工程力学习题答案.doc

第二章 五 轴向拉伸与压缩

试求图示各杆横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并作

N 1= 10kN N 2= -15kN N 3= -18kN

一根中部对称开槽的直杆如图所示。试求横截面1-1和

2-2

解： 1．轴力

由截面法可求得，杆各横截面上的轴力为 P N -= 2．应力 6

311111110

4201014----⨯⨯⨯-=-==A P A N σPa 175-=MPa ()6

322222

210410201014----⨯⨯-⨯-=-==A P A N σPa 350-=MPa

一桅杆起重机如图所示。起重杆AB 的横截面是外径为

18 mm 的圆环，钢丝绳CB 的横截面面积为10 mm 2。试求起重杆和钢丝绳横截面上的应力。

解： 1．轴力

取节点B 为研究对象，受力如图所示，

0=∑X ： 045cos 30cos =++οοP N

N AB BC

0=∑Y ： 030sin 45

sin =--οο

AB N P

由此解得： 83.2-=AB N kN ， 04.1=BC N kN 2．应力

起重杆横截面上的应力为

()

6223

1018204

1083.2-⨯-⨯⨯-=

=πσA

N AB AB Pa 4.47-=MPa 钢丝绳横截面上的应力为

63

10

101004.1-⨯⨯==A N BC BC σPa 104

=MPa 1001=E GPa 和2102=E GPa 。若杆的总伸长为126.0=l ∆

mm ，试求杆横截面上的应力和载荷P 。

解：

1．横截面上的应力 由题意有 ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=+=

∆+∆=∆221

1221121E l E l A E Pl A E Pl l l l σ 由此得到杆横截面上的应力为

99221110210400

10100600126

.0⨯+⨯=+

∆=E l E l l σPa 9.15=MPa

2．载荷

62610404

109.15-⨯⨯⨯⨯==π

σA P N 20=kN

材料的弹性模量200=E GPa 。试求杆

解：

1．最大正应力

由于杆各横截面上的轴力相同，故杆横截面上的最大正应力发生在BC 段的任一横截面上，即

127.3MPa Pa 10204

1040623

min max =⨯⨯⨯==-π

σA N

2．杆的总伸长

mm 57.0m 1020108001040104001020010404 44

4

62362393

2221

22

2

12

1=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=

⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

+

=

+=+=-

---π

π

ππ∆∆∆d l d l E P d E

Pl d E

Pl EA Pl EA Pl

l l l BC AB BC AB BC

AB BC AB

AB 和AC 组成如图所示。杆AC 的长度为杆

200=A mm 2

。两杆材料相同，许用应力160][=σMPa ，试求结构的许可载荷。

解： 由

0=∑X ： 030sin 45sin =-οοAC AB

N N

可以得到： AB AB AC N N N >=2，即AC 杆比AB 杆危险，故 32N 1020010160][6

6

=⨯⨯⨯==-A N AC σkN 2162

1

==AC AB N N kN

由

0=∑Y ： 030cos 45

cos =-+P N N

AC AB

ο

ο

可求得结构的许可荷载为 P 7.43=kN

AB 各段内的轴力。

解：

为一次超静定问题。设支座反力分别为A R 和B R ，如图所示。 由截面法求得各段轴力分别为 A AC R N =， P R N B CD +=， B DB R N = ① 静力平衡方程为

0=∑Y ： 02=---B A

R P P R

②

变形协调方程为

0=∆+∆+∆=∆DB CD AC l l l l ③

物理方程为

EA a N l AC AC =

∆， EA a N l CD CD 2=∆， EA

a

N l DB DB =∆ ④ 由①②③④联立解得：P R A 47=，P R B 45

-=

故各段的轴力为：P N AC 47=，4P N CD -=，P N DB 4

5

-=。

AB 可视为刚体。杆1、2和3的横截A 。各杆材料相同，其许用应力为][σ。试求许可载荷。

解：

为一次超静定问题。

由对称性可知，BF AD N N =，BF AD l l ∆=∆。 静力平衡条件：

0=∑

Y ： 0=-++P N N N BF CE AD ①

变形协调条件：

CE

AD l l ∆=∆

即 EA

l

N EA l N CE AD 2⋅=

即 CE AD N N 2= ②

由①②解得：P N N N CE BF AD 5

2

2===

由AD 、BF

杆强度条件A

P BF AD 5

2==σσ≤][σ，可得该结构的

许可载荷为

P ≤A ][2

5

σ

力与许用拉应力的比值为3]

[]

[=+-σσ。各杆横截面面积均为Ａ。试求该

结构的最大许可载荷Ｆ。

解：

B 点受力如图(a )所示，由平衡条件可得：2F N =

由对称性可知，AD 、BD 、AC 、BC 四杆受拉，拉力为2F

，

由拉杆强度条件 A

F 2

=

+σ≤][+σ

可得 F ≤A ][2+σ ①

D 点受力如图(b )所示，由平衡条件可得：F N N -=-=2' CD 杆受压，压力为F ，由压杆强度条件

A

F

=

-σ≤][3][+-=σσ 可得 F ≤A ][3+σ ②

由①①可得结构的最大许可载荷为A F ][2+=σ。