应用数理统计基础

应用数理统计基础（庄楚强）

考试共8道题

1、样本的数据期望与方差

2、2χ分布的概念与性质

3、一连续型函数（只有一个未知参数）的无偏估计

4、一正态分布的置性区间

5、两个未知参数函数的矩估计

6、①求一离散型的总体似然估计

②求未知参数的信息量

③求得的似然估计是否是最小方差估计

7、正态分布的假设检验

8、一离散型总体的假设检验

第二章、数理统计的基本概念与抽样分布

第一节、数理统计的几个基本概念

重点：统计量，书中例题2、习题第四题

第三节、常用统计分布

重点：常用统计分布（2χ、t、F）的定义及性质

第四节、抽样分布

重点：定理1及推论、定理4及推论

本章习题4、5、7、9、13、19、20

第三章、参数估计

掌握：矩估计、极大似然估计、区间估计

本章习题1、2、3、4、10、11、15、16、18、27、29

第四、章假设检验

重点：第二节、一个正态总体均值与方差的检验

第三节、两个正态总体均值与方差的检验

第四节、非正态总体均值的假设检验

书上的例题、习题37、38、39、40

第一章概率论复习与补充1、概率

2、期望

数据期望的性质

性质1：常量的期望就是这个常量本身, 即E(c)=c.

推论：E(Eξ) = Eξ

性质2：随机变量ξ与常量 c 之和的数学期望等于ξ的期望与这个常量 c 的和E(ξ+c)=Eξ+c

性质3：E(cξ) = cE ξ

性质4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数

E(k ξ+c)=k E ξ+c

3、方差

方差的性质

性质1：常量的方差等于零。即：设c为常数，则Dc = 0

性质2：随机变量与常量之和的方差就等于随机变量的方差本身

即：D(X+c)=DX

性质3：常量与随机变量乘积的方差，等于常量的平方与随机变量方差的乘积。即：D(cX )=c2DX

性质4：设k , b为常数，则：D(kX +b)=k2DX

性质5：两个独立随机变量和(差)的方差，等于这两个随机变量方差的和。

即：D(X Y ) = DX +DY

第二章数理统计的基本概念与抽样分布

1、统计量(第一题样本数据期望与方差)

预测类似题目可能会有二项分布B(n,p)、0—1分布B(1,p)、均匀分布R[a,b]、指数分布E(λ)、正态分布N(μ,σ2)。

2、常用统计分布（第二题有开方分布的概念与性质）

1) 正态分布函数

定义：若连续随机变量X

μ

为常数，σ > 0 为常数，则称 X 服从参数为 μ , σ 2 的正态分布，记为 X ~ N (μ ,

σ 2)。

其分布函数为

正态分布满足密度函数的两个性质：

(1) ϕ (x ) > 0 x ∈R (2) (x)1dx ϕ+∞

-∞

=⎰

标准正态分布

参数μ = 0,σ =1的正态分布称为标准正态分布其密度函数为：

记为X ~ N (0,1) 一般正态分布与标准正态分布的关系

若 X ~ N (μ , σ 2)，Y~ N (0 , 1)，它们的密度函数分别记为ϕ (x )和 ϕ 0(x ) ，分布函数分别记为Φ (x ) 和Φ0 (x ) ，则

证明：

2) χ2分布

定义 设随机变量X 1,X 2,…,X n 相互独立,且同服从标准正态分布，则它们的平方和 χ 2= X 12+X 22+… +X n 2

服从的分布称为自由度为 n 的χ 2分布。记为： χ 2 ~ χ 2(n )

χ 2 的密度函数为 10

(s)(0)s t t e dt s +∞--Γ=>⎰

2

2

0 () , x x x R φ-=∈φφ----===22 2()(x μ )σ 2σ2

11x μ(x) ()σσσ00φφφ--∞

-∞

-∞

--Φ====⎰

⎰

⎰

x μ

x x σ0 1t μx μ

(x) (t)dt ()dt (y)dy Φ ()σσ

σ

122

21, 0 ()2()20 , 0 x n n e x x n f x x --⎧>⎪⎪=Γ⎨⎪

⎪≤⎩当时当时

χ2分布的基本性质

(1) 2

(),,2X

n X n DX n χ==若则：E χ 2的特征函数 2

()(12)n t it φ-

=-

(2) 若 X~χ 2(n )，Y~χ 2(m )，且X 与Y 相互独立， 则 X +Y~ χ 2 (n+m ) 推论：（1） 若 X i ~χ 2(n i ), i = 1, 2, …, n ，且相互独立， 则：

2

1

1

()n

n

i

i i i X

n χ==∑∑

(2) 若 X 1, X 2, …, X n 相互独立，同服从于正态分布N ( μi , σi 2)，则

221

(

)()n

i i

i i

X u n χσ=-∑

(3) 若2()n ηχ分布, 则当 n 充分大时, 2n

近似服从N(0,1). (4) 若2()n η

χ分布, 则当 n 充分大时,

221n η--近似服从N(0,1).

χ2分布的临界值（α 分位点）

对于给定α（0<α <1）,称满足条件：

特征函数

定义 设 ξ为一个实随机变量, F ( x )为ξ的分布函数, t 为实数, 称函数 ()()()it itx t E e e dF x ξξφ+∞

-∞==⎰

为随机变量ξ( 或分布函数F ( x ) )的特征函数。

当ξ为连续型随机变量时, 特征函数为：()()()it itx t E e e p x dx ξξφ+∞

-∞==⎰

当ξ为离散型随机变量时, 特征函数为：

()(){}k

k

itx itx it k k k k

t E e e p x e p ξξφξ====∑∑

特征函数的一些常用性质

性质1 有界性φ( t ) ≤φ( 0) = 1 。

性质2 设η= k ξ+ b , 其中k , b 为常数, 则()()()itb k b t t e kt ηξξφφφ+==

证

()()()[][]()it k b itb i kt itb t E e E e e e kt ξξηξφφ+===

22

{()}P n αχχα>=22()()n n αχχ的点为分布的 α。

上分位点2

() n n αχα的值依赖于和

自由度，可查表获得。