北京市海淀区2019-2020学年第一学期期末高三数学试题及答案
2019-2020学年人教A版北京市通州区高三(上)期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高三上学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣2＜x＜﹣1} 2．在复平面内，复数（其中i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知点A（2，a）为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则|AF|等于（）A．4 B．3 C．D．24．若x＞y＞0，则下列各式中一定正确的是（）A．B．tan x＞tan yC．D．lnx＞lny5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为（）A．B．C．D．6．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A．24 B．12 C．8 D．67．对于向量，，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为﹣1；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量＝（3，﹣2），＝（1，m），若⊥（），则m＝．10．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，那么数列{a n}的前n项和S n等于．11．已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为．12．在△ABC中，a＝3，，∠B＝2∠A，则cos B＝．13．已知a，b，a+m均为大于0的实数，给出下列五个论断：①a＞b，②a＜b，③m＞0，④m＜0，⑤．以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题．14．如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l，花园中间有一条公路AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA．规划要求：道路PB，QA不穿过花园．已知OC⊥l，BD ⊥l（C、D为垂足），测得OC＝0.9，BD＝1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m 元/千米．在规划要求下，修建道路总费用的最小值为元．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H 学校比例等级优秀8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%良好37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%及格22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%不及格33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠SAD＝∠DAB＝90°，SA＝3，SB＝5，AB＝4，BC＝2，AD＝1．（Ⅰ）求证：AB⊥平面SAD；（Ⅱ）求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点E，F分别为线段BC，SB上的一点，若平面AEF∥平面SCD，求三棱锥B﹣AEF 的体积．18．已知椭圆C ：（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（4，0），点N（0，n），若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．19．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣零点的个数．20．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a n}满足如下条件：①a n∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜a m．若数列{b n}满足b n＝，其中n＝1，2，…，m，则称{b n}为{a n}的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n}为{a n}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞b m；（Ⅲ）已知数列{a n}存在“伴随数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求m的最大值．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣2＜x＜﹣1} 【分析】根据题意，由并集的定义分析可得答案．解：根据题意，集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}；故选：A．2．在复平面内，复数（其中i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．解：∵复数＝＝＝，∴复数对应的点的坐标是（，）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A．3．已知点A（2，a）为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则|AF|等于（）A．4 B．3 C．D．2【分析】由题意可得抛物线的焦点和准线，而|AF|等于点A到准线的距离d＝|2﹣（﹣1）|，计算可得．解：由题意可得抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线的方程为x＝﹣1，由抛物线的定义可知|AF|等于点A到准线的距离d，而d＝|2﹣（﹣1）|＝3，故|AF|＝3，故选：B．4．若x＞y＞0，则下列各式中一定正确的是（）A．B．tan x＞tan yC．D．lnx＞lny【分析】A．利用不等式的基本性质即可判断出正误．B．利用三角函数的单调性周期性即可判断出正误．C．利用指数函数的单调性即可判断出正误．D．利用对数函数的单调性即可判断出正误．解：A．∵x＞y＞0，∴＞，因此不正确；B．取x＝π+，y＝，满足x＞y＞0，但是tan x＜tan y，因此不正确；C．由x＞y＞0，∴＜，因此不正确；D．由x＞y＞0，∴lnx＞lny，因此正确．故选：D．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用公式的应用求出结果解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以：AB＝．故选：C．6．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A．24 B．12 C．8 D．6【分析】根据题意，分3步依次分析甲、乙和其他2人的站法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分3步进行分析：①，老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，则甲的站法有2种，乙的站法有2种，②，乙同学与老师相邻，则乙的站法有2种，③，将剩下的2人全排列，安排在剩下的2个位置，有A22＝2种情况，则不同站法有2×2×2＝8种；故选：C．7．对于向量，，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】举例说明由不能得到；反之成立．再由充分必要条件的判定得答案．解：当，且与的夹角为120°时，有，故由，不能得到；反之，由，能够得到．∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．8．关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为﹣1；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1，e x﹣1＞0．①令f（x）＝0，可得x2+ax﹣1＝0，△＞0，函数恒有两个零点，可得两个零点之积，即可判断出正误；②f′（x）＝[x2+（2+a）x+a﹣1]e x﹣1．令g（x）＝x2+（2+a）x+a﹣1，△＞0．可得方程x2+（2+a）x+a﹣1＝0，有两个不相等的实数根．可得其单调性极值，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为a﹣1，即可判断出正误；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，可得4﹣2（2+a）+a﹣1＝0，解得a，即可判断出正误．解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1，e x﹣1＞0．①令f（x）＝0，则x2+ax﹣1＝0，△＝a2+4＞0，则函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1，正确；②f′（x）＝[x2+（2+a）x+a﹣1]e x﹣1．令g（x）＝x2+（2+a）x+a﹣1，△＝（2+a）2﹣4（a﹣1）＝a2+8＞0．∴方程x2+（2+a）x+a﹣1＝0，有两个不相等的实数根．又e x﹣1＞0，∴函数f（x）有两个极值点x1，x2，不妨设x1＜x2，则函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．∴函数恒有两个极值点且两个极值点之积为a﹣1，因此②不正确；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则4﹣2（2+a）+a﹣1＝0，解得a＝﹣1．∴f′（x）＝（x2+x﹣2）e x﹣1＝（x+2）（x﹣1）e x﹣1．可得x＝1时函数f（x）取得极小值，f（1）＝（1﹣1﹣1）e0＝﹣1．则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有2个．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量＝（3，﹣2），＝（1，m），若⊥（），则m＝﹣5 ．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出m的值．解：向量＝（3，﹣2），＝（1，m），则﹣＝（2，﹣m﹣2），又⊥（），所以•（﹣）＝0，即3×2﹣2×（﹣m﹣2）＝0，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．10．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，那么数列{a n}的前n项和S n等于．【分析】设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得公差d，由等差数列的求和公式，计算可得所求和．解：在公差d不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，可得a32＝a1a7，即（2+2d）2＝2（2+6d），解得d＝1，（0舍去），则数列{a n}的前n项和S n＝2n+n（n﹣1）＝n2+n．故答案为：n2+n．11．已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为x2﹣y2＝1 ．【分析】设双曲线的标准方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），由题意可得c，结合渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的标准方程．解：设双曲线的标准方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），由题意可得c＝＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，两条渐近线互相垂直，可得﹣＝﹣1，解得a＝b＝1，则双曲线的标准方程为x2﹣y2＝1，故答案为：x2﹣y2＝1．12．在△ABC中，a＝3，，∠B＝2∠A，则cos B＝．【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos A的值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可求解cos B的值．解：∵a＝3，，∠B＝2∠A，∴由正弦定理，可得＝＝，∴解得cos A＝，∴cos B＝cos2A＝2cos2A﹣1＝．故答案为：．13．已知a，b，a+m均为大于0的实数，给出下列五个论断：①a＞b，②a＜b，③m＞0，④m＜0，⑤．以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）．【分析】利用不等式的基本性质可得由①③⇒⑤．（答案不唯一）．解：因为：若a，b满足a＞b，b＞0，则a＞b，m＞0，⇒﹣＝＝＞0；即由①③⇒⑤．（答案不唯一）．故答案为：①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）14．如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l，花园中间有一条公路AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA．规划要求：道路PB，QA不穿过花园．已知OC⊥l，BD ⊥l（C、D为垂足），测得OC＝0.9，BD＝1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m 元/千米．在规划要求下，修建道路总费用的最小值为 2.1m元．【分析】根据题意找到对应的点P，Q，利用三角形相似计算即可解：根据题意，因为道路PB，QA不穿过花园，所以作AQ⊥l，垂足为Q，此时AQ最短，过B作圆O的切线BP交l于P，此时PB最短，如图：根据平行线段成比例可得AQ＝0.6，即有AQ为△BMD的中位线，所以BM＝2AB＝2，则在Rt△BMD中，DM＝1.6，又因为△PBD∽△BMD，所以PB＝＝＝1.5，故修建道路总费用的最小值为1.5m+0.6m＝2.1m，故答案为：2.1m．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（I）先化简f（x），根据周期计算公式即可得出T．（II）利用三角函数的单调性即可得出．解：＝，（Ⅰ）f（x）的最小正周期T＝，（Ⅱ）因为，所以，所以当，即x＝0时，f（x）取得最小值0；当，即时，f（x）取得最大值．16．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H 学校比例等级优秀8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%良好37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%及格22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%不及格33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）【分析】（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，即可得出从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．利用超几何分布列即可得出随机变量X的分布列．（Ⅲ）经过计算即可得出S12与S22的关系．解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．，所以随机变量X的分布列为：X0 1 2P（Ⅲ）S12＝S22．17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠SAD＝∠DAB＝90°，SA＝3，SB＝5，AB＝4，BC＝2，AD＝1．（Ⅰ）求证：AB⊥平面SAD；（Ⅱ）求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点E，F分别为线段BC，SB上的一点，若平面AEF∥平面SCD，求三棱锥B﹣AEF 的体积．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥SA，AB⊥AD，然后证明AB⊥平面SAD．（Ⅱ）建立如图直角坐标系，求出平面SAB的法向量，平面SDC的法向量，通过向量的数量积求解即可．（Ⅲ）利用V B﹣AEF＝V F﹣ABE，转化求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△SAB中，因为SA＝3，AB＝4，SB＝5，所以AB⊥SA．又因为∠DAB＝90°所以AB⊥AD，因为SA∩AD＝A所以AB⊥平面SAD．（Ⅱ）解：因为SA⊥AD，AB⊥SA，AB⊥AD．建立如图直角坐标系则A（0，0，0）B（0，4，0），C（2，4，0），D（1，0，0），S（0，0，3）．平面SAB的法向量为．设平面SDC的法向量为所以有即，令x＝1所以平面SDC的法向量为，所以．（Ⅲ）解：因为平面AEF∥平面SCD，平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面SCD∩平面ABCD＝CD，所以AE∥CD，平面AEF∩平面SBC＝EF，平面SCD∩平面SBC＝SC，所以FE∥SC，由AE∥CD，AD∥BC得四边形AEDC为平行四边形．所以E为BC中点．又FE∥SC，所以F为SB中点，所以F到平面ABE的距离为，又△ABE的面积为2，所以V B﹣AEF＝V F﹣ABE＝1．18．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（4，0），点N（0，n），若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．【分析】（Ⅰ）由椭圆的长轴长，结合离心率求出a，b，然后求解椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：设点P（x0，y0），则，PN的中点，通过，结合函数的值域为[﹣12，20]，求解n的范围即可．法二：设点P（x0，y0），则．设PN的中点为Q，利用|MP|＝|MN|，通过函数的值域为[﹣12，20]，求解即可．解：（Ⅰ）由椭圆的长轴长2a＝4，得a＝2又离心率，所以所以b2＝a2﹣c2＝2．所以椭圆C的方程为；．（Ⅱ）法一：设点P（x0，y0），则所以PN的中点，，．因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ⊥NP，则，即．又因为，所以所以．函数的值域为[﹣12，20]所以0≤n2≤20所以．法二：设点P（x0，y0），则．设PN的中点为Q因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ是线段PN的垂直平分线，所以|MP|＝|MN|，即，所以．函数的值域为[﹣12，20]，所以0≤n2≤20．所以．19．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣零点的个数．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再求出f（0），利用直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）由为偶函数，g（0）＝1，把求g（x）在x∈R上零点个数，转化为求g（x）在x∈（0，+∞）上零点个数即可．利用导数研究函数单调性，再由函数零点存在性定理判定．解：（Ⅰ）f'（x）＝x cos x，∴f'（0）＝0．又f（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（Ⅱ）∵为偶函数，g（0）＝1，∴要求g（x）在x∈R上零点个数，只需求g（x）在x∈（0，+∞）上零点个数即可．，令g'（x）＝0，得，k ∈N，∴g（x ）在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增k∈N*，列表得：x 0 …g'（x）0 + 0 ﹣0 + 0 ﹣0 …g （x ）1 ↗极大值↘极小值↗极大值↘极小值…由上表可以看出g（x ）在（k∈N ）处取得极大值，在（k∈N）处取得极小值，又；．当k∈N*且k≥1时，，（或，）．∴g（x）在x∈（0，+∞）上只有一个零点．故函数零点的个数为2．20．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a n}满足如下条件：①a n∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜a m．若数列{b n}满足b n＝，其中n＝1，2，…，m，则称{b n}为{a n}的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n}为{a n}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞b m；（Ⅲ）已知数列{a n}存在“伴随数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题目中“伴随数列”的定义得，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）只要用作差法证明{b n}的单调性即可，（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有，因为，b1＞b2＞…＞b m．因为，所以a n﹣a n﹣1≥m﹣1，又a m﹣a1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m﹣1）＝（m﹣1）2．所以2049﹣1≥（m﹣1）2，即可解得m的最大值．解：（Ⅰ）数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．因为，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）证明：因为，1≤n≤m﹣1，n∈N*，又因为a1＜a2＜…＜a m，所以有a n﹣a n+1＜0，所以，所以b1＞b2＞…＞b m成立．（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有，因为，b1＞b2＞…＞b m．所以，所以，所以，因为，所以a n﹣a n﹣1≥m﹣1，又a m﹣a1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m﹣1）＝（m﹣1）2．所以2049﹣1≥（m﹣1）2所以（m﹣1）2≤2048，所以m≤46，又，所以m≤33，例如：a n＝64n﹣63（1≤n≤33），满足题意，所以，m的最大值是33．。
北京市海淀区2022-2023学年高三上学期1月期末练习 数学试题含答案
海淀区2022—2023学年第一学期期末练习高三数学2023.01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}23A x x =-££，{}0B x x =>，若A B =（A ）[2,3]-（B ）[0,3]（C ）(0,)+¥（D ）[2,)-+¥（2）在复平面内，复数12i-对应的点在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）已知函数1()1f x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（A ）11(,)42（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,3)（4）已知13lg5,sin ,27a b c p===，则A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.a c b<<（5）若圆222220x y x ay a +--+=截直线210x y -+=所得弦长为2，则a =（A ）－1（B ）0（C ）1（D ）2（6）已知{}n a 为等差数列，13a =，4610a a +=-.若数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，（n ==1，2，…），记{}n b 的前n 项和为n S ，则8S =（A ）－32（B ）－80（C ）－192（D ）－224（7）某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲、乙两组，每组3个班，则高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲组的概率是（A ）13（B ）14（C ）15（D ）16（8）设a ，b 是两个不同的平面，直线m a Ì，则“对b 内的任意直线l ，都有m l ^”是“a ^b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知函数()cos 2f x x ==cos2x 在区间[,]()3t t t R p+Î上的最大值为()M t ，则()M t 的最小值为（A ）2（B ）2-（C ）12（D ）12-（10）在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为450的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为T ，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则（A ）12,2T e p ==（B ）2,2T e p ==（C ）14,2T e p ==（D ）4,2T e p ==第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市海淀区2021-2022学年第一学期期末考试高三数学试题及答案
海淀区2021-2022学年第一学期期末练习高三数学 2022. 01本试卷共6页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,0,1,2},{|(2)0}A B x x x =−=−<，则AB =(A) ∅ (B) {0} (C) {1} (D) {01}，（2）抛物线22x y =的准线方程为(A) 1x =− (B) 1y =− (C) 12x =− (D) 12y =−（3）复数52i+的虚部为 (A) 2− (B) 2 (C) 1− (D) 1（4）在421()x x−的展开式中，x 的系数为(A) 4− (B) 4 (C) 6− (D) 6 （5）已知角α的终边在第三象限，且tan 2=α，则sin cos −=αα(A) 1− (B) 1 (C) 5 (D)5（6）已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和. 则“43a a >”是“对于任意*N n ∈且3n ≠，3n S S >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）若函数πsin(π)6y x =−在[0,]m 上单调递增，则m 的最大值为(A) 13(B) 12 (C) 23 (D) 1（8）已知圆C 过点(1,2),(1,0)A B −，则圆心C 到原点距离的最小值为(A) 12(B) 2 (C) 1 (D)（9）如图，,A B 是两个形状相同的杯子，且B 杯高度是A 杯高度的34，则B 杯容积与A 杯容积之比最接近的是 （A ）1:3 （B ）2:5 （C ）3:5 （D ）3:4（10）已知函数()2x f x =，()log a g x x =. 若对于()f x 图象上的任意一点P ，在()g x 的图象上总存在一点Q ，满足OP OQ ⊥，且||||OP OQ =，则实数a = (A)14 (B)12(C)2 (D)4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
北京市西城区2019~2020学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。
第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。
2020北京海淀高一(上)期末试卷数学含答案
11．（4 分）已知 OA (1, 0) ， AB (1, 2) ， AC (1, 1) ，则点 B 的坐标为 ， CB 的坐标为 ．
12．（4 分）函数 f (x) 2x 2 的零点个数为 ，不等式 f (x) 0 的解集为 ． x
13．（4 分）某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在 20 世纪最后 5 年间毕业的校
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yi ) | i 1 ，2， ， N}(N N ) ，寻找函数 y f (x) 去拟合数据点集 S ，就是寻找合适的函数，使其图象尽可能 地反映数据点集中元素位置的分布趋势． （Ⅰ）下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法对应的序号） A ．对于任意的数据点集 S ，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点 B ．存在数据点集 S ，不存在函数使其图象经过每一个数据点 C ．对于任意的数据点集 S ，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧 D ．拟合函数的图象所经过的数据点集 S 中元素个数越多，拟合的效果越好 （Ⅱ）衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度 ”，用以衡量数据点集在拟合函数 图象周围的分布情况．如图所示，对于数据点集{P1 ， P2 ， P3} ，在如下的两种“偏置度 ”的定义中，使得函数 f1(x) 的偏置度大于函数 f2 (x) 的偏置度的序号为 ；
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2019-2020 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4 分）设集合 A {x | 1 x 2} ， B {0 ，1， 2} ，则 A B (
2022-2023学年北京市海淀区北京一零一中学高三上学期统考(二)数学试卷含详解
所以①③错误，
因为 ，
所以
（其中 ）
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ，最大值为14，
所以②正确，④错误，
故选：A
二､填空题共5小题.
11.设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】设 与 的夹角为 ，依题意可得 ，再根据数量积的定义求出 ，最后根据数量积的运算律计算可得．
（1）若 ，直接写出 的值；
（2）若 ，求 的最大值；
（3）若 ，求 最小值
北京一零一中2022-2023学年度第一学期高三数学统考二
一､选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.若集合 ， 则下列结论中正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意首先求得集合B，然后逐一考查所给选项是否正确即可．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积．
17.已知函数 ， .
（1） 的周期是 ，求 ，并求 的解集；
（2）已知 ， ， ， ，求 的值域.
18.已知函数 .
（1）当 时，求曲线 点 处的切线方程；
（2）求证：当 时，函数 存在极值；
（3）若函数 在区间 上有零点，求 的取值范围.
19.记 为数列 的前n项和．已知 ．
A. B. C. D.
9.设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 （）
A. B. C. D.
10.在 中， . 为 所在平面内的动点，且 ，若 ，则给出下面四个结论：
① 的最小值为 ；② 的最小值为 ；
2021北京高三数学上学期期末汇编：概率(教师版)(2)
2021北京高三数学上学期期末汇编：概率一．选择题（共1小题）1．（2020秋•海淀区校级期末）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率()A．310B．13C．38D．29二．填空题（共1小题）2．（2020秋•朝阳区期末）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据《周髀算经》记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五．一般地，像(3，4，5)这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组．若从(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，(9，12，15)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)，(12，16，20)这些勾股数组中随机抽取1组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为．三．解答题（共7小题）3．（2020秋•通州区期末）某企业为了解职工A款APP和B款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如表：假设所有职工对两款APP是否使用相互独立．（Ⅰ）分别估计该企业男职工使用A款APP的概率、该企业女职工使用A款APP的概率；（Ⅰ）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A款APP的人数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅰ）据电商行业发布的市场分析报告显示，A款APP的用户中男性占52.04%、女性占47.96%；B款APP的用户中男性占38.92%、女性占61.08%．试分析该企业职工使用A款APP的男、女用户占比情况和使用B款APP 的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符．4．（2020秋•顺义区期末）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：注：1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值； 2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率． （Ⅰ）从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率； （Ⅰ）从A 、E 两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅰ）用“1ξ=”和“0ξ=”分别表示对A 款运动鞋满意和不满意，用“1η=”和“0η=”分别表示对B 款运动满意和不满意，试比较方差()D ξ与()D η的大小．（结论不要求证明）5．（2020秋•西城区期末）防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用．北京地区2010年至2019年每年汛末(10月1日）水库的蓄水量数据如表：（Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率；（Ⅰ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设X 为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅰ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）6．（2020秋•房山区期末）2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图：（Ⅰ）现从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；（Ⅰ）从2020年6月至12月中任意选取2个月，记X 为选取的这2个月中回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份的个数．求X 的分布列及数学期望；（Ⅰ）假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为a 吨．当a 为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小．（只需写出结论，不需证明）（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋯+-，其中x 为1x ，2x ，n x ⋯⋯的平均数）7．（2020秋•石景山区期末）在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分．随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：男生评分结果的频数分布表为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅰ）为进一步改善食堂状况，从评分在[50，70)的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X ，求X 的分布列；（Ⅰ）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率．8．（2020秋•丰台区期末）全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费．某市为了解居民外出就餐有剩余时是否打包，进行了一项“舌尖上的浪费”的调查，对该市的居民进行简单随机抽样，将获得的数据按不同年龄段整理如表：假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立．（Ⅰ）分别估计该市男性居民外出就餐有剩余时打包的概率，该市女性居民外出就餐有剩余时打包的概率； （Ⅰ）从该市男性居民中随机抽取1人，女性居民中随机抽取1人，记这2人中恰有X 人外出就餐有剩余时打包，求X 的分布列；（Ⅰ）假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余时打包的频率相等，用“1k ξ=”表示第k 段居民外出就餐有剩余时打包，“0k ξ=”表示第k 段居民外出就餐有剩余时不打包(1k =，2，3，4)，写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ的大小关系．（只需写出结论） 9．（2020秋•海淀区期末）某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如表所示：注：年返修率=年返修台数年生产台数．（Ⅰ）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不少于100元/台的概率；（Ⅰ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀．现从2013~2020年中随机选出3年，记ξ表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数．求ξ的分布列和数学期望；（Ⅰ）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为21s ，22s ，23s ．若2231{s max s ，22}s ，其中21{max s ，22}s 表示21s ，22s ，这两个数中最大的数．请写出a 的最大值和最小值．（只需写出结论）（注2222121:[()()()]n s x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅-，其中x 为数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的平均数）2021北京高三数学上学期期末汇编：概率参考答案一．选择题（共1小题）1．【分析】利用条件概率公式，设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，分别求出P（A），()P AB，根据条件概率公式求得即可．【解答】解：设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件BP∴（A）21105==，131()5915P A B=⨯=则所求概率为1()115 (|)1()35P A BP B AP A===故选：B．【点评】本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．二．填空题（共1小题）2．【分析】先求出基本事件总数10n=，再利用列举法求出被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的基本事件有4个，由此能求出被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率．【解答】解：从(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，(9，12，15)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)，(12，16，20)这些勾股数组中随机抽取1组，基本事件总数10n=，被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的基本事件有：(3，4，5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(12，16，20)，共4个，∴被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率42105P==．故答案为：25．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．解答题（共7小题）3．【分析】（Ⅰ）根据已知数据用频率估计概率即可求解；（Ⅰ）求出X的可能取值，求出对应的概率，由此可以求解；（Ⅰ）根据样本中的数据，估计A，B款男女用户占的比例比较即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由所给数据可知，男职工使用A款APP的人数为72，用频率估计概率，可得男职工使用京东APP的概率约为723 1205=，同理，女职工使用A款APP的概率约为401 1203=；（Ⅰ）X 的可能取值为0，1，2，所以224(0)5315P X ==⨯=，32218(1)535315P X ==⨯+⨯=，311(2)535P X ==⨯=，所以X 的分布列为X 的数学期望481140121515515EX =⨯+⨯+⨯=； （Ⅰ）样本中，A 款APP 的男、女用户为7240112+=（人)， 其中男用户占7264.3%112≈；女用户占4035.7%112≈， 样本中，B 款APP 的男、女用户为6084144+=（人)，其中男用户占6041.7%144≈；女用户占8458.3%144≈， 所以该企业职工使用B 款APP 的情况与官方发布的男、女用户情况更相符．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了学生的运算转化能力，属于中档题． 4．【分析】（Ⅰ）求出C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数，然后求解顾客是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率．（Ⅰ）X 的取值为0，1，2，设事件M 为“从A 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，事件N 为“从E 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，说明事件M 与N ⌝相互独立．然后求解X 的概率，得到分布列，然后求解期望． （Ⅰ）判断()()D D ξη<．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为3000.7210⨯=-----（2分）故此顾客是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是210212000200=．--------（4分） （Ⅰ）X 的取值为0，1，2．---------------------------------（5分） 设事件M 为“从A 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”， 事件N 为“从E 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”， 且事件M 与N ⌝相互独立．根据题意，()P M 估计为0.3，()P N 估计为0.6．则(0)()(1())(1())0.70.40.28P X P MN P M P N ===--=⨯=----（6分）(1)()()()(1())(1())0.30.40.70.60.54P X P MN P MN P M P N P M ==+=-+-=⨯+⨯=---------（7分）(2)()()()0.30.60.18P X P MN P M P N ====⨯=--------------（8分）所以X 的分布列为：-------（10分）X 的期望是：()00.2810.5420.180.9E X =⨯+⨯+⨯=．----（12分）（Ⅰ）()()D D ξη<．-------------------------------------------（14分） 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．5．【分析】（Ⅰ）设事件A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”，推出从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，求出事件A 包含的数目，然后求解概率即可．（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，求出概率，得到随机变量X 的分布列，然后求解期望即可．（Ⅰ）直接判断从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大．【解答】解：（Ⅰ）设事件A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”， 从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，⋯（2分）由图表可知，事件A 包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年和2019年”． ⋯⋯（3分） 所以31()93P A ==．⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅰ）由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水量不超过33亿立方米有4年．随机变量X 的所有可能取值为0，1，2．⋯⋯⋯⋯⋯（5分）02242662(0)155C C P X C ⋅====，1124268(1)15C C P X C ⋅===，2024261(2)15C C P X C ⋅===．⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 所以随机变量X 的分布列为：⋯⋯⋯⋯⋯（9分）所以2812()012515153E X =⨯+⨯+⨯=．⋯⋯⋯⋯⋯（11分）（Ⅰ）从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大．⋯⋯⋯⋯⋯（14分）【点评】本题考查古典概型概率的求法，离散型随机变量分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．6．【分析】（Ⅰ）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A ，推出只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，然后求解概率．（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． （Ⅰ）求出 4.4a =，判断当添加的新数a 等于原几个数的平均值时，方差最小．【解答】解：（Ⅰ）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨⋯⋯⋯⋯（2分） 所以1()7P A =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅰ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸所以6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月．X 的所有可能取值为0，1，2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分） 02342762(0)217C C P X C ====，113427124(1)217C C P X C ⋅====， 20342731(2)217C C P X C ====⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 所以X 的分布列为：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）2416()0127777E X =⨯+⨯+⨯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）（Ⅰ） 4.4a =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）当添加的新数a 等于原几个数的平均值时，方差最小．【点评】本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 7．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图列方程，能求出m ．（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列． （Ⅰ）设事件A = “随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”．因为样本人数200人，其中男生共有80人，从而样本中女生共有120人．由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有24人．由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，由此能求出随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率． 【解答】解：（Ⅰ）因为(0.0050.0200.0400.020)101m ++++⨯=， 所以0.015m =．（Ⅰ）依题意，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．0333361(0)20C C P X C ⋅===， 1233369(1)20C C P X C ⋅===， 2133369(2)20C C P X C ⋅===， 3033361(3)20C C P X C ⋅===． 所以随机变量X 的分布列为：（Ⅰ）设事件A = “随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”． 因为样本人数200人，其中男生共有80人， 所以样本中女生共有120人． 由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有：1200.0401048⨯⨯=人． 由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，4816820025+=． 所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为8()25P A =． 【点评】本题考查频率、离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查频率分布直方图、超几何分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．【分析】（Ⅰ）设该市男性居民外出就餐有剩余时打包为事件A ；设该市女性居民外出就餐有剩余时打包为事件B ．求出男性居民外出就餐有剩余时打包的人数，男性居民外出就餐有剩余时不打包的人数，然后求解概率．女性居民外出就餐有剩余时打包的人数，女性居民外出就餐有剩余时不打包的人数，然后求解概率． （Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2．求出概率即可得到分布列． （Ⅰ）写出4312D D D D ξξξξ<<<．【解答】（Ⅰ）解：设该市男性居民外出就餐有剩余时打包为事件A ；设该市女性居民外出就餐有剩余时打包为事件B ．男性居民外出就餐有剩余时打包的有2503006008502000+++=人，男性居民外出就餐有剩余时不打包的有650600**********+++=人，被调查的男性居民有200020004000+=人，所以20001()40002P A ==． 女性居民外出就餐有剩余时打包的有4505507506502400+++=人，女性居民外出就餐有剩余时不打包的有6505502501501600+++=人，被调查的女性居民有240016004000+=人，所以24003()40005P B ==． （Ⅰ）解：X 的所有可能取值为0，1，2． 由题设知，事件A 与B 相互独立，且1()2P A =，2()5P B =． 所以121(0)()()()255P X P AB P A P B ====⨯=，12131(1)()()()()()25252P X P ABAB P A P B P A P B ===+=⨯+⨯=，133(2)()()()2510P X P AB P A P B ====⨯=．所以X 的分布列为（Ⅰ）解：4312D D D D ξξξξ<<<．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及方程的求法，古典概型概率的求法，是中档题．9．【分析】（Ⅰ）由图表知，2013年~2020年中，产品的平均利润少于100元/台的看人发只有2015年，2016年，由此能求出从2013年~2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不少于100元/台的概率．（Ⅰ）由图表得，2013~2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和()E ξ． （Ⅰ）a 的最大值为13，最小值为7．【解答】解：（Ⅰ）由图表知，2013年~2020年中，产品的平均利润少于100元/台的看人发只有2015年，2016年，∴从2013年~2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不少于100元/台的概率为60.758P ==． （Ⅰ）由图表得，2013~2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年， ξ∴的所有可能取值为1，2，3，1262383(1)28C C P C ξ===，11 / 11 21623815(2)28C C P C ξ===， 3062385(3)14C C P C ξ===， ξ∴的分布列为：31559()1232828144E ξ∴=⨯+⨯+⨯=． （Ⅰ）a 的最大值为13，最小值为7．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查超几何分布分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。
2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题含解析
2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如图，在等腰梯形ABCD 中，222CD AB EF a ===，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起使得平面BEFC ⊥平面ADFE .若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面ADFE 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）.若12=θθ，则动点P 的轨迹围成的图形的面积为A.214a B.249a C.214a π D.249a π 2．设1153a =，1315b =，151log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<3．设定义在R 上的函数()f x 满足：当12x x <时，总有()()122122xxf x f x <，且()12f =，则不等式()2xf x >的解集为（） A.(),1-∞ B.()1,+∞ C.()1,1-D.()(),11,-∞+∞4．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120︒，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm .则制作这样一面扇面需要的布料为（）2cm .A.4003πB.400πC.800πD.7200π5．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()30f =，则()20f x ->的解集是（ ） A.{}33x x -<< B.{1x x <-或}5x > C.{3x x <-或}3x > D.{5x x <-或}1x >6．已知()3sin 5απ-=，则cos2=α（） A.－925 B.925C.－725 D.7257．设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（）A.3-B.13-C.13D.38．下列所给出的函数中，是幂函数的是 A.3y x =- B.3y x -= C.32y x =D.31y x =-9．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A.1a <- B.13a -<< C.3a >-D.31a -<<10．函数f （x ）=ln x +3x -4的零点所在的区间为（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3D.()2,4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 2020. 01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U A B ð是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R Î，且a b >，则 （A ）11ab <（B ）sin sin a b >（C ）11()()33ab<（D ）22a b >（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5-（B ）5（C ）10-（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12-（B ）12（C ）32-（D ）32（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3.点D 在BC 边上，且BD CD >，7AD =.下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠ （9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面a 上的正投影，则记()N f M a =.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为b ，平面ABCD 为g ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P g b =，2[()]Q f f P b g =.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是12[,)22；②存在点P 使得1PQ ∥平面b ； ③存在点P 使得12PQ PQ ^. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）在等差数列{}n a 中，25a =，52a =，则7a =_________. （12）若复数1i iz +=，则||z =_________.（13）已知点A (0,3)，点B ,C 分别为双曲线22213x y a-=(0)a >的左、右顶点.若△ABC为正三角形，则该双曲线的离心率为_________. （14）已知函数()a f x x x=+在区间(1,4)上存在最小值，则实数a 的取值范围是_________.（15）用“五点法”作函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象时，列表如下：则(1)f -=_________，1(0)()2f f +-=_________.（16）已知曲线C ：44221x y mx y ++=（m 为常数）.（i ）给出下列结论：①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形；③当1m =-时，若点(,)P x y 在曲线C 上，则||1x ≥或||1y ≥.其中，所有正确结论的序号是.（ii ）当2m >-时，若曲线C 所围成的区域的面积小于π，则m 的值可以是.（写出一个即可）三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（17）（本小题共13分）已知函数21()cos 3sin cos 2f x x x x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[0,]m 上的最大值为1，求m 的最小值.（18）（本小题共13分）如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，△ABC 和△VAC 均是等腰直角三角形，AB BC =，2AC CV ==，M ，N 分别为VA ,VB 的中点. （Ⅰ）求证：AB //平面CMN ； （Ⅱ）求证：AB VC ⊥；（Ⅲ）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.（19）（本小题共13分）某市《城市总体规划（2016—2035年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建 “15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划x14-12 54 2114x ωϕ+0 2ππ32π 2π ()f x2 0 2-NMVC B A分为：优质小区（指数为0.6~1）、良好小区（指数为0.4~0.6）、中等小区（指数为0.2~0.4）以及待改进小区（指数为0 ~0.2）4个等级. 下面是三个小区4个方面指标的调查数据：小区 指标值 权重A 小区B 小区C 小区 教育与文化（0.20） 0.7 0.9 0.1 医疗与养老（0.20） 0.7 0.6 0.3 交通与购物（0.32） 0.5 0.7 0.2 休闲与健身（0.28）0.50.60.1注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数11223344T w T w T w T w T =+++，其中1234,,,w w w w 为该小区四个方面的权重，1234,,,T T T T 为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值）.现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表： 分组 [0,0.2） [0.2,0.4）[0.4,0.6）[0.6,0.8）[0.8,1] 频数1020303010（Ⅰ）分别判断A ，B ，C 三个小区是否是优质小区，并说明理由；（Ⅱ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.（20）（本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右顶点()2,0A ，且离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，直线AP 和AQ 分别与直线4x =交于点M ,N ．求△APQ 与△AMN 面积之和的最小值.（21）（本小题共13分）已知函数2()e (1)(0)xf x ax a =+>.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 有极小值，求证：()f x 的极小值小于1.（22）（本小题共14分）给定整数(2)n n ≥，数列211221,,,n n A x x x ++：每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ,并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为k m (1,2,,21)k n =+.将1221,,,n m m m +中的最小值称为数列21n A +的特征值.（Ⅰ）已知数列5:1,2,3,3,3A ，写出123,,m m m 的值及5A 的特征值； （Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤，当[(1)][(1)]0i n j n -+-+≥，其中,{1,2,,21}i j n ∈+且i j ≠时，判断||i j m m -与||i j x x -的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121||i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值.海淀区2020届高三年级第一学期期末练习参考答案数 学 2020.01阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBACAABCBD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 题号 11 1213 141516答案22(1,16)2-；0① ②③；2m >均可三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（17）解：（Ⅰ）1cos 231()sin 2222x f x x +=+- 31sin 2cos 222x x =+ πsin(2)6x =+.因为sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π()22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 令πππ22π,2π()622x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 得πππ,π()36x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 所以()f x 的单调递增区间为πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . （Ⅱ）方法1：因为[0,]x m ∈，所以πππ2[,2]666x m +∈+.又因为[0,]x m ∈，()f x πsin(2)6x =+的最大值为1，所以ππ262m +≥. 解得π6m ≥.所以m 的最小值为π6.方法2：由（Ⅰ）知： 当且仅当π=π()6x k k +∈Z 时，()f x 取得最大值1. 因为()f x 在区间[0,]m 上的最大值为1，所以π6m ≥. 所以m 的最小值为π6.（18）解：（Ⅰ）在△VAB 中，M ，N 分别为VA ，VB 的中点，所以MN 为中位线. 所以//MN AB .又因为AB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， 所以AB //平面CMN .（Ⅱ）在等腰直角三角形△VAC 中，AC CV =,所以VC AC ⊥.因为平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC平面ABC AC =， VC ⊂平面VAC ，所以VC ⊥平面ABC . 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以AB VC ⊥.（Ⅲ）在平面ABC 内过点C 做CH 垂直于AC ，由（Ⅱ）知，VC ⊥平面ABC ， 因为CH ⊂平面ABC ，所以VC CH ⊥. 如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.则(0,0,0)C ，(0,0,2)V ，(1,1,0)B ，(1,0,1)M ，11(,,1)22N . (1,1,2)VB =-，(1,0,1)CM =，11(,,1)22CN =.设平面CMN 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.CM CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,110.22x z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令1x =则1y =，1z =-,所以(1,1,1)=-n . 直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ，22sin |cos ,|3||||VB VB VB θ⋅=<>==n n n .所以直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为223. （19）解：（Ⅰ）方法1:A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.580.60<,所以A 小区不是优质小区;B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.280.692T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.6920.60>,所以B 小区是优质小区;C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.280.172T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.1720.60<,所以C 小区不是优质小区.方法2:A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =⨯+⨯+⨯+⨯=0.580.60<,所以A 小区不是优质小区;B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.28T =⨯+⨯+⨯+⨯0.60.20.60.20.60.320.60.280.6>⨯+⨯+⨯+⨯=.B 小区是优质小区;C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.28T =⨯+⨯+⨯+⨯0.60.20.60.20.60.320.60.280.6<⨯+⨯+⨯+⨯=.C 小区不是优质小区.（在对A 、B 、C 小区做说明时必须出现与0.6比较的说明.每一项中结论1分，计算和说明理由1分）（Ⅱ）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区3010104100+⨯=个，其它小区1046-=个.依题意ξ的所有可能取值为0，1，2.26210C 151(0)C 453P ξ====；1146210C C 248(1)C 4515P ξ====；24210C 62(2)C 4515P ξ====.则ξ的分布列为：ξ12P138152151824012315155E ξ=⨯+⨯+⨯= .（20）解：（Ⅰ）解：依题意，得222(0)2,3,2.a b a cac a b >>=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩解得，2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）设点00(,)Q x y ，依题意，点P 坐标为00(,)x y --，满足220014x y +=（022x -<<且00y ≠）,直线QA 的方程为00(2)2y y x x =-- 令4x =，得0022y y x =-，即002(4,)2y N x -. 直线PA 的方程为00(2)2y y x x =-+ ，同理可得002(4,)2y M x +. 设B 为4x =与x 轴的交点.11||||||||22APQ AMN P Q M N S S OA y y AB y y ∆∆+=⋅⋅-+⋅⋅-0000022112|2|2||2222y y y x x =⨯⨯+⨯⨯--+ 0000112||2||||22y y x x =+⋅--+ 002042||2||||4y y x =+⋅-.又因为220044x y +=，00y ≠,所以002012||2||APQ AMN S S y y y ∆∆+=+⋅002=2||4||y y +≥. 当且仅当01y =±取等号，所以APQ AMN S S ∆∆+的最小值为4.（21）解：（Ⅰ）由已知得2()e (21)x f x ax ax '=++，因为(0)1f = ，(0)1f ¢=，所以直线l 的方程为1y x =+.（Ⅱ）（i ）当01a <?时，2221(1)10ax ax a x a ++=++-≥，所以2()e (21)0x f x ax ax '=++≥（当且仅当1a =且1x =-时，等号成立）. 所以()f x 在R 上是单调递增函数. 所以()f x 在R 上无极小值.（ii ）当1a >时,一元二次方程2210ax ax ++=的判别式4(1)0a a ∆=->， 记12,x x 是方程的两个根，不妨设12x x <.则121220,10.x x x x a +=-<⎧⎪⎨=>⎪⎩所以120x x <<.此时()f x '，()f x 随x 的变化如下：x1(,)x -?1x12(,)x x2x 2(,)x +?()f x ' +0 -+()f x↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极小值为2()f x . 又因为()f x 在2[,0]x 单调递增， 所以2()(0)1f x f <=. 所以()f x 的极小值为小于1.22. 解：（Ⅰ）由题知：1(33)(23)1m =+-+=; 2(33)(31)2m =+-+=;33m =. 5A 的特征值为1.（Ⅱ）||=i j m m -||i j x x -.理由如下：由于[(1)][(1)]0i n j n -+-+≥，可分下列两种情况讨论：○1当,{1,2,,1}i j n ∈+时，根据定义可知：212211()()i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++-212211 =()()n n n n n i x x x x x x x ++++++-++++同理可得：212211=()()j n n n n n j m x x x x x x x ++++++-++++所以i j i j m m x x -=-. 所以||=||i j i j m m x x --.○2当,{1,2,,21}i j n n n ∈+++时，同○1理可得： 212111()()i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++212111 =()()n n n n n i x x x x x x x ++-+++-+++- 212111=()()j n n n n n j m x x x x x x x ++-+++-+++-所以i j j i m m x x -=-. 所以||=||i j i j m m x x --. 综上有：||=i j m m -||i j x x -. （Ⅲ）不妨设1221n x x x +≤≤≤，121||i j i j n x x ≤<≤+-∑=2122112(22)2022n n n n n nx n x x x x nx ++++-+++⋅---2112222()(22)()2()n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-，显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-，212211()n n n n n x x x x x x ++-+++-+++121221()()n n n n x x x x x m ++≥++-+++=.当且仅当121n n x x ++=时取等号；212211()n n n n n x x x x x x ++-+++-+++2212311()()n n n x x x x x m +++≥++-+++=当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅱ）可知121,n m m +的较小值为1n -， 所以212211()1n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-.当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有212211()n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥.下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有(22)(1)()n k p kq n p q +-+≥++. 证明：(22)(1)()n k p kq n p q +-+-++ =(1)(1)n k p n k q +--+-(1)()n k p q =+--0≥.所以(22)(1)()n k p kq n p q +-+≥++.因此121||i j i j n x x ≤<≤+-∑2112222()(22)()2()n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-212211(1)()n n n n n n x x x x x x ++-≥++++----(1)n n ≥+.当0,1,1,121,k k n x n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121||i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值(1)n n +，符合题意.所以121||i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为(1)n n +.。