2021-2022年高三上学期期中数学文科试卷及答案
2021-2022学年山西省运城市高三(上)期中数学试卷(文科)(附详解)
2021-2022学年山西省运城市高三（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|(x −1)(x −2)<2}，B ={x|x +a +1>0}，且A ∩B =(2,3)，则实数a 的值为( )A. −1B. 1C. −3D. 32. 下列函数是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数的是( )A. f(x)=|lnx|B. f(x)=x −1xC. f(x)=2|x|D. f(x)=x 123. 函数f(x)=cosxln π−xπ+x 的图象大致为( )A.B.C.D.4. 若a =(√5)25，b =e 15，c =log 5e ，则( )A. c <b <aB. c <a <bC. b <a <cD. a <b <c5. 若实数x ，y 满足约束条件{x +y ≥2x −2y ≥−12x −y ≤4，则z =y+1x 的取值范围是( )A. [0,2]B. [1,2]C. [12,1]D. [12,2]6. △ABC 中三边上的高依次为113，15，111，则△ABC 为( )．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不存在这样的三角形7. 数列{a n }中，a 1=2，a m+n =a m a n .若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k =( )A. 2B. 3C. 4D. 58. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别为A 1B ，B 1D 1，A 1D ，CD 1的中点，则异面直线MN 与PQ 所成角的大小是( )A. π6B. π4C. π3D. π29. 已知x 1=π3，x 2=5π6是函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0 , 0<φ<π2)相邻的两个零点，若函数g(x)=|f(x)−12|在[−π4,m]上的最大值为1，则m 的取值范围是( )A. (−π4,π3]B. (−π4,π2]C. (−π4,5π12]D. (−π4,7π12]10. 数列{a n }前n 项和是S n ，且满足a 1=3，a 2k =8a 2k−1，a 2k+1=12a 2k (k ∈N ∗)，则S 50的值为( )A. 3(825−1)B. 9(825−1)C. 3(425−1)D. 9(425−1)11. 在△ABC 中，若2sin 2A +cosB =1，则ABBC +2BC AC的取值范围为( )A. (1,4)B. (2,4)C. [1,4)D. (2,4]12. 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)−f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(m −2021)>(m −2021)f(1)，则实数m 的取值( )A. (0,2021)B. (0,2022)C. (2021,+∞)D. (2021,2022)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，若AB =2，AC =√3，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =7，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为______． 14. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,1)，β∈(0,π2)，且cos(α+β)=45，则sinβ=______． 15. 若正数a ，b 满足a +b +2=ab ，则3a−1+7b−1的最小值是______ ．16. 如图，正四棱锥P −ABCD 的每个顶点都在球M 的球面上，侧面PAB 是等边三角形.若半球O 的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O 的体积与球M 的体积的比值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象经过点M(π3,12 )，当x=x1时，f(x)取最大值1，当x=x2时，f(x)取最小值，且|x1−x2|的最小值为π．(1)求f(x)的解析式；(2)设f(α)=2√55，f(β+π2)=−√1010，α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，求角α+β的大小．18.下列关于星星的图案构成一个数列{a n},a n(n∈N∗)对应图中星星的个数(1)写出a5，a6的值及数列{a n}的通项公式；(2)求出数列{1a n}的前n项和S n；(3)若b n=2n2−9n−112n，对于(2)中的S n，有c n=S n⋅b n，求数列{|c n|}的前n项和T n．19.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知ccosA+(a+2b)cosC=0．(1)求∠C的大小；(2)△ABC的面积等于4√3，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD的交点为O，PD=PB=AB=2，PA=√6,∠BCD=60°．(1)证明：PO⊥平面ABCD；(2)点M在棱CD上，若体积V M−PAD：V P−ABCD=1：4，求①M点的位置；②PM与平面PBD所成角的正切值．21.已知函数f(x)=(ax2+x)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．(1)当a<0时，解不等式f(x)>0；(2)当a=0时，求正整数k的值，使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解；(3)若f(x)在[−1,1]上是单调增函数，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2cosαy=√3sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l与曲线C交于M，N两点，点P(2,1)，求|PM|+|PN|的值．23.已知函数f(x)=|x−4|+|1−x|，x∈R(1)解不等式：f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为m，若a≥0，b≥0，且a+b=m，证明：1a+2+1b+1≥23．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|x2−3x<0}={x|0<x<3}，B={x|x>−a−1}，A∩B=(2,3)，∴−a−1=2，解得a=−3．故选：C．可求出集合A，B，然后根据A∩B=(2,3)即可求出a的值．本题考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，函数的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故选项A错误；对于B，函数f(x)为奇函数，故选项B错误；对于C，函数是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数，故选项C正确；对于D，函数的定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故选项D错误．故选：C．利用基本初等函数的性质，依次判断四个选项即可．本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，解题的关键是掌握基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】C>0，可得−π<x<π，故定义域为(−π,π)，【解析】解：由π−xπ+x)为奇函数，而y=cosx是偶函数，又∵y=ln(π−xπ+x∴函数f(x)=cosxlnπ−x是奇函数，π+x排除A，D选项；当x=π4时，cosπ4>0，而ln(π−π4π+π4)=ln35<0，则B选项不满足题意；故选：C．根据奇偶性和特殊点即可判断出图象；本题考查了图象的识别和运算能力，属于基础题；图象的识别可从以下几个方面入手：①由函数的定义域判断函数图象的左右位置，由函数的值域判断函数图象的上下位置；②由函数的单调性判断函数图象的变化趋势；③由函数的奇偶性判断函数图象的对称性，如奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；④由函数在特殊点处的值排除不符合要求的图象．4.【答案】A【解析】解：∵a=(√5)25=515，b=e15，且函数y=x15在(0,+∞)上是增函数，∴1<b<a，又∵c=log5e<1，∴c<b<a，故选：A．化简a=(√5)25=515，利用函数y=x15在(0,+∞)上是增函数判断得1<b<a，又由c= log5e<1得出结果．本题考查了幂函数的单调性的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由约束条件{x +y ≥2x −2y ≥−12x −y ≤4作出可行域如图，z =y+1x的几何意义为可行域内的动点与定点(0,−1)连线的斜率，A(2,0)，C(1,1)，由图可知，最小值为−1−2=12，最大值为−1−10−1=2． ∴z =y+1x的取值范围是[12,2]．故选：D ．由约束条件作出可行域，再由z =y+1x的几何意义，即可行域内的动点与定点(0,−1)连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．6.【答案】C【解析】 【分析】利用已知条件结合三角形的面积推出三边关系，然后利用余弦定理判断求解即可．本题是完全原创；原创的理由：①对三角形形状的判断，利用到面积公式、余弦定理等知识进行解决；②考查考生分析问题的能力． 【解答】解：设△ABC 三边分别为a ，b ，c ，S △ABC =12a ⋅113=12b ⋅111=12c ⋅15， 所以a13=b11=c5，设a =13k ，b =11k ，c =5k(k >0)．因为11k +5k >13k ，故能构成三角形，取大角A ，cosA =b 2+c 2−a 22bc=112+52−1322×11×5<0，所以A 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．故选C ．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n 项和的求法． 在已知数列递推式中，取m =1，可得a n+1a n=2，则数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的前n 项和公式列式求解． 【解答】解：由a 1=2，且a m+n =a m a n ， 取m =1，得a n+1=a 1a n =2a n ， ∴a n+1a n=2，则数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则a k+1=2⋅2k =2k+1， ∴a k+1+a k+2+⋯+a k+10=2k+1(1−210)1−2=211+k −2k+1=215−25，∴k +1=5，即k =4． 故选：C ．8.【答案】C【解析】解：连接AC ，AD 1，∵P ，Q 分别为A 1D ，CD 1的中点，∴PQ//AC//A 1C 1， ∴∠A 1NM 或其补角为异面直线MN 与PQ 所成角， 设正方体的棱长为2，在△A 1MN 中，A 1M =12A 1B =√2，A 1N =12A 1C 1=√2，MN =12BC 1=√2， ∴△A 1MN 为等边三角形， ∴∠A 1NM =π3，∴异面直线MN 与PQ 所成角的大小为π3．故选：C．连接AC，AD1，易知PQ//AC//A1C1，故∠A1NM或其补角即为所求，再证得△A1MN为等边三角形，得解．本题考查异面直线夹角的求法，利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意可得T=(5π6−π3)×2=π，所以ω=2πT=2，则f(x)=sin(2x+φ)，由题意知2×π3+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ−2π3，k∈Z，又0<φ<π2，所以φ=π3，所以f(x)=sin(2x+π3)，因为函数g(x)在[−π4,m]上的最大值为1，且当x∈[−π4,m]时，−π6≤2x+π3≤2m+π3，所以−π6<2m+π3≤7π6，∴−π4<m≤5π12．故选：C．利用三角函数的性质得到ω=2，再根据已知零点得到φ=π3，然后根据三角函数的性质得到关于m的不等式，即可得解．本题考查函数的零点，最值问题，解题中注意逻辑思维能力，运算求解能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：数列{a n}前n项和是S n，且满足a1=3，a2k=8a2k−1，a2k+1=12a2k(k∈N∗)，∴a2k+1=12×8a2k−1=4a2k−1，可得数列{a2k−1}成等比数列，首项为3，公比为4．同理可得：a2k+2=4a2k，又a2=8a1=24，可得数列{a2k}成等比数列，首项为24，公比为4．则S50=(a1+a3+⋯…+a49)+(a2+a4+⋯…+a50)=3(425−1)4−1+24(425−1)4−1=9(425−1)．故选：D．数列{a n}前n项和是S n，且满足a1=3，a2k=8a2k−1，a2k+1=12a2k(k∈N∗)，可得a2k+1=12×8a2k−1=4a2k−1，可得数列{a2k−1}成等比数列．同理可得：a2k+2=4a2k，数列{a2k}成等比数列，通过分组利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：因为2sin2A+cosB=1，所以cosB=1−2sin2A=cos2A，因为A、B∈(0,π)，所以B=2A，则由正弦定理可得ABBC +2BCAC=sinCsinA+2sinAsinB=sin(π−3A)sinA+2sinA2sinAcosA=sin3AsinA+1cosA=sinAcos2A+sin2AcosAsinA +1cosA=4cos2A+1cosA−1，因为C=π−3A∈(0,π)，所以A∈(0,π3)，所以cosA∈(12,1)，设cosA=t，则t∈(12,1)，所以ABBC +2BCAC=4t2+1t−1，设f(t)=4t2+1t −1，t∈(12,1)，则f′(t)=8t−1t2=8t3−1t2>0，所以f(t)在(12,1)上单调递增，所以f(12)<f(t)<f(1)，即2<f(t)<4，所以ABBC +2BCAC的取值范围为(2,4)．故选：B．由已知利用二倍角公式可得cosB=cos2A，结合A，B的范围可得B=2A，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得ABBC +2BCAC=4cos2A+1cosA−1，设cosA=t，则t∈(1 2,1)，可得ABBC+2BCAC=4t2+1t−1，设f(t)=4t2+1t−1，t∈(12,1)，进而利用函数的单调性可求其取值范围．本题考查正弦定理的应用，考查三角函数取值范围，考查了利用函数的单调性求函数的值域，体现了数学探索、理性思维学科素养，通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的品质，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：令ℎ(x)=f(x)x，x∈(0,+∞)，则ℎ′(x)=xf′(x)−f(x)x2，∵xf′(x)−f(x)<0，∴ℎ′(x)<0，∴函数ℎ(x)在(0,+∞)递减，∵f(m−2021)>(m−2021)f(1)，∴m−2021>0，m>2021，∴f(m−2021)m−2021>f(1)1，即ℎ(m−2021)>ℎ(1)，故m−2021<1，解得：m<2022，故2021<m<2022，故选：D．令ℎ(x)=f(x)x，x∈(0,+∞)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．13.【答案】5π6【解析】解：因为CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=4−2√3cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=7， 解得cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=−√32， 因为0<cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ><π， 所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=5π6，故答案为：5π6．选取AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面向量的一组基底，由条件并利用向量的数量积可求得向量的夹角． 本题考查了向量的线性表示，向量的夹角，属于基础题．14.【答案】2√525【解析】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,1)， ∴sinα=√4+1=√55，cosα=√4+1=2√55，α∈(0,π6).∵β∈(0,π2)，∴α+β∈(0,2π3)，由cos(α+β)=45，可得sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=35， 则sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=35×2√55−45×√55=2√525， 故答案为：2√525． 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得α的正弦、余弦值，再利用同角三角函数的基本关系式、求得sin(α+β)，根据两角差正弦公式求得sinβ=sin[(α+β)−α]的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．15.【答案】2√7【解析】解：因为正数a ，b 满足a +b +2=ab ， 所以a =b+2b−1>0， 所以b >1，则3a−1+7b−1=3b+2b−1−1+7b−1=b −1+7b−1≥2√7，当且仅当b −1=7b−1，即b =1+√7时取等号， 故则3a−1+7b−1的最小值2√7． 故答案为：2√7．由已知得，a =b+2b−1>0，从而可得b >1，然后把a =b+2b−1代入所求式子，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，属于基础题．16.【答案】√318【解析】解：如图，连接PO ，BD ，取CD 的中点E ，连接PE ，OE ，过O 作OH ⊥PE 于H.易知PO ⊥底面ABCD ，设AB =4，则BD =√BA 2+BC 2=4√2，BO =12BD =2√2，PO =√BP 2−BO 2=2√2．设球M 的半径为R ，半球O 的半径为R 0.则R =2√2.易知R 0=OH.则R 0R =OH PO=OE PE =1√3，故V 半球O V 球M=12×4πR 0334πR 33=12(R 0R )3=√318．故答案为：√318．连接PO ，BD ，取CD 的中点E ，连接PE ，OE ，过O 作OH ⊥PE 于H.说明PO ⊥底面ABCD ，设AB =4，求出PO ，设球M 的半径为R ，半球O 的半径为R 0.则R =2√2.然后转化求解半球O 的体积与球M 的体积的比值．本题考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)依题意有A =1，最大值与最小值间的横坐标最小距离为π，则T2=π，T =2π，ω=1，则f(x)=sin(x +φ)，将点M(π3,12)代入得sin(π3+φ)=12，而0<φ<π， ∴π3+φ=56π，∴φ=π2， 故f(x)=sin(x +π2)=cosx ； (2)f(α)=cosα=2√55，f(β+π2)=−sinβ=−√1010⇒sinβ=√1010， α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，∴sinα=√55，cosβ=3√1010，∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=2√55×3√1010−√55×√1010=√22， α+β∈(0,π)，∴α+β=π4．【解析】(1)利用最高点求出A ，再根据最值间横坐标的差的绝对值求出周期，进而求出ω，再结合最值点求出φ得值；(2)根据已知求出α，β的三角函数值，然后利用两角和与差的三角函数公式求解即可． 本题考查三角函数的图像与性质，属于中档题．18.【答案】解：(1)从图中可观察星星的构成规律，n =1时，有1个； n =2时，有1+2=3个； n =3时，有1+2+3=6个； n =4时，有1+2+3+4=10个； ∴a 5=1+2+3+4+5=15， a 6=1+2+3+4+5+6=21． a n =1+2+3+4+⋯+n =n(n+1)2．(2)∵a n =n(n+1)2，∴1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，∴{1a n}的前n 项和S n =2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=2(1−1n+1)=2nn+1． (3)∵b n =2n 2−9n−112n ，S n =2nn+1，∴c n =S n ⋅b n =2nn+1×2n 2−9n−112n=2n −11，∴数列{|c n |}的前n 项和：T n =|2−11|+|4−11|+|6−11|+|8−11|+|10−11|+|12−11|+|14−11|+⋯+|2n −11|=9+7+5+3+1+1+3+⋯+(2n −11) =−a 1−a 2−a 3−a 4−a 5+a 6+a 7+⋯+a n ={−S n ,0<n ≤5S n −2S 5,n ≥6={−[−9n +n(n−1)2×2],0<n ≤5−9n +n(n−1)2d +50,n ≥6 ={10n −n 2,0<n ≤5n 2−10n +50,n ≥6．【解析】本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意观察法、裂项求和法、分类讨论法的灵活运用．(1)由图中所给的星星个数：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+⋯+n ；得出数列第n 项，即通项公式． (2)由a n =n(n+1)2，知1a n=2(1n −1n+1)，利用裂项求和法能求出{1a n}的前n 项和S n ．(3)由b n =2n 2−9n−112n，S n =2n n+1，知c n =S n ⋅b n =2n n+1×2n 2−9n−112n=2n −11，由此能求出数列{|c n |}的前n 项和．19.【答案】解：(1)由ccosA +(a +2b)cosC =0，得sinCcosA +(sinA +2sinB)cosC =0， 即sin(A +C)=−2sinBcosC ， 从而cosC =−12， 而C ∈(0°,180°)， 可得C =120°．(2)∵S =12absin120°=4√3， ∴ab =16，∵AD 2=b 2+(a2)2−2×b ×a2×cos120°=b 2+(a2)2+ab 2≥2b ⋅a 2+ab 2=32ab =24，当且仅当b =12a ，即a =4√2,b =2√2时，等号成立， 此时AB 2=32+8−2×4√2×2√2×(−12)=56， 故AB =2√14．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得cosC =−12，结合C ∈(0°,180°)，可得C 的值．(2)由已知利用三角形的面积公式可求ab =16，进而根据余弦定理，基本不等式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.【答案】(本小题满分12分)证明：(1)∵PD =PB ，且O 为BD 中点，∴PO ⊥BD ． 在菱形ABCD 中，∵∠BCD =60°，AB =2，∴OA =√3，OB =1，又PB =2，∴PO =√3．∵PA =√6，∴PA 2=PO 2+OA 2，∴PO ⊥OA ． ∵BD ∩AO =O ，∴PO ⊥平面ABCD.(5分) (2)①∵V P−ABCD =13S 菱形ABCD ×PO =2， ∴V M−PAD =12，即13S △MAD ×PO =12， ∴DM =1，M 为CD 的中点．(7分) ②作MN//OC ，交BD 与点N ，连结PN ． ∵AC ⊥BD ，AC ⊥PO ，∴AC ⊥平面PBD ，∴MN ⊥平面PBD ，∠MPN 是MP 与平面PBD 所成的角． ∵MN =12OC =√32，PN =√PO 2+ON 2=√132， ∴tan∠MPN =MN PN=√3913． 故PM 与平面PBD 所成角的正切值为√3913.(12分)【解析】(1)推导出PO ⊥BD ，PO ⊥OA.由此能证明PO ⊥平面ABCD ．(2)①由V P−ABCD =13S 菱形ABCD ×PO =2，得V M−PAD =13S △MAD ×PO =12，由此能求出M 为CD 的中点．②作MN//OC ，交BD 与点N ，连结PN.推导出MN ⊥平面PBD ，∠MPN 是MP 与平面PBD 所成的角．由此能求出PM 与平面PBD 所成角的正切值．本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：(1)因为e x >0，所以不等式f(x)>0即为ax 2+x >0，又因为a <0，所以不等式可化为x(x +1a )<0， 所以不等式f(x)>0的解集为(0,−1a ).(2)当a =0时，方程即为xe x =x +2，由于e x >0，所以x =0不是方程的解 所以原方程等价于e x −2x −1=0，令ℎ(x)=e x −2x −1， 因为ℎ′(x)=e x +2x 2>0对于x ∈(0,+∞)恒成立， 所以ℎ(x)在(0,+∞)内是单调增函数， 又ℎ(1)=e −3，ℎ(2)=e 2−2>0，所以方程f(x)=x +2有且只有1个实数根，在区间[1,2]， 所以正整数k 的值为 1．(3)f′(x)=(2ax +1)e x +(ax 2+x)e x =[ax 2+(2a +1)x +1]e x ，①当a =0时，f′(x)=(x +1)e x ，f′(x)≥0在[−1,1]上恒成立，当且仅当x =−1时取等号，故a =0符合要求；②当a ≠0时，令g(x)=ax 2+(2a +1)x +1，因为Δ=(2a +1)2−4a =4a 2+1>0， 所以g(x)=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，不妨设x 1>x 2， 因此f(x)有极大值又有极小值．若a >0，因为g(−1)⋅g(0)=−a <0，所以f(x)在(−1,1)内有极值点， 故f(x)在[−1,1]上不单调． 若a <0，可知x 1>0>x 2，因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[−1,1]上单调，因为g(0)=1>0， 必须满足{g(1)≥0g(−1)≥0即{3a +2≥0−a ≥0，所以−23≤a <0．综上可知，a 的取值范围是[−23,0].【解析】(1)根据指数函数值大于0恒成立，将不等式f(x)>0化为ax 2+x >0，结合a <0，可得不等式f(x)>0的解集；(2)当a =0时，方程即为xe x =x +2，即e x −2x −1=0，令ℎ(x)=e x −2x −1，利用导数法可判断出ℎ(x)的单调性，结合零点判定定理，可得正整数k 的值(3)求出函数f(x)的导函数的解析式，进而由f(x)在[−1,1]上是单调增函数，f′(x)≥0恒成立，对a 进行分类讨论后，可得a 的取值范围．本题考查的知识是利用导数求闭区间上函数的最值，函数的单调性与导数的关系，熟练掌握导数法在求函数单调性，最值，极值的方法是解答的关键．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =√3sinα(α为参数)，消去参数α，可得C ：x 24+y 23=1；直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22．即√22ρcosθ−√22ρsinθ=√22，所以l ：x −y −1=0；(Ⅱ)l ：{x =2+√22t y =1+√22t(t 为参数)，将其代入椭圆方程得72t 2+10√2t +4=0，M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，有t 1+t 2=−20√27,t 1t 2=87，所以|PM|+|PN|=|t 1+t 2|=20√27．【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，考查转化思想以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)消去参数得到普通方程，利用极坐标与直角坐标方程的互化求解即可．(Ⅱ)参数方程代入椭圆方程得72t 2+10√2t +4=0，利用韦达定理以及参数的几何意义求解即可．23.【答案】解：(1)f(x)=|x −4|+|1−x|=|x −4|+|x −1|={−2x +5,x ≤13,1<x <42x −5,x ≥4，则f(x)≤5等价于{x ≤1−2x +5≤5或{1<x <43≤5或{x ≥42x −5≤5，解得0≤x ≤1或1<x <4或4≤x ≤5． 综上，不等式f(x)≤5的解集为{x|0≤x ≤5}； 证明：(2)由(1)知，f(x)的最小值为3，即m =3， 则a +b =3，证明：(2)由a ≥0，b ≥0，知a +2>0，b +1>0，∴1a +2+1b +1=16[(a +2)+(b +1)](1a +2+1b +1)=16(2+b+1a+2+a+2b+1)≥16(2+2√b+1a+2⋅a+2b+1)=23．当且仅当a=1且b=2时等号成立．∴1a+2+1b+1≥23．【解析】(1)写出分段函数解析式，把原不等式转化为三个不等式组求解；(2)由(1)求得函数的最小值m，再由1a+2+1b+1=16[(a+2)+(b+1)](1a+2+1b+1)，展开后利用基本不等式证明．本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，训练了基本不等式的应用，是中档题．。
2021-2022年高三上学期期中考试文数学试题word版含答案
2021-2022年高三上学期期中考试文数学试题word 版含答案一、选择题(每小题5分，共60分)1.设集合2{|21},{|10}x A x B x x -=<=-≥，则等于（ ） A. B. C. D.2.若复数Z ，是虚数单位）是纯虚数，则Z 的值为（ ） A.2 B.3 C. D.3.下列说法正确的是（ ） A.命题“使得 ”的否定是：“”B.“”是“)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在上为增函数”的充要条件C.“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件D.命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则p 是真命题4．已知数列的前项和为，且满足，，则＝( )A ．7B ．12C ．14D ．215.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）A B CD6.如果是二次函数, 且 的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线 上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ．7.直线：与圆M ：相切，则的值为 ( )A.1或－6B.1或－7C.－1或7D.1或8. 已知函数(a >0且a ≠1)的图象过定点P,且点P 在直线mx ＋ny －1＝0(m >0，且n >0)上，则1m ＋4n 的最小值是 ( )A.12B.16C.25D.249. 在约束条件21010x x y m x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥下，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D.10. 已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ） A. B. C. D 11.若均为单位向量，， ，则的最大值是（ ）A ． B. C ． D.12. 设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 在中，分别是内角的对边，若，的面积为，则的值为 .14. 已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别为BC、CD的中点，则 .15. 把一个半径为 cm的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为 .16. 函数的图象与过原点的直线有且只有三个交点,设交点中横坐标的最大值为,则= ___ .三．解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知向量，＝，函数.(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．18.(本小题满分12分)已知数列满足,其中.(1)设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；(2)设，数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于N*恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.19.(本小题满分12分)设函数（1）求函数的最小值；（2）若恒成立，求实数的取值范围． 20. (本小题满分12分) 如图所示，和是 边长为2的正三角形，且平面平面， 平面，. （1）证明：；（2）求三棱锥的体积.21.（本小题满分12分)己知函数（1）若是的极值点，求在上的最大值；（2）在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由.22. (本小题满分12分))()()(,x g x F x f D x ≤≤∈∀有，则称为与在上的一个“分界函数”.如[]210,1,1(1)1x x x x e x-∀∈-≤+≤+成立，则称[]21(1)10,11x y x e y x y x-=+=-=+是和在上的一个“分界函数”。
2021-2022年高三数学上学期期中试题 文(含解析)新人教A版
2021-2022年高三数学上学期期中试题文（含解析）新人教A版【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、简单的线性规划、圆锥曲线，数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)【题文】1.直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【知识点】直线的倾斜角与斜率、直线的方程H1【答案解析】B 由直线的方程可知其斜率k＝－∈[－，]，设直线的倾斜角为θ，则tanθ∈[－，]，且θ∈[0，π)，所以θ∈[0，]∪[，π)．故选B【思路点拨】先求出斜率的取值范围，再求出倾斜角的范围。
【题文】2. 已知集合，，则 ( )A．{｜0＜＜} B.{｜＜＜1} C.{｜0＜＜1} D.{｜1＜＜2}【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 对于集合：M：由x＞x2，解得0＜x＜1，∴M={x|0＜x＜1}．∵0＜x＜1，∴1＜4x＜4∴.＜＜2．∴N={y|＜y＜2}．∴M∩N={x|＜x＜1}．故选B．【思路点拨】利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合M，N．再利用交集的运算即可得出．【题文】 3. 下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．“”是“”的必要不充分条件.C．命题“若，则”的逆否命题为真命题.D．命题“使得”的否定是：“均有”．【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2【答案解析】C 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”．所以，选项A不正确；由x=-1，能够得到x2-5x-6=0．反之，由x2-5x-6=0，得到x=-1或x=6．所以，“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件．所以，选项B 不正确；“若x=y”，则“sinx=siny”为真命题，所以其逆否命题也为真命题．所以，选项C 正确；命题“∃x0∈R ，x02+x0+1＜0”的否定是“对∀x ∈R ，x2+x+1≥0”．所以，选项D 不正确．故选C ．【思路点拨】题目给出的四个命题，A 是写出一个命题的否命题，既要否定条件，又要否定结论；B 是分析充要条件问题，由x=-1，一定能得到x2-5x-6=0，反之，由x2-5x-6=0，得到的x 的值还可能是6；C 是考查互为逆否命题的两个命题共真假；D 是考查特称命题的否定，特称命题的否定式全称命题．【题文】4. 已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则（ ）A. 27B.3C. 或3D.1或27【知识点】等差数列 等比数列 D2 D3【答案解析】A ∵成等差数列∴3a1+2a2=a3，∴3a1+2a1q=a1q2∴q2-2q-3=0∵q ＞0∴q=3∴=q3=27故选A【思路点拨】由已知可得，3a1+2a2=a3，结合等比数列的通项公式可求公比q ，而=q3，代入即可求解.【题文】5. 函数的定义域为，则函数的定义域为 ( )A ．B ．C ．D ．【知识点】函数及其表示B1【答案解析】D 函数的定义域（0,1）所以0<1，0<10则或故选D.【思路点拨】根据复合函数的定义域对数函数的性质求出定义域。
2021-2022年高三上学期期中学业水平测试数学文试题 含答案
2021-2022年高三上学期期中学业水平测试数学文试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号等写在答题卡的指定区域，并用2B铅笔把准考证号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．所有试题考生必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．一、选择题：本题共12个小题。
每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x｜｜x｜≤1}，B＝{x｜＞0}，A∩B＝A． B．{x｜0≤x≤1} C．{x｜－1≤x≤1} D．{x｜0＜x≤1}2．若复数的实部与虚部分别为a，b，则ab等于A．2i B．2 C．－2 D．－2i 3．设abc＞0，二次函数f（x）＝a＋bx＋c的图象可能是4．已知等比数列{}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a3a5A．4 B．8 C．64 D．1285．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A．4cm3 B．5cm3C．6cm3 D．7cm36．与直线x－y－4＝0和圆＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是A． B．C． D．7．把函数y＝sin（x＋）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝8．如果执行右面的框图，输入N＝5，则输出的数等于A． B．C． D．9．已知函数y＝（a＞0，a≠1）图象恒过定点A，若点A在直线mx＋2ny－2＝0上（mn＞0），则的最小值为A．2 B．3C．4 D．510．棱长都相等的三棱锥（正四面体）ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M 是线段AO上一点，且∠BMC是直角，则的值为A．1 B． C． D．11．已知点P是双曲线（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M为△PF1F2的内心，若＝＋成立，则双曲线的离心率为A．2 B． C．3 D．412．定义：若数列{}对任意的正整数n，都有｜｜＋｜｜＝d（d为常数），则称{}为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列” {}中，a1＝2，“绝对公和”d＝2，则其前xx项和Sxx的最小值为A．－xx B．－xx C．－xx D．－xx第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题．每小题5分,共20分．13．已知函数f（x）＝, 则f（f（））__________．14．△ABC中，BC＝4，B＝且△ABC面积为2，则角C大小为__________．15．下列三种说法①命题“存在x∈R，使得＋1＞3x”的否定是“对任意x∈R，＋1≤3x”；②设p，q是简单命题，若“p或q”为假命题，则“且”为真命题；③已知任意非零实数x，有x＞f（x），则f（2）＜2f（1）成立，其中正确说法的序号是____________．（把你认为正确说法的序号都填上）16．已知点P（x，y）在由不等式组301010xxx⎧⎪⎨⎪⎩＋y－≤－y－≤－≥确定的平面区域内，O为坐标原点，点A（－1，2），则｜｜·cos∠AOP的最大值是______________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知向量＝（cos2x，sin2x），＝（，1），函数f（x）＝·＋m．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0，]时，f（x）的最小值为5，求m的值．18．（本小题满分12分）如图所示，矩形ABCD中，AC∩BD＝G，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥C－BGF的体积．19．（本小题满分12分）某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果如图表所示：（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人?（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的2人中至少有一个第2组的人的概率．20．（本小题满分12分）设A是抛物线y＝a（a＞0）准线上任意一点，过A点作抛物线的切线l1，l，切点为P，Q．2（1）证明：直线PQ过定点；（2）设PQ中点为M，求｜AM｜最小值．21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝（a，b∈R）．（Ⅰ）若y＝f（x）图象上（1，－）处的切线的斜率为－4，求y＝f（x）的极大值．（Ⅱ）y＝f（x）在区间[－1，2]上是单调递减函数，求a＋b的最小值．请考生在第22，23，24题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD．（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程是xy⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋（t是参数），圆C的极坐标方程为ρ＝2cos（θ＋）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数f（x）＝｜x－a｜＋2x，其中a＞0．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若x∈（－2，＋∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围．焦作市xx~xx(上) 期中高三年级学业水平测试数学答案（文）一、选择题CBDC ACAD CAAA二、填空题13、 14、 15、①② 16、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2021-2022年高三上学期期中检测数学(文)试卷 含答案
2021年高三上学期期中检测数学（文）试卷含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8题，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合，，则集合（A）（B）（C）（D）（2）是虚数单位，复数=（A）（B）（C）（D）（3）命题“对”的否定是（A）（B）（C）（D）（4）某程序框图如右图所示，则输出的结果S等于（A ） （B ） （C ） （D ）（5）设0.30.33log 2,log 2,2,a b c ===则这三个数的大小关系是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）（6）已知，，，若，则（A ） （B ） （C ） （D ）（7）函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（A ） （B ） （C ） （D ）（8）如图，在三角形中，已知，，，点为的三等分点．则的取值范围为 （A ） （B ） （C ） （D ）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．．．．．．．．．。
2．本卷共12题，共110分。
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （9）设全集，集合，，则 ． （10） ． （11）计算：2log 151log 25lg2100++= ． 第（8）题图CDBA第14题图（12）在中， ，，，则的面积等于____. （13）设函数，则的值是________．（14）如图，△为圆的内接三角形，为圆的弦， 且． 过点作圆的切线与的延长线交于点， 与交于点．若，，则线段的长为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知集合[]{}|(2)(31)0A x x x a =--+< ，． （Ⅰ）当时，求;（Ⅱ）求使的实数 的取值范围． （16）（本小题满分13分）在等差数列｛}中，已知，， （Ⅰ）求数列｛}的通项； （Ⅱ）求数列｛}的前9项和; （Ⅲ）若，求数列的前项和.（17）（本小题满分13分）已知πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭4cos ,0,52, （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求 的值．（18）（本小题满分13分）已知函数()sin 2cos 2f x x x ωω=+．（）的最小正周期为，（Ⅰ）求的值及函数的单调递减区间；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值．（19）（本小题满分14分）已知函数，满足(0)2,(1)()21=+-=-f f x f x x（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值.（Ⅲ）若函数的两个零点分别在区间和内，求的取值范围.（20）（本小题满分14分）已知：已知函数，（Ⅰ）若曲线在点处的切线的斜率为，求实数；（Ⅱ）若，求的极值；（Ⅲ）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．高三期中文科数学答案（xx 、11）一、选择题：本卷共8题，共40分。
2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案
2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。
2021-2022年高三期中练习文科数学试题及答案
2021-2022年高三期中练习文科数学试题及答案一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知集合，，，则集合是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 下列函数中，是奇函数且在区间内单调递减的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知命题，使，则A ．，使B ．，使C ．，使D ．，使4．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则 ＝（ ）A. B.C. D.5.已知 160sin ,3log ,222===c b aA ．B ．C ．D ．6．已知向量（1，0），（0，1），（R ），向量如图所示.则（ ）A ．存在，使得向量与向量垂直B ．存在，使得向量与向量夹角为C ．存在，使得向量与向量夹角为D ．存在，使得向量与向量共线7. 已知为一等差数列，为一等比数列，且这6 ）①与可能同时成立；②与可能同时成立；③若，则；④若，则A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③8．若存在负实数使得方程 成立，则实数的取值范围是（ ）A ． B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．已知角的终边经过点, 则的值是____________.10. 在锐角中，角的对边分别为，已知则__________.11．已知直线与函数的图象相切，则切点坐标为 .12．在矩形中， 且点分别是边的中点，则_________.13．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是 ．14．设数列的通项公式为 数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最大值，则=____________，数列的通项公式=________．三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（I ）求数列的通项公式；（II ）若数列满足，求的前项和.16. （本小题共13分） 已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（I ）若，求的值；(1)(2)(3)（II ）求函数的单调增区间.17．（本小题共14分）已知函数是定义在上的偶函数，且时，.（I ）求的值；（II ）求函数的值域；（III ）设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域为集合，若，求实数的取值范围.18．（本小题共13分）已知定义在区间上的二次函数满足，且最大值为9.过动点作轴的垂线，垂足为，连接（其中为坐标原点）.（I ）求的解析式；（Ⅱ）记的面积为，求的最大值.19．（本小题共14分）在数列中，123...n n a a a a n a ++++=-（）．（I ）求的值；（II ）设，求证：数列是等比数列；（III ）设 （），如果对任意，都有，求正整数的最小值.20．（本小题共13分）对，定义1, 0sgn()0, 01, 0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．（I ）求方程的根；（II ）求函数)ln ()2sgn()(x x x x f -⋅-=的单调区间；（III ）记点集()()(){}sgn 1sgn 1,10,0,0x y S x y x y x y --=⋅=>>， 点集()(){}lg ,lg ,T x y x y S =∈，求点集T 围成的区域的面积．数 学 (文科)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13） ②③ （14）2， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=是偶数是奇数m m m m b m ,22,23 也可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈-=+=)(2,1)(12,1**N k k m k N k k m k b m 三、解答题(本大题共6小题,共80分)（15）（本小题共13分）解：（I ）设等比数列的公比为是和的等差中项……………………………………….2分………………………………………4分)(2*111N n q a a n n n ∈==∴--………………………………………6分（II ）)212()25()23()11(12-+-+++++++=∴n n n S . ……….8分)2221()]12(531[12-+++++-+++=n n ………..9分……….11分....……13分16．（本小题共13分）解：（I ）22cos 16sin 2cos 6cos 2sin )(x x x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分） ..........5分由，可得 ............7分所以 ............8分............9分（II ）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ， ...........11分 即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，单调递增.所以，函数的单调增区间是 ........... 13分17．（本小题共14分）解：（I ） 函数是定义在上的偶函数...........1分又 时，...........2分...........3分（II ）由函数是定义在上的偶函数，可得函数的值域即为时，的取值范围. ..........5分当时， ...........7分故函数的值域= ...........8分（III ）a x a x x g +-+-=)1()(2定义域}0)1({2≥+-+-=a x a x x B ...........9分方法一 ：由得，即 ...........11分且 ...........13分实数的取值范围是 ...........14分方法二：设当且仅当 ...........11分即 ...........13分实数的取值范围是 ...........14分18．（本小题共13分）解：（I ）由已知可得函数的对称轴为，顶点为 ..........2分方法一：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=944320)0(2a b ac ab f得 ...........5分得 ...........6分方法二：设 ...........4分由，得 ...........5分...........6分（II ）)6,0(),6(2121)(2∈-=⋅=t t t t AP OA t S ...........8分 )4(23236)('2t t t t t S -=-= ...........9分 列表 ...........11分由上表可得时，三角形面积取得最大值. 即2max 1()(4)4(644)162S t S ==⨯⨯-=. ...........13分 19．（本小题共14分）解：（I ）由已知可得，得 ...........1分，得 ...........2分，得 ...........3分（II ）由已知可得：时，时，111--+-=-=n n n n n a a S S a ……….4分得 ..........5分 时，)1(212121111-=-=---n n n a a a ……….6分 即时，， ...........7分数列是等比数列，且首项为，公比为 ............8分（III ）由（II ）可得， ...........9分n n n n n n n b c 2)(22-=-⋅= ...........10分 121212)3(22)1()1(+++-=--+-+=-n n n n n n n n n n n c c ...........11分 >>=<<54321c c c c c有最大值 ...........12分对任意，都有，当且仅当， ...........13分即，故正整数的最小值是4. ...........14分20． （本小题共13分）解：（I ）当时，，解方程，得（舍）或当时，，不是方程的解当时，，解方程，得（舍）或（舍）综上所述，是方程的根. ...........3分（每一种情况答对即得1分）（II ）函数的定义域是 ...........4分当时，，恒成立 ...........5分当时，，解得 ...........6分解得 ...........7分综上所述，函数)ln ()2sgn()(x x x x f -⋅-=的单调增区间是，单调减区间是. ...........8分 （III ）设点，则．于是有10)10()10()110sgn()110sgn(=⋅--y x y x ，得()()sgn 101sgn 1011x y x y ⋅-+⋅-=当时，x x x x x =-=->-)110sgn(,1)110sgn(,0110当时，x x xx x -=--=-<-)110sgn(,1)110sgn(,0110同理，...........11分点集T 围成的区域是一个边长为的正方形，面积为2． ...........13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.28089 6DB9 涹 37380 9204 鈄s? j24963 6183 憃-33724 83BC 莼40421 9DE5 鷥22646 5876 塶_39082 98AA 颪31491 7B03 笃。
2021-2022年高三上学期期中考试数学文试卷 含解析
2021-2022年高三上学期期中考试数学文试卷含解析一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．22．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．4 B．8 C．12 D．244．如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A．﹣++ B．﹣+ C．+﹣ D．+﹣5．设Sn ，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若=（n∈N*），则=（）A．B．C．D．6．已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=logx．设a=f（），b=f（），c=f（）则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）8．设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间[，]上不单调的ω的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．函数f（x）=x•e x在极值点处的切线方程为．10．设Sn 是等比数列{an}的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是．11．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D为BC边上的点，且•=0，若=，则（+）•= ．12．设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为．13．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小．14．设0＜a≤1，函数f（x）=x+﹣1，g（x）=x﹣2lnx，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是．三．解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．16．（13分）福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金（百元）月资金最多供应量（百元）空调冰箱进货成本3020300工人工资510110每台利润6817．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．18．（13分）已知单调递增的等比数列{an }满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =an•log2an，其前n项和为Sn，若（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（n∈N，n＞1）20．（14分）设等差数列{an }的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40．数列{bn}的前n项和为Tn ，且Tn﹣2bn+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an }，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn =，求数列{cn}的前n项和Pn．xx天津市六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（xx•成都模拟）复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的化数形式的乘除运算法则求解．【解答】解：∵z=====1+2i，∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2．故选：D．【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的化数形式的乘除运算法则的合理运用．2．（xx•天津校级模拟）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y 的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；不等式．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．3．（xx秋•许昌月考）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．4 B．8 C．12 D．24【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】该几何体是三棱锥，一个侧面垂直于底面，要求三棱锥的体积，求出三棱锥的高即可．【解答】解：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是一个直角三角形，斜边为6，斜边上的高为2，底面三角形面积为：S=，三棱锥的高是h==2，它的体积v==××6×=4，故选A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是基础题．4．（xx秋•天津期中）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++ B．﹣+ C．+﹣ D．+﹣【考点】空间向量的加减法．【专题】空间向量及应用．【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．5．（xx秋•天津期中）设Sn ，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若=（n∈N*），则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和求和公式进行解答．【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：=====．故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属中档题．6．（xx秋•天津期中）已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=logx．设a=f（），b=f（），c=f（）则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】对数函数的图象与性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据已知中f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=logx．分别判断a，b，c的值，或范围，可得答案．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=logx．∴a=f（）=f（﹣）=﹣f（）∈（﹣1，0），b=f（）=f（﹣）=﹣f（）=﹣1，c=f（）=f（）=1；∴b＜a＜c，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，对数的运算性质，难度中档．7．（xx•北京模拟）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的单调性问题转化为2mt2+4t+m＜0，通过讨论m的范围，得到关于m的不等式，求出m的范围即可．【解答】解：由f（x）=x﹣sinx，可得f'（x）=1﹣cosx≥0，故f（x）在[0，+∞）上单调递增，再由奇函数的性质可知，f（x）在R上单调递增，由f（﹣4t）＞f（2mt2+m），可得﹣4t＞2mt2+m，即2mt2+4t+m＜0，当m=0时，不等式不恒成立；当m≠0时，根据条件可得，解之得，综上，m∈（﹣∞，﹣），故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．8．（xx秋•天津期中）设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间[，]上不单调的ω的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】三角函数的最值．【专题】分类讨论；分类法；三角函数的图像与性质．【分析】使函数y=sinωx在区间[，]上不单调，只需对称轴在[，]即可．【解答】解：根据正弦函数图象及性质：对称轴方程为ωx=+kπ，（k∈Z）．解得：x=+，（k∈Z）．∵函数y=sinωx在区间[，]上不单调，∴＜+＜，（k∈Z），解得：1.5+3k＜ω＜2+4k，（k∈Z）．由题意：ω∈N*且ω≤15，当k=0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；当k=1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取：5；当k=2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取：8，9；当k=3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取：11，12，13；当k=4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取：14，15；∴ω∈N*且ω≤15，y=sinωx在区间[，]上不单调时，ω可以4个数，即5，8，9，11，12，13；14，15．故选：C．【点评】本题考查了正弦函数图象及性质的灵活运用，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（xx秋•天津期中）函数f（x）=x•e x在极值点处的切线方程为y=﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】求出导数，可得极值点和单调区间，求得极值，再由切线的斜率，可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）=x•e x的导数为f′（x）=e x+xe x，由f′（x）=0，可得x=﹣1，当x＞﹣1时，f′（x）＞0；当x＜﹣1时，f′（x）＜0．可得x=﹣1为极小值点，极值为﹣．在极值点处的切线斜率为0．可得在极值点处的切线方程为y+=0，即为y=﹣．故答案为：y=﹣．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和极值、单调区间，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．10．（xx秋•扬州期末）设Sn 是等比数列{an}的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的公比，由已知求得，代入的展开式后得答案．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由a5+2a10=0，得，∵a1≠0，∴．则===．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础的计算题．11．（xx秋•天津期中）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D为BC边上的点，且•=0，若=，则（+）•= 8 ．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由题，已知∠BAC=120°，AB=AC=4，可将问题转化为以向量与为基底的向量线性运算．或者由•=0分析得AD⊥BC，且D为线段BC的中点，又根据=可得E为BD的中点，故问题转化为以向量与为基底的向量线性运算．【解答】解：∵•=0∴AD⊥BC又∵AB=AC=4，∠BAC=120°∴D为BC的中点，且∠BAD=60°，AD=2∴（+）•=2•==2×4×cos60°+22=8故填空：8．【点评】考查平面向量基本定理，平面向量线性运算，属于基础题．12．（xx秋•郑州期末）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为9 ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由已知式子变形可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，解关于的一元二次不等式可得．【解答】解：∵x，y均为正数，且+=，∴=，整理可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，整理可得（）2﹣2﹣3≥0，解得≥3，或≤﹣1（舍去）∴xy≥9，当且仅当x=y时取等号，故答案为：9【点评】本题考查基本不等式和不等式的解法，属基础题．13．（xx秋•梅州校级期末）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小90°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】将异面直线所成角转化成证明线面垂直，根据题目的条件很容易证得线面垂直，则异面直线互相垂直．【解答】解：如图，取A1B1的中点D，连接BD，C1D若，B1A⊥BD，B1A⊥C1D，BD∩C1D=D∴B1A⊥面C1DB，而C1B⊂面C1DB∴B1A⊥C1B，故答案为90°【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．14．（xx秋•天津期中）设0＜a≤1，函数f（x）=x+﹣1，g（x）=x﹣2lnx，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是[2﹣2ln2，1] ．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得g′（x）=1﹣，x∈[1，2]，g′（x）＜0，x∈（2，e]，g′（x）＞0，∴g（x）min=g（2）=2﹣2ln2，令f'（x）=0，∵0＜a＜1，x=±，当0＜a≤1，f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）min=f（1）=a≥2﹣2ln2，∴2﹣2ln2≤a≤1，故答案为[2﹣2ln2，1]．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是将对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，转化为对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x）min≥g（x）min．三．解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）（xx•平度市模拟）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，即ω=1，则f（x）=sin（2x﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，则函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2x﹣）=1，∴2C﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA代入得：b=3a，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a2﹣7=3a2，解得：a=1，则b=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．16．（13分）（xx春•汕头校级期末）福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金（百月资金最多供应量元）（百元）空调冰箱进货成本3020300工人工资510110每台利润68问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？【考点】简单线性规划．【分析】根据每月的资金供应量，我们先列出满足条件的约束条件，进而画出可行域，平移目标函数的变形直线，可得最优解．【解答】解：设每月调进空调和冰箱分别为x，y台，总利润为 z（百元）则由题意得目标函数是 z=6x+8y，即y=x+平移直线y=x，当直线过P点时，z取最大值由得P点坐标为P（4，9）=6×4+8×9=96（百元）将（4，）代入得zmax即空调和冰箱每月分别调进4台和9台是商场获得的总利润最大，总利润最大值为9600元【点评】本题是简单线性规划题，其步骤是设，列，画，移，求，代，答．17．（13分）（xx春•九江校级期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线，∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S△BCM===2，∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM===．【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（13分）（xx•湖北校级模拟）已知单调递增的等比数列{an }满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =an•log2an，其前n项和为Sn，若（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列的求和；对数的运算性质；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等比数列{an}的首项和公比，由已知列式求得首项和公比，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入bn =an•log2an，利用错位相减法求得Sn，代入（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1），分离变量m，由单调性求得最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的{an }首项为a1，公比为q．由题意可知：，解得：或，∵数列为单调递增的等比数列，∴an=2n；（Ⅱ）bn =an•log2an=n•2n，∴Sn =b1+b2+…+bn=1•21+2•22+…+n•2n，①2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②①﹣②，得：﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴Sn=（n﹣1）•2n+1+2，若（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）•2n+1+2﹣n﹣1]=m[（n﹣1）•2n+1+1﹣n]对于n≥2恒成立，即=对于n≥2恒成立，∵=，∴数列{}为递减数列，则当n=2时，的最大值为．∴m≥．则实数m得取值范围为[，+∞）．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，训练了利用数列的单调性求最值，是中档题．19．（14分）（xx秋•天津期中）已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（n∈N，n＞1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；导数的综合应用．【分析】（1）求导，利用导数得出函数单调性；（2）对a进行分类：当a≤0时，f（x）递减，又知f（1）=0可得f（x）＞0 （x ∈（0，1）；=f（a）=alna﹣a+1，让最大值小于等于零即可；当a＞0时，只需求f（x）max（3）利用（2）的结论，对式子变形可得=＜=．【解答】解：（1）f'（x）=当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）递减；当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）递减，∵f（1）=0∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴f（x）=f（a）=alna﹣a+1max令g（a）=alna﹣a+1∴g'（a）=lna∴g（a）的最小值为g（1）=0∴alna﹣a+1≤0的解为a=1；（3）由（2）知：lnx＜x﹣1 x＞1∵=＜=∴++…+＜++…+=．【点评】考察了导函数求单调性和最值问题，利用结论证明不等式问题．难点是对式子的变形整理．20．（14分）（xx•中山二模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40．数列{bn }的前n项和为Tn，且Tn﹣2bn+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an }，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn =，求数列{cn}的前n项和Pn．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项an ，运用n=1时，b1=T1，n＞1时，bn=Tn﹣Tn﹣1，求出bn；（Ⅱ）写出cn，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意，得，解得，∴an=4n，∵Tn ﹣2bn+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，Tn﹣1﹣2bn﹣1+3=0，两式相减，得bn =2bn﹣1，（n≥2）则数列{bn}为等比数列，∴；（Ⅱ）．当n为偶数时，Pn =（a1+a3+…+an﹣1）+（b2+b4+…+bn）=．当n为奇数时，（法一）n﹣1为偶数，Pn =Pn﹣1+cn=2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1，（法二）Pn =（a1+a3+…+an﹣2+an）+（b2+b4+…+bn﹣1）=．∴．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用，考查方程的思想在数列中的运用，同时考查数列的通项与前n项和的关系式，考查数列的求和方法：分组求和，是一道综合题．K% 40495 9E2F 鸯 -27908 6D04 洄B31649 7BA1 管34775 87D7 蟗 22719 58BF 墿。
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2021年高三上学期期中数学文科试卷及答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确答案的序号填涂在答卷上.
1．已知{}{}{}5,4,2,5,4,35432==N M U ，，，，
＝，则（ ） A ． B ． C ． D ．
2．已知等差数列中，124971,16a a a a ，则==+的值是（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64
3．函数),2[,32)(2
+∞-∈+-=x mx x x f 当时是增函数，则m 的取值范围是（ ）
A ．[－8，+∞）
B ．[8，+∞）
C ．（－∞，－ 8]
D ．（－∞，8] 4．下列结论正确的是（ ）
A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时
B ．
C ．的最小值为2
D ．当无最大值
5．设表示两条直线，表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若，∥，则∥ B ．若 C ．若∥，，则 D ．若
6．如图，在中，已知，则（ ） A ． B ．
C ．
D ．
7．已知正数x 、y 满足，则的最大值为（ ）
A ．8
B ．16
C ．32
D ．64
8．下列四种说法中,错误．．
的个数是（ ） ①．命题“2
,320x
R x x ∀
∈--
≥均有”的否定是：“
2
,320x R x x ∃∈--≤使得” ②．“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；
③．“若”的逆命题为真； ④．的子集有3个
A ．个
B ．1个
C ．2 个
D ．3个 9. 将函数图象上的所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到图象，再将图象沿轴向左平移个单位，得到图象，则图象的解析式可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．函数的零点的个数是（ ）
A ．个
B ．1个
C ．2 个
D ．3个
二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分，共20分。
D
C
B
A
A
B
C
D D 1 C 1
B 1
A 1
11．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 。
12. 已知某实心几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积为 。
13．已知两个非零向量，定义，其中为与的夹角。
若)1,1(),3,1(--=--=+b a b a ，则＝ 。
14．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），，则第80个数对是 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(本小题满分12分)
如图所示，直棱柱中，底面是直角梯形，，． （1）求证：平面；
（2）在A 1B 1上是否存一点，使得与平面平行？证
明你
的结论．
16．（本小题满分12分）
已知直角坐标平面上四点(0,0),(1,0),(0,1),(2cos ,sin )O A B C θθ,满足.
（1）求的值； （2）求2
2cos()
312sin 2
π
θθ
--的值
17．（本小题满分14分）
设集合，{}
012322<--+-=m m mx x x B . （1）若，求m 的取值范围； （2）若，求m 的取值范围. 18．（本小题满分14分）
某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用．
（1）把房屋总造价表示成的函数，并写出该函数的定义域. （2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？
19．（本小题满分14分）
设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在及时取得极值． （1）求a 、b 的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c 的取值范围． 20．（本小题满分14分）
已知数列中，，且)2()1(11≥-+=-+n ta a t a n n n ． （1）若，求证：数列是等比数列． （2）求数列的通项公式． （3）若*)(12,221
2N n a a b t n
n n ∈+=<<，试比较与的大小．
A B
C
D1C1
B1
A1
佛山一中xx－xx上学期高三期中考试
文科数学答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确答案的序号填涂在答卷上.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B D C B D B C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分。
11、12、13、 2 14、(2,12)
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(本小题满分12分)
直棱柱中，底面是直角梯形，，．
（1）求证：平面；
（2）在A1B1上是否存一点，使得与平面平行？证明你的结论．
15．（1）证明：直棱柱中，平面，…2分
∴45,
AC CAB BC BC AC
=∠=︒∴=∴⊥…………………5分又平面．………………6分
（2）存在点，为的中点可满足要求．…………………7分
证明：由为的中点，有，且…………………8分
又∵
1
1
//,,//
2
CD AB CD AB CD PB
=∴，且，
∴为平行四边形，…………………10分
又面，面，面…………………12分
16．（本小题满分12分）
已知直角坐标平面上四点(0,0),(1,0),(0,1),(2cos,sin)
O A B Cθθ,满足.
（1）求的值；（2）求
2
2cos()
3
12sin
2
π
θ
θ
-
-
的值
16．解（1），2分
由已知有6分
（2）
θ
θ
θ
θ
θ
π
cos
sin
3
cos
2
cos
2
1
)
3
cos(
2
2
+
=
-
-
10分
= = 12分
P
17．（本小题满分14分）
设集合，{}
012322<--+-=m m mx x x B . （1）若，求m 的取值范围； （2）若，求m 的取值范围.
18．（本小题满分14分）
某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，由于
地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用． （1）把房屋总造价表示成的函数，并写出该函数的定义域.
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？
19．（本小题满分14分）
设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在及时取得极值． （1）求a 、b 的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c 的取值范围。
19．解：（1）， 1分 依题意，得，即 4分
经检验，，符合题意． 5分
（2）由（1）可知，32()29128f x x x x c =-++，2
()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
7分
所以，当时，的最大值为． 11分 因为对于任意的，有恒成立，所以 ， 13分 因此的取值范围为． 14分 20．（本小题满分14分）
已知数列中，，且)2()1(11≥-+=-+n ta a t a n n n ． （1）若，求证：数列是等比数列． （2）求数列的通项公式． （3）若
*)(12,221
2N n a a b t n
n n ∈+=<<，试比较与的大小． 20．解：⑴由已知得，当时，11()(2)n n n n a a t a a n +--=-≥ 2分
∴，又0)1(2
12≠-=-=-t t t t a a
∴是首项为，公比为的等比数列 4分 ⑵由⑴得，当时，2
1
1()(1)n n n a a t t t t -+-=-≠，即 5分
∴，，…，，
将上列各等式相加得，∴ 6分
当时，…，∴
综上可知 8分 ⑶由，得 9分
∵11(2)1
(2)()(2)2(2)n
n
n n n n n n
t t t t t -+-+=-，又，∴，，
∴，∴，∴ 11分
∴………
11[1()]
12(21)22[]122112
n n
--=+
-
-112(12)22222n n n n --=-+<-⋅=- 14分。