九年级数学中考直线上的动态几何专题讲座

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九年级数学动态几何问题说课稿说课稿

九年级数学动态几何问题说课稿说课稿
九年级数学动态几何问题说课稿
动态几何问题说课稿说教材：动态几何问题，是近几年来各地中考的热点问题，涉及知识点较为广泛，速度、时间、路程的关系，三角形、四边形、相似形、圆等几何图形的基本性质，点、线、面、体之间的相互联系及位置关系，所考查的数学思维方法与知识包括数形结合，分类讨论，函数与方程等，要求学生能全面思维，在解决矛盾中发展，学会观察总结。

说教法：动态几何问题重点在于理解运动，要教会学生如何能在动中求静，寻求解决问题的方法与技巧，通过师生的互动，学生讨论，认真观察图形，结合已学知识，让学生发现规律，寻找解决问题的突破口，尤其注意相似的思维技巧，充分发挥学生解决问题的主观能动性，并能达到互相关心，加强合作，共同提高的目的。

教学过程中主要运用讨论法、讲练结合法。

说学法：学习动态型几何问题，如何发现图形中的各种联系、性质及规律是关键，学生要能认真观察图形，在动中求静，数形结合，分类讨论，多与同学交流讨论，发现规律，共同提高，学会总结，充分发挥自己的主观能动性，才能学有所得，解决问题。

2024河南中考数学二轮复习微专题动态直线问题的求解方法课件

− ≤<−
_____________，有两个整点时，

的取值范围为_____________.

,
（5）①直线 = − 2 + 1 恒过点______.
②当直线 = − 2 + 1 与函数 = + 1 的图象有两个交点时，的取

− < <
值范围为____________.
中画三条值不同的直线 .
[答案] 图略.
例2 一题多问在平面直角坐标系中，函数 = + 1
的图象如图所示.
1
（1）当直线 = + 与直线重合时，的值为__；
当直线 = − + 与直线重合时，的值为
−
____.
≥
（2）①当直线 = + 与射线有交点时，的取值范围为_______.

−
时，的值为____；当直线

= −
= − 经过点 −3,3 时，

−
的值为____.

③当直线 = − 与函数 = + 1 的图象围成三角形，且该三角形内
（不含边界）有一个整点（横、纵坐标均为整数的点）时，的取值范围为

− ≤<−
[答案] 点的横坐标为 − .
（3）若点的纵坐标满足 −1 < ≤ 2 ，请直接写出相应的的取值范
围．
[答案] − ≤ <

− .

3.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在

初中数学专题讲座精编中考动态几何问题

中考动态几何问题动态几何问题通常包括:（1）动点;（2）动直线;（3）动型问题。

通过这些问题，有效的区分学生的档次，在做这类题前一定要基本知识扎实，“化动为静”，通常前两问较简单，有时是“静态”的题，所以一定要认真冷静，有时又需要用数学方法（分类讨论数形结合等），因此一定要多多训练，独立思考，充满信心。

练习:（注：题目难度按照动态几何题目难度编排，并非中考试卷难度） 1.（2000吉林省）如图，在矩形ABCD 中，BC=acm ，AB=bcm ，a>b,且a,b 是方程84231(5)5x x x x x -++=++的两个根,P 是BC 上一动点,动点Q 在PC 或其延长线上，BP=PQ ，以PQ为一边的正方形为PQRS ，点P 从B 点开始沿射线BC 方向运动，设BP=x 。

cm ，正方形PQRS与矩形ABCD 重叠部分的面积为ycm 2． (1)求a 和b ；(2)分别求出0≤x ≤2和2≤x ≤4时，y 与x 之间的函数关系式．2.（2001吉林省）如图，A ，B 是直线l 的两点,AB ＝4厘米,过l 外一点C 作CD//l ，射线BC 与l 所成的锐角∠l ＝60°，线段BC= 2厘米．动点P,Q 分别从B ，C 同时出发，P 以每秒1厘米的速度沿由B 向C 的方向运动，Q 以每秒2厘米的速度沿由C 向D 的方向运动．设P ，Q 运动的时间为t （秒），当t ＞2时，PA 交CD 于E ．（1）用含t 的代数式分别表示CE 和QE 的长；（2）求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（3）当QE 恰好平分△APQ 的面积时，QE 的长是多少厘米？CPEQD 13. （江西2001）如图，正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆，BC ＝2cm ．现有两点E 、F ，分别从点B 、点A 同时出发，点E 沿线段BA 以1㎝/s 的速度向点A 运动，点F 沿折线A —D —C 以2㎝/s 的速度向点C 运动．设点E 离开点B 的时间为t （s ）． (l)当t 为何值时，线段EF 与BC 平行？(2)设1＜t ＜2，当t 为何值时，EF 与半圆相切？(3)当1≤t ＜2，设EF 与AC 相交于点P ，问点E 、F 运动时，点P 的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP ：PC 的值．CABD4. (2001湖南长沙市)已知：Rt △AOC 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3厘米，OB ＝4厘米．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．设P 、Q 分别为AB 边、OB 边上的动点，它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速移动，移动的速度都为1厘米/秒．设P 、Q 移动时间为t 秒（40≤≤t ）.（l ）过点P 作PM ⊥OA 于M ．证明:ABAPBO PM AO AM ==，并求出P 点的坐标（用t 表示）．（2）求△OPQ 的面积S （厘米2）与移动时间t （秒）之间的函数关系式；当t 为何值时，S 有最大值，并求出S 的最大值．（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）①试证明无论t 为何值，△OPQ 不可能为正三角形；②若点P 的移动速度不变，试改变点Q 的运动速度；使△OPQ 为正三角形，求出点Q 的运动速度和此时的t 值．yx5.（2002上海市）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ．探究：设A 、P 两点间的距离为x ．（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（1）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的取值范围；（3）当点P 在线段AC 上滑动时，△P CQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用）6.（2000吉林省）如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰△PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S 的值；（2）当t=5秒时，求S 的值；（3）当5秒≤t ≤8秒时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．A B C D A B CD A B C D图2图1图37.（2002年吉林省）如图，菱形OABC的边长为4㎝，∠AOC=60°，动点P从O出发，以每秒1㎝的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2s后。

中考数学复习专题讲：动点型问题(含答案)

中考数学复习专题讲座：动点型问题（建立动点问题的函数解析式（或函数图像）、动态几何型压轴题）一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.（一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像）例1 （2012•嘉兴）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP 长为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路分析：根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式，然后对x从0到2a+2a时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．解：设动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，∵正方形ABCD的边长为a，∴BD=a，则当0≤x＜a时，y=x，当a≤x＜（1+）a时，y=，当a（1+）≤x＜a（2+）时，y=，当a（2+）≤x≤a（2+2）时，y=a（2+2）﹣x，结合函数解析式可以得出第2，3段函数解析式不同，得出A选项一定错误，根据当a≤x＜（1+）a时，函数图象被P在BD中点时，分为对称的两部分，故B选项错误，再利用第4段函数为一次函数得出，故C选项一定错误，故只有D符合要求，故选：D．点评：此题主要考查了动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．对应训练1．（2012•内江）如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．（二）应用比例式建立函数解析式（或函数图像）例2 （2012•攀枝花）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC 运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E 运动秒x 时，△EOF 的面积为y （平方单位），则y 关于x 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．思路分析：首先根据点D 的坐标求得点A 的坐标，从而求得线段OA 和线段OC 的长，然后根据运动时间即可判断三角形EOF 的面积的变化情况．解：∵D （5，4），AD=2． ∴OC=5，CD=4 OA=5 ∴运动x 秒（x ＜5）时，OE=OF=x ，作EH ⊥OC 于H ，AG ⊥OC 于点G ， ∴EH ∥AG ∴△EHO ∽△AGO即：∴EH=x∴S △EOF =OF •EH=×x ×x=x 2，故A 、B 选项错误；当点F 运动到点C 时，点E 运动到点A ，此时点F 停止运动，点E 在AD 上运动，△EOF 的面积不变，点在DC 上运动时，如右图， EF=11﹣x ，OC=5∴S △EOF =OC •CE=×（11﹣x ）×5=﹣x+是一次函数，故C 正确，故选C ．点评：本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据动点确定分段函数的图象．对应训练2．（2012•贵港）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．（三）应用求图形面积的方法建立函数关系式例3 （2012•桂林）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．思路分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件；（2）利用S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9 即可得到y与x之间的函数关系式；（3）依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面积相等得到S△ADF=S△BDE从而得到S△EDF=S△EAF+S△ADB即可确定两个变量之间的函数关系式．解：（1）证明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°∴AD=BD=DC （2分）∵AE=CF∴△AED≌△CFD（2）解：依题意有：FC=AE=x，∵△AED≌△CFD∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9∴∴；（3）解：依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°∴∠DAF=∠DBE=135°∴△ADF≌△BDE∴S△ADF=S△BDE∴S△EDF=S△EAF+S△ADB=∴．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大．对应训练3．（2012•桂林）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点二：动态几何型压轴题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

中考数学动态几何问题课件 (共37张PPT)

2 2
1
1
S△BCD= BD· CF= × 4× - x 2 + 3x =-x2+6x,
2 2 2
1
1
1
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x=-(x-4)2+16(2<x<6), 因为a=-1<0,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.
难点突破
6、在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB 相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F. (1)如图①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长； (2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.
∴ ∠BEC+ ∠AEN的值不变
难点突破
难点突破 5、如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的 E点处，折痕的一端G点在边BC上． (1)如图①，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长； (2)如图②，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时． ①求证：EF＝EG；②求AF的长；
由折叠知△A1DE≌△ADE, 所以A1D=AD=1.
由 A1B+A1D≥BD,得 A1B≥BD-A1D= 5-1. 故 A1B 长的最小值是 5-1.
难点突破
2、如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度
运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ面积的最小值为( C )

2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——动点问题课件

6−5
∴
=

4

Rt△ADH中，AD=5，tanA= = 3
6−5
∴y与x的函数关系式为
=
∴DH=4，AH=3.在Rt△EDH中，DH=4，

25
EH=x-3，
( 6 ≤≤35)
∴DE²=DH²＋EH²=4²＋(x-3)²=x²-6x＋
4
例题在△ABC中,AC=25,AB =35,tanA=3,D为AC边上的一点，且AD=5 ,E,F都为AB边上的动
所以结合已知条件与所给图形进行认真分析是非常重要的，
当然这样的分析是建立在熟练运用常见图形的几何性质之上
的.
（2）类似于例题这样的几何计算型的压轴题，同学们
要切实体会解直角三角形与相似三角形在计算中所发挥的
重要作用.
（3）对于类似于例题这样的动态几何，应时刻谨记
“动静结合”、“数形结合”的处理原则，以及“分类
∴∠EDF＋∠ADF=90°，即
∠ADE=90°.在Rt△ADE中，AD=5，

4
tanA= = 3
4
20
5
25
∴DE=3AD= 3 ，AE=3AD= 3
∴△EDF∽△EAD，

∴ =
∴DE²=AE·EF=x·（x一y）=x²-xy.∴x²-6x＋25=x²xy
（2）如下图，作DH⊥AE于点H，在
目录
01
研究背景
03
典型例题探究
动态几何研究重要性
总结分析动态问题处理技巧
05
02
知识脉络梳理
初中阶段几何知识梳理
04 小试能手
技巧，
挑战自我
展

2020年中考数学复习初中数学动态几何问题 (29张PPT)

ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连结MN，设点D运动的时间为 t.
(3)若△DMN是等腰三角形，求t的值．
[解析] (3)根据等腰三角形的腰的情况进行分类讨论，从而求出t的值．
初中数学动态几何问题
动态几何问题是指以几何知识和图形为背景，蕴涵一些运动变化的几何元素，主要研究几何图形在运动中所遵循的规律，如图形的形状、位置、数量关系等．
就运动对象而言，有点动(点在线段或弧线上运动)、线动(直线或线段的平移、旋转)和面动(部分图形的平移、旋转、翻折)等，而且在运动过程中大多是动中有静，动静结合．
(3)根据题意可知，MD＝12AD，DN＝12DC，MN＝12AC＝3.
i)当MD＝MN＝3时，△DMN为等腰三角形，此时AD＝AC＝6，
∴t＝6；
ii)当MD＝DN时，AD＝DC，
1 过D作DH⊥AC交AC于H，则AH＝2AC＝3， ∵AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10，
∵cosA＝AAHD＝AACB＝35，
例 2 已知：如图①，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴正半轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 y＝x－2 经过 A、C 两点，且 AB＝2.
(2)若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于点 E、D，同时动点 P 从点 B 出发，沿 BO 方向以每秒 2 个单位的速度运动．当点 P 运动到原点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动，连结
位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD 的中点，连结MN，设点D运动的时间为t.

中考数学复习课件第42课动态几何型问题

10.］
②10±2 5［如解图 7，过圆心 M 的直线记为 l1，与圆相切的两条直线分别记为 l2，l3，设 l2 与⊙M 切于点 E，分别交 x 轴、y 轴于点 H，G.过点 M 作 MF∥y 轴交 l2 于点 F.
则可得 tan∠EFM＝tan∠OGH＝OH＝1. OG 2
∴EF
＝ tan
∠MEEF M ＝21＝4.∴M F ＝
2 ∵CE 是高，∴∠K＝∠KCE＝∠ACE＝∠CAE＝45°， ∴∠A CK ＝90°，∴∠A H B ＝∠A CK＝90°，
∴AC＝AK·cos 45°＝4 2× 22＝4.］
(2)∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH ，
∴DH＝CH＝CD＝ 2 ＝1，∴CH ＝DH＝1AC＝1，AH＝BH＝AC－CH
(解图 2)
(2)如解图 2，过点 Q 作 QF⊥AO 于点 F.∵AQ＝OP＝t，∴AP＝3－t.
由△AQF∽△ABO，得QBOF＝AAQB，
∴QF＝t .∴QF＝4t.∴S＝1(3－t)·4t，∴S＝－2t2＋6t.
45
5
2
5
55
(3)①四边形 QBED 能成为直角梯形．
Ⅰ.如解图 3，当 DE∥QB 时，
F
12b，0
.
∴AF＝12b－2，AE＝－4＋b.
∴S＝12AF·AE＝12
1b－2 2
·(－4＋b)＝1b2－2b＋4. 4
③当 6＜b≤12 时，直线扫过矩形 ABCD 的面积 S 为直角梯形 DHGA 的面积(如解图 10)．
(解图 10)
在
y＝－2x＋b 中，令 y＝0,
得
x＝12b，则
综合性很强，难度较大．
(2)解答本题的关键是将直线移动分为两种情况：0＜x＜3和3≤x≤2.随时 22

2022中考数学压轴题之动态几何专题《动态几何问题探究》PPT讲义 - 副本

从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CA边向
点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，第几秒时
PQ∥AB?
A
（陕西省咸阳市中考试题）
Q
B
P
C
图9—2
分析：如图9—2，假设运动开始后t秒时，PQ∥AB根据这时图形的特殊位置，利用平行线分线段成比例定理求解．
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数。
中考动态几何问题探索
线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生面动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决此类题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的.
2、图形旋转型
例7（临沂）
如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板
DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为
DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。
⑴在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①证明DM＝DN；②在这一过程中，
B P RC （图2）
D
变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边 A
E
形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相
O
似？
B
C
D
（备用图）
1
中考动态几何问题探索
（眉山）、如图：∠MON = 90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1。

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直线上的动态几何专题讲座
【学习目标】
1．探究直线上的动态几何问题；
2．熟练掌握动点形成的等腰三角形的处理方法；【例题精讲】重难点一：直线旋转
例1 如图，已知点P （2m －1，6m －5）在第一象限角平分线OC 上，一直角顶点P 在OC 上，角两边与x 轴，y 轴分别交于A 点、B 点．（1）求点P 的坐标；
（2）当∠APB 绕着P 点旋转时，OA +OB 的长是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求其值．
例2 在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A （3，0）、B （0，4），以点A 为旋转中心，把△ABD 顺时针旋转，得△ACD ，记旋转角为α，∠ABO 为β．（1）如图①，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；（2）如图②，当旋转后满足BC ∥x 轴时，求α与β之间的数量关系；（3）当旋转后满足∠AOD =β时，求直线CD 的解析式．
练习：如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线y
x 经过点A ，作AB ⊥x 轴于点B ，将△ABO 绕点B 顺时针旋转60°得到△BCD ，若点B 的坐标为（2，0）则点C 的坐标为__________．
重难点二：直线上动点所形成的直角三角形
例3如图，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是两直线y=2x＋6上的一点，若△APD是等腰直角三角形．
（1）求点D的坐标；
（2）直线y=2x＋6向右平移6个单位后，在该直线上，是否存在点D，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由．
练习：如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），
C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段
PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于
点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q
的坐标为．
重难点三：直线上动点所形成的等腰三角形
例4 在坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2）．
（1）在坐标轴上是否存在点P使△ABP为等腰三角形？（2）在直线y=2x+3上是否存在点Q 使QA=QB？
练习：如图，直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B，P为线段AB 上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C，过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点
M ，交直线x =1于点N ．
（1）当点C 在第一象限时，求证：△OPM ≌△PCN ；
（2）当点C 在第一象限时，设AP 长为m ，四边形POBC 的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（3）当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x =1上移动，△PBC 是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC 成为等腰三角形的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由．
重难点四：综合探究直线里的动态几何
例5 （面积问题）如图，一次函数y =
x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt △ABC ，且使∠ABC =30°若在第二象限内有一点P （m
，
，使得△APB 与△ABC 面积相等，求m 的值．
例6（动而不变）如图1所示，直线AB 交x 轴于点A (a ，0)，交y 轴于点B(0，b )，且a 、b 满足()()2
2
4-++a b a =0．
（1）如图1，若C 的坐标为(－1，0)，且AH ⊥BC 于点H ，AH 交OB 于点P ，试求点P 的坐标．
（2）如图2，连接OH ，求证∠OHP =45°．
（3）如图3，若点D 为AB 的中点，点M 位y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子S △BDM －S △ADN 的值是否发生改变，若改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
练习：如图①l 1：y =3x +3与x 轴交于B 点，与l 2交于y 轴上一点A ，且l 2与x 轴的交点为C （1，0）．
（1）求证：∠ABC =∠ACB ．
（2）如图②，过x 轴上一点D （－3，0）作DE ⊥AC 于E ，DE 交y 轴于F 点，交AB 于G 点，求G 点的坐标．
（3）如图③，将△ABC 沿x 轴向左平移，AC 边与y 轴交于一点P （P 不同于A ，C 两点），过P 点作一直线与AB 的延长线交于Q 点，与x 轴交于M 点，且CP =BQ ，在△ABC 平移的过程中，线段OM 的长度是否发生变化？若不变，求其长度；若变化，确定其变化范围．
例
7 在直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+
≠的图像与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ，且使得△AOB 的面积值等于︱OA ︱+︱OB ︱+3．（
1）用b 表示k ．（2）求△AOB 面积的最小值．
练习：
已知一次函数的图像过点P （1，4），且分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，当△AOB 面积最小时，求k 、b ．
例8：如图，已知射线AB 与x 轴和y 轴分别交于点A （－3，0）和点B （0，33）．动点P 从点A 出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向右作匀速运动，过点P 作PQ ⊥AB 于Q ．设运动时间为t 秒，且第一象限内有点N (n ，n －2)．（1）当n =3时，若PQ 恰好经过点N ，求t 的值；（2）连接BP ，记△BPQ 面积为S △BPQ ，△ABP 面积为S △ABP ． ①当S △BPQ ≤1
2
S △ABP 时，求t 的取值范围；
② 当S △BPQ =13S △ABP 时，记Q (a ，b )，若(a －n )2＋(b －n ＋2)2
取得最小值时，求直线QN 的解
析式．。