2014年海淀区高三数学文科期末考试含答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数学(文科) 2014.01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.复数i(i 1)+等于A. 1i +B.1i -+C. 1i -D.1i --2.已知直线1:210l x y +-=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的取值为A. 12-B.12C. 2D.2-3.为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为A ．10000B ．20000C ．25000D ．300004.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为 A.15B.14 C. 7D.65.已知2log 3a =，4log 6b =，4log 9c =，则 A ．a b c =<B ．a b c << C ．a c b =>D ．a c b >>6.已知函数22,2,()3,2,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有三个不等的实根，则实数k 的取值范围是A.(3,1)-B. (0,1)C. (2,2)-D. (0,)+∞7.在ABC ∆中，若2a b =，面积记作S ，则下列结论中一定．．成立的是 A ．30B >B ．2A B =C ．c b <D ．2S b ≤8.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BD AC O = ，M 是线段1D O 上的动点，过点M 做平面1ACD 的垂线交平面 1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为1A二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.双曲线2213y x -=的离心率为___. 10.某四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的体积为__.11.已知点(,)P x y 的坐标满足40,12,0,x y x y +-≤⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为________.12.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11222,4a b a b ==-==，则满足n na b =的n 的所有取值构成的集合是______.13.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为___；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时,980小时, 1030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为___小时.14.直线1x =与抛物线C :24y x =交于,M N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记(,)OP aOM bON a b =+∈R，其中O 为抛物线C 的顶点. （1）当OP 与ON平行时，b =________；（2）给出下列命题：①,a b ∀∈R ，PMN ∆不是等边三角形；②∃0a <且0b <，使得OP 与ON垂直；③无论点P 在准线上如何运动，1a b +=-总成立. 其中，所有正确命题的序号是___.三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分）函数cos2()2sin sin cos xf x x x x=++.（Ⅰ）求π()4f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.正视图3左视图俯视图根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示（Ⅰ）求上图中a 的值；（Ⅱ）甲队员进行一次射击，求命中环数大于7环的概率（频率当作概率使用）； （Ⅲ）由上图判断甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定（结论不需证明）.17．（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PB =，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是棱AB 的中点． （Ⅰ）求证：//CD 平面PAB ； （Ⅱ）求证：PE AD ⊥；（Ⅲ）若CA CB =，求证：平面PEC ⊥平面PAB .18．（本小题共13分）已知函数()()e x f x x a =+，其中a 为常数.（Ⅰ）若函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若2()e f x ≥在[0,2]x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围.a已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为F ，右顶点A 在圆F ：222(1)(0)x y r r -+=>上. （Ⅰ）求椭圆C 和圆F 的方程；（Ⅱ）已知过点A 的直线l 与椭圆C 交于另一点B ，与圆F 交于另一点P .请判断是否存在斜率不为0的直线l ，使点P 恰好为线段AB 的中点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20.（本小题共13分）如果函数()f x 满足在集合*N 上的值域仍是集合*N ，则把函数()f x 称为N 函数. 例如：()f x x =就是N 函数.（Ⅰ）判断下列函数：①2y x =，②21y x =-，③y =中，哪些是N 函数？（只需写出判断结果）； （Ⅱ）判断函数()[ln ]1g x x =+是否为N 函数，并证明你的结论； （Ⅲ）证明：对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.（注：“[]x ”表示不超过x 的最大整数）海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准2014．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）πcosππ2()2sinππ44sin cos44f=+==+. ------------------------3分（Ⅱ）由sin cos0x x+≠得ππ,4x k k≠-∈Z.因为cos2()2sinsin cosxf x xx x=++22cos sin2sinsin cosx xxx x-=++--------5分cos sinx x=+π)4x=+，----------------7分所以()f x的最小正周期2πT=. -------------------------------------9分因为函数siny x=的对称轴为ππ+,2x k k=∈Z, ------------------------------11分又由πππ+,42x k k+=∈Z,得ππ+,4x k k=∈Z,所以()f x的对称轴的方程为ππ+,4x k k=∈Z.-----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a++++=, 所以0.06a=. -----4分（Ⅱ）设事件A为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数9． 2 10．16 11. 712．{1,2,4}13．50，1015 14．1-;①②③所以()0.290.450.010.75P A =++=. ----------------------------------9分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，所以//CD AB . ----------------------------1分 又因为CD ⊄平面PAB ， -------------------3分 所以//CD 平面PAB . --------------------------4分 （Ⅱ）因为PA PB =，点E 是棱AB 的中点，所以PE AB ⊥. ----------------------------------5分 因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB 平面ABCD AB =,PE ⊂平面PAB ,----7分 所以PE ⊥平面ABCD , ------------------------------------8分 因为AD ⊂平面ABCD , 所以PE AD ⊥. ----------9分（Ⅲ）因为CA CB =，点E 是棱AB 的中点， 所以CE AB ⊥. -------10分 由（Ⅱ）可得PE AB ⊥， ---------------------------------11分 所以AB ⊥平面PEC ， --------------------------------13分 又因为AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PEC . -------14分 18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）'()(1)e x f x x a =++,x ∈R . -------------------------------2分 因为函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，所以'()0f x ≥，即10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立.------------------------------3分 因为1y x a =++是增函数，所以满足题意只需310a -++≥，即2a ≥. -------------------------------5分 （Ⅱ）令'()0f x =，解得1x a =-- -------------------------------6分(),'()f x f x 的情况如下：--------------------------------------10分①当10a --≤，即1a ≥-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(0)f ，所以此时，2e a ≥； --------------------------------------11分②当012a <--<，即31a -<<-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(1)f a --， 若满足题意只需2(1)e f a --≥，求解可得此不等式无解，所以a 不存在； ------------------------12分③当12a --≥，即3a ≤-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(2)f , 若满足题意只需2(2)e f ≥，解得1a ≥-,所以此时，a 不存在. ------------------------------13分综上讨论，所求实数a 的取值范围为2[e ,)+∞. 19. （本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意可得1c =， ----------------------------------1分 又由题意可得12c a =，所以2a =， --------------2分 所以2223b a c =-=, ----------------------------------3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ---------------------------------4分所以椭圆C 的右顶点(2,0)A ， --------------------------------5分 代入圆F 的方程，可得21r =,所以圆F 的方程为22(1)1x y -+=. ------------------------------6分 （Ⅱ）法1：假设存在直线l :(2)y k x =-(0)k ≠满足条件， -----------------------------7分由22(2),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)1616120k x k x k +-+-=----------------------------8分设11(,)B x y ，则21216243k x k +=+, ---------------------------------9分可得中点22286(,)4343k kP k k -++， --------------------------------11分由点P 在圆F 上可得2222286(1)()14343k k k k --+=++化简整理得20k =--------------------------------13分 又因为0k ≠，假设存在直线l 满足题意.由（Ⅰ）可得OA 是圆F 的直径， -----------------------------7分 所以OP AB ⊥. ------------------------------8分 由点P 是AB 中点，可得||||2OB OA ==.--------------------------------9分设点11(,)B x y ，则由题意可得2211143x y +=. --------------------------------10分又因为直线l 的斜率不为0，所以214x <, -------------------------------11分所以22222211111||3(1)3444x x OB x y x =+=+-=+<,-------------------------------13分这与||||OA OB =矛盾，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------14分 20. （本小题共13分）解：（Ⅰ）只有y =是N 函数. ----------------------------3分 （Ⅱ）函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. 证明如下：显然，*x ∀∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N . ---------------------------------------4分不妨设*[ln ]1,x k k +=∈N ,由[ln ]1x k +=可得1ln k x k -≤<， 即11e e k k x -≤≤<.因为*k ∀∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立， 所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -≤<， 所以设*k ∀∈N ，总存在*x ∈N 满足[ln ]1x k +=，所以函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. ---------------------------------------8分 （Ⅲ）（1）当0b ≤时，有2(2)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ---------------------------9分（2）当0b >时，① 若0a ≤，有(1)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ------------------10分② 若01a <≤，由指数函数性质易得x b a b a ⋅≤⋅，所以*x ∀∈N ，都有()[][]x f x b a b a =⋅≤⋅所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. -----------------11分③ 若1a >，令12m m b a b a +⋅-⋅>，则2log (1)am b a >⋅-，所以一定存在正整数k 使得12k k b a b a +⋅-⋅>， 所以*12,n n ∃∈N ，使得112k k b a n n b a +⋅<<<⋅， 所以12()(1)f k n n f k <<≤+.又因为当x k <时，x k b a b a ⋅<⋅,所以()()f x f k ≤； 当1x k >+时，1x k b a b a +⋅>⋅,所以()(1)f x f k ≥+， 所以*x ∀∈N ，都有*1{()|}n f x x ∉∈N ，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.------------------13分综上所述，对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.。