角平分线背景下线段倒数和定值问题(修订版)
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘 之角平分线问题(含答案)
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。
北师大版八年级数学下册教材配套教学课件 1.4.1角平分线(第1课时)(课件)
第一章 三角形的证明
●1.4 角平分线
第1课时 角平分线
一、情景导入
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公
路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
O
解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ，D即为所求.
D S
C
二、探索新知
定理
内容
条件
结论
图示
性质 角平分线上的点到 定理 角两边的距离相等.
OP 平分∠AOB，
PD⊥OA，PE⊥OB
PD = PE
判定 定理
在一个角的内部，到 角两边距离相等的点 在角的平分线
O
PD⊥OA,PE⊥OB，
PD=PE.
OP 平分∠AOB
A D
C P
EB
三、典例精练
知识点一：角平分线的性质 例1 ：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
几何语言：
O
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
A
D C
P
E
B
应用：常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）
角平分线性质与判定定理
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
逆
命
O
题
AD CPE NhomakorabeaB
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 思考：这个 结论正确吗？
北师大版八年级数学下册 第一章 1.4 角平分线 第1课时 角平分线的性质定理及逆定理 【名校教案 集体备课】
1.4 角平分线第1课时角平分线的性质定理及逆定理【教学目标】【知识与技能】会证明角平分线的性质定理及其逆定理【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.【情感态度】经历探索、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法.【教学重点】1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；2．正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.【教学难点】能够正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.【教学过程】一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质定理【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EBD ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝DF ，DC ＝DE ，∴Rt △CDF ≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ，∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12×AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F .求证：CE ＝CF .解析：由角平分线上的性质可得DE ＝DF ，再利用“HL ”证明Rt △CDE 和Rt △CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF . 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．探究点二：角平分线的判定定理【类型一】 角平分线的判定如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ，∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF (HL)，∴DE ＝DF .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】 角平分线的性质和判定的综合如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F .下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF ；②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 可得DE ＝DF ，由此易得△ADE ≌△ADF ，故∠ADE ＝∠ADF ，即①AD 平分∠EDF 正确；②AE ＝AF 正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE 、AF 距离相等的点，在∠BAC 的角平分线AD 上，到DE 、DF 的距离相等的点在∠EDF 的平分线DA 上，两者同一条直线上，所以到DE 、DF 的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题如图，△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点D .求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：分别过点D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．证明：分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G .∵BD 平分∠CBE ，DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点D 在∠BAC 的平分线上，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．【类型四】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O .(1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC ≌△AOD ，可得AO 平分∠DAC ，根据角平分线的性质可得OE ＝OF .解：(1)∵AB 、CD 互相垂直平分，∴OC ＝OD ，AO ＝OB ，且AC ＝BC ＝AD ＝BD ；(2)OE ＝OF ，理由如下：在△AOC 和△AOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，OC ＝OD ，AO ＝AO ，∴△AOC ≌△AOD (SSS)，∴∠CAO ＝∠DAO .又∵OE ⊥AC ，OF ⊥AD ，∴OE ＝OF .方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．三、当堂检测1.如图，已知：∠C=90°，DE 是AB 的垂直平分线，D 为垂足，交BC 于E ，AB=2AC. 求证：CE=DE.证明：连接AE，由于∠C=90°，AB=2AC，∴∠B=30°，∠CAB=60°.∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=30°，∴∠CAE=60°－30°=30°，即AE是∠CAB的角平分线，∴CE=DE.2.如图，已知：E是∠AOB的平分线上的一点，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D. 求证：OE垂直平分CD.证明：∵OE是∠AOB的平分线，∴CE=DE，∴Rt△OCE≌Rt△ODE，∴OC=OD，∴O与E都在CD的垂直平分线上，∴OE垂直平分CD.3.如图，已知：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F. 求证：AD是EF的垂直平分线.证明：∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴A与D都在EF的垂直平分线上，∴AD就是EF的垂直平分线.四、板书设计1．角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线的判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．五、教学反思本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决.学生掌握较好.。
八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理
M
F
D P
O
E
N
挑战自我
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD
是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长 (2)求证:AB＝AC＋CD.
A
E C B
D
独立作业
2
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A
E B D C
例:已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要 求不用三角形全等的判定）
A
C C′
B
三.尺规作图 角平分线的作法
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC 作法:
思 考 分 析
二.角平分线性质定理的逆定理
逆定理: 到一个角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
A D O E P C
B
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一.
如图:若想在两条公路围成的A区域内建一个化 工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的 距离是500米，同时为了交通方便,要求化工厂 到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你 能在图上找到化工厂的位置吗?
焦寺
（比例尺为１：５００００）
A区域
桥头
旁堤刘
24.8角平分线的性质定 理及其逆定理
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
1.4.2角平分线-2020-2021学年北师大版八年级数学下册课件
E
（1）AMD 90
（2） ME MC, MB MC
MC MB M为BC的中点.
（3） DE CD, AE AB
AD AE DE CD AB.
达标检测
5.如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，
过O点作DE//BC,求证：DE=BD+CE ; 如图②,过A点作DE//BC，其它条件不变，探索DE,AB,AC 之间有什么关系？并证明你的结论.
第一章 三角形的证明
1.4.2 角平分线
学习目标
1.理解证明角的平分线的性质定理和判定定理相关 的结论，掌握角平分线的性质定理和判定定理的 灵活运用．
2.进一步发展推理证明意识和能力，培养转化数学 语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决 问题的能力．
3.在探究的过程中培养独立思考的习惯，学会合作 探讨交流，感受数学的作用.
例3.如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD．
(1)解：AD是ABC的角平分线，DC AC, DE AB.
DE CD 4cm.
AC BCB BAC 45
BDE 90 45 45 BE DE BD 2DE2 4 2cm
解：SABC SABD SBCD
1 AB DE 1 BC DE
2
2
192 162
2215来自标检测4.如图，∠B=∠C=90°，AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
(1)求∠AMD的度数
(2)求证：M是BC的中点.
(3)猜想CD、AD、AB的数量关系，并说明理由。
解：作ME AD于点E.AMD 90
初中数学三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型及参考答案
三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型(射影定理模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型条件：AD是高，AE是角平分线结论：∠DAE=∠B-∠C21(2023秋·浙江·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD为∠ACB的平分线，CE ⊥AB于点E，则∠ECD度数为()A.5°B.8°C.10°D.12°2(2023春·河南南阳·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有()①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高A.1个B.2个C.3个D.4个3(2023·安徽合肥·七年级统考期末)如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB=9cm，AC= 12cm，BC=15cm，试求：(1)AD的长度；(2)△ACE和△ABE的周长的差．模型2：双垂直模型结论：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③AB⋅CD=AE⋅BC。
4(2023·陕西咸阳·统考一模)如图，在△ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，并且CD,BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数为()A.130°B.120°C.110°D.100°5(2022秋·安徽宿州·八年级校考期中)如图，在△ABC中，CD和BE分别是AB，AC边上的高，若CD= 12，BE=16，则ACAB的值为( )．A.35B.34C.43D.586(2023春·河南周口·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，CF⊥AB于点F，AD⊥BC于点D，AD与CF交于点E，∠B=46°．(1)求∠AEC的度数．(2)若AD=6，求CF的长．模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③AB⋅AC=AD⋅BC。
八年级数学下册 1.4 角平分线 第2课时 试题资料库素材 (新版)北师大版
角平分线第2课时例1. 在ABC ∆中，90=∠C ，AD 平分BAC ∠，AB DE ⊥于E ，F 在AC 上，DF BD =。
求证：EB CF =。
证明：∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90，DE ⊥AB∴DC ＝DE （角平分线上一点到角的两边的距离相等） 在Rt ∆CDF 和Rt ∆EDB 中，⎩⎨⎧==DB DF DE DC∴Rt ∆CDF ≅Rt ∆EDB （HL ）∴CF ＝EB （全等三角形的对应边相等）角平分线的集合解释到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
因此，角的平分线的集合解释是：角平分线是到角两边距离相等的所有点的组成的集合。
符号语言：的平分线）是的平分线上（或写成：在点又AOB OP AOB P OBPE OA PD PEPD ∠∠∴⊥⊥=,例2. 如图，已知在∆ABC 中，BD ＝DC ，∠1＝∠2，求证：AD 平分∠BAC 。
证明：过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 在∆BED 和∆CFB 中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠∠=∠CD BD CFD BED 9021 ∴∆BED ≅∆CFD （AAS ）∴DE ＝DB∴AD 平分∠BAC利用角平分线的性质证明两条线段相等例3. 如图已知AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 交AB 于E ，DF ⊥AC 交AC 于F 。
求证：DE ＝DF 。
证明：连结AD ，在∆ABD 和∆ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧===AD AD CD BD AC AB∴∆ABD ≅∆ACD （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAD ，即AD 平分∠BAC 。
又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴DE ＝DF （角平分线上的点到角两边距离相等）利用全等三角形的性质证明线段及角的相等关系例4. 如图，在∆AFD 和∆BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）∠B ＝∠D ；（4）AD//BC 。
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》ppt课件1 (共22张PPT)
2、 已知：如图2，PB、PC分别是△ABC的外 角平分线， 相交于点P.
求证：P在∠A的平分线上
A
B E P 图2 H
C
G
证明：作PE⊥AB，交AB延长线于E。PH⊥BC 于H，PG⊥AC，交AC的延长线于点G ∵BP是角平分线 ∴PE=PH A ∵PC是角平分线 ∴PH=PG ∴PE=PG B H C P A ∴ 在∠ 的平分线上
E
G
P
图2
3、如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路 MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得 它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P。
A M
P
小区C
N O B
4、在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的 正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半 轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的 正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限． 求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运 动，点P都在∠AOB的平分线上；
布置作业
1.从教材习题中选取 2.完成练习册本课时的习题
人类要在竞争中生存，便 要奋斗。——孙中山
′
已知:如图, 点P为∠AOB内一点， PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为 O D,E，且PD=PE. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上, 可以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠AOC=∠BOC.
D
P
C
E
B
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°．
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在 OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB.
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例题1、如图，OQ 平分∠AOB ，点P 为OQ 上一点，过点P 作一直线分别交OA 、OB 于点M 、N ，若OP =a ，∠AOB =α，则ON
OM 11+
是否为定值？【解析】
方法一、相似法
过点P 作PE ∥OA
△NPE ∽△NMO ，∴OM PE ON NE =，即OM PE ON OE -ON =，即1=+OM
PE ON OE 易证△OPE 为等腰三角形，∴OE =PE ∴OE ON OM 111=+/PE 1，2
2αcos OP OE =∴
OP 2a cos ON OM 211=+.方法二、面积法
过点P 分别向OA 、OB 作垂线，垂足分别为E 、
F
ONP OMP MON S S S △△△+=，即ONsinαOM αsin OP ON αsin OP OM ⋅=⋅⋅+⋅⋅2
121212121化简得αsin OP sinαON OM OM ON 21⋅=⋅+，由于sinα=2sin α21αcos 21⋅.化简完即为OP 2
a cos ON OM 211=
+by 万开同老师
【思考】
①条件有哪些隐晦的表达方式？
例如：角平分线可以如何隐藏？如何设置好背景，避开结果中三角函数值的出现？②结论可以作哪些延伸问法？例如：ON OM 11+化简后为ON
OM ON OM ⋅+，既然为定值，若再添加“OM +ON 为定值”，则可提问△OMN 的面积问题.
例如：由于结果涉及到α2
1的三角函数值，所以一般条件会设置好角度，比如120°、90°、60°，那么结果将只与线段OP 相关.所以若∠AOB 不变，当OP 发生变化时，必然有ON
OM 11+的最值问题.【习题】
1、（2105·河池）如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则AN
AM 11+是否为定值？
2、（2015·无锡）如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，OC ＝6，N 为边OB 上异于点O 的一动点，P 是线段CN 上一点，过点P 分别作PQ ∥OA 交OB 于点Q ，PM ∥OB 交OA 于点M ．当点N 在边OB 上运动时，四边形OMPQ 始终保持为菱形．问：1OM －1ON
的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．
3、在直角坐标系xOy 中，已知反比例函数y =
x k （x ＞0）图象经过点（4，3），点D 为反比例函数y =x
k （x ＞0）上的任意一点，以D 为圆心的圆始终与y 轴相切于点A ．如图，当⊙D 与x 轴相切于点E 时，过点D 作直线l ，分别交x 轴的正半轴于点M ，交y 轴的正半轴于点N ，则ON
OM 11+是否为定值？若是，请证明：若不是，请说明理由．
4、（2018·锡山区期末）如图，已知二次函数c bx x -y ++=23
1的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C （0，3），且抛物线的对称轴为直线x ＝3．
（1）直接写出b 的值及点A 的坐标；
（2）∠BAC 的平分线交y 轴于点D ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．当直线l 绕点D 旋转时，AN AM 11+是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由．
5、（2015·慈溪市一模）在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA ＞OB ，以AB 为直径的⊙P 过点C ，若C 的坐标为（0，2），AB =5，经过A 、B 、C 三点的抛物线为c bx ax y ++=2．
（1）求点A 、B 的坐标及抛物线的解析式．
（2）若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，交圆于点E ．
①求证：PE ⊥x 轴；
②试求直线l 对应的一次函数的解析式．
（3）过点D 任作一直线l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则
CN CM 11+的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．。