卡尔曼滤波器分类及基本公式
卡尔曼滤波算法含详细推导
求式(3)所示状态向量的一步预测误差向量的相关矩阵，容易证明：
3、kalman滤波算法
K (n 1, n) E{e(n 1, n)]e H (n 1, n)} [ F (n 1, n) G (n)C (n)]K (n, n 1)[F (n 1, n)
式中使用了e(n+1,n)，v1(n)，v2(n)彼此不相关的事实，以及E{v1 (n)v1 (n)} Q1 (n) H 和 E{v2 (n)v2 (n)} Q2 (n) 等关系式。 对式(31)的右边进行展开，然后代入式(28)和(29)，可以证明：状态向量预测误差的 相关矩阵的递推公式为：
这就是新息过程的实际计算公式，条件是：一步预测的状态 向量估计 x1 (n) 业已求出。 定义向量的一步预测误差：
e(n 1, n) x(n) x1 (n)......... .(14)
def
2、新息过程
将此式代入式（13），则有
(n) C(n)e(n, n 1) v2 (n)......... (15)
e(n 1, n) F (n 1, n)[x(n) x1 (n)] G (n)[ y (n) C (n) x1 (n)] v1 (n)
将观测方程(2)代入上式，并代入 e(n,n - 1) x(n) x1 (n) ，则有：
e(n 1, n) [ F (n 1, n) G(n)C (n)]e(n,n 1) v1 (n) G(n)v2 (n)......... .........( 30)
在新息过程的相关矩阵定义式（10）中代入式（14），并注 意到观测矩阵C（n）是一已知的确定矩阵，故有
卡尔曼滤波器分类及基本公式
以 时刻的最优估计 为准，预测 时刻的状态变量 ，同时又对该状态进行观测，得到观测变量 ，再在预测与观测之间进行分析，或者说是以观测量对预测量进行修正，从而得到 时刻的最优状态估计 。
卡尔曼滤波思想
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波理论作为最优估计的一种，它的创立是科学技术和社会需要发展到一定程度的必然结果。在1795年，高斯为测定行星运动轨道而提出最小二乘估计法。为了解决火力控制系统精度跟踪问题，维纳于1942年提出了维纳滤波理论，利用有用信号和干扰信号的功率谱确定线性滤波器的频率特性，首次将数理统计理论与线性理论有机的联系在一起，形成了对随机信号做平滑、估计或者预测的最优估计新理论。但是采用频域设计法是造成维纳滤波器设计困难的根本原因。于是，人们逐渐转向寻求在时域内直接设计最优滤波器的方法，而卡尔曼研究的卡尔曼滤波理论很好的解决了这个问题
卡尔曼滤波的基本方程
例子
卡尔曼滤波的基本方程
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值23度和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。因为， （*公式三），所以我们可以估算出K时刻的最优温度值为： 度（*公式四）。 得到了K时刻的最优温度，下一步就是对K+1时刻的温度值进行最优估算，需要得到K时刻的最优温度（24.56）的偏差，算法如下： （*公式五） 就这样，卡尔曼滤波器就不断的把均方误差递归，从而估算出最优的温度值，运行速度快，且只保留上一时刻的协方差。
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼，全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们在现代控制理论中要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
卡尔曼滤波器分类及基本公式
式上，卡尔曼滤波器是5条公式。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至 是最有用的。他的广泛应用已经超过了30年，包括机器人 导航、控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统 以及导弹追踪等等。而近年来更被应用于计算机图像处理，
例如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等等。
卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波的特点
你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25 度，同时该
值的偏差是 4 度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值
23度和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信 温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。
52 因为， 2 2 H 0.78（*公式三），所以我们可以估算出K时 H 5 4 刻的最优温度值为：23 0.78* (25 23) 24.56 度（*公式四）。
度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假如我们要估算 k 时刻的实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻
的温度值，来预测 k 时刻的温度（K时刻的经验温度）。因为 你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度（*公式一），同时该值（预测 值）的高斯噪声的偏差是 5 度（5 是这样得到的：如果 k-1 时 刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度 是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5（*公式二）） 。然后，
Qk
为过程噪声的协方差，其为非负定阵； 为测量噪声的协方差，其为正定阵。
Rk
1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式 1.3 离散型卡尔曼滤波方程的一般形式
卡尔曼滤波器的原理与应用
卡尔曼滤波器的原理与应用1. 什么是卡尔曼滤波器？卡尔曼滤波器（Kalman Filter）是一种用于估计系统状态的数学算法，它通过将系统的测量值和模型预测值进行加权平均，得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波器最初由卡尔曼（Rudolf E. Kálmán）在20世纪60年代提出，广泛应用于航天、航空、导航、机器人等领域。
2. 卡尔曼滤波器的原理卡尔曼滤波器的原理基于贝叶斯滤波理论，主要包括两个步骤：预测步骤和更新步骤。
2.1 预测步骤预测步骤是根据系统的动力学模型和上一时刻的状态估计，预测出当前时刻的系统状态。
预测步骤的过程可以用以下公式表示：x̂k = Fk * x̂k-1 + Bk * ukP̂k = Fk * Pk-1 * Fk' + Qk其中，x̂k为当前时刻的状态估计，Fk为状态转移矩阵，x̂k-1为上一时刻的状态估计，Bk为输入控制矩阵，uk为输入控制量，Pk为状态协方差矩阵，Qk为过程噪声的协方差矩阵。
2.2 更新步骤更新步骤是根据系统的测量值和预测步骤中的状态估计，通过加权平均得到对系统状态的最优估计。
更新步骤的过程可以用以下公式表示：Kk = P̂k * Hk' * (Hk * P̂k * Hk' + Rk)^-1x̂k = x̂k + Kk * (zk - Hk * x̂k)Pk = (I - Kk * Hk) * P̂k其中，Kk为卡尔曼增益矩阵，Hk为测量矩阵，zk为当前时刻的测量值，Rk 为测量噪声的协方差矩阵，I为单位矩阵。
3. 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器广泛应用于以下领域：3.1 导航与定位卡尔曼滤波器在导航与定位领域的应用主要包括惯性导航、GPS定位等。
通过融合惯性测量单元（Inertial Measurement Unit）和其他定位信息，如GPS、罗盘等，卡尔曼滤波器可以提高导航与定位的准确性和鲁棒性。
3.2 机器人控制卡尔曼滤波器在机器人控制领域的应用主要包括姿态估计、移动定位、目标跟踪等。
globk卡尔曼滤波平差流程及相关公式特别是解算哪些状态量
globk卡尔曼滤波平差流程及相关公式特别是解算哪些状态量卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种基于线性状态空间模型的最优估计算法，它是通过递推的方式从当前时刻的测量值和上一时刻的状态估计值中得出最优的状态估计结果。
卡尔曼滤波广泛应用于估计、预测和控制等领域。
卡尔曼滤波的基本思想是对目标的状态进行估计，通过当前的测量值和上一时刻的状态估计值对目标的状态进行修正。
卡尔曼滤波的核心是状态估计和协方差矩阵的更新。
卡尔曼滤波的基本流程如下：1.初始化：设定初始的状态估计值和协方差矩阵；2.预测状态：通过状态转移方程，利用上一时刻的状态估计值预测当前时刻的状态估计值；3.预测协方差：通过状态转移方程和上一时刻的协方差矩阵预测当前时刻的协方差矩阵；4.校正状态：通过测量方程，利用当前时刻的测量值和预测的状态估计值校正当前时刻的状态估计值；5.更新协方差：通过测量方程、预测的协方差矩阵和测量噪声协方差矩阵更新当前时刻的协方差矩阵；6.返回第2步，继续预测和校正，形成一个递推过程。
在卡尔曼滤波中，解算的状态量通常包括目标的位置、速度、加速度等状态变量，以及传感器的噪声、系统的噪声等状态变量。
卡尔曼滤波的公式如下：1.预测状态：X(k，k-1)=F*X(k-1，k-1)+B*u(k)其中，X(k，k-1)为当前时刻的状态估计值；F为状态转移矩阵；X(k-1，k-1)为上一时刻的状态估计值；B为控制矩阵；u(k)为控制向量。
2.预测协方差：P(k，k-1)=F*P(k-1，k-1)*F'+Q其中，P(k，k-1)为当前时刻的协方差矩阵；Q为系统噪声的协方差矩阵。
3.校正状态：K(k)=P(k，k-1)*H'*(H*P(k，k-1)*H'+R)^-1X(k，k)=X(k，k-1)+K(k)*(Z(k)-H*X(k，k-1))其中，K(k)为卡尔曼增益；H为测量矩阵；R为测量噪声的协方差矩阵；Z(k)为当前时刻的测量值。
卡尔曼滤波计算举例全
卡尔曼滤波计算举例⏹计算举例⏹卡尔曼滤波器特性假设有一个标量系统，信号与观测模型为[1][][]x k ax k n k +=+[][][]z k x k w k =+其中a 为常数，n [k ]和w [k ]是不相关的零均值白噪声，方差分别为和。
系统的起始变量x [0]为随机变量，其均值为零，方差为。
2nσ2σ[0]x P （1）求估计x [k ]的卡尔曼滤波算法；（2）当时的卡尔曼滤波增益和滤波误差方差。
220.9,1,10,[0]10nx a P =σ=σ==1. 计算举例根据卡尔曼算法，预测方程为:ˆˆ[/1][1/1]xk k ax k k -=--预测误差方差为:22[/1][1/1]x x nP k k a P k k -=--+σ卡尔曼增益为:()1222222[][/1][/1][1/1][1/1]x x x nx n K k P k k P k k a P k k a P k k -=--+σ--+σ=--+σ+σˆˆˆ[/][/1][]([][/1])ˆˆ[1/1][]([][1/1])ˆ(1[])[1/1][][]xk k x k k K k z k x k k axk k K k z k ax k k a K k xk k K k z k =-+--=--+---=---+滤波方程:()()2222222222222[/](1[])[/1][1/1]1[1/1][1/1][1/1][1/1]x x x nx n x n x nx nP k k K k P k k a P k k a P k k a P k k a P k k a P k k =--⎛⎫--+σ=---+σ ⎪--+σ+σ⎝⎭σ--+σ=--+σ+σ滤波误差方差起始：ˆ[0/0]0x=[0/0][0]x x P P =k [/1]x P k k -[/]x P k k []K k 012345689104.76443.27012.67342.27652.21422.18362.16832.16089.104.85923.64883.16542.94752.84402.79352.76870.47360.32700.26730.24040.22770.22140.21840.2168ˆ[0/0]0x=[0/0]10x P =220.9110na =σ=σ=2. 卡尔曼滤波器的特性从以上计算公式和计算结果可以看出卡尔曼滤波器的一些特性：（1）滤波误差方差的上限取决于测量噪声的方差，即()2222222[1/1][/][1/1]x nx x na P k k P k k a P k k σ--+σ=≤σ--+σ+σ2[/]x P k k ≤σ这是因为（2）预测误差方差总是大于等于扰动噪声的方差，即2[/1]x nP k k -≥σ这是因为222[/1][1/1]x x n nP k k a P k k -=--+σ≥σ（3）卡尔曼增益满足，随着k 的增加趋于一个稳定值。
卡尔曼滤波器
模糊逻辑AKF
• 卡尔曼滤波器通常要求系统动态过程和 噪声都是确定的，且系统噪声和量测噪 声都是零均值白噪声，如果系统存在模 型误差或噪声不确定就有可能导致卡尔 曼滤波器发散。模糊逻辑自适应卡尔曼 滤波器o，它能够连续调整滤波器模型 中的噪声力度，从而防止滤波器发散。
卡尔曼滤波器应用举例
• 现代汽车中的悬架分为从动悬架和主动 悬架两种。从动悬架即传统式的悬架， 是由弹簧、减震器、导向机构等组成， 它的功能是减弱路面传给车身的冲击力， 衰减由冲击力而引起的承载系统的震动。 其中弹簧主要起减缓冲击力的左右，减 震器的作用是衰减震动。从动悬架是由 外力驱动而起作用的。
多模型AKF
• 它由一组卡尔曼滤波器组成，每一个卡 尔曼滤波器使用不同的系统模型，各个 卡尔曼滤波器并行运行，根据观测向量 估计各自的状态。随着时间的不断增加， 系统会选出最优的一个滤波器并将其权 值增大，而其它权值相应减小。多模型 AKF性能最优的前提条件是所用的模型 集包含了系统所有可能的模式，但是这 个前提条件往往是很难满足的。
基于信息的AKF
• 基于信息的AKF主要是通过调整噪 声统计特性达到自适应的目的，解 决了因为噪声统计特性不明确或噪 声发生变化的情况。但是对于系统 其它模型发生变化不能达到自适应 的目的。
神经网络AKF
• 神经网络作为人工智能技术中的一个领 域，其主要优点在于它对系统的模型没 有特别要求，只要有足够的用于训练的 先验数据，就可以用训练的神经网络近 似代替原系统。神经网络AKF可以满足 系统其它模型不正确或者发生变化的问 题。
卡尔曼滤波器基本公式
• （1）X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k) • （2）P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q • （3）X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器主要有两个公式，分别是状态预测公式和状态更新公式。
而状态预测公式又可以细分为系统状态预测公式和状态协方差预测公式。
因此，卡尔曼滤波器总共有五个公式，具体如下：
1. 系统状态预测公式（状态方程）：
x(k) = F * x(k-1) + B * u(k-1) + w(k-1)
其中，x(k)为当前时刻的状态向量，F为状态转移矩阵，x(k-1)为上一时刻的状态向量，B为控制输入矩阵，u(k-1)为控制输入向量，w(k-1)为过程噪声向量。
2. 状态协方差预测公式（协方差方程）：
P(k) = F * P(k-1) * F^T + Q(k-1)
其中，P(k)为当前时刻的状态协方差矩阵，Q(k-1)为过程噪声协方差矩阵。
3. 状态更新公式（测量方程）：
z(k) = H * x(k) + v(k)
其中，z(k)为当前时刻的测量向量，H为测量矩阵，v(k)为测量噪声向量。
4. 估计协方差更新公式：
S(k) = H * P(k) * H^T + R(k)
其中，S(k)为当前时刻的估计协方差矩阵，R(k)为测量噪声协方差矩阵。
5. 状态修正公式：
K(k) = P(k) * H^T * (H * P(k) * H^T + R(k))^-1
其中，K(k)为卡尔曼增益矩阵。
通过以上五个公式的迭代运算，可以实现卡尔曼滤波器的状态预测和状态更新，从而提高状态估计的准确性。
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得到了K时刻的最优温度，下一步就是对K+1时刻的温度值进行最
优估算，需要得到K时刻的最优温度（24.56）的偏差，算法如下：
卡尔曼滤波器是什么
卡尔曼滤波器是什么？
简单的说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm (最优化自回归数据处理算法)”。从形 式上，卡尔曼滤波器是5条公式。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至 是最有用的。他的广泛应用已经超过了30年，包括机器人 导航、控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统 以及导弹追踪等等。而近年来更被应用于计算机图像处理， 例如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等等。
卡尔曼 滤波器
（Kalman Filter）
滤波的基本概念
滤波是什么？
所谓滤波，就是从混合在一起的诸多信号中提取出所需要的信号。
信号的分类（数学关系）？
（1）确定性信号：可以表示为确定的时间函数，可确定其在任何 时刻的量值。（具有确定的频谱） （2）随机信号：不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其 未来任何瞬时值，其值的变化服从统计规律。（频谱不确定，功 率谱确定）
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波理论作为最优估计的一种，它的创立是科学技术和 社会需要发展到一定程度的必然结果。在1795年，高斯为测定行星 运动轨道而提出最小二乘估计法。为了解决火力控制系统精度跟踪 问题，维纳于1942年提出了维纳滤波理论，利用有用信号和干扰信 号的功率谱确定线性滤波器的频率特性，首次将数理统计理论与线 性理论有机的联系在一起，形成了对随机信号做平滑、估计或者预 测的最优估计新理论。但是采用频域设计法是造成维纳滤波器设计 困难的根本原因。于是，人们逐渐转向寻求在时域内直接设计最优 滤波器的方法，而卡尔曼研究的卡尔曼滤波理论很好的解决了这个 问题
卡
以 K 1时刻的最优估计 xk 1为准，预测 K 时刻
尔 曼
的状态变量 xˆk /k 1 ，同时又对该状态进行观测，得到
滤
观测变量 zk ，再在预测与观测之间进行分析，或者
波 思
说是以观测量对预测量进行修正，从而得到 K 时刻的
想
最优状态估计 xk 。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假设我们要研究一个房间的温度，以一分钟为时间单位。根 据我们的经验判断，这个房间的温度是恒定的，但是对我们 的经验不是完全相信，可能存在上下几度的偏差，我们把该 偏差看做是高斯白噪声。另外，我们在房间里放一个温度计， 温度计也不准确，测量值会与实际值存在偏差，我们也把这 偏差看做是高斯白噪声。现在，我们要根据我们的经验温度 和温度计的测量值及它们各自的噪声来估算出房间的实际温 度。
思路
思路
Part 1 线性系统的卡尔曼滤波方程
I. 线性离散系统 II. 线性连续系统
Part 2 非线性系统的卡尔曼滤波方程
I. 扩展卡尔曼滤波器 EKF II. 无迹卡尔曼滤波器 UKF
卡尔曼滤波的基本思想
卡尔曼滤波的基本思想
在海图作业中，航海长通常以前一时刻的船位为基准，根据航向、 船速和海流等一系列因素推算下一个船位，但是他并不轻易认为 船位就一定在推算船位上，还要选择适当的方法，通过仪器得到 另一个推算船位。观测和推算这两个船位一般不重合，航海长需 要通过分析和判断选择一个可靠的船位，作为船舰当前的位置。
卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波的特点
（1）卡尔曼滤波处理的对象是随机信号； （2）被处理的信号无有用和干扰之分，滤波的目的是要估计出 所有被处理的信号(区别于维纳滤波)； （3）系统的白噪声激励和测量噪声并不是需要滤除的对象，它 们的统计特性是估计过程中需要利用的信息；（区别最小二乘） （4）算法是递推的，且使用状态空间法在时域内设计滤波器， 适用于对多维随机过程的估计； （5）被估计量既可以是平稳的，也可以是非平稳的； （6）估计过程中，只需要考虑过程噪声和测量噪声及当前时刻 系统状态的统计特性。（计算机计算时，所占空间小）
卡尔曼滤波的基本方程
例子
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值
2竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。
因为，H 2
52 52 42
H
0.78（*公式三），所以我们可以估算出K时
刻的最优温度值为：23 0.78*(25 23) 24.56 度（*公式四）。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假如我们要估算 k 时刻的实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻 的温度值，来预测 k 时刻的温度（K时刻的经验温度）。因为 你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度（*公式一），同时该值（预测 值）的高斯噪声的偏差是 5 度（5 是这样得到的：如果 k-1 时 刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度 是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5（*公式二）） 。然后， 你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25 度，同时该 值的偏差是 4 度。
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼，全名Rudolf Emil Kalman， 匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利 首都布达佩斯。1953，1954年于麻省 理工学院分别获得电机工程学士及硕 士学位。1957年于哥伦比亚大学获得 博士学位。我们在现代控制理论中要 学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的 博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预 测问题的新方法）。
滤波的基本概念
确定性信号的滤波
可采用低通、高通、带通、带阻等模拟滤波器或者计算机通 过算法实现——常规滤波
随机信号的滤波
根 据 有 用 信 号 和 干 扰 信 号 的 功 率 谱 设 计 滤 波 器 —— 维 纳 滤 波 （Wiener Filtering）或卡尔曼滤波（Kalman Filter） 随机信号的滤波也可以看做是估计问题。