从系统动态方程求系统传递函数(阵)

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第二章 状态空间分析法
2020/3/2
《现代控制理论》
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对上式两端取拉氏变换，可得
sX (s) x(0) AX (s) BU (s) Y (s) CX (s) DU (s)
设初始条件x(0)=0，则有 sX (s) AX (s) BU (s) X (s) (sI A)1 BU (s)
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补例 ：已知系统的状态空间表达式为
x1 (t)

x2 (t
)

0 2
1 3

x1 (t) x2 (t)

1 1
0u1(t) 1u2 (t)
y(t)

1 1
0x1(t)
1

x2
(t
)
试求其传递函数阵。
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解: 传递函数阵为：
G(s) C(sI A)1 B
1 0 s 1 1 1 0 1 1 2 s 3 1 1
s4

4
6
2, D 0
0 0 2 1
解： W (s) C(sI A)1 B D
s 1 1
4 6 2g 0 s 1
0 0

s3
2s 6 4s2 5s
2
0 1 2
0

g
1

s 2 1
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在MATLAB中，用SS2TF语句可以直接求出W(S)。
A=[-1 1 0;0 -1 0;0 0 -2]; B=[-2;1;1];C=[4 6 2];D=0; [NUM,DEN]=ss2tf(A,B,C,D) end
第二章 状态空间分析法
其中 m n.
T —— 为采样周期；，
u(k) y(k) —— 分别为时刻 kT 的输入、输出；
ai bi —— 表征系统特征的常系数。
系统脉冲传递函数为输出信号的Z变换与输入信号的
Z变换之比:
与连续时间系 统传递函数在 形式上相同
W (z)

bm zm bm1zm1 L zn an1zn1 L
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2.6 从系统动态方程求系统传递函数（阵）
➢系统动态方程和系统传递函数（阵）是控制系统两 种经常使用的数学模型。
➢动态方程不但体现了系统输入输出的关系，而且还 清楚地表达了系统内部状态变量的关系。
➢相比较，传递函数只体现了系统输入与输出的关系。
➢我们已知道，从传递函数到动态方程是个系统实现 的问题，这是一个比较复杂的并且是非唯一的过程。
Y(s) [C(sI A)1B D]U(s) W (s)U(s)
式中, W (s) [C(sI A)1B D] ， mr 维。
传递函数阵
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W(S)为一个m×r的传递函数阵，即：
w11(s)
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对于单输入单输出（SISO）系统，按上式求出 的W(s)为系统的标量传递函数，可表示为
W (s) c(sI A)1b d c adj(sI A) b d | sI A |
当系统的传递函数无零极点对消时，有
W
(s)

Y (s) U(s)

b0sn b1sn1 L bn－1s bn sn a1sn1 L an1s an
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2.7 离散时间系统的状态空间表达式
• 离散时间系统就是系统的输入和输出信号 只在某些离散时刻取值的系统。
• 与离散时间系统相关的数学方法有差分方 程，信号Z变换，以及系统脉冲传递函数。
• 离散时间系统一般用差分方程表示其输入 和输出信号的关系。
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设系统n阶差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) L a1 y(k 1) a0 y(k)
bmu(k m) bm1u(k m 1) L b1u(k 1) b0u(k)
k —— 表示时刻kT
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(1)系统矩阵A的特征多项式等于传递函数的分母多
项式；
(2)传递函数的极点就是A的特征值。 由于系统状态变量的选择不惟一，故建立的系
统状态表达式也不是惟一的。但是同一系统的传 递函数阵却是惟一的。
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第二章 状态空间分析法
W
(s)


w21 ( s )
M
w12(s) L w22 (s) L
M

wm1
(
s)
wm 2 ( s)
L
w1r (s)
w2
r
(
s)

M
wmr (s)
其中，wij(s)为一标量传递函数，它表示第j个系统输入 对第i个系统输出的传递作用。
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➢但从动态方程到传递函数（阵）却是一个唯一的、 比较简单的过程。
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已知线性定常系统的状态空间表达式为
x(t) Ax(t) Bu(t)

y(t)

Cx(t)

Du(t)
式中 x(t)—系统n维状态向量；u(t)—系统r维输入向 量；y(t)—系统m维输出向量。


(s

1)( s

2)
2
s 2
1
(s

1)( s

2)

1
s 2
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【例2-14】求下列动态方程的传递函数。
1 1 0 2
A


0
1
0

,
B


1

,
C
b1z b0 a1z a0
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• 同连续时间系统一样，由离散时间系统差分方程 或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式的过程 叫做离散系统的实现。