高考一轮复习解三角形高考真题

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高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时作业21同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理新人教A版

12．已知11＋－ttaannxx＝3＋2 2，则 sinx(sinx－3cosx)的值为________。
解析由11＋－ttaannxx＝3＋2 2得 tanx＝ 22，所以 sinx(sinx－3cosx)＝sin2x －3sinxcosx＝sins2ixn－2x＋3sicnoxsc2oxsx＝tanta2xn－2x＋3ta1nx＝13－ 2。
C．35
D．45
解析 sinα＝45，cosα＝35，sinα－2 0217π＝－cosα＝－35。故选 B。答案 B
4．若 cosπ2－α＝ 32，则 cos(π－2α)＝(
)
A．29
B．59
C．－29
D．－59
解析由 cosπ2－α＝ 32，得 sinα＝ 32。所以 cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×29－1＝－59。故选 D。
解析原式＝cosα sin2αco＋s2cαos2α＋sinα· sin2αsi＋n2cαos2α＝cosα|co1sα|＋ sinα|si1nα|，因为 α 是第二象限角，所以 sinα>0，cosα<0，所以 cosα|co1sα|＋ sinα|si1nα|＝－1＋1＝0，即原式等于 0。
答案 0
答案 A
7．已知
α∈23π，2π，且满足
cosα＋2
0217π＝35，则
sinα＋cosα＝(
)
A．－75
B．－15
C．15
D．75
解析因为 cosα＋2 0217π＝cosα＋1 008π＋π2＝－sinα＝35，且 α∈ 23π，2π，所以 sinα＝－35，cosα＝ 1－sin2α＝45，则 sinα＋cosα＝－35＋45＝ 15。故选 C。

高考数学一轮复习第四章第八节解三角形的综合应用教案文(含解析)

第八节解三角形的综合应用1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α.(如图(b))3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．[小题体验]1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为______ m.答案：5022．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________ n mile.答案：56易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．[小题纠偏]1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.答案：130°2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°.答案：北偏西15°考点一测量高度问题重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·昆山模拟)如图，为了测量河对岸的塔高AB，选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D，现测得∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∠BCD＝60°，CD＝20 m，则塔高AB＝________m.解析：设塔高AB＝h，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝h，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，∴BD＝3h，在△BCD中，∠BCD＝60°，CD＝20，由余弦定理，得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC cos 60°，即3h2＝400＋h2－20h，解得h＝10.答案：10[由题悟法]求解高度问题应注意的3个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[即时应用]为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD ＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝________m.解析：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.在△BCD中，由正弦定理得，BC ＝CD ·sin∠BDC sin ∠CBD ＝40·sin 60°sin 45°＝20 6. 所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan∠AEF＝206×33＝202，所以AB ＝AF ＋BF ＝(202＋1)m.答案：202＋1考点二测量距离问题题点多变型考点——多角探明[锁定考向]研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．[题点全练]角度一：两点都不可到达1．(2019·苏州调研)要测量河对岸两个建筑物A ，B 之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 之间的距离为________km.解析：在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠ADC ＝30°，∴∠CAD ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3. 在△BCD 中，∠BDC ＝∠ADB ＋∠ADC ＝75°，∠BCD ＝45°，∴∠CBD ＝60°，∴由正弦定理，CDsin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC ，解得BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝3＋8＋434－2×3×6＋22×6－24＝5，∴AB ＝ 5. 答案：5角度二：两点不相通的距离2．如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则A ，B 两点的距离为________m.解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，所以AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.所以AB ＝200 7 (m)．即A ，B 两点间的距离为200 7 m.答案：200 7角度三：两点间可视但有一点不可到达3．如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________m.解析：∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，ABsin C ＝AC sin B ，所以AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m.答案：206[通法在握]求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．[演练冲关]1．(2019·如东中学测试)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O 沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m.解析：连结OC(图略)，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝507.答案：5072．(2018·常州调研)一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2. 答案：302考点三测量角度问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝ACsi n 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314. 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314. [由题悟法]解决测量角度问题的3个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．[即时应用]如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解：在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，解得BC ＝207. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC·sin∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向上．解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.答案：南偏西80°2．(2019·扬州调研)如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A，B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°，两个观察点A，B之间的距离是100 m，则此山CD的高度为________m.解析：设山高CD为x，在Rt△BCD中有：BD＝CD＝x，＝3x.在Rt△ACD中有：AC＝2x，AD而AB＝AD－BD＝(3－1)x＝100.解得x＝1003－1＝50(3＋1)．答案：50(3＋1)3.(2019·南通模拟)2018年12月，为捍卫国家主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，其中一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行40 2 海里后到达海岛C.如果巡逻舰直接从海岛A出发到海岛C，则航行的路程为________海里．解析：根据题意画出图形，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40 2.根据余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝402＋(402)2－2×40×402×2－6 4＝400(8＋43)＝400(6＋2)2，∴AC＝20(6＋2)．故所求航行的路程为20(6＋2)海里．答案：20(6＋2)4．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________ km.解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km则由余弦定理知9＝x2＋4－4x cos 120°，因为x＞0，所以x＝6－1.答案：6－15.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，所以BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．答案：326．(2018·天一中学检测)线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．解析：如图所示，设过x h 后两车距离为y ，则BD ＝200－80x ，BE ＝50x ，所以y 2＝(200－80x )2＋(50x )2－2×(200－80x )·50x ·cos 60°整理得y 2＝12 900x 2－42 000x ＋40 000(0≤x ≤2.5)，所以当x ＝7043时y 2最小．答案：7043二保高考，全练题型做到高考达标1．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里．解析：如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．答案：1022．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为________km/h.解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.答案：623．(2018·启东二模)如图所示，为了测量A ，B两处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿的距离为________海里．解析：由题意可知CD ＝40，∠ADB ＝60°，∠ACB ＝60°，∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝30°，∠ADC ＝105°，∴∠CAD ＝45°.在△ACD 中，由正弦定理，得AD sin 30°＝40sin 45°， ∴AD ＝202，在Rt △BCD 中，∵∠BDC ＝45°，∴BD ＝2CD ＝40 2.在△ABD 中，由余弦定理，得AB ＝ 800＋3 200－2×202×402×cos 60°＝20 6. 故A ，B 两处岛屿的距离为206海里．答案：2064．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m. 解析：设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.答案：505．(2018·镇江模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )＜sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为________．解析：由题意得sin 2A ＜sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2＜b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2＞0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，因为0＜A ＜π，所以0＜A ＜π2. 又a 为最大边，所以A ＞π3. 因此角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 6. (2019·通州中学高三测试)甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min 时，两船间的距离是________km.解析：画出示意图如图所示，设行驶15 min 时，甲船到达M 点，乙船到达N 点，由题意知AM ＝8×14＝2(km)，BN ＝12×14＝3(km)，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1(km)，由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos 120°＝1＋9－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，所以MN ＝13(km)．答案：137．(2018·南京模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗．解析：依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°，所以∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠CEA ，所以AC ＝CEsin ∠EAC·sin∠CEA ＝20 3 m. 所以在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin∠ACB ＝203×32＝30 m. 因为国歌时长为50 s ，所以升旗速度为3050＝0.6 m/s. 答案：0.68．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，沿山坡向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡的坡角为θ，则cos θ＝________.解析：在△ABC 中，由正弦定理可知BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°sin 45°－15°＝50(6－2)(m)．在△BCD 中，由正弦定理可知sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBD CD＝506－2sin 45°50＝3－1. 由题图知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.答案：3－19．(2018·镇江期末)如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2) 设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．解：(1)依题意得BD ＝300，BE ＝100.在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，所以B ＝π3. 在△BDE 中，由余弦定理得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2×300×100×12＝70 000，所以DE ＝1007.答：甲、乙两人之间的距离为1007 m.(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ.在Rt △CEF 中，CE ＝EF ·cos∠CEF ＝2y cos θ.在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DEsin ∠DBE，即200－2y cos θsin θ＝y sin 60°，所以y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2，所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3. 答：甲、乙之间的最小距离为50 3 m.10．(2019·淮安模拟)如图，某军舰艇位于岛A的正西方C 处，且与岛A 相距12海里．经过侦察发现，国际海盗船以10海里/小时的速度从岛A 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时在B 处追上．(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝10×2＝20，AC ＝12，∠ACB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB＝202＋122－2×20×12cos 120°＝784，解得BC ＝28，所以该军舰艇的速度为BC 2＝14海里/小时． (2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝20×3228＝5314. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，所以∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝AB sin ∠ACB ，所以BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．因为CD ⊥AD ，所以CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350.故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．答案：2 6502．(2019·南京调研)某市有一中心公园，平面图如图所示，公园的两条观光路为l 1，l 2，公园管理中心位于点O 正南方2 km l 1上的A 处，现计划在l 2即点O 北偏东45°方向，观光路l 2路旁B 处修建一公园服务中心．(1)若为方便管理，使AB 两点之间的直线距离不大于2 5 km ，求OB 长度的取值范围；(2)为了方便市民活动，拟在l 1，l 2上分别选点M ，N ，修建一条小路MN .因环境需要，以O 为圆心，22km 为半径的扇形区域有珍贵的植物不能被破坏，即不适宜修建，请确定M ，N 的位置，使M ，N 之间的距离最短．解：(1)在△ABO 中，OA ＝2，OB ＝x ，∠AOB ＝135°，根据余弦定理得，AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 135°， ∴22＋x2－2×x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22≤(25)2，即x 2＋22x －16≤0，解得－42≤x ≤22， ∵x ≥0，∴0≤x ≤22，故OB 长度的取值范围为[0,2 2 ]．(2)依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连结OC ，则OC ⊥MN .设OM ＝a ，ON ＝b ，MN ＝c ，在△OMN 中，∵12MN ·OC ＝12·OM ·ON ·sin 135°，∴12·22c ＝12·22ab ，即c ＝ab ，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 135°＝a 2＋b 2＋2ab ≥(2＋2)ab ＝(2＋2)c ，解得c ≥2＋2，当且仅当a ＝b ＝2＋2时，c 取得最小值2＋ 2.∴M ，N 与点O 的距离均为2＋ 2 km 时，M ，N 之间的距离最短，最短距离为(2＋2)km.命题点一简单的三角恒等变换 1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.答案：322．(2015·江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝17－－21＋17×－2＝3. 答案：33．(2017·江苏高考)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.答案：754．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.答案：－125．(2018·全国卷Ⅲ改编)若sin α＝13，则cos 2α＝________.解析：∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.答案：796．(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．解：(1)因为cos B ＝45，0＜B ＜π，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 7．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α＝sin α cos α ＝43，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan α＋β1＋tan 2αtan α＋β＝－211.命题点二解三角形1．(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD＝1，则4a ＋c 的最小值为________．解析：如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋12a ×1×sin 60°，∴ac ＝a ＋c .∴1a ＋1c＝1.∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝c a＋4ac ＋5≥2c a ·4ac＋5＝9，当且仅当c a ＝4ac，即c ＝2a 时取等号．故4a ＋c 的最小值为9. 答案：92．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝__________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)．答案：21733．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．解析：∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C ＞0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc＞0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.答案：2334．(2018·北京高考)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2＜∠B ＜π，所以0＜∠A ＜π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＋12×437＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.5．(2015·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60° (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437.6．(2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝32cos B ＋12sin B ，所以tan B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27 .所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.7．(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cosC ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BCsin A＝ACsin B，得BC ＝ACsin B×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．命题点三三角综合问题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x ＜12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当cos x ＞12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值，即f (x )min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.答案：－3322．(2016·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是 sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12 sin 2B ＝sin B cos B .因为 sin B ≠0，所以 sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.3．(2016·北京高考)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解：(1)由余弦定理及题设得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又因为0＜∠B ＜π，所以∠B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4.则2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4.因为0＜∠A ＜3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.。

高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形 . 同角三角函数的基本关系及诱导公式练习理创新

第三章三角函数、解三角形 3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式练习理[A 组²基础达标练]1．[2016²河南三市调研]sin750°的值为( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 sin750°＝sin(2³360°＋30°)＝sin30°＝12.故选D.2．[2014²大纲全国卷]设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 C解析 ∵b ＝cos55°＝sin35°>sin33°＝a ，∴b >a . 又∵c ＝tan35°＝sin35°cos35°>sin35°＝cos55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C.3．[2016²唐山一模]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝( )A ．－79B.79 C ．－29D.29答案 A解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2³19－1＝－79，选A.4．已知角α终边上一点为(4，－3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin α－πcos π＋α sin ⎝⎛⎭⎪⎫9π2－αtan －α 的值为( )A.34 B ．－34C.45 D ．－35答案 B解析原式＝－sin α ² －sin α－cos α ²cos α²－sin αcos α＝tan α，又角α终边上一点为(4，－3)，所以tan α＝－34，故选B.5．[2016²河北质监]已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355 B.377C.31010D.13答案 C解析由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.6．新定义运算＝ad －bc .若cosα＝17，＝3314，0<β<α<π2，则sin β等于( )A.63B.33C.12D.32答案 D解析由题意知，sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，所以cos(α－β)＝1－sin 2α－β ＝1314，又cos α＝17，所以sin α＝437，故sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437³1314－17³3314＝32.故选D. 7．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( )A.π3 B.π4 C.π2 D.2π3答案 C解析 ∵3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，∴3cos A ＝3sin A ，∴tan A ＝33，又0<A <π，∴A ＝π6.又∵cos A ＝－3cos(π－B )，即cos A ＝3cos B ， ∴cos B ＝13cos π6＝12，0<B <π，∴B ＝π3.∴C ＝π－(A ＋B )＝π2.故选C.8．[2016²郑州模拟]1－2sin π＋2 cos π－2 等于( ) A ．sin2－cos2 B ．sin2＋cos2 C ．±(sin2－cos2) D ．cos2－sin2答案 A 解析1－2sin π＋2 cos π－2 ＝1－2sin2cos2＝ sin2－cos2 2＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.9．已知A 、B 是△ABC 的内角，且cos A ＝13，sin(A ＋B )＝1，则sin(3A ＋2B )＝________.答案－223解析由sin(A ＋B )＝1得A ＋B ＝π2，2A ＋2B ＝π.于是sin(3A ＋2B )＝sin(A ＋π)＝－sin A ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.10．[2015²绍兴二模]若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)＝________. 答案－32解析 f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝cos(180°－30°)＝－cos30°＝－32. 11．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴α＝2k π＋π2－β(k ∈Z )．∴tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.12．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解 (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34知⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π3.[B 组²能力提升练]1．[2016²河北五校联考]已知θ为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝( )A.43 B.34 C ．－247D.247答案 C解析由已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210得sin θ－cos θ＝15，再由θ为锐角且sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝45，cos θ＝35，所以tan θ＝43，tan2θ＝2tan θ1－tan θ＝2³431－169＝－247，故选C.2．若cos α＝－13，则cos 2π－α sin π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α²tan 3π－α＝________.答案－13解析原式＝cos α² －sin α cos α² －tan α ＝cos α＝－13.3．[2015²肇东二模]已知向量a ＝(2，sin θ)与b ＝(1，cos θ)互相平行，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值．解 (1)∵a 与b 互相平行，∴sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得cos θ＝±55，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝55，∴sin θ＝255.(2)∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴－π2<θ－φ<π2，又sin(θ－φ)＝1010，∴cos(θ－φ)＝1－sin 2θ－φ ＝31010， ∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝22. 4．已知f (x )＝cos 2n π＋x ²sin 2n π－xcos 2[ 2n ＋1 π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2010＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫502π1005的值．解 (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 22k π＋x ²sin 22k π－x cos 2[ 2³2k ＋1 π－x ]＝cos 2x ²sin 2－x cos 2 π－x ＝cos 2x ² －sin x2－cos x 2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[ 2k ＋1 π＋x ]²sin 2[ 2k ＋1 π－x ]cos 2{[2³ 2k ＋1 ＋1]π－x } ＝cos 2[2k π＋ π＋x ]²sin 2[2k π＋ π－x ]cos 2[2³ 2k ＋1 π＋ π－x ]＝cos 2π＋x ²sin 2π－x cos 2 π－x ＝－cos x 2sin 2x －cos x 2＝sin 2x . 综上，f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2010＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫502π1005＝sin 2π2010＋sin 21004π2010 ＝sin 2π2010＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2010 ＝sin2π2010＋cos 2π2010＝1.。

2021高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习

第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式［A级基础巩固］1．(2020·黄山模拟)已知x∈错误!，cos错误!＝错误!,则sin x的值为( )A．－错误!B。

错误!C.错误!D．－错误!解析:因为x∈错误!,所以x＋错误!∈错误!，由cos错误!＝错误!，得sin错误!＝错误!,所以sin x＝sin错误!＝错误!错误!＝错误!.答案：B2．（2020·济南一中质检）已知tan α＝3，α∈错误!，则sin 2α＋cos(π－α）的值为( )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：由tan α＝3,α∈错误!,得cos α＝错误!，则sin 2α＋cos（π－α)＝错误!－cos α＝错误!－cos α＝错误!－错误!＝错误!。

答案：A3．已知α，β都是锐角,且sin αcos β＝cos α（1＋sin β),则( ) A．3α－β＝错误!B．2α－β＝错误!C．3α＋β＝错误!D．2α＋β＝错误!解析：因为sin α cos β＝cos α（1＋sin β)，所以sin（α－β)＝cos α＝sin错误!，所以α－β＝错误!－α，即2α－β＝错误!。

答案：B4．tan 70°·cos 10°（错误!tan 20°－1)等于（)A．1 B．2C．－1 D．－2解析:tan 70°·cos 10°（错误!tan 20°－1)＝错误!·cos 10°错误!＝错误!·错误!＝错误!＝错误!＝－1。

答案：C5．(2020·青岛二中质检）已知α，β均为锐角，且sin α＝错误!，cos （α＋β)＝－错误!，则β等于( ）A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!解析:因为α为锐角且sin α＝错误!，所以cos α＝错误!。

因为α,β均为锐角，所以0〈α＋β〈π.又因为cos（α＋β)＝－错误!，所以sin（α＋β）＝错误!。

年高考第一轮复习数学解斜三角形

年高考第一轮复习数学解斜三角形It was last revised on January 2, 2021解斜三角形●知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bc cos A ；① b 2=c 2+a 2－2ca cos B ；② c 2=a 2+b 2－2ab cos C .③在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+；cos B =ca b a c 2222-+；cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.●点击双基1.（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形解析：由2cos B sin A =sin C 得acb c a 222-+×a =c ，∴a =b .答案：C2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 +cos A =51B.AB ·＞0 +tan B +tan C ＞0=3，c =33，B =30°解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 由B b sin =C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.答案：C3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于A.231+ +3 C.232++3解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =acb c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.答案：B4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π.答案：3π5.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5.答案：（1，5） ●典例剖析【例1】 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B .剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C⇒22cos 1A -－22cos 1B-=sin B sin （A +B ）⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ），因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决解：利用余弦定理，由a 2=b（b +c），得cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=bb c 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222cc b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决解：由题设a 2=b （b +c ），得c b a +=ab①，作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD =AB =c ，连结BD .①式表示的即是DC BC =BCAC，所以△BCD ∽△AB C.所以∠1=∠D .又AB =AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2. 因为∠BAC =∠2+∠D =2∠2=2∠1，所以A =2B .评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.【例2】（2004年全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51.（1）求证：tan A =2tan B ；（2）设AB =3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43，即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.【例3】（2004年春季北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cBb sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac . 又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc . 在△ABC 中，由余弦定理得cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aAb sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A =21ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴cBb sin =sin A =23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.●闯关训练夯实基础1.（2004年浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B2.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为° ° °°解析：作CE ⊥平面ABD 于E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE =40°，延长DE 交直线AB 于F ，连结CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大.在△CFD 中，︒40sin CF =）（α-︒140sin DF. ∴DF =︒-︒⋅40sin 140sin ）（αCF .∵CF 为定值，∴当α=50°时，DF 最大. 答案：C3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π. 答案：45°4.在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++=_______. 解析：c a bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bcac b a ++++++.（*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab . ∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222c bc ac ab bc ac b a ++++++=1.答案：15.在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 =20，A =45°，C =80° =30，c =28，B =60° =14，b =16，A =45°=12，c =15，A =120°解析：由a =14，b =16，A =45°及正弦定理，得16sin B =14sin A，所以sin B =724.因而B 有两值.答案：C 培养能力6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围.解：∵b 2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21.∴0＜B ≤3π，y =B B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7，∴22＜sin （B +4π）≤1.故1＜y ≤2. 7.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2. （1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224Ra －224Rc ）=（a－b ）Rb 2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab .∴cos C =ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.（2）S =21ab sin C =21×23ab =23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ） =23sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ） =3sin A cos A +3sin 2A =23sin2A －23sin2A cos2A +23 =3sin （2A －30°）+23. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233. 8.在△ABC 中，BC =a ，顶点A 在平行于BC 且与BC 相距为a 的直线上滑动，求ACAB的取值范围. 解：令AB =kx ，AC =x （k ＞0，x ＞0），则总有sin B =kx a ，sin C =xa（图略），且由正弦定理得sin B =axsin A ，所以a 2=kx 2·sin B sin C =kx 2sin A ，由余弦定理，可得cos A =222222sin kx Akx x x k -+=21（k +k 1－sin A ），所以k +k1=sin A +2cos A ≤2221+=5.所以k 2－5k +1≤0，所以215-≤k ≤215+. 所以ACAB的取值范围为［215-，215+］.探究创新9.某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB |最短并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在△AOB 中，设OA =a ，OB =b .因为AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以∠AOB =135°.则|AB |2=a 2+b 2－2ab cos135°=a 2+b 2+2ab ≥2ab +2ab =（2+2）ab ，当且仅当a =b 时，“=”成立.又O 到AB 的距离为10，设∠OAB =α，则∠OBA =45°－α.所以a =αsin 10，b =）（α-︒45sin 10， ab =αsin 10·）（α-︒45sin 10 =）（αα-︒⋅45sin sin 100 =）（αααsin 22cos 22sin 100- =）（αα2cos 1422sin 42100-- =2452sin 2400-︒+）（α≥22400-，当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB |2≥2222400-+）（=400（2+1）2，当且仅当a =b ，α=22°30′时，“=”成立.所以当a =b =0322sin 10'︒=10）（222+时，|AB |最短，其最短距离为20（2+1），即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10）（222+ km 处，能使|AB |最短，最短距离为20（2－1）.●思悟小结1.在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴sin2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C ，tan 2B A +=cot 2C . 2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B =60°.3.在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.●教师下载中心教学点睛1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.拓展题例【例1】已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +）（C B A A -+cos cos sin 2. （1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化试证明你的结论.（2）求y 的最小值.解：（1）∵y =cot A +[][]）（）（）（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2 =cot A +）（）（）（C B C B C B -++-+cos cos sin 2 =cot A +CB C B C B sin sin sin cos cos sin + =cot A +cot B +cot C ，∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化.（2）∵cos （B －C ）≤1，∴y ≥cot A +A A cos 1sin 2+=2tan 22tan 12A A-+2tan 2A =21（cot 2A +3tan 2A ）≥2cot 2tan 3A A ⋅=3. 故当A =B =C =3π时，y min =3. 评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cot B +cot C ≥3.【例2】在△ABC 中，sin A =CB C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状. 分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a =abc b a ca b a c cb 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b +c ）.所以（b +c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b +c ）.所以a 2=b 2－bc +c 2+bc .所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.。

高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形 . 正弦定理和余弦定理练习理讲义

3 2 2 2sin B－sin A 7 2 所以＝2× 2 －1＝ . 2 sin A 2 6．[2016·西青月考]在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a＝2，b＝2， sinB＋cosB＝2，则角 A 的大小为( A．60° C．150° 答案解析 B 由 sinB＋cosB＝2 得 1＋2sinBcosB＝2，则 sin2B＝1，因为 0°<B<180°，所以 B 2 2 1 ＝，解得 sinA＝， sinA sin45° 2 ) B．30° D．45°
1 (1)若 PB＝，求 PA； 2 (2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA. 解 (1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°. 1 1 7 7 2 在△PBA 中，由余弦定理得 PA ＝3＋－2×3× cos30°＝ .故 PA＝ . 4 2 4 2 (2)设∠PBA＝α，由已知得 PB＝sinα. 在△PBA 中，由正弦定理得化简得 3cosα＝4sinα. 3 3 所以 tanα＝，即 tan∠PBA＝ . 4 4 11．[2015·贵阳期末] 如图所示，在四边形 ABCD 中，∠D＝2∠B，且 AD＝1，CD＝3， 3 cos∠B＝ . 3 3 ＝ sin150° sin sinα 30°－α ，
第三章三角函数、解三角形 3.7 正弦定理和余弦定理练习理
[A 组·基础达标练] 1．在△ABC 中，设 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝2b，△ABC 的面积记作 S，则下列结论中一定成立的是( A．B>30° C．c<b 答案解析
2
) B．A＝2B D．S≤b2
D 1 1 2 由三角形的面积公式知 S＝ absinC＝ 2b·bsinC＝b sinC，因为 0<sinC≤1，所 2 2

2020届高考数学一轮复习第四篇三角函数与解三角形专题4.4三角函数的图像和性质练习(含解析)

专题4.4 三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质. 【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )【微点提醒】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2【答案】 A【解析】最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 3.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )【解析】由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2【答案】 C【解析】由题意T ＝2π2＝π.5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1C.35D.15【答案】 A【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________. 【答案】－π6【解析】由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 【考点聚焦】考点一三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【答案】(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z 【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 【规律方法】求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π【解析】 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.考点三三角函数的单调性角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【答案】 A【解析】令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】 A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【规律方法】1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增 (2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【答案】 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32【解析】 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32. 考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.【规律方法】 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. (2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ). 又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9. 【规律方法】1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . f (x )＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确. C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】 C【解析】 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π. 2.(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8 【答案】 C【解析】因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 3.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3【答案】 B【解析】 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2【答案】 C【解析】依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2. 5.若f (x )为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( ) A.f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )| C.f (x )＝－tan xD.f (x )＝1－2cos 22x 【答案】 B 【解析】 ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－cos 4x 为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增. 二、填空题6.(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 【答案】 5π6【解析】因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 7.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 【解析】由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 8.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.【答案】 23【解析】由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3. 10.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )【答案】 D【解析】因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ).12.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24 【答案】 A【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )，又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 13.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ) 【解析】因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1. (2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. ∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23. 【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.【答案】 π2【解析】因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2.。

2020版高考数学理科(人教B版)一轮复习高考大题专项2 高考中的三角函数与解三角形

高考大题专项二高考中的三角函数与解三角形1.(2018北京,理15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求∠A ;(2)求AC 边上的高.2.在△ABC 中,已知A=45°,cos B=45.(1)求cos C 的值;(2)若BC=10,D 为AB 的中点,求CD 的长.3.(2018河南安阳一模,17)已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足a+2a cos B=c. (1)求证:B=2A ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=2,求a 的取值范围.4.如图,在梯形ABCD 中,已知∠A=π2,∠B=2π3,AB=6,在AB 边上取点E ,使得BE=1,连接EC ,ED.若∠CED=2π3,EC=√7.(1)求sin ∠BCE 的值; (2)求CD 的长.5.(2018河北唐山三模,17)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,a-b=b cos C. (1)求证:sin C=tan B ;(2)若a=1,C 为锐角,求c 的取值范围.6.已知在△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 的面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sinBsinC ;(2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.7.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知4cos 2B -C2-4sin B sin C=3. (1)求A ;(2)若(bc-4√3)cos A+ac cos B=a 2-b 2,求△ABC 的面积.8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边.若a cos B=3,b cos A=1,且A-B=π6, (1)求边c 的长; (2)求角B 的大小.高考大题专项二高考中的三角函数与解三角形1.解 (1)在△ABC 中,∵cos B=-17,∴B ∈(π2,π),∴sin B=√1-cos 2B =4√37.由正弦定理,得asinA=bsinB⇒7sinA=4√37,∴sin A=√32.∵B ∈(π2,π), ∴A ∈(0,π2),∴A=π3.(2)在△ABC 中,sin C=sin(A+B )=sin A cos B+sin B cos A=√32×(-17)+12×4√37=3√314.如图所示,在△ABC 中,过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵sin C=ℎBC ,∴h=BC·sin C=7×3√314=3√32,∴AC 边上的高为3√32.2.解 (1)∵cos B=45,且B ∈(0°,180°),∴sin B=√1-cos 2B =35.cos C=cos(180°-A-B )=cos(135°-B ) =cos 135°cos B+sin 135°sin B=-√22×45+√22×35=-√210.(2)由(1)可得sin C=√1-cos 2C=√1-(-√210)2=710√2.由正弦定理得BC sinA =AB sinC ,即√22=AB710√2,解得AB=14.在△BCD 中,BD=7,CD 2=72+102-2×7×10×45=37,所以CD=√37.3.解 (1)∵a+2a cos B=c ,由正弦定理知,sin A+2sin A cos B=sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B ,即sin A=cos A sin B-sin A cos B=sin(B-A ).因为A ,B ∈(0,π),所以A+(B-A )≠π,所以A=B-A ,B=2A.(2)由(1)知A=B 2,C=π-A-B=π-3B 2.由△ABC 为锐角三角形,得{ 0<B2<π2,0<B <π2,0<π-3B 2<π2,得π3<B<π2.由a+2a cos B=2得a=21+2cosB .∵B ∈(π3,π2),∴cos B ∈(0,12). ∴a=21+2cosB ∈(1,2).4.解 (1)在△CBE 中,由正弦定理得CEsinB=BE sin∠BCE ,sin ∠BCE=BEsinB CE =1×√32√7=√2114. (2)在△CBE 中,由余弦定理得CE 2=BE 2+CB 2-2BE·CB cos 2π3,即7=1+CB 2+CB ,解得CB=2.由余弦定理得CB 2=BE 2+CE 2-2BE·CE cos ∠BEC ,cos ∠BEC=2√77,sin ∠BEC=√217,sin ∠AED=sin 2π3+∠BEC =√32×2√77−12×√217=√2114,cos ∠AED=5√714, 在Rt △ADE 中,AE=5,AE DE =cos ∠AED=5√714,DE=2√7,在△CED 中,由余弦定理得CD 2=CE 2+DE 2-2CE·DE cos 2π3=49,∴CD=7.5.解 (1)由a-b=b cos C ,根据正弦定理得sin A-sin B=sin B cos C ,即sin(B+C )=sin B+sin B cos C ,sin B cos C+cos B sin C=sin B+sin B cos C ,sin C cos B=sin B , 得sin C=tan B.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=b 2+2b-1=(b+1)2-2,由a-b=b cos C 知b=a 1+cosC=11+cosC, 由C 为锐角,得0<cos C<1, 所以12<b<1.从而有12<c<√2.所以c 的取值范围是(12,√2).6.解 (1)S △ABD =12AB·AD sin ∠BAD ,S △ADC =12AC·AD sin ∠CAD.因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD ,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC =ACAB =12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC ,所以BD=√2.在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知,AB 2=AD 2+BD 2-2AD·BD cos ∠ADB , ① AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DC cos ∠ADC. ②因为cos ∠ADB=-cos ∠ADC , 所以①+2×②得AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6.由(1)知AB=2AC ,所以AC=1.7.解 (1)4×1+cos (B -C )2-4sin B sin C=2+2cos B cos C-2sin B cos C=2+2cos(B+C ) =2-2cos A=3,cos A=-12,∵0<A<π,∴A=2π3.(2)∵(bc-4√3)·b 2+c 2-a 22bc +ac ·a 2+c 2-b 22ac =a 2-b 2, ∴b 2+c 2-a 22-4√3·b 2+c 2-a 22bc +a 2+c 2-b 22=a 2-b 2,∴b 2+c 2-a 2-4√3·b 2+c 2-a 22bc =0,∵A=2π3,∴b 2+c 2-a 2≠0,∴1-4√32bc =0,bc=2√3,S △ABC =12bc sin A=12×2√3×√32=32.8.解 (1)a cos B=3,a ×a 2+c 2-b 22ac =3,化为a 2+c 2-b 2=6c ,①b cos A=1,b ×b 2+c 2-a 22bc =1,化为b 2+c 2-a 2=2c.②解由①②组成的方程组得2c 2=8c ,即c=4.(2)将(1)得到的c=4代入①可得a 2-b 2=8.又A-B=π6,∴A=B+π6,C=π-(A+B )=π-(2B +π6),可得sinC=sin (2B +π6).由正弦定理可得asinA =bsinB =4sinC ,∴a=4sin (B+π6)sin (2B+π6),b=4sinBsin (2B+π6).∴a 2-b 2=8⇔16sin 2(B +π6)-16sin 2B=8sin 2(2B +π6),∴1-cos (2B +π3)-(1-cos 2B )=sin 2(2B +π6),即cos 2B-cos 2B+π3=sin 2(2B +π6), ∴sin (2B +π6)=sin 2(2B +π6),∴sin (2B +π6)=0或sin 2B+π6=1,B ∈(0,5π12),解得B=π6.。

高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.5.2两角和差及倍角公式的应用理

cos(
x) x)
sin
2(
4
x)
4
1 1 sin 2 2 x来自22 2cos( x )
4 sin( x )
sin
2( 4
x)
4
1 cos22x 2 sin( 2x )
1 2
cos
2x.
2
答案: 1 c o s 2 x 2
4.(2016·武汉模拟)若 1tan 20 1 5 ，则 1tan2
1tan
co s 2
=
.
【解析】因为1 ta =n 2015, 1 tan
所以 c o s 1 2 ta n 2 1 c o s s in 2 2 1 c o s 2 2 s in s c in o s 2
( c o s s in ) 2 c o s s in 1 ta n 2 0 1 5 . ( c o s s in ) ( c o s s in )c o s s in 1 ta n
【规范解答】(1)方法一:(从“角”入手,倍角→单角)
原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- ·(21 cos2α-
1)·(2cos2β-1)
2
=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- (4cos2α·cos2β
1
-2cos2α-2cos2β+1)
2
=sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β- 1 2
sin[()]sin sin sin
【规律方法】 1.三角恒等变换的化简、求值问题的求解策略 (1)对于和、差式子,见到平方要降幂、消项、逆用公式等. (2)对于分式,通分后分子分母化简时尽量出现约分的式子,或逆用公式.

2022版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形36正弦定理和余

2022版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形36正弦定理和余3．6正弦定理和余弦定理[知识梳理]1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况3．三角形中常用的面积公式1(1)S＝ah(h表示边a上的高)．2111(2)S＝bcinA＝acinB＝abinC.222(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．24．在△ABC中，常有的结论(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[诊断自测]1．概念思辨(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．()aa＋b－c(2)在△ABC中，＝.()inAinA＋inB－inC(3)若a，b，c是△ABC的三边，当b＋c－a>0时，△ABC为锐角三角形；当b＋c－22222a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．()(4)在△ABC中，若inAinBin2A(1)(必修A5P10A组T4)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.inC答案1解析由正弦定理得inA∶inB∶inC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理知coA＝b2＋c2－a225＋36－163in2A2inAcoA43＝＝，所以＝＝2某某＝1.2bc2某5某64inCinC64(2)(必修A5P20A组T11)若锐角△ABC的面积为103，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．答案711解析因为△ABC的面积S△ABC＝AB·ACinA，所以103＝某5某8inA，解得inA＝223122222，因为角A为锐角，所以coA＝.根据余弦定理，得BC＝5＋8－2某5某8coA＝5＋8221－2某5某8某＝49，所以BC＝7.23．小题热身(1)(2022·天津高考)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．4答案A解析在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由c＝a＋b－2abcoC，222122得13＝9＋b－2某3b某－，即b＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故选A.24(2)(2022·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coA＝，coC55＝，a＝1，则b＝________.13答案21133123541263inAinB3135题型1利用正、余弦定理解三角形b(2022·郑州预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若典例13coB＝，则coB＝()inA1133A．－B.C．－D.2222a边角互化法．答案B解析由正弦定理知inBinAπ＝＝1，即tanB＝3，由B∈(0，π)，所以B＝，33coBinAπ1所以coB＝co＝.故选B.32典例2(2022·重庆期末)在△ABC中，已知AB＝43，AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的面积是()A．43B．83C．43或83D.3注意本题的多解性．答案C解析在△ABC中，由余弦定理可得AC＝4＝(43)＋BC－2某43BCco30°，解得BC＝4或BC＝8.当BC＝4时，AC＝BC，∠B＝∠A＝30°，△ABC为等腰三角形，∠C＝120°，111△ABC的面积为AB·BCinB＝某43某4某＝43.222111当BC＝8时，△ABC的面积为AB·BCinB＝某43某8某＝83.故选C.222方法技巧正、余弦定理在解三角形中的应用技巧1．已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a＝2RinA，b＝2RinB，c＝2RinC能够实现边角互化．见典例1.2．已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形．见典例2.3．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．见典例2.冲关针对训练1．(2022·河西五市联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b－a)inA＝(b－c)·(inB＋inC)，则角C等于() A.πππ2πB.C.D.36432222答案Aa2＋b2－c21解析由题意，得(b－a)a＝(b－c)(b＋c)，∴ab＝a＋b－c，∴coC＝＝，2ab2222π∴C＝.故选A.32．(2022·山东师大附中模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知1co2A＝－，c＝3，inA＝6inC.3(1)求a的值；(2)若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．解(1)在△ABC中，c＝3，inA＝6inC，由正弦定理＝，得a＝6c＝6inAinC某3＝32.12π622(2)由co2A＝1－2inA＝－得，inA＝，由03323则coA＝1－inA＝2222ac3.3由余弦定理a＝b＋c－2bccoA，化简，得b－2b－15＝0，解得b＝5(b＝－3舍去)．11652所以S△ABC＝bcinA＝某5某3某＝.22322题型2利用正、余弦定理判断三角形的形状典例(2022·陕西模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcoC＋ccoB＝ainA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形C．钝角三角形B．直角三角形D．不确定用边角互化法．答案B解析∵bcoC＋ccoB＝ainA，由正弦定理得inBcoC＋inCcoB＝inA，∴in(Bπ22＋C)＝inA，即inA＝inA.又inA>0，∴inA＝1，∴A＝，故△ABC为直角三角形．故2选B.[条件探究1]将本典例条件变为“若2inAcoB＝inC”，那么△ABC一定是()A．直角三角形C．等腰直角三角形B．等腰三角形D．等边三角形2答案B解析解法一：由已知得2inAcoB＝inC＝in(A＋B)＝inAcoB＋coAinB，即in(A－B)＝0，因为－πa2＋c2－b222由余弦定理得2a·＝ca＝ba＝b.故选B.2ac[条件探究2]将本典例条件变为“若△ABC的三个内角满足inA∶inB∶inC＝5∶11∶13”，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案C解析在△ABC中，inA∶inB∶inC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，故设a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得a2＋b2－c225k2＋121k2－169k223coC＝＝＝－<0，22ab2某5某11k110π又∵C∈(0，π)，∴C∈，π，2∴△ABC为钝角三角形．故选C.[条件探究3]将本典例条件变为“若bcoB＋ccoC＝acoA”，试判断三角形的形状．解由已知得a2＋c2－b2a2＋b2－c2b2＋c2－a2b·＋c·＝a·，2ac2ab2bc∴b(a＋c－b)＋c(a＋b－c)＝a(b＋c－a)．∴(a＋c－b)(b ＋a－c)＝0.ππ222222∴a＋c＝b或b＋a＝c，即B＝或C＝.22∴△ABC为直角三角形．方法技巧判定三角形形状的两种常用途径222222222222222222提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后答案B解析解法一：由已知得2inAcoB＝inC＝in(A＋B)＝inAcoB＋coAinB，即in(A－B)＝0，因为－πa2＋c2－b222由余弦定理得2a·＝ca＝ba＝b.故选B.2ac[条件探究2]将本典例条件变为“若△ABC的三个内角满足inA∶inB∶inC＝5∶11∶13”，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案C解析在△ABC中，inA∶inB∶inC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，故设a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得a2＋b2－c225k2＋121k2－169k223coC＝＝＝－<0，22ab2某5某11k110π又∵C∈(0，π)，∴C∈，π，2∴△ABC为钝角三角形．故选C.[条件探究3]将本典例条件变为“若bcoB＋ccoC＝acoA”，试判断三角形的形状．解由已知得a2＋c2－b2a2＋b2－c2b2＋c2－a2b·＋c·＝a·，2ac2ab2bc∴b(a＋c－b)＋c(a＋b－c)＝a(b＋c－a)．∴(a＋c－b)(b ＋a－c)＝0.ππ222222∴a＋c＝b或b＋a＝c，即B＝或C＝.22∴△ABC为直角三角形．方法技巧判定三角形形状的两种常用途径222222222222222222提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后。

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高考一轮复习解三角形
高考真题

标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]
解三角形
1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
a
＝5，c＝2，cos A＝23，则b＝( )
A.2 B.3 C.2 D.3
2.(2016·山东，8)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，
a
2
＝2b2(1－sin A)，则A＝( )

A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6
3.(2016·湖南四校联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2＋b2－
c2)tan C＝ab,则角C
为( )

A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6 D.2π3
4.(2016·河南三市调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
c
2
＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积为( )
A.3 B.932 C.332 D.33
5.(2016·济南一中检测)在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，
c，A
为锐角，

lg b＋lg）（c1＝lg sin A＝－lg 2，则△ABC为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直
角三角形
6.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－
b2)sin C，则△ABC
是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或
直角三角形
7.(2015·湖南十二校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

若tan A＝7tan B，a2－b2c＝3，则c＝( )
A.4 B.3 C.7 D.6
8．(2018·陕西宝鸡一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

sin(A＋B)＝13，a＝3，c＝4，则sinA＝( )
A.23 B.14 C.34 D.16
9．(2018·铜川一模)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知
a＝2，c＝22，且C＝π4，则△ABC的面积为( )
A.3＋1 B.3－1 C．4 D．2
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且
2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于( )

A.34 B.43 C．－43 D．－34
11.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
cos A＝45，cos C＝513，a＝1，则b＝________.
12.(2016·北京，13)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝________.
13.(2015·重庆，13)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，
cos C＝－14，3sin A＝2sin B，则c＝________.
14.(2015·安徽，12)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝
________.
15.(2014·湖北，13)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝
π
6
，a＝1，

b＝3，则B
＝________.

16.(2014·福建，14)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于
________．

17.(2016·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
b

＋c＝2acos B.

(1)证明：A＝2B； (2)若cos B＝23，求cos C的值.
18.(2015·天津，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
△ABC的面积为315，b－c＝2，cos A＝－14.
(1)求a和sin C的值； (2)求cos)62(πA的值．
19.(2015·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
tan）π（A4＝2.

(1)求sin 2Asin 2A＋cos2 A的值； (2)若B＝π4，a＝3，求△ABC的面积．
20.（2018·天津卷15）在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
sincos()6bAaB
.

（I）求角B的大小；
（II）设a=2，c=3，求b和sin(2)AB的值.
21.(2014·重庆，18)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
a
＋b＋c＝8.

(1)若a＝2，b＝52，求cos C的值；

(2)若sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C，且△ABC的面积S＝92sin C，求a和
b
的值．
22.(2017·山东)设函数)(xf＝)2sin(6sinπ）π（xx，其中0＜ω＜3，已知
)6(πf
＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将

得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g(x)的图象，试讨论g(x)在




－π4，
3π

4
上的单调区间及最值．

23．(2018·江西南昌三校联考)已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是
其对边长，向量m＝(3，cosA＋1)，n＝(sinA，－1)，m⊥n.
(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，cosB＝33，求b的值．
24．(2018·江西新余一中调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，且btanA，ctanB，btanB成等差数列．（提示：等差中项）
(1)求角A；
(2)若a＝2，试判断当bc取最大值时△ABC的形状，并说明理由．

25．(2018·河北廊坊模拟)已知函数f(x)＝2cosx·cos）π（3x－12.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)＝12，c＝23，且
△ABC的面积为23，求△ABC的周长．
26.（2017全国卷1理科）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的

面积为23sinaA
（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
27.（2018·江苏卷16）已知,为锐角，4tan3，5cos()5．
（1）求cos2的值；（2）求tan()的值．