开放探索题教案和学案两课时-1

《2011年数学中考专题复习之开放探索题》教案教学目标：1. 了解条件开放题的试题结构，进一步复习判断两个三角形全等、判定两个三角形相似等知识；2. 了解结论开放题的试题结构，体会从特殊到一般探索过程；3. 了解存在性探索试题的形式，通过对问题的剖析，掌握选择并建立恰当的数学模型，经过观察、试验、分类、比较、类比、归纳、猜测、推断等探究活动来探索解题思路，形成一个解题模式；教学重点：条件开放题、结论开放题及存在性探索试题教学教学难点：在解决存在性探索试题过程中形成一套行之有效的解题思路。

教学过程：一 条件开放性问题题型特征：条件开放性问题是指结论给定，条件未知或不全，需要探求与结论相对应的条件相对应的一类试题。

这类题常以基础知识为背景加以设计而成的，主要考查学生的基础知识的掌握程度和归纳能力，常常以填空形式出现。

典型题例例1. （2009年金华）如图，已知点B ，F ，C ，E 在同一直线上，AB ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AB ＝DE .请你添加一个条件，使AC=DF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母),并给出证明.添加的条件是: ． 证明:分析引导：观察一下在△ABC 和△DEF 中，已经具备哪些条件？由题意可知AB ＝DE ，由AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，可得∠ABC=∠DEF ，显然已具备一边一角两个条件，要证明它们全等，可利用哪些方法证明呢？还需要添加什么条件？引导学生回顾利用两边一夹角的SAS 、两角一夹边的ASA 、两角一对边的AAS 和特殊的HL 证明两个三角形全等的知识。

解“条件开放题”的规律方法：从问题的结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出逐个分析。

随堂练习：如图，E 、D 是△ABC 中BC 边上的两点，AD ＝AE ，要证明△ABE ≌△ACD ，还应补充什么条件？DA二 结论开放性问题题型特征：条件充分给定，结论未知或不全需要探求给定条件下相应结论的试题 例2.如图1，已知矩形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB=2AD 。

(1) 判断△ABC 的形状，并说明理由；(2) 保持图1中ABC 固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中的位置(当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧)。

试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；(3) 保持图2中△ABC 固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置(当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧)。

试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明。

解： (1) △ABC 为等腰直角三角形。

如图1，在矩形ABED 中， ∵点C 是边DE 的中点，且AB =2AD ， ∴AD =DC =CE =EB ，∠D =∠E =90︒， ∴Rt △ADC ≅Rt △BEC 。

∴AC =BC ，∠1=∠2=45︒，∴∠ACB =90︒，∴△ABC 为等腰直角三角形。

(2) DE =AD +BE ；如图2，在Rt △ADC 和Rt △CEB 中， ∵∠1+∠CAD =90︒，∠1+∠2=90︒， ∴∠CAD =∠2又∵AC =CB ，∠ADC =∠CEB =90︒， ∴Rt △ADC ≅Rt △CEB 。

∴DC =BE ，CE =AD ，A BCDE图1M NAB CDE 图2ABC D EM N图3∴DC +CE =BE +AD ，即DE =AD +BE 。

(3) DE =BE -AD如图3，Rt △ADC 和Rt △CEB 中， ∵∠1+∠CAD =90︒，∠1+∠2=90︒， ∴∠CAD =∠2，又∵∠ADC =∠CEB =90︒，AC =CB ， ∴Rt △ADC ≅Rt △CEB ， ∴DC =BE ，CE =AD ，∴DC -CE =BE -AD ，即DE =BE -AD 。

解“结论开放题”的规律方法：充分利用已知条件和图形特征，进行猜想、归纳、类比透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍。

随堂练习：已知，如图，BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________，④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；三 存在性探索题题型特征：在题目的结论中常常出现“存在”、“不存在”、“是否存在”等有关语句。

其特点是在一定条件下探索发现某些数学结论和规律是否存在的问题，其探索的方向是明确的，探索的结果有两种：一种是存在；另一种是不存在。

由于问题的结论不明确，而且综合性强，涉及的知识面广，对知识的迁移能力、灵活运用能力和分析问题的能力较高，常常出现在试卷的压轴题中。

例3.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A ，D 不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ，我们知道，结论1ABCDE图12M N ABCDE 图212ABC DEMN 图31 2“Rt △AEP ∽Rt △DPC”成立． （1）当∠CPD=30°时，求AE 的长；（2）是否存在这样的点P ，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．分析：（1）由于∠CPD 与∠AEP 同为∠APE 的余角，因此当∠DPC=30°时，∠AEP=30°．可在Rt △CPD 中，根据∠CPD 的度数和CD 的长，求出PD 的长，进而可求出AP 的值．同理可在Rt △APE 中，求出AE 的长．（2）由于Rt △AEP ∽Rt △DPC ，当△DPC 的周长等于△AEP 周长的2倍时，两个三角形的相似比为1：2，即2===PEPCAE PD AP CP ，根据CD=AB=4，可求出PD 的长． 解：（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP ， ∴当∠CPD=30°时，∠AEP=30°．在Rt △CPD 中，CD=AB=4，∠CPD=30°，因此PD=CD•cos30°=34， ∴AP=AD-PD=3410-．在Rt △APE 中，AP=3410-，∠AEP=30°，因此AE=AP•cos30°=12310-．（1） 假设存在这样的点P ，∵Rt △AEP ∽Rt △DPC ， ∴2===PEPCAE PD AP CP ． ∵CD=AB=4，∴AP=2，PD=8， ∴存在这样的P 点，且DP 长为8．解“存在性探索题”的规律方法：先假定符合题意的条件是存在，则将其转化为一般的封闭性问题，本题即先假定△DPC 的周长等于△AEP 周长的2倍是存在的，再由相似比为1：2求DP 的长；如果能求出DP 的长，则说明使结论成立的条件是存在的；否则，说明使结论成立的条件不存在。

随堂练习：如图，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上．动点D 在线段BC 上移动(不与B ，C 重合)，连接OD ，过点D 作DE ⊥OD ，交边AB 于点E ，连接OE ．记CD 的长为t ．(1) 当t ＝0.5时，求直线DE 的函数表达式；(2) 如果记梯形COEB 的面积为S ，那么是否存在S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由；第4题三 课后作业1．已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，若使CB =BD ,则还需要添加什么条件_____________________（填出一个即可）。

2．如图，P 是四边形ABCD 的DC 边上的一个动点，当四边形ABCD 满足条件： __________________时，△PBA 的面积始终保持不变。

（注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）。

3．如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△AD E ∽△ACB ，添加的条件为 _____4．一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示方格地面上（每个小方格都是边长相等的正方形），请在方格中添加阴影，使阴影部分即是轴对称图形，又是中心对称图形，且小鸟落在阴影方格地面上的概率为259． 5．一条抛物线的开口方向上，与y 轴交点的坐标为－1，且经过点（1，3），那么它的解析式可以是________________________6．如图，已知等腰△ABC 中，∠A =21∠C ，底边BC 为⊙O 的直径，两腰AB 、AC 分别与⊙O 交于点D 、E ，有下列序号的四个结论：①AD =AE ；②DE ∥BC ；③∠A =∠CBE ；④BE ⊥AC 。

其中结论正确的序号是________________。

注：把你认为正确结论的序号都填上。

7．如图，已知∠1=∠2，AC=AD ，增加下列条件： ①AB=AE;②BC=ED; ③∠C=∠D;④∠B=∠E.ABCDE12第3题DP A CB第2题其中能使△ABC ≌△AED 的条件有______个8．已知：如图在ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA 的延长线、AB DC BC 、、的延长线于点E M N F 、、、．（1）观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△____________，请加以证明；（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？9．原问题：如图1，已知△ABC ，AC =BC ，∠C =90°，D 是AB 边的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且∠EDF =∠A +∠B . 求证: DE= DF .请解答下列问题:（1）填空完成原问题的证明思路: 连接CD , 可证△ ≌△ , 因此DE= DF ;（2）如图2，若将原问题中的“∠C =90°”去掉，其他条件不变，探究DE 与DF 的EBM OD NC（第8题图）A数量关系，并加以证明;（3）如图3, 若将原问题中的“AC =BC ”改为BC = kAC , 其他条件不变, 探究DE 与DF 的数量关系，并加以证明;（4）根据前面的探究和图4，你能否将问题推广到一般的三角形情况？ 若能，请写出推广命题；若不能，请说明理由．10．如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．ABCDF图1DBFCEA图2EDBFCA图3 DBFC A 图4。