八年级讲义角平分线判定性质

第7讲角平分线的判定与性质
【知识点与方法梳理】
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

角平分线的作法（尺规作图）
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
角平分线的性质及判定
1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
推导
已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．
证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON
∴∠PAO＝∠PBO＝90°
∵OC平分∠MON
∴∠1＝∠2
在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌△PBO
∴PA＝PB
几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA＝PB．
2角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
推导：
已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．
证明：连结OP
在R t△PAO和R t△PBO中，
∴R t△PAO≌R t△PBO（HL）
∴∠1＝∠2
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上．
几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
N M
G
O E D B
【经典例题】
例1．已知：如图，△ABC 中， ∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上BD=DF ，
求证：CF=EB
例2.已知：如图，AD 、BE 是△ABC 的两条角平分线，AD 、BE 相交于O 点 求证：O 在∠C 的平分线上
例3.如图A B ∥CD ，∠B ＝90°，E 是BC 的中点。

DE 平分∠ADC ，
求证：AE 平分∠DAB 。

例4.已知：如图，在ΔABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，E 、F 分别是AB 、AC 上一点，并且有 ∠EDF ＋∠EAF ＝180°．试判断DE 和DF 的大小关系并说明理由．
A
C D E
B
F
D
【经典练习】
1如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO＝∠CAO
2.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC 上除点P、O外一点，连结DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论。

3.如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等（写出作法）。

4.要将如图中的∠MON平分，小梅设计了如下方案：在射线OM，ON上分别取OA＝OB，过A作DA ⊥OM于A，交ON于D，过B作EB⊥ON于B交OM于E，AD，EB交于点C，过O，C作射线OC即为MON的平分线，试说明这样做的理由.
F
E
D
C
B
A
O
P
O
D
C
B
A
F
E D
A
B
C 5.如图△ABC 中，A
D 是它的角平分线，且BD=CD ，D
E 、D
F 分别垂直AB 、AC ，垂足为E 、F ， 求证：EB=FC
6. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282cm ，AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，求DE 的长．
7、已知：如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）求证：AM 平分∠DAB ；
（2）猜想AM 与DM 的位置关系如何？并证明你的结论．
【巩固练习】 基础训练题
1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线， 交AC 于点D ，若CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是（ ）
A.m+n
B. 2
1
mn C.mn 2 D. mn
A
E D
F
B
F
E
P
A B
C
D A
E
B C
条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（ ）
A 、BB′⊥AC
B 、BC=B′
C C 、∠ACB=∠ACB′
D 、∠ABC=∠AB′C
3、如图，FD ⊥AO 于D ，FE ⊥BO 于E ，下列条件：①OF 是∠AOB 的平分线；②DF=EF ；③DO=EO ；④∠OFD=∠OFE 。

其中能够证明△DOF ≌△EOF 的条件的个数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.如图，在ΔABC 中，,F E 、分别是AB 、AC 上的点， EF =5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线， 且P D ⊥BC 于D ，P E ⊥AB 于E, P F ⊥AC 于F,已知PD=4cm 则ΔPEF 的周长是___________ cm.
5.如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M ，N 是AB 的中点且BN=BC 。

求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。

6.如图：在△ABC 中，∠B ，∠C 相邻的外角的平分线交于点D 。

求证：点D 在∠A 的平分线上。

7.如图8、AB ＝CD ，△PCD 的面积等于△PAB 的面积，求证：OP 平分∠BOD 。

N
M
（图7）
C
B
A
B
8.如图9、在△ABC 中，∠B ＝60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 交于点O ，求证：AE+CD ＝AC 。

能力提高题
1.已知：如图，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC+CD 。

2.已知，如图2，∠1＝∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于D ，AB+BC ＝2BD ， 求证：∠BAP+∠BCP ＝180°。

3、如图，已知∠CAD=∠CDA ，AC=BD ，E 在BC 上，DE=EC ，求证：AD 平分∠BAE
A
B D E C
(提示:延长AE到P,使得EP=AE,连接CP,证三角形ABD与PAC全等)
4.如图，已知AB∥CD，O是∠ACD，∠CAB的平分线的交点，且OE⊥AC于E点，OE=12，求
AB与CD之间的距离
A B
E
O
C D
5.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC.
课后作业
1.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则Δ
ABD 的面积是（）
A
B
C
D E A ．mn 3
1
B ．mn
2
1
C ．mn
D ．2mn
2.如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，则PC 与PD 的关系是（ ） A. PC ＞PD B. PC ＝PD C. PC ＜PD D. 不能确定
3. 如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ，已知PE ＝3，则点P 到AB 的距离是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.如图，MP ⊥NP ，MQ 平分∠NMP ，MT ＝MP ，连结TQ ，则下列不正确的是（ ） A ．TQ ＝PQ ． B.∠MQT ＝∠MQP ． C.∠QTN ＝90°．D.∠NQT ＝∠MQT ．
第2题 第3题 第4题 第5题
5.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是( )
A.DE ＝DF ．
B.ME ＝MF ．
C.AE ＝AF ．
D.BD ＝DC ．
6.已知：如图3，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，沿着过点B 的一条直线BE 折叠ΔABC 使C 点恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A 的度数等于_____．
7.如图所示AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ， 求证：AB=AD+AC 。

8．已知：如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD 、BE 交于O ，∠1＝∠2． 求证：OB ＝OC . T
Q
P
N
M M
F
E
D
C
B
A
9.已知：如图9－5，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN．
10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是线段AD的垂直平分线，
求证：∠CAF＝∠ABD
11.已知：如图，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且
△PAB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．
A
B
C
D
E
F。