2015-2016北京市海淀区高三上学期期末数学文科带答案

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数 学 （文科） 2016.1 阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.说明： 第1３题少写一个减３分，错的则不得分第14题第一空3分，第二空2分，第二问少或错写的都不得分 三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d . …………………………….1分 因为3547a a a +=+，所以112637a d a d +=++. …………………………….3分 因为11a =，所以36d =，即2d =,…………………………….5分所以1(1)21n a a n d n =+-=-.…………………………….7分（Ⅱ）因为11a =，21n a n =-，所以212nn a a S n n +==, …………………………….9分 所以23(21)2n n <--，所以2650n n -+<, …………………………….11分解得15n <<，所以n 的值为2,3,4. …………………………….13分 16.解：（Ⅰ）因为()2cos (sin cos )1f x x x x =+-sin 2cos2x x =+…………………………….4分π)4x =+…………………………….6分 所以函数()f x 的最小正周期2ππT ==. …………………………….8分（Ⅱ）因为ππ[,]612x ∈--， 所以ππ2[,]36x ∈--，所以πππ(2)[]41212x +∈-，, …………………………….9分根据函数()sin f x x =的性质，当ππ2412x +=-时，函数()f xπ)12-， …………………………….10分当ππ2412x +=时，函数()f xπ12. …………………………….11分ππ))01212-=，所以函数()f x 在区间ππ[,]612x ∈--上的最大值与最小值的和为0. …………………………….13分17．解：（Ⅰ）农学家观察试验的起始日期为7日或8日. …………………………….3分 （少写一个扣1分）（Ⅱ）最高温度的方差大. …………………………….6分 （Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A ， …………………………….7分 则基本事件空间可以设为{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),...,(29,20,31)}Ω=，共计29个基本事件 …………………………….9分由图表可以看出，事件A 中包含10个基本事件， …………………………….11分所以10()29P A =， …………………………….13分 所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为1029. 18．解：（Ⅰ）取AD 中点G ，连接,FG BG 因为点F 为PA 的中点，所以FG PD 且12FG PD = …………………………….1分 又BE PD ，且12BE PD = ，所以,,BE FG BE FG =所以四边形BGFE 为平行四边形. …………………………….2分 所以,EF BG又EF ⊄平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD , …………………………….3分 所以EF 平面ABCD . …………………………….4分 （Ⅱ）连接BD .GFEB APDC因为G 为AD 中点，所以BG AD ⊥， …………………………….6分 又因为PD ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，所以PD BG ⊥， …………………………….7分 又PD AD D = ，,PD AD ⊂平面PAD ， …………………………….8分 所以BG ⊥平面PAD . …………………………….9分 又,EF BG 所以EF ⊥平面PAD ，又EF ⊂平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面PAD . …………………………….10分 法二：因为四边形ABCD 为菱形，=60DAB ∠ ，所以ABD ∆为等边三角形.因为G 为AD 中点，所以BG AD ⊥， …………………………….6分 又因为PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ， …………………………….7分 又平面PAD ABCD AD = 平面，BG ⊂平面ABCD , …………………………….8分 所以BG ⊥平面PAD . …………………………….9分 又,EF BG 所以EF ⊥平面PAD ，又EF ⊂平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面PAD . …………………………….10分（Ⅲ）因为122PAD S PD AD ∆=⋅=， …………………………….12分EF BG ==所以13P ADE PAD V S EF -∆=⋅=. …………………………….14分 19．解：（Ⅰ）函数1()ln f x k x x=+的定义域为(0)+∞，. …………………………….1分 21'()kf x x x=-+. …………………………….3分当1k =时，22111'()x f x x x x-=-+=,令'()0f x =，得1x =， …………………………….4分所以'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：…………………………….6分所以()f x 在1x =处取得极小值(1)1f =, 无极大值. …………………………….7分()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞. …………………………….8分令()()g x f x k =-，则问题等价于函数()g x 存在零点, …………………………….9分所以2211'()k kx g x x x x-=-+=. …………………………….10分 令'()0g x =，得1x k=.当0k <时，'()0g x <对(0,)+∞成立，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减， 而(1)10g k =->，1111111111()(1)110e ee kk kg ek k k ---=+--=-<-<，所以函数()g x 存在零点. …………………………….11分 当0k >时，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：所以()lnln g k k k k k kk=-+=-为函数()g x 的最小值, 当1()0g k >时，即01k <<时，函数()g x 没有零点,当1()0g k ≤时，即1k ≥时，注意到1()0g k k =+->e e, 所以函数()g x 存在零点.综上，当0k <或1k ≥时，关于x 的方程()f x k =有解. …………………………….13分 法二：因为关于x 的方程()f x k =有解，所以问题等价于方程1(ln 1)0kx x +-=有解， …………………………….9分 令g()(ln 1)1x kx x =-+，所以'()ln g x k x =, …………………………….10分 令'()0g x =，得1x =当0k <时，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：所以函数g()x 在1x =处取得最大值，而g(1)(1)10k =-+>.111所以函数()g x 存在零点. …………………………….11分 当0k >时，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：所以函数g()x 在1x =处取得最小值，而g(1)(1)11k k =-+=-. 当g(1)(1)110k k =-+=->时，即01k <<时，函数()g x 不存在零点.当g(1)(1)110k k =-+=-≤，即1k ≥时， g (e )e (l n e 1)1k =-+=>所以函数()g x 存在零点. …………………………….13分 综上，当0k <或1k ≥时，关于x 的方程()f x k =有解. 法三：因为关于x 的方程()f x k =有解，所以问题等价于方程1(1ln )x x k=-有解， …………………………….9分 设函数()(1ln )g x x x =-，所以'()ln g x x =-. …………………………….10分令'()0g x =，得1x =，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：所以函数g()x 在1x =处取得最大值，而g(1)1=， …………………………….11分 又当1x >时，1ln 0x -<, 所以(1ln )1ln x x x -<-,所以函数g()x 的值域为(,1]-∞, …………………………….12分 所以当1(,1]k∈-∞时，关于x 的方程()f x k =有解，所以(,0)[1,)k ∈-∞+∞ . …………………………….13分20. 解：（Ⅰ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上，所以4a =. …………………………….1分，所以e c a ==，所以c = …………………………….2分 所以2224b a c =-=, …………………………….3分所以W 的方程为221164x y +=.…………………………….4分 （Ⅱ）（i ）法一：设点1122(,),(,)P x y Q x y ，显然直线AP 存在斜率，设直线AP 的方程为(4)y k x =+， …………………………….5分与椭圆方程联立得22(4)1164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简得到2222(14)3264160k x k x k +++-=，…………………………….6分因为4-为上面方程的一个根，所以21232(4)14k x k-+-=+，所以21241614k x k -=+ .…………………………….7分由1||(4)|AP x =--=…………………………….8分代入得到||AP ==，解得1k =±, …………………………….9分所以直线AP 的斜率为1,1-. （ii ）因为圆心到直线AP的距离为d =， …………………………….10分所以||AQ ===. …………………………….11分 因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， …………………………….12分 代入得到22222||1433113||111PQ k k AP k k k +=-=-==-+++. …………………………….13分 显然23331k-≠+，所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =. …………………………….14分设直线AP 的方程为4x my =-， …………………………….5分与椭圆方程联立得2241164x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简得到22(4)80m y my +-=, …………………………….6分 显然4-上面方程的一个根，所以另一个根，即1284my m =+, …………………………….7分由1||0|AP y =-=， …………………………….8分代入得到||AP ==1m =±. …………………………….9分 所以直线AP 的斜率为1,1-（ii ）因为圆心到直线AP的距离为d =， …………………………….10分所以||AQ == …………………………….11分 因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， …………………………….12分 代入得到222||4311||11PQ m AP m m +==-=++. …………………………….13分 若2331m=+，则0m =，与直线AP 存在斜率矛盾， 所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =. …………………………….14分。