导数的概念及其几何意义

物理意义．
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第三章 变化率与导数
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1．函数y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x
B．2＋Δx
C．2
D．1
解析： y＝x2 在 x＝1 处的导数为 f′(1)＝liΔxm→0 ?1＋ΔΔxx?2－1＝2. 答案： C
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第三章 变化率与导数
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2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是( ) A．在点x0处的函数值 B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值 C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率 D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率 答案： C
(2)函数 f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率称为 f(x)在 x＝x0 处的导数
f′(x0 )
记作 y′|x＝x0
或
f′(x0)＝Δlti→m0
f?x0＋Δx?－f?x0? Δx
，
即：当 Δx→0 时的值．
Baidu Nhomakorabea
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2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在点 x0处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点
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第三章 变化率与导数
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2.求函数 y＝x2 在 x＝1,2,3 附近的平均变化率，取 Δx 都为13， 哪一点附近平均变化率最大？
解析： 在 x＝1 附近的平均变化率为
k1＝
f?1＋
Δx?－ Δx
f?1
?＝
?1＋
Δx?2－ Δx
1＝
2
＋
Δx；
在 x＝2 附近的平均变化率为
k2＝
f?2＋
Δ x?－ Δx
Δy Δx
＝Δlti→m0 (2＋Δx＋a)＝2＋a.
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求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
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[ 解题过程 ] 方法一 ：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋ 4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx， ∴ΔΔyx＝2Δx2＋Δx16Δx＝2Δx＋16. y′|x＝3＝Δlti→m0 ΔΔyx＝Δlti→m0 (2Δx＋16)＝16.
P(x0，f(x0))处的切线的 斜率，也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，
f(x0))处的切线的斜率是
f′(x0)
．相应地，切线方程
为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) ．
3．导数的物理意义：如果把 y＝f(x)看做是物体的运动方程，
那么，导数f′(x0)表示
运动物体在时间x0的速，度这就是导数的
? .
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[解题过程] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1 ＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx， ∴割线 PQ 的斜率 k＝ΔΔyx＝?Δx?3＋3?ΔΔxx?2＋3Δx ＝(Δx)2＋3Δx＋3. 设当 Δx＝0.1 时割线的斜率为 k1， 则 k1＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.
f?2?
＝
?2＋
一般地，设曲线 C 是函数 y＝ f(x)的图象， P (x0，y0)是曲线上
的定点，点 Q (x0＋ Δ x， y0＋ Δ x)是曲线上与点 P 邻近的点，则有
y0 ＝ f(x0) ， y0 ＋ Δ y ＝ f(Δ x ＋ x0) ， 割 线
PQ
的斜率
k
＝
Δy Δx
＝
f?x0
＋
Δ x ?－ Δx
f?x0
§ 2 导数的概念及其几何意义
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2.1 导数的概念
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2.2 导数的几何意义
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1.理解导数的概念，会求函数在某点处的导数． 2.理解导数的几何意义． 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
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3．曲线y＝2x2－3x在点A(0,0)处的切线方程是________． 解析： f′(0)＝liΔmx→0 2Δx2－Δ3xΔx－0＝liΔmx→0 (2Δx－3)＝－3 ∴切线方程：y＝－3x，即 3x＋y＝0. 答案： 3x＋y＝0
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解析：
∵f′(1)＝Δlti→m 0
Δy Δx
＝Δlti→m0
f1＋Δx－f1 Δx
＝Δlti→m0
a1＋Δx2＋c－a－c Δx
＝Δlti→m0
??2a·Δx＋aΔx2??
??
Δx
??
＝Δlti→m0 (2a＋a·Δx)＝2a＝2.
∴a＝1，即 a 的值为 1.
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过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲 线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
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第三章 变化率与导数
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1.求曲线上某点处的切线方程．(重点) 2.准确理解函数在某点处与过某点的切线方程．(易混点)
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第三章 变化率与导数
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1 ．函数值的改变量与自变量的改变量之比，即：
f?xx2?2－ －fx?1x1?.叫函数的 平均变化率 ． 2．物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度 ．
4．求函数y＝x2＋ax＋b(a、b为常数)在x＝1处的导数．
解析： Δy＝[(1＋Δx)2＋a(1＋Δx)＋b]－(1＋a＋b) ＝2Δx＋(Δx)2＋a·Δx， 所以ΔΔyx＝2Δx＋?ΔΔxx?2＋a·Δx＝2＋Δx＋a，
故函数 y＝x2＋ax＋b(a、b 为常数)在 x＝1 处的导数为Δlti→m0
Δy Δx
＝
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1．导数的概念
(1)如果函数 f(x)在点 x0 处有改变量(增量)Δx，那么 f(x)在区间
[
x0，x0＋Δx]上的平均变化率
ΔΔxf ＝
f?x0＋Δx?－f?x0?
Δx
，当
Δx→0(但
Δx≠0)
时，如果ΔΔxf→常数，这个常数就叫做 f(x)在 x0 处的导数 ．
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方法二：f′(x)＝Δlti→m0
2x＋Δx2＋4x＋Δx－2x2＋4x Δx
＝Δlti→m0
4x·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝Δlti→m0 (4x＋2Δx＋4)＝4x＋4，
∴y′|x＝3＝f′(3)＝4×3＋4＝16.
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第三章 变化率与导数
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1.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.