在其中一点的局部变化情况。
通过分别计算各个自变量的偏导数，我们可以了解到函数在不同自变量方向上的变化特征，进而研究函数的极值、拐点等重要性质。
偏导数的公式法是求解偏导数的一种便捷方法。
它通过使用一些常用函数的导数公式和运算规则，将多元函数的偏导数转化为一元函数的导数问题。
以下是常见的多元函数和它们的偏导数公式：1. 常数函数：对于f(x1,x2,...,xn) = C（C为常数），其所有偏导数都为0，即∂f/∂xi = 0。
2. 一次线性函数：对于f(x1,x2,...,xn) = a1x1+a2x2+...+anxn （a1, a2, ..., an为常数），其偏导数为∂f/∂xi = ai。
3. 幂函数：对于f(x1,x2,...,xn) = x^a（a为常数），其偏导数为∂f/∂xi = a * x^(a-1)，即对指数a进行减1操作，并将其作为系数乘到x的a-1次幂上。
4. 指数函数：对于f(x1,x2,...,xn) = exp(x)（自然指数函数），其偏导数为∂f/∂xi = exp(x)（自然指数函数本身的值）。
5. 对数函数：对于f(x1,x2,...,xn) = ln(x)（自然对数函数），其偏导数为∂f/∂xi = 1/x。
6.三角函数：对于正弦函数和余弦函数，其偏导数规则如下：∂sin(x)/∂xi = cos(x)，∂cos(x)/∂xi = -sin(x)。
11.2 偏导数(1-44)
现取 ∆y = 0 , ∆x ≠ 0 , 则有
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = A∆x + o( ∆x)
o( ∆x ) f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ⇒ = A+ ∆x ∆x
§11.2 偏导数 1º偏导数的概念 1º偏导数的概念
1、偏导数 、 偏增量 : 设 z=f(x,y)
∆
(1) 量 ∆ x f ( x, y)
f ( x + ∆x, y) − f ( x, y)
称为函数 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处关于 x 的偏增量 (2) 量
∆ y f ( x, y)
证明: 函数 , 证明 不论 f 是怎样的函数 , z 满足
1 ∂z 1 ∂z z ⋅ + ⋅ = 2 x ∂x y ∂y y
解
∂z = yf '( x2 − y2 ) ⋅ 2x = 2xyf '( x2 − y2 ) ∂x ∂z = f ( x2 − y2 ) − 2 y2 f '( x2 − y2 ) ∂y
1 ∂z 1 ∂z ⋅ + ⋅ = 2 yf '( x2 − y2 ) + x ∂x y ∂y
代入等式左边有
f ( x2 − y2 ) z 1 = 2 + f ( x2 − y2 ) − 2 yf '( x2 − y2 ) = y y y
xy
例 考察 f ( x, y) =
偏导数文档
偏导数简介在数学中，偏导数是多元函数中的导数的一种推广。
对于多元函数，其可以有多个自变量，因此其导数也相应的可以有多个。
偏导数即是在这种情况下求取的一种导数。
定义偏导数可以理解为多元函数对其中一个自变量的导数。
在具体的定义上，对于一个多元函数f(x1, x2, …, xn)，其中xi为自变量，其偏导数可以表示为对某个自变量求导，其他自变量保持不变。
假设f对x1的偏导数表示为∂f/∂x1，则其定义为：∂f/∂x1 = lim(h->0)(f(x1+h, x2, …, xn) - f(x1, x2, …, xn))/h计算方法根据偏导数的定义，可以通过求取对某个自变量的导数来计算偏导数。
计算偏导数时，其他自变量都视为常数，只考虑对某一个自变量求导。
下面介绍计算偏导数的一般方法：1.针对多元函数f，确定需要求偏导数的自变量。
2.将其他自变量视为常数，只考虑对指定自变量求导。
3.利用基本导数法则求取该自变量对应的导数。
4.将导数结果作为偏导数的值。
举例说明考虑一个简单的例子：f(x, y) = x^2 + 3y + 4xy在这个例子中，f(x, y)是一个关于两个自变量x和y的多元函数。
我们来计算偏导数。
对x求偏导数要计算∂f/∂x，需要将y视为常数，只考虑对x求导。
首先，利用基本导数法则，对于x2和4xy分别有： d(x2)/dx = 2x d(4xy)/dx = 4y因此，∂f/∂x = 2x + 4y。
对y求偏导数要计算∂f/∂y，需要将x视为常数，只考虑对y求导。
由于3y与y无关，所以∂(3y)/∂y = 3。
而对于4xy，根据基本导数法则，有： d(4xy)/dy = 4x因此，∂f/∂y = 3 + 4x。
性质偏导数具有一些特性，其中一些常见的性质如下：1.偏导数是对应自变量的函数。
偏导数是多元函数中某个自变量的导函数，因此它本身也是一个关于对应自变量的函数。
2.偏导数可以为0。
某个自变量的偏导数为0意味着函数在该自变量方向上的增长或减少趋势不明显，也可能表示达到极值的点。
高等数学_第八章_2偏导数[1]
![高等数学_第八章_2偏导数[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/4ba01e3a376baf1ffc4fad6a.png)
斯方程
解 ln x 2 y 2 1 ln( x 2 y 2 ),
2
u x 2 , 2 x x y u y 2 , 2 y x y
2u ( x 2 y 2 ) x 2 x y2 x2 2 2 , 2 2 2 2 2 x (x y ) (x y )
求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常 量，但由于变量较多，易产生混乱-——重要的是 区分清函数的类型——这是出错的主要原因。
5、若 f( x , y ) =f( y , x )
则称 f( x , y ) 关于 x , y 具有轮换对称性
u 2 u , 在求 时 2 y y
只需将所求的 互换即可
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
7、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x 0 , y0 , f ( x 0 , y0 )) 为曲面 z f ( x , y ) 上一点 ,
如图
几何意义:
偏 导 数 f x ( x0 , y0 ) 就 是 曲 面 被 平 面 y y0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0T x 对
y y0 y y0
D 如果函数 z f ( x , y ) 在区域 内任一点 ( x , y ) 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y ) 对 自变量 x 的偏导数，
z f 记作 ， ，z x 或 f x ( x , y ) . x x
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x x 此极限为函数 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 处对 的
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
导数 偏导数的定义
导数偏导数的定义导数和偏导数是微积分学中的重要概念，它们是用来研究函数的变化的重要工具，具有着非常重要的数学意义。
本文将对导数和偏导数的定义、形式及意义进行详细阐述。
1、导数的定义导数是指函数局部改变率的量，当函数中变量做微小的改变时，函数自变量乘以导数，其结果就是函数值的变化。
它的表达式形式为： $$f(x)=lim_{Delta xto 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}$$其中，$f(x)$表示导数，$f(x)$表示函数值，$Delta x$表示小幅度改变量。
2、偏导数的定义偏导数指的是某一变量的导数，当多个变量同时变化时，可以用偏导数来表示某一变量对函数值改变的敏感程度。
一般偏导数表示为： $$frac{partial f}{partial x}=lim_{Delta xto0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}$$其中，$frac{partial f}{partial x}$表示对$x$求导，$f(x)$表示函数值，当$Delta x$很小时，可以用偏导数来表示某变量对函数值的改变程度。
3、导数和偏导数的意义导数和偏导数有着本质的区别，但它们本质上具有相同的意义，即表示函数局部改变率，是描述函数变化的重要工具。
它们可以帮助我们分析函数在某一点处的变化特征，如果对函数求导，则可以得出函数这一点处的变化率，即点斜率。
它们也可以用来求解一些复杂的问题，如求函数的最大值和最小值，解一元函数的极值问题等等，解散等式的极限问题，求曲线的单调性，以及求一些定积分、微积分等问题，导数和偏导数对于解决这些问题至关重要。
4、总结导数和偏导数是微积分学中的重要概念，它们是用来研究函数的变化的重要工具，具有着非常重要的数学意义，它们可以分析函数的某一点的变化特征，也可以求解一些复杂的问题。
因此，对导数和偏导数的研究具有非常重要的意义。
偏导数知识点总结
偏导数知识点总结一、偏导数的定义1.1 偏导数的定义在一元函数的导数中，我们知道函数在某一点上的导数是该点上切线的斜率，表示函数的变化速率。
而对于多元函数而言，其变量不再只有一个，而是有多个自变量。
因此，多元函数的变化速率也需要沿着各个自变量方向来进行分析。
这就引出了偏导数的概念。
设函数z=f(x,y)表示一个二元函数，如果z在点(x0,y0)处的偏导数存在，那么这个偏导数就表示函数z在点(x0,y0)处对自变量x或y的变化率。
1.2 偏导数的符号表示一般来说，对于函数z=f(x,y)而言，其偏导数有以下表示方法：∂f/∂x 表示f对x的偏导数∂f/∂y 表示f对y的偏导数其中，∂代表“偏”，表示“对于某一变量的偏导数”。
1.3 偏导数的几何意义对于二元函数z=f(x,y)而言，其偏导数在点(x0,y0)处有着直观的几何意义。
对于∂f/∂x来说，其表示函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处，对于x的变化率。
换句话说，就是当x在点(x0,y0)处做微小的增量Δx时，函数z在这一点的斜率。
这也为我们理解偏导数提供了直观的图形化方式。
二、偏导数的计算方法2.1 偏导数的计算步骤在计算偏导数时，需要按照以下步骤进行：（1）首先确定函数的变量和导数所对应的自变量。
（2）对于多元函数z=f(x,y)来说，在计算偏导数时，只需将其他自变量视为常数进行计算。
（3）分别对每一个自变量进行求偏导数，从而得出偏导数的值。
2.2 偏导数的计算规则在计算偏导数时，有以下几个基本的计算规则：（1）常数求导规则：对于常数c，其偏导数为0，即∂c/∂x=0，∂c/∂y=0。
（2）一元函数求导规则：对于多元函数f(x,y)=g(x)h(y)，其偏导数可用一元函数求导法则计算。
（3）和差积商的偏导数计算：对于以上引用的复合函数，其偏导数的计算可利用和差积商的法则计算，具体可参考一元函数的求导法则。
（4）高阶偏导数的计算：与一元函数的高阶导数一样，多元函数的高阶偏导数也可以递归地计算，即先求一阶偏导数，然后再计算其偏导数的偏导数，直至得出所求的高阶偏导数。
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数，偏导数描述了函数在其中一点上沿着不同自变量方向的变化率。
对于二元函数（两个自变量的函数），偏导数可以分为两种类型：偏导数∂f/∂x表示函数关于x的偏导数；偏导数∂f/∂y表示函数关于y的偏导数。
在计算中，偏导数可以使用极限的定义进行求取，也可以通过求取对应变量的偏导数公式进行计算。
1.偏导数的计算法（1）使用极限的定义对于函数f(x,y)，若要求取关于x的偏导数，可以将y固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂x = lim(h→0) (f(x + h, y) - f(x, y)) / h对于函数f(x,y)，若要求关于y的偏导数，可以将x固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂y = lim(h→0) (f(x, y + h) - f(x, y)) / h（2）使用偏导数公式对于特定类型的函数，可以通过使用相应的偏导数公式来计算偏导数。
以下列举了几种常见的偏导数公式：a.对于幂函数f(x,y)=x^n，其中n为常数，偏导数公式为：∂f/∂x=n*x^(n-1)b.对于指数函数f(x,y)=e^x，其偏导数公式为：∂f/∂x=e^xc. 对于对数函数f(x, y) = log(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x=1/xd. 对于三角函数f(x, y) = sin(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x = cos(x)e.对于常数乘积规则，偏导数的计算法为：∂(c*f)/∂x=c*(∂f/∂x)二、高阶偏导数高阶偏导数是指对于多元函数的不同自变量求取多次偏导数的过程。
高阶偏导数描述了函数在其中一点上的更高阶导数信息，它可以对函数的多个变量进行多次的偏导运算。
1.二阶偏导数二阶偏导数是指对于二元函数，对其中一个变量求取一次偏导数后，再对另一个变量求取一次偏导数。
二阶偏导数可以通过求取一次偏导数的偏导数来计算，也可以通过直接求取函数的二阶导数来计算。
偏导数1
例如, f ( x, y )
x2 y2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y2 0
x4 4x2 y 2 y 4 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
第八章
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
p V T RT 1 pV V T p
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:
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z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
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例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证 x z 1 z 2z y x ln x y
证:
x z 1 z
2z
y x ln x y
例3. 求
的偏导数 . (P65 例2)
解:
r 2x
x
同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 ) lim f (x0, y0 y) f (x0, y0 )
y0
y
在一点可(偏)导
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
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例5’
例如, f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
类似于 P67的例6
fx (x, y) f y (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x
x4 4x2y2 (x2 y2)2
y4
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
混合偏导数
x
(z) x
2z x2
f xx (x, y);
y
(z) x
2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
f yx (x, y);
y
(
z y
)
2z y2
f y y (x, y)
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u u(x0 , t ) 其是否可导. u(x, t )
o x0
x
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定义1. 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 对 x
的偏导数，记为
z , f , y y
zy ,
f y (x, y) ,
f2(x, y)
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数定义为来自x xxx
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
f x
(x0 ,
y0 )
;
zx (x0 , y0 ) ;
f1(x0, y0 ) .
注意: f x f (x0 )
(x0 , y0 lim
x 0
) f
lim f (x0 (x0x0x) f
x
x, (x0 )
y0 ) f (x0 , y0 ) ddx其xy余x分量视x0为常数
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类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz xn1 y
练习P67的例5 2 z 2 z , xy yx
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例5. 解:
d dy
f (x0 , y)
y
y0
o
x0
x
y0
y
是曲线 斜率.
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
对应两个方向的切线斜率.
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注意：函数在某点各偏导数都存在, 与一元函数不同
但在该点不一定连续.
可偏导仅保证在该点的两 个方向是连续的
例如,
z
f
(x, y)
xy
x 2 x2 y2 z2 r
r z z r
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例4. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: p V T 1 V T p
P65例3
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
(请自己写出)
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例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1: z 2x 3y ,
x
z x (1, 2)
z y
3x 2y
先求偏导再代入
z
y (1, 2)
解法2:
z y2 x2 6x 4
z x (1, 2)
先固定不求导的分 量,再求一元导数.
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)
lim
y 0
y y
1
二 者
f yx (0,0)
lim
x0
f y (x,
0) x
f y (0, 0)
lim
x0
x x
1
不 等
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x2
y
2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
显然
0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x
fx (x, y) ,
z y
f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
第二节 偏导数
第六章
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
给定多元函数,如果固定 其余分量,对某个分量是
一个一元函数,自然要问
分子与分母的商 !
p V V T
T p
RT pV
1
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偏导例题补充
二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 yy0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
求函数 z ex2y 的二阶偏导数及
z ex2y
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
x
(
2z ) y x
2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx