数字逻辑-第二章第6节-743
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解:首先,将函数化成最简与或形式。画出函数的卡诺图,如 图2-20(a)所示。由卡诺图化简得表达式
F(A ,B,C,D)= AB + AC + AD 再将上述表达式二次取反,则有
F(A ,B,C,D)= AB + AC + AD = AB·AC·AD
这是函数的二级与非表达式。用与非门来实现该表达式,其逻 辑电路如图2 - 20(b)所示。
F(A ,B,C,D)= (A + B)(C + D)= A + B + C + D 用或非门来实现该表达式,其逻辑电路如图2-22(b)所 示。
图2 - 22 例2 - 13 图
四、用与或非门实现布尔函数
用与或非门实现逻辑函数时,首先将函数化简成原函数F 的最简与或式以及补函数F 的最简与或式;然后再对F 的表 达式二次取反,对F 的表达式一次取反,即得F 的两个与或非 表达式;最后用与或非门实现该函数,比较两者,取较简单的一 个。
F(A,B,C,D)= A (B + C + D)
然后,再对上述表达式二次取反,即可得函数的或非- 或非表 达式为
F(A,B,C,D)= A (B + C + D)= A + B + C + D 最后,用或非门来实现该表达式,其逻辑电路如图2-21(b)所示 。
图2 - 21 例2 - 12 图
例2-13 用或非门实现不完全确定函数 F(A,B,C,D)= Π M(0,1,2,3,8,12)·Π d(4,5)
这个函数若用异或门来实现,就较简单,其函数表达式为 F(A ,B,C,D)= Σm (1,2,4,7,8,11,13,14) =ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +ABCD +ABCD = AB(CD + CD)+ AB(CD + CD)+ AB(CD + CD)+ AB(CD + CD) = (AB + AB)(CD + CD)+ (AB + AB)(CD + CD) = (AB + AB)(CD + CD)+ (AB + AB)(CD + CD) = (AB + AB) ⊕(CD + CD)
图2 - 24 例2 - 15 图 (a)实现F = AD + AC + BC (b)实现F = AB + CD
五、用异或门实现布尔函数
异或运算也是经常用到的一种逻辑运算,这种运算的逻 辑关系可表示为
F = A ⊕B 式中,符号“ ”是异或运算符号。上述表达式可读作“A 异或B”,意思是只有当A = 0和B = 1或者A = 1和B = 0 时才有F = 1。即当两个输入变量不一致时,函数值为1;而 当两个输入变量相同时,函数值为0。这样,上述函数的表 达式可写成如下形式:
这是因为,与非门、或非门、与或非门中的任何一种门 都可实现与、或、非三种运算,构成任何复杂的逻辑电路 。并且,这些门还具有功率放大能力,可以解决信号在传输 过程中的衰减问题。因此,在掌握布尔函数化简的基础上, 进一步掌握用与非门、或非门、与或非门来实现布尔函 数的一般方法,对后面的组合网络的分析和设计具有重要 意义。
F(A ,B,C,D)= AB + AC + AD 再对补函数F 的最简式一次取反,则得
F(A,B,C,D)= A + BCD 最后,用与或非门来实现上述两个表达式,其逻辑图如图223(a)、(b)所示。比较二者,可见图2-23(b)比图2-23(a)简 单。但是,如果有时要求同时得到F 及粖F 时,也可采用方案图 2-23(a)。
F = A⊙ B = AB + AB
wk.baidu.com
其逻辑关系可用表2-11 所示的真值表来描述。
表2 - 11 同或运算真值表
从表2-11,可得到下列几个等式: 0⊙0 = 1 0⊙1 = 0 1⊙0 = 0 1⊙1 = 1
不难看出,同或函数和异或函数是互补的,即 A ⊕ B = A⊙ B A⊙ B = A ⊕ B
图2-23 例2 - 14 图
(a)实现F = AB + AC + AD (b)实现F = A + BCD
例2 - 15 用与或非门实现函数 F(A,B,C,D)= Π M(0,1,2,3,8,12)·Π d(4,5)
解:首先求出F 和F 的最简与或式。由图2-22(a)中标1 的最小项,求得F 的最简与或式为
该函数所对应的逻辑图如图2 - 27 所示
图2-26 异或函数的四变量卡诺图
图2-27 F(A,B,C,D)= A⊕B⊕C⊕D 的逻辑电路图
解:首先将函数简化成或与形式,画出函数的卡诺图,如图221(a)所示。图中,标1的方格表示原函数F 的各个最小项,而 标0的方格表示补函数F 的各个最小项(或原函数的最大项)。 因此,求得补函数F 的最简与或式为
F(A,B,C,D)= A + BCD 再对该式两边取一次反,即可求得函数F 的与或表达式为
异或运算在逻辑运算中是十分有用的。此外,还有另外 一种逻辑运算称为同或运算,其逻辑关系可表示为
F = A⊙ B 式中,符号“⊙”是同或运算符,其意思是只有当A=0和 B=0或者A=1和B=1时,才有F=1。即当两个变量相同时, 函数值为1;而当两个变量不同时,函数值为0。上述函数关 系也可写成如下形式:
一、门电路的符号表示
布尔函数的逻辑实现,即用逻辑符号画出 逻辑原理图,其图形符号如图2- 19。
2 - 19
图 各 种 基 本 逻 辑 门
二、用与非门实现布尔函数
用与非门实现布尔函数时,首先将函数化成最简与或形式;然 后再对表达式二次取反,得到函数的与非- 与非表达式;最后用 与非门实现。
例2-11 用与非门实现函数F(A,B,C,D)= ABD+AC+ACD+AD
F(A,B,C,D)= AD + AC + BC 再由图2-22(a)的标0最小项,求得F 的最简与或式为
F(A,B,C,D)= AB + CD 然后,对F 的最简式二次取反,则得
F(A,B,C,D)= AD + AC + BC 再对F 的最简式一次取反,则得
F(A,B,C,D)= AB + CD
最后,用与或非门来实现上述两个表达式,其逻辑图如 图2-24(a)、(b)所示。比较二者,图2-24(b)比图224(a)简单。这里假定输入A、B、C、D 的原变量和反 变量同时提供。
F = A ⊕ B = AB + AB 这种逻辑关系也可用表2-10 所示的真值表来描述。 从表2-10 所示的真值表,可得出下列几个等式:
0⊕ 0=0 0⊕1=1 1⊕ 0=1 1⊕1=0
上述逻辑关系可用异或门来实现,其逻辑符号如图2-25所示
表2 - 10 异或运算真值表
图2 - 25 异或门逻辑符号
解:首先将函数简化成最简或与形式。画出函数F 的 卡诺图,如图2 - 22(a)所示。求得补函数的最简与或式 为
F(A,B,C,D)= AB + CD 再对该式取一次反,即可得函数F 的或与表达式为
F(A ,B,C,D)= (A + B)(C + D) 然后,再对上述表达式二次取反,即可得函数的或非- 或 非表达式为
由于同或实际上是异或之非,因此,可用异或门来实现同 或运算。
在实践中,发现某些布尔函数若用异或门来实现比用其他 门简单。例如,图2-26 中的卡诺图表示一个具有4 个输入变 量A、B、C、D 的布尔函数。在这个卡诺图中,有一半的方 格标以1,而另一半的方格则标以0,并且,标1的方格彼此不相 邻,但排列很有规律。
第六节 布尔函数的实现
布尔函数和逻辑电路之间存在一一对应关系。布尔函数 表达式的基本运算是与、或、非。因而,任何布尔函数都可 以用与门、或门、非门所构成的逻辑电路来实现。但是,随 着半导体集成电路的产生和发展,实际的逻辑电路已不只是 用与门、或门、非门作为基本逻辑单元,而是用所谓复合门 作为基本逻辑门。其中常用的复合门电路有与非门、或非 门和与或非门等。
图2 - 20 例2 - 11 图 (a)卡诺图 (b)用与非门实现
三、用或非门实现布尔函数
用或非门实现布尔函数时,首先将函数化成最简或与形式; 然后再对表达式二次取反,得到函数的或非- 或非表达式;最后 用或非门画出逻辑图。
例2-12 用或非门实现函数 F(A ,B,C,D)= ABD + AC + ACD + AD
例2-14 用与或非门实现函 F(A,B,C,D)=ABD+AC+ACD+AD
解:首先求F 和F 的最简与或式。由前面图2-20(a),求得F 的最简与或式为
F(A ,B,C,D)= A B + A C + A D 再由前面的图2-21(a),求得F 的最简与或式为
F(A,B,C,D)= A + BCD 然后,对F 的最简式二次取反,则得
F(A ,B,C,D)= AB + AC + AD 再将上述表达式二次取反,则有
F(A ,B,C,D)= AB + AC + AD = AB·AC·AD
这是函数的二级与非表达式。用与非门来实现该表达式,其逻 辑电路如图2 - 20(b)所示。
F(A ,B,C,D)= (A + B)(C + D)= A + B + C + D 用或非门来实现该表达式,其逻辑电路如图2-22(b)所 示。
图2 - 22 例2 - 13 图
四、用与或非门实现布尔函数
用与或非门实现逻辑函数时,首先将函数化简成原函数F 的最简与或式以及补函数F 的最简与或式;然后再对F 的表 达式二次取反,对F 的表达式一次取反,即得F 的两个与或非 表达式;最后用与或非门实现该函数,比较两者,取较简单的一 个。
F(A,B,C,D)= A (B + C + D)
然后,再对上述表达式二次取反,即可得函数的或非- 或非表 达式为
F(A,B,C,D)= A (B + C + D)= A + B + C + D 最后,用或非门来实现该表达式,其逻辑电路如图2-21(b)所示 。
图2 - 21 例2 - 12 图
例2-13 用或非门实现不完全确定函数 F(A,B,C,D)= Π M(0,1,2,3,8,12)·Π d(4,5)
这个函数若用异或门来实现,就较简单,其函数表达式为 F(A ,B,C,D)= Σm (1,2,4,7,8,11,13,14) =ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +ABCD +ABCD = AB(CD + CD)+ AB(CD + CD)+ AB(CD + CD)+ AB(CD + CD) = (AB + AB)(CD + CD)+ (AB + AB)(CD + CD) = (AB + AB)(CD + CD)+ (AB + AB)(CD + CD) = (AB + AB) ⊕(CD + CD)
图2 - 24 例2 - 15 图 (a)实现F = AD + AC + BC (b)实现F = AB + CD
五、用异或门实现布尔函数
异或运算也是经常用到的一种逻辑运算,这种运算的逻 辑关系可表示为
F = A ⊕B 式中,符号“ ”是异或运算符号。上述表达式可读作“A 异或B”,意思是只有当A = 0和B = 1或者A = 1和B = 0 时才有F = 1。即当两个输入变量不一致时,函数值为1;而 当两个输入变量相同时,函数值为0。这样,上述函数的表 达式可写成如下形式:
这是因为,与非门、或非门、与或非门中的任何一种门 都可实现与、或、非三种运算,构成任何复杂的逻辑电路 。并且,这些门还具有功率放大能力,可以解决信号在传输 过程中的衰减问题。因此,在掌握布尔函数化简的基础上, 进一步掌握用与非门、或非门、与或非门来实现布尔函 数的一般方法,对后面的组合网络的分析和设计具有重要 意义。
F(A ,B,C,D)= AB + AC + AD 再对补函数F 的最简式一次取反,则得
F(A,B,C,D)= A + BCD 最后,用与或非门来实现上述两个表达式,其逻辑图如图223(a)、(b)所示。比较二者,可见图2-23(b)比图2-23(a)简 单。但是,如果有时要求同时得到F 及粖F 时,也可采用方案图 2-23(a)。
F = A⊙ B = AB + AB
wk.baidu.com
其逻辑关系可用表2-11 所示的真值表来描述。
表2 - 11 同或运算真值表
从表2-11,可得到下列几个等式: 0⊙0 = 1 0⊙1 = 0 1⊙0 = 0 1⊙1 = 1
不难看出,同或函数和异或函数是互补的,即 A ⊕ B = A⊙ B A⊙ B = A ⊕ B
图2-23 例2 - 14 图
(a)实现F = AB + AC + AD (b)实现F = A + BCD
例2 - 15 用与或非门实现函数 F(A,B,C,D)= Π M(0,1,2,3,8,12)·Π d(4,5)
解:首先求出F 和F 的最简与或式。由图2-22(a)中标1 的最小项,求得F 的最简与或式为
该函数所对应的逻辑图如图2 - 27 所示
图2-26 异或函数的四变量卡诺图
图2-27 F(A,B,C,D)= A⊕B⊕C⊕D 的逻辑电路图
解:首先将函数简化成或与形式,画出函数的卡诺图,如图221(a)所示。图中,标1的方格表示原函数F 的各个最小项,而 标0的方格表示补函数F 的各个最小项(或原函数的最大项)。 因此,求得补函数F 的最简与或式为
F(A,B,C,D)= A + BCD 再对该式两边取一次反,即可求得函数F 的与或表达式为
异或运算在逻辑运算中是十分有用的。此外,还有另外 一种逻辑运算称为同或运算,其逻辑关系可表示为
F = A⊙ B 式中,符号“⊙”是同或运算符,其意思是只有当A=0和 B=0或者A=1和B=1时,才有F=1。即当两个变量相同时, 函数值为1;而当两个变量不同时,函数值为0。上述函数关 系也可写成如下形式:
一、门电路的符号表示
布尔函数的逻辑实现,即用逻辑符号画出 逻辑原理图,其图形符号如图2- 19。
2 - 19
图 各 种 基 本 逻 辑 门
二、用与非门实现布尔函数
用与非门实现布尔函数时,首先将函数化成最简与或形式;然 后再对表达式二次取反,得到函数的与非- 与非表达式;最后用 与非门实现。
例2-11 用与非门实现函数F(A,B,C,D)= ABD+AC+ACD+AD
F(A,B,C,D)= AD + AC + BC 再由图2-22(a)的标0最小项,求得F 的最简与或式为
F(A,B,C,D)= AB + CD 然后,对F 的最简式二次取反,则得
F(A,B,C,D)= AD + AC + BC 再对F 的最简式一次取反,则得
F(A,B,C,D)= AB + CD
最后,用与或非门来实现上述两个表达式,其逻辑图如 图2-24(a)、(b)所示。比较二者,图2-24(b)比图224(a)简单。这里假定输入A、B、C、D 的原变量和反 变量同时提供。
F = A ⊕ B = AB + AB 这种逻辑关系也可用表2-10 所示的真值表来描述。 从表2-10 所示的真值表,可得出下列几个等式:
0⊕ 0=0 0⊕1=1 1⊕ 0=1 1⊕1=0
上述逻辑关系可用异或门来实现,其逻辑符号如图2-25所示
表2 - 10 异或运算真值表
图2 - 25 异或门逻辑符号
解:首先将函数简化成最简或与形式。画出函数F 的 卡诺图,如图2 - 22(a)所示。求得补函数的最简与或式 为
F(A,B,C,D)= AB + CD 再对该式取一次反,即可得函数F 的或与表达式为
F(A ,B,C,D)= (A + B)(C + D) 然后,再对上述表达式二次取反,即可得函数的或非- 或 非表达式为
由于同或实际上是异或之非,因此,可用异或门来实现同 或运算。
在实践中,发现某些布尔函数若用异或门来实现比用其他 门简单。例如,图2-26 中的卡诺图表示一个具有4 个输入变 量A、B、C、D 的布尔函数。在这个卡诺图中,有一半的方 格标以1,而另一半的方格则标以0,并且,标1的方格彼此不相 邻,但排列很有规律。
第六节 布尔函数的实现
布尔函数和逻辑电路之间存在一一对应关系。布尔函数 表达式的基本运算是与、或、非。因而,任何布尔函数都可 以用与门、或门、非门所构成的逻辑电路来实现。但是,随 着半导体集成电路的产生和发展,实际的逻辑电路已不只是 用与门、或门、非门作为基本逻辑单元,而是用所谓复合门 作为基本逻辑门。其中常用的复合门电路有与非门、或非 门和与或非门等。
图2 - 20 例2 - 11 图 (a)卡诺图 (b)用与非门实现
三、用或非门实现布尔函数
用或非门实现布尔函数时,首先将函数化成最简或与形式; 然后再对表达式二次取反,得到函数的或非- 或非表达式;最后 用或非门画出逻辑图。
例2-12 用或非门实现函数 F(A ,B,C,D)= ABD + AC + ACD + AD
例2-14 用与或非门实现函 F(A,B,C,D)=ABD+AC+ACD+AD
解:首先求F 和F 的最简与或式。由前面图2-20(a),求得F 的最简与或式为
F(A ,B,C,D)= A B + A C + A D 再由前面的图2-21(a),求得F 的最简与或式为
F(A,B,C,D)= A + BCD 然后,对F 的最简式二次取反,则得