自动控制原理Nyquist稳定判据

闭环传递函数
M( s ) G( s ) G( s )
1 G( s )H ( s ) 1 G0( s )
闭环传递函数分母
1 G0 ( s
Leabharlann Baidu
) 1
N0( s ) D0 ( s )
D0 (
s ) N0( s D0 ( s )
)
DC ( s ) D0 ( s )
DC(s) 闭环特征多项式
D0(s) 开环特征多项式
3.4，Nyquist稳定判据
Nyquist稳定判据(在G0 (s)平面上) :
1，若系统开环稳定，则闭环系统稳定的条件是Nyquist
图不包围(-1,j0)点。 （N = m － n = 0)
2，闭环系统稳定的充要条件是 N = －n ( N = m － n = －n 所以 m = 0 )
推论：若Nyquist图顺时针包围(-1,j0)点，则系统一定不 稳定。
失端轨迹 （Nyquist图)
n = 0 (由G0(s)表达式) N＝0 (由Nyquist图)
因为N ＝ m － n , 所以m = 0，
故系统稳定
例3.16
-7.9
Im
3.4，Nyquist稳定判据
G0 (
j
)
(
j
1 )(
0.5
100 j 1)(
0.2
j
1)
画Nyquist图：1 0 G0( j0 ) 100 00
3.4，Nyquist稳定判据
利用柯西复角原理判稳定的思路：
(1)使F(s)与系统传递函数相联系 (2)封闭曲线域为右半平面（或左半平面） (3)使封闭曲线为虚轴，与频率特性相联系
3.4，Nyquist稳定判据
2，D形围线和Nyquist图：
+
G(s)
-
H(s)
开环传递函数
G0( s ) G( s )H ( s )
G( j ) 0 270 0
100 Re 2 0 单调变化
与实轴有交点，为－7.9
(-1,j0)
(分母有理化，按虚实部讨论)
Nyquist判据： N＝2，n = 0 N = m－n， 故m = 2。 k 不稳定 有两个极点在右半平面，系统不稳定。 k 可能稳定
3.4，Nyquist稳定判据
0
k00
Re
0
G0( j0 ) k00 G0( j ) 0 1800
(2)趋势 由0
G( j ) 由 k 0
单调递减
G( j ) 由 00 1800 单调递减
3.4，Nyquist稳定判据
Im
负频部分 (与正频对称)
-1 j
j
0- k
0
Nyquist判据(已知N,n求m)
当ω 由0 ∞
G0( j ) 幅频特性
(负频部分无物理意义) G0( j ) 相频特性
r( t ) sin( t )
G0(jω )
y( t ) G0( j ) sint G0( j )
3.4，Nyquist稳定判据
D形围线在G0(s)平面上的映射就是系统在G0(s)平面 上的Nyquist图，也就是系统的开环幅相频率特性曲线。
面上的Nyuist图顺时针包围原点N次。 n>m时
多数情况，当s从0 ± j∞ 时, G0(s) 0, F(s) = 1+G0(s) 0
3.4，Nyquist稳定判据
N=m― n
DC(s)=0的根 闭环极点
D0(s)的根 开环极点
(3)开环频率特性G0(jω )和Nyuist图
开环传递函数G0(s)，令s = jω ，即开环频率特性G0(jω )
900
450
00
1
T
450 450 450
T1 ,T2 ,T3 T01 ,T02 T4 ,T5
(N = m － n , 若N≥ 1，n不会为负值，则必有m ≥1)
3.4，Nyquist稳定判据
例3.15已知开环传递函数 判断系统稳定性
G0 (
j
)
( T1
j
k 1 )( T2
j
1)
Nyquist图画法(示意图)
Im
G0( j ) G0( j )G0( j )
0 180 0
j
(1)特殊点
3.4，Nyquist稳定判据
柯西复角原理：对于复变函数F(s)=1+G0 (s)，当S平面 上沿D形围线顺时针变化一周，则在G0(s)平面上顺时 针包围(-1,j0)点N=m-n次。
其中：n为G0(s)在右半平面的极点，也是F(s)=1+G0 (s) 的极点。
m为F(s)=1+G0 (s)在右半平面的零点，也是系 统特征方程的极点。
F(s)平面上的原点即G0(s)平面上的(－1，j0)点
j S平面
F平面 Im'
j
D形围线
右
F(s)=1+G0 (s)
Im G0平面
半 平
1
Re
面
j
(-1,j0)
Nyquist图
柯西复角原理：对于复变函数F(s)=1+G0 (s)，当S平面 上沿D形围线顺时针变化一周，则在G0(s)平面上顺时 针包围(-1,j0)点N=m-n次。
3.4，Nyquist稳定判据
(1) 沿虚轴顺时针包围右半平面的闭曲线称为D形围线。
j
j
S平面
F平面
Im D形围线 F(s)=1+G0 (s)
1
Re
j
Nyquist图
(2)设F(s)=1+G0 (s)，s平面上的D形围线在F平面上映射的 有向闭曲线称为Nyquist图。
当s平面上顺时针沿D形围线连续变化一周时，F平
例3.17 G0 (
j )
( T1
j
1)( T2
k( T01 j 1 )( T01 j 1 ) j 1)( T3 j 1)( T4 j 1)( T5
j 1)
T1 ,T2 ,T3 T01 ,T02 T4 ,T5
Im
-1
k Re
0
Nyquist判据： N=0，n=0，所以m=0 系统稳定
0 G0( j0 ) k00 G0( j ) 0 2700