两角和与差的正弦公式教案
教案教学设计中职数学拓展模块12两角和与差的正弦公式
教案教学设计中职数学拓展模块12两角和与差的正弦公式教学目标：1.理解两角和与差的正弦公式；2.掌握正弦公式的应用方法；3.锻炼运用正弦公式解决相关问题的能力。
教学重点：1.两角和与差的正弦公式；2.正弦公式的应用方法。
教学难点：1.正确运用正弦公式解决相关问题。
教学准备：教材课本、教学投影仪、计算器。
教学过程：Step 1 导入新课（5分钟）向学生介绍今天的学习内容：两角和与差的正弦公式。
然后，通过一个简单的问题引出正弦公式的重要性。
Step 2 学习正弦公式（15分钟）介绍两角和与差的正弦公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB。
解释公式中各部分的含义。
Step 3 讲解正弦公式的应用方法（15分钟）1.通过几个简单的例子，向学生展示如何运用正弦公式解决问题。
例如，求两个已知角度的正弦和、差的值。
2.提醒学生在运用正弦公式时，要注意角度的单位，如使用弧度制还是度数制。
Step 4 讲解应用题解题方法（15分钟）1.给学生一个应用题，要求求解两个角度的正弦和或差的具体值。
让学生分析题目给出的条件，然后运用正弦公式解决问题。
2.强调每一步的解题方法和思路，引导学生理解。
Step 5 课堂练习（15分钟）1.让学生互相配对，进行练习题。
教师巡视并指导学生。
2.收集学生的答案，进行讲评。
3.对于出错的学生，给予正确的解答和帮助。
Step 6 拓展练习（15分钟）为了巩固所学内容，设计一些较难的拓展题。
让学生独立解答，并在规定的时间内完成。
Step 7 小结与作业布置（5分钟）对本节课的知识点进行小结，并进行课堂总结。
然后布置作业：完成课后习题。
Step 8 课堂反馈（5分钟）针对学生在课堂上表现出的问题，进行课堂反馈。
根据学生的反馈情况，灵活调整教学进度和方法。
教学延伸：学生可以在家里或课后自行查找相关的练习题，加深对两角和与差的正弦公式的理解和运用能力。
数学示范教案：第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第三课时)
第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三课时导入新课思路1。
(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯．教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解．这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用．思路2。
（问题导入)教师可打出幻灯,出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答．1．化简下列各式：（1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β；（2）错误!－错误!－sin x －cos x ；（3）sin α＋βsin α－βsin 2αcos 2β＋错误!。
答案：（1）cos α；（2）0；（3）1。
2．证明下列各式:（1）sin α＋βcos α－β＝错误!； (2）tan(α＋β)tan(α－β)（1－tan 2αtan 2β)＝tan 2α－tan 2β；(3）错误!－2cos(α＋β）＝错误!.答案：证明略．教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习,由此展开新课．推进新课错误!错误!①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式。
②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系,可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用,更要体会由特殊到一般的数学思想方法．教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例．在应用公式时,还要注意角的相对性，如α＝（α＋β)－β，错误!＝(α－错误!)－(错误!－β)等．让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法,更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养．sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔S（α±β）〕;cos(α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ〔C(α±β)〕；tan（α±β)＝错误!〔T（α±β)〕．讨论结果：略．错误!思路1例1利用和差角公式计算下列各式的值．（1)sin72°cos42°－cos72°sin42°;（2)cos20°cos70°－sin20°sin70°；(3)错误!。
必修4教案3.1.2两角和与差的正弦正切公式
两角和与差的正弦正切公式学案
1． 学习目标：两角差与和的正弦公式和正切公式的应用
2．自学内容：通读教材128页倒数第三行_行至131页14行，约用10分钟。
3．思考并回答以下问题：
(1)诱导公式（五）的内容是什么 (2) 诱导公式（六）的内容是什么
(3)sin （α+β）=cos （ ）= cos （ ）cos （ ） sin （ ）sin （ ）
化简得 sin （α+β）= sin （α-β）= 由α
α
αcos sin tan =
你能推倒出tan （α+β）=
4．知识点小结：sin （α+β）= sin （α-β） tan （α+β）= tan （α-β）= 5．例题思考：
例1：①利用差角余弦公式求0
15tan ,15sin
的值
②利用和角余弦公式求0
75tan ,75sin
的值 例
2：已知ββππαα,13
5
cos ),,2(,54sin -=∈=
是第三象限角，求)t a n (),tan(),sin(),sin(βαβαβαβα+-+-的值。
例3．计算下列各式的值
①
20cos 70si n 70cos 20si n + ②
12sin 72cos 12cos 18cos -
③0
0033tan 12tan 133tan 12tan -+ ④0
015
tan 115tan 1-+ 例4．化简：①x x cos sin 3+， ②2
cos 2sin x x - 例5．已知：sin )(βα-,53sin )cos(cos =--ααβαβ是第三象限角，求)4
5sin(π
β+，tan （4
5π
β+）的值。
两角和与差的正弦、余弦公式教学设计(第一课))
两角和与差的正弦、余弦公式的教学设计（第一课时）1 内容分析1.1课标要求《普通高中数学课程标准》(2017年版)“内容要求”部分对两角和与差的正弦、余弦和正切公式要求是经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。
1.2教材分析本节是人教A版(2019年)高中数学必修第一册第五章第五节第一部分的内容，主要是两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
此前已学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的。
1.3学情分析学生已经学习了诱导公式，可以对三角函数式进行恒等变形，但这只是针对特殊角，但是由于学生对这部分内容接收起来比较困难，所以要争取对已学过的内容循序渐进，比较自然地得到所要研究的新知识。
通过类比让学生进行模仿，引导利用单位圆，推导出两角差的余弦公式。
1.4核心素养及蕴含的数学思想方法数学抽象：主要是两角差的余弦公式的推导。
逻辑推理：两角差的余弦公式与两角和的余弦公式之间的联系。
数学运算：在推导出公式之后，运用公式进行解题。
1.5教学目标(1)了解两角差的余弦公式的推导过程．(2)掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．(3)熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．(4)通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。
1.6教学重点与难点教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式 教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。
2.教学过程重合．根据圆的旋转对称性可知， (或说明AOP ∆≌11OP A ∆)。
两角和与差的正弦公式教案
两角和与差的正弦公式教案课时目标：1.理解两角和与差的正弦公式的定义及应用；2.掌握两角和与差的正弦公式的推导过程；3.运用两角和与差的正弦公式解决相关问题。
教学重点：1.了解两角和与差的正弦公式的定义和特点；2.掌握两角和与差的正弦公式的推导过程；3.运用两角和与差的正弦公式解决相关问题。
教学难点：1.理解两角和与差的正弦公式的应用场景；2.运用两角和与差的正弦公式解决复杂问题。
教学准备：1. PowerPoint课件；2.黑板、粉笔等教学工具。
教学过程：Step 1：导入新课（5分钟）1.引入问题：在三角函数中，我们已经学过两角和的余弦公式，那么是否存在两角和的正弦公式呢？这两者有何关系呢？2.针对上述问题进行讨论，引导学生思考。
Step 2：两角和的正弦公式的定义（10分钟）1. 展示两角和的正弦公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB。
2.解释公式的含义：两角和的正弦等于第一个角的正弦与第二个角的余弦之积加上第一个角的余弦与第二个角的正弦之积。
3.探究公式的特点：该公式是正弦函数的两个变量的线性组合。
Step 3：两角和的正弦公式的推导（20分钟）1. 给出公式sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB。
2. 利用三角函数的基本关系式sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB，以及角的和差公式sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB，通过变形推导得到两角和的正弦公式。
Step 4：实例分析（20分钟）1.使用两角和的正弦公式解决实例问题，例如：- 已知sinα = 1/3，cosβ = 4/5，且α和β属于第一象限，求sin(α + β)和cos(α - β)的值。
- 已知sinA = -2/3，cosB = -3/5，且A和B属于第二象限，求sin(A - B)和cos(A + B)的值。
高二数学 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案
第三章三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯= 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.（四）小结：α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：15012.P T T -。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教案
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
三维教学目标
1.知识与技能
能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系. 能应用公式解决比较简单的有关应用的问题.
2.过程与方法
通过层层探究体会数学思维的形成特点.
3.情感目标与价值观
通过公式变形体会转化与化归的思想方法.
教学重点:推导两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式,并能区别两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的理解和灵活运用．
突破措施：学生在前面诱导公式及两角差的余弦公式的基础上，比较自然的推出
两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式．
学情分析：三角函数是高考的重点内容，本节主要是公式的推导和应用，难度不大，要让学生加强记忆，且熟练应用．
教学设计：
=
cos15_____
情景导入
有了两角差的余弦公式，我们能解决一些问题，但范围有
限，因此自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的
72cos 42cos72sin 42
-20cos70sin 20sin 70-；（3）．1tan15
1tan15
+-
练习：求下列各式的值：
72
cos18cos72sin18
tan12tan 33tan12tan 33
++
34sin 26cos34cos 2620cos 40cos 20cos50
-+
)
131cos sin 22
x x - (2)cos x -
板书设计：。
两角和与差的正弦公式教案
两角和与差的正弦公式教案一、动机和引入1.引导学生回顾前面学过的正弦函数的基本性质：周期、最大值、最小值等。
2.提问学生：在求正弦函数的和或差的时候，我们有没有什么公式可以使用？3.引导学生分析：我们可以使用两角和与差的公式，类似于整数相加减，但是存在一些特殊性质。
二、学习公式1.提醒学生：求两角和与差的公式都是从公式角度出发，通过对三角函数的和差关系进行求解。
2. 教师板书公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB3. 解读公式：sin(A±B)等于sinA和sinB的乘积之和或差。
4. 引导学生根据公式推导cos(A±B)的公式：cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB5.提醒学生：在公式推导的过程中，可以根据三角函数的诱导公式进行转换。
如：cos^2A+sin^2A=1三、例题实践1. 例题一：求sin(π/6+π/4)的值。
解法：根据公式sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB：sin(π/6+π/4)=sin(π/6)cos(π/4)+cos(π/6)sin(π/4)=1/2×√2/2+√3/2×√2/2=√2/4+√6/4=(√2+√6)/4答案：(√2+√6)/42. 例题二：求cos(3π/4-π/3)的值。
解法：根据公式cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB：cos(3π/4-π/3)=cos(3π/4)cos(π/3)+sin(3π/4)sin(π/3)=-√2/2×1/2+√2/2×√3/2=-√2/4+√6/4=(√6-√2)/4答案：(√6-√2)/4四、练习与巩固1. 练习题一：求sin(π/3+π/2)的值。
2. 练习题二：求cos(5π/6-π/3)的值。
五、总结与归纳1.引导学生总结：两角和与差的正弦公式和余弦公式都是通过对三角函数的和差关系进行推导得到的。
公式延续,思维拓展——“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”教学设计
２０２４年３月上半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀公式延续,思维拓展两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式 教学设计◉江苏省宿迁中学㊀王嘉琨１教材分析两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式 是高中数学新教材(人教A版)必修第一册５．５．１的第２课时,是在第１课时 两角差的余弦公式 基础上的延续与拓展,也为后续三角恒等变换公式体系奠定基础．２学情分析学生在前面已经学习了诱导公式㊁两角差的余弦公式等,初步具备了三角函数式中 变角 与 变名 思维,这都为本节课研究两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式提供了知识㊁方法和思想上的准备．３教学目标(１)以两角差的余弦公式作为基础,自主发现推导两角和与差的正弦．余弦㊁正切公式,并理解这些公式之间的内在联系．(２)通过例题的训练,加深对公式的理解和应用．４重点㊁难点(１)教学重点:两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式的推导及其应用．(２)教学难点:灵活运用公式进行三角函数式的化简㊁求值等．５教学过程(１)复习回顾,问题引入问题１㊀上一节课我们学习了两角差的余弦公式C(α－β),你能说出这个公式以及它的推导过程吗?利用圆的旋转不变性来推导的,具体步骤如下:第一步,在坐标系中画出角度α,β,α－β与单位圆,并标出终边与单位圆的交点;第二步,根据三角函数的定义写出各点的坐标;第三步,利用圆的旋转不变性得到等量关系;第四步,代入化简得到公式．问题２㊀除了公式C(α－β)外,你还能提出一些新的研究问题吗?你打算如何研究这些问题?师生活动:教师引导学生提出新的研究问题,学生思考研究新问题的方法．引导语:对于其他几个公式,也可以利用单位圆来研究．不过,本书不采用这这种研究方法,而是利用公式C(α－β)来推导其他公式．数学上把这种将新问题转化成已经解决的问题的方法叫作化归与转化的思想方法．设计意图:通过问题１帮助学生回顾利用圆的旋转不变性推导两角差的余弦公式的过程,明确研究公式C(α－β)的方法．(２)公式探究,发现问题问题３㊀你能利用公式C(α－β)推导出两角和的余弦公式吗?师生活动:先让学生独立思考,然后请学生回答推导思路,鼓励学生用多种方法解决．方案一:注意到α＋β与α－β之间的关系,即α＋β＝α－(－β),再由公式C(α－β)推导;方案二:可以利用换元的观点来推导,用 －β 替换公式C(α－β)中的 β 也能获得公式c o s(α＋β)＝c o sαc o sβ－s i nαs i nβ．设计意图:从加减法的关系和整体代换的方法体现了数学中的化归与转化以及换元的数学思想方法．(３)深入拓展,公式推导问题４㊀由C(α＋β)能推导出s i n(α＋β)的公式吗?师生活动:学生独立思考后,教师可以根据学生的反应追问下列问题．思考１㊀如何建立正弦与余弦值之间的关系呢?预设答案:利用诱导公式五(或六),即可实现正弦㊁余弦之间的相互转化．思考２㊀如何得到s i n(α＋β)的公式呢?预设答案:s i n(α＋β)＝c o sπ２－(α＋β)éëêêùûúú＝c o s(π２－α)－βéëêêùûúú＝c o s(π２－α)c o sβ＋s i n(π２－α) s i nβ＝s i nαc o sβ＋c o sαs i nβ．设计意图:利用两角和的余弦公式和诱导公式推导两角和的正弦公式．问题５㊀如何得到s i n(α－β)的公式呢?师生活动:学生独立完成,教师邀请学生展示和点评．预设答案:用 －β 来替换s i n(α＋β)中的 β ,则有s i n(α－β)＝s i nαc o s(－β)＋c o sαs i n(－β)＝s i nαc o sβ－c o sαs i nβ．７２教学导航２０２４年３月上半月㊀㊀㊀引导语:把以上两角和的正弦公式和两角差的正弦公式分别记为S (α＋β)和S (α－β)．设计意图:通过整体化思维,以及化归与转化思想,利用两角和的正弦公式来推导两角差的正弦公式．问题６㊀已知任意角α,β的正切,你能推导出t a n (α＋β)和t a n (α－β)吗?师生活动:学生独立完成,教师邀请学生展示和点评．预设答案:由正切与正弦㊁余弦的关系,可知t a n (α＋β)＝s i n (α＋β)c o s (α＋β)＝s i n αc o s β＋c o s αs i n βc o s αc o s β－s i n αs i n β,分子㊁分母同时除以c o s αc o s β,整理得t a n (α＋β)＝t a n α＋t a n β１－t a n αt a n β．同理t a n (α－β)＝t a n α－t a n β１＋t a n αt a n β．引导语:把以上两角和的正切公式和两角差的正切公式分别记为T (α＋β)和T (α－β)．设计意图:利用正弦㊁余弦㊁正切之间的关系推导两角和与差的正切公式．问题７㊀和(差)角公式和我们以前学习的诱导公式之间有什么关系吗请用图示说明．师生活动:学生独立思考后,和同学交流自己的想法,教师展示图示,揭示它们之间的内在联系．诱导公式是和(差)角公式的特殊情况,如用S (α－β)推导诱导公式如图１所示．图１设计意图:比较和(差)角公式和诱导公式的异同,构建知识间的内在联系,加深对公式的理解．(４)公式应用,熟练掌握例１㊀已知s i n α＝－３５,α是第四象限的角,求s i n (π４－α),c o s (π４＋α),t a n (α－π４)的值．思考１:你打算如何求解?请说说你的思维过程．思考２:如果去掉 α是第四象限的角 这个条件,结果和求解过程会有什么变化思考３:在以上解答中我们可以看到,在本题条件下,s i n(π４－α)＝c o s (π４＋α),那么对于任意角α,上式还成立吗你能想到几种方法来证明?预设答案:方案一:等式左右两边均使用和差公式展开．方案二:寻找π４－α与π４＋α之间的内在联系,再结合诱导公式来转化与处理,即s i n (π４－α)＝s i n π２－(π４＋α)éëêêùûúú＝c o s (π４＋α)．例２㊀利用和(差)角公式计算下列各式的值:①si n ７２ʎc o s ４２ʎ－c o s ７２ʎs i n ４２ʎ;②c o s ２０ʎc o s ７０ʎ－s i n ２０ʎs i n ７０ʎ;③１＋t a n １５ʎ１－t a n １５ʎ．思考４:从例１和例２可以看出和(差)角公式有什么作用?(预设答案:求值或化简．)设计意图:例１步步递进,逐层深入,充分展示数学思维的发散性;例２强化公式的理解和应用,规范解题格式,训练有序思维和逆向思维．(５)系统归纳,总结提升问题８㊀你能用图式来回顾本节课５个和(差)角公式的推导过程吗?师生活动:学生独立完成(如图２)后与同学交流．图２问题９㊀在和(差)角公式的推导过程中用到了什么数学思想方法预设答案:化归与转化的思想整体代换的思想等．设计意图:用框图回顾推导过程,建立知识之间的内在联系,归纳总结本节课的数学思想方法等．６教学反思(１)公式延续,深入应用本节课以两角差的余弦公式为基础,利用角的变换和函数名之间的转换,将要推导的公式转化为熟悉的公式来解决．整个推导过程不但能够培养学生逻辑推理数学素养,还能让学生领悟知识之间的内在联系,初步体会三角恒等变换的特点以及转化与化归思想在数学研究中的应用价值．(２)关注应用,能力提升我们应该改变以往公式教学中 轻过程㊁重应用 的方式,在关注公式的理解和应用的同时,更应该让学生全程参与到公式的发现和推导中来,因为推导过程所承载的数学育人功能是不可能只通过 公式的应用 来实现的;还可以鼓励学生课后选择一个公式作为基础,采用不同的研究路径重新研究这一过程,再一次经历解决问题的过程．Z８２。
2022年教学教材《1.3 两角和与差的正切公式 》优秀教案
第九章平面向量两角和与差的正切公式注意从运算的角度看待三角变换．把三角变换看成是三角函数的运算．这样就使的三角变换和运算〔包括向量的运算〕发生了联系．在教科书中，三角变换的公式都是通过运算的方法推导和证明的．而在几个三角恒等式中，教科书更正面地从运算的角度提出和差化积、积化和差的研究课题．1教学重点：利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明2教学难点：利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式多媒体调试、讲义分发。
如下图，每个小正方形的边长为1，tan α＝错误!，tan β＝错误!，∠COD＝α－β问题能否求出tanα－β和tanα＋β的值提示能；利用两角和与差的正切公式可求tanα－β，tan α＋β的值两角和与差的正切公式注意公式中的符号题型一公式的正用、逆用、变形用【例1】1假设tan α＝错误!，tanα＋β＝错误!，那么tanβ＝解析tan β＝tan[α＋β－α]＝错误!＝错误!答案A2错误!＝________；解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝－1答案－13求值：tan 23°＋tan 37°＋错误!tan 23°tan 37°＝________解析∵tan 23°＋tan 37°＝tan 60°1－tan 23°tan 37°，∴原式＝错误!－错误!tan 23°tan 37°＋错误!tan 23°tan 37°＝错误!答案错误!规律方法探究公式Tα±β的逆用及变形应用的解题策略1“1〞的代换：在Tα±β中，如果分子中出现“1〞常利用1＝tan错误!来代换，以到达化简求值的目的，如错误!＝tan错误!；错误!＝错误!tan错误!2整体意识：假设化简的式子中出现了“tan α±tan β〞及“tan α·tan β〞两个整体，常考虑tanα±β的变形公式【训练1】求值：1错误!；2tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°；31＋tan 18°1＋tan 27°解1错误!＝错误!＝tan45°＋15°＝tan 60°＝错误!2由tanα＋β＝错误!的变形tan α＋tan β＝tanα＋β1－tan αtan β得：tan 10°＋tan 35°＝tan 45°1－tan 10°tan 35°＝1－tan 10°tan 35，所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝131＋tan 18°1＋tan 27°＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°1－tan 18°tan 27°＋tan 18°·tan 27°＝2题型二条件求值问题【例2】1设tan α，tan β是方程2－3＋2＝0的根，那么tanα＋β的值为A－3 B－1解析由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tanα＋β＝错误!＝错误!＝－3答案A2inα＝错误!，α为第二象限的角，且tanα＋β＝－错误!，那么tan β的值为A－错误!C－错误!解析∵α为第二象限角，∴co α<0，co α＝－错误!，∴tan α＝－错误!tan β＝tan[α＋β－α]＝错误!＝错误!＝－错误!答案C规律方法给值求值问题的两种变换1式子的变换：分析式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值2角的变换：首先从角间的关系入手，分析角与待求角间的关系，如用α＝β－β－α，2α＝α＋β＋α－β等关系，把待求的三角函数与三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值【训练2】tanα＋β＝错误!，tan错误!＝错误!求tan错误!的值解tan错误!＝tan错误!＝错误!＝错误!＝错误!题型三给值求角问题【例3】1在△ABC中，tan A＝错误!，tan B＝－2，那么角C＝________；解析tan A＋B＝错误!＝错误!＝－1，∵A＋B∈0，π，∴A＋B＝错误!，∴C＝π－A＋B＝错误!答案错误!2假设α，β均为钝角，且1－tan α1－tan β＝2，求α＋β解∵1－tan α1－tan β＝2，∴1－tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴错误!＝－1∴tanα＋β＝－1∵α，β∈错误!，∴α＋β∈π，2π∴α＋β＝错误!规律方法探究利用公式Tα±β求角的步骤1求值：根据题设条件求角的某一三角函数值2确定所求角的范围范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解，根据范围找出角【训练3】α为锐角，且tanα＋β＝3，tanα－β＝2，那么角α等于π解析∵tan 2α＝tan[α＋β＋α－β]＝错误!＝错误!＝－1，∴2α＝－错误!＋π∈Z，∴α＝－错误!＋错误!π∈Z又∵α为锐角，∴α＝错误!－错误!＝错误!答案C1α，β为任意角，那么以下等式：①inα＋β＝in αco β＋co αin β；②coα＋β＝co αco β－in αin β；③co错误!＝－in α；④tanα－β＝错误!其中恒成立的等式有个个个个解析①②③恒成立答案Bα＋tan β＝2，tan α＋β＝4，那么tan αtan β＝解析∵tanα＋β＝错误!＝4，∴错误!＝4，∴tan αtan β＝错误!答案C＝错误!，那么tan α＝________解析tan α＝tan错误!＝错误!＝错误!答案错误!4求值：错误!＝________解析原式＝错误!＝tan45°－75°＝tan－30°＝－错误!答案－错误!5求值：tan 错误!＝________解析tan错误!＝－tan错误!＝－tan错误!＝－错误!＝－2＋错误!答案－2＋错误!只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式Tα±β的意识，就不难想到解题思路。
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两角和、差正弦公式
一、教学目标
1.知识技能目标：理解两角和、差的正弦公式的推导过程，熟记两角和与差的正弦公式，运用两角和与差的正弦公式，解决相关数学问题。
2.过程方法与目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3.情感态度价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦公式的灵活运用.
三、教学过程
（一）导入：
回顾两角和与差的余弦公式：
()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．
推导：
()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ
⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
sin cos cos sin αβαβ=+．
()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ
-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦特例：sin()cos 2
π
αα±=
3sin(
)cos 2
π
αα±=-
（二）例题讲解
例1、 利用和（差）公式求︒︒15sin 75sin 和的值。
232162sin 75**222244
o o o o o o =
+=+ｏ＝sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30232162
sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30**222244
o o o o o o o =-=-=
-=-另：sin15sin(9075)cos75o o o o =-=
例2、 已知
)sin()sin(),,2
(,43cos ),2,0(,32sin βαβαππ
ββπαα-+∈-=∈=
与求的值。
（又若βα,是第二象限角时）
2sin ,0,32αα∏⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭ 2
225cos 1sin 133αα⎛⎫∴=-=-=
⎪⎝⎭ 3cos ,,42ββ∏⎛⎫
=-∈∏ ⎪⎝⎭
2
237sin 1cos 144ββ⎛⎫∴=-=--= ⎪⎝⎭ 2357635
sin()sin cos sin **343412
cos αβαβαβ-+⎛⎫∴+=+=-+=
⎪⎝⎭
2357635
sin()sin cos sin **343412
cos αβαβαβ+⎛⎫-=-=--=-
⎪⎝⎭ 例3、 不查表求下列各式的值：
（1）sin 7cos37sin 37cos7o o o o - （2）
ππππ611
sin 1225cos 611cos 1225sin
-
解：1
sin(737)sin 302
o o o -=-=-
解：25112
sin(
)sin 12642
πππ-==
（3）
)
3
sin(
)3
sin(
απ
απ
-++
sin cos cos
sin sin
cos cos
sin 333
3
3131
cos sin cos sin 22223cos αααα
αααα
π
π
ππ
α
++-=++-=
（4）2cos10sin 20sin 70o o
o
-
()()
02cos10sin 3010) sin702cos10sin30cos10cos30sin10sin70 13
2cos10cos10sin1022 sin7033cos10sin102
2sin70 31
3cos10sin10)22
sin70 3sin 1060sin70
3
o o o o
o o o o o o o o
o o o
o o o o
o o o -=
--=
-+=+=+=+=
=－（（
例4、求证:
)
6
sin(
2sin 3cos απ
αα+=+
证明：2sin()2(sin cos cos sin )
66613
2(cos sin )22cos 3sin π
ααααα
π
απα+=+=+=+
例五、 已知
βαβαβαtan tan ,31)sin(,21)sin(则=-=
+=__________5_______
sin tan sin cos cos sin tan cos sin cos α
ααβ
αββαββ
==
（三）课堂练习：
在ABC ∆中，
)sin(,135
cos ,53cos B A B A +==
则的值为 (
A )
A 、6556
B 、6556-
C 、6516
D 、6516-
四、小结：本节我们学习了两角和与差正弦公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 五、板书设计： 1.两角和正弦公式
()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 推导过程
2.两角差正弦公式 例题
()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 练习。