圆与坐标

28．（13分）如图，在平面直角坐标系中，B A ,两点的坐标分别为)8,0(),2,0(-，以AB 为一边作正方形ABCD ，再以CD 为直径的半圆P ．设x 轴交半圆P 于点E ，交边CD 于点F ．

（1）求线段EF 的长；

（2）连接BE ，试判断直线BE 与⊙P 的位置关系，并说明你的理由；

（3）直线BE 上是否存在着点Q ，使得以Q 为圆心、r 为半径的圆，既与y 轴相切又与⊙P 外切？若存在，试求r 的值；若不存在，请说明理由． 28．（13分） （1）连接PE ，)3(435222'---=-=-=PF PE EF

（2）（解法一）

∵

23

4

10,248=-===PF EO EF BO ∴BOE Rt ∆∽EFP Rt ∆ ∴FEP OBE ∠=∠

)6(909090'---------︒=∠⇒︒

=∠+∠⇒︒

=∠+∠∴BEP OEB FEP OEB OBE

∴相切)7('--------------- （解法二）连接PB ，

在PCB Rt ∆中，1251052

2222=+=+=BC PC PB

在BOE Rt ∆中，100682

2222=+=+=OE BO BE

在PEB ∆中，2

2225100PB PE BE =+=+ ∴)6(90'------------︒=∠PEB

（3）连接PQ ，∵⊙Q 与⊙P 外切 ∴)8(5'--+=r PQ 过Q 作y QM ⊥轴于M ，交CD 于N

∵⊙Q 与y 轴相切

∴r QM = ∴)9(10'----=-=r QM MN QN ∵⇒OE MQ //BMQ ∆∽BOE ∆ 3

468r

r BM OE MQ BO BM =

⨯=⇒=⇒

∴)11(3

45'----=--=-=-=r

PF BM BO PF MO PF NF NP （另解：直线DE 所对应的函数关系式为83

4

+-

=x y ，设),(h r Q ，代入得834+-=r h ，即834+-=r NF ，从而3

45r NP -=）

在QNP Rt ∆中，222

PQ NP QN

=+

()

()22

2

534510r r r +=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-+-⇒)21(0900390162'---=+-⇒r r

解得，)31(16

23625

195'----------------------±=

r

23．（本小题10分）

如图，在平面直角坐标系中，直线l ∶y =28x --分别与x 轴，y 轴相交于A B ，两点，点

()0P k ，是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作P ⊙.

（1）连结PA ，若PA PB =，试判断P ⊙与x 轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k 为何值时，以P ⊙与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？

23.（本小题10分） 解：（1）P ⊙与x 轴相切．……………1分 直线28y x =--与x 轴交于()40A -，，与y 轴交于()0B ，-8，

48OA OB ∴==，，

由题意，8OP k PB PA k =-∴==+，.

在Rt AOP △中，()2

2

2

483k k k +=+∴=-，，……………2分

OP ∴等于P ⊙的半径，P ∴⊙与x 轴相切. ……………1分 （2）设P ⊙与直线l 交于C D ，两点，连结PC PD ，. 当圆心P 在线段OB 上时，作PE CD ⊥于E .

PCD △

为正三角形，13322DE CD PD PE ∴===∴=，，

90AOB PEB ABO PBE AOB PEB ∠=∠=∠=∠∴°，，△∽△，

AO PE

AB PB ∴=，

2PB PB =∴=，2分

80822PO BO BP P ⎛⎫∴=-=-∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，

82

k ∴=

-.……………2分 第（1）题

第（2）题

y Ｏ′

· O C B A

E

D

F

x

当圆心P 在线段OB 延长线上时，同理可得315

082P ⎛⎫- ⎪

⎪⎝⎭

，-，315

82

k ∴=-

-，……………2分 ∴ 当31582k =

-或315

82

k =--时，以P ⊙与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形．

3.如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，AC 是⊙M 的直径，过点C 的直线交x 轴于点D ，连接BC ，已知点M 的坐标为（0， 3 ），直线CD 的函数解析式为y=－ 3 x ＋5 3 ．

⑴求点D 的坐标和BC 的长； ⑵求点C 的坐标和⊙M 的半径； ⑶求证：CD 是⊙M 的切线．

2、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的面积为15，边OA 比OC 大2．E 为BC 的中点，以OE 为直径的⊙O ′交x 轴于D 点，过点D 作DF ⊥AE 于点F ．

（1）求OA 、OC 的长；

（2）求证：DF 为⊙O ′的切线；

（3）小明在解答本题时，发现△AOE 是等腰三角形．由此，他断定：“直线

BC 上一定存在除点E 以外的点P ，使△AOP 也是等腰三角形，且点P 一定在⊙O ′外”．你同意他的看法吗？请充分．．

说明理由

1、如图（1），在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的AC 边与x 轴重合，且点A 在原点，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°AC ＝2，；又一直径为2的⊙D 与x 轴切于点E （1，0）； （1）若Rt △ABC 沿x 轴正方向移动，当斜边AB 与⊙O 相切时，试写出．．此时点A 的坐标； （2）当Rt △ABC 的边BC 移动到与y 轴重合时，则把R t △ACB 绕原点O 按逆时针方向旋转，使斜边AB 恰好经过点F （0，2），得Rt △A /B /O ，AB 分别与A /O 、A /B /相交于M 、N ，如图（2）所示。

① 求旋转角∠AOA ′的度数。 ② 求四边形FOMN 的面积。（结果保留根号）

（1）

（2）