角平分线性质与判定
角平分线的性质与判定
4321N M A B O D P P CA B M N M N AB DC P ED A BC 角平分线的性质与判定一、知识梳理：1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.二、典型例题：例１、如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN及时练习：1．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN例２、如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果 ∠D ＝120°，求∠B 的度数.及时练习：D CA B D F E BA CD E C A B1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACD CBD S S ∆∆.2．在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.例3、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BD.及时练习：1．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .2．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .第1题图D C B A第2题图D B C A E P 第3题图Q S R P B A C 第4题图E F B D A C 第5题图E B C A第6题图F E D P A B C 第7题图P A B C E F 第8题图D A B C E 第9题图E D C AB 第10题图K N M QC B A三、课堂练习：1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ） A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn2．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个A ． 1B ．2C ．3D ．43．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ）A ． ①③B ．②③C ．①②D ．①②③4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①②③④5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ）A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°6．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④7．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上 C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P8．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个10．如图，已知BQ 是△ABC 的内角平分线，CQ 是△ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________F B D EC A O F ED A B C l 1l 2l 3第1题图第3题图D C A B P 第4题图F GE P A B C D 第5题图E O D B A C GP F E D C B A 11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF .12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD ⊥EF .四、巩固提高：1．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处2．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC ＝32，且BD :CD ＝9:7，则D 到AB 边的距离为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．123．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.已知：DC ＝3cm ，DB ＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________4．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF ＝PG ＝PE ，则∠BPD ＝__________5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两平行线AB 、CD 间的距离等于__________6．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .求证：∠G ＝12(∠ACB －∠B )QP C B A 7．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 上任意一点.求证:AB －AC ＞P B －P C.8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线上.求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP。
角平分线的判定(用)
为了证明角平分线的判定定理， 我们可以按照以下步骤进行推导
综上所述，我们证明了角平分线 的判定定理。
03 判定定理的应用
在几何证明中的应用
证明角平分线
利用角平分线的判定定理，可以 证明某个角是另一个角的平分线。
证明等腰三角形
在三角形中，如果一个角的平分线 与对边相交，则该交点与对边的两 个端点所形成的三角形是等腰三角 形。
进行证明。
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证明线段比例
利用角平分线定理，可以证明线段 之间的比例关系。
在三角形中的运用
01
02
03
确定角的平分线
在三角形中，可以利用角 平分线的判定定理来确定 角的平分线位置。
计算线段长度
利用角平分线定理，可以 计Байду номын сангаас三角形中某些线段的 长度。
判断三角形形状
在三角形中，可以利用角 平分线的性质来判断三角 形的形状。
在日常生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，角平分线 的判定定理可用于确定窗 户、门等部件的位置和角 度。
道路规划
在道路规划中，可以利用 角平分线的判定定理来确 定交叉路口的角度和道路 的走向。
机械制造
在机械制造中，角平分线 的判定定理可用于确定零 件的精确位置和角度。
04 判定定理的推论与变种
推论一
角平分线的判定定理
目录
• 角平分线的定义与性质 • 角平分线的判定定理 • 判定定理的应用 • 判定定理的推论与变种
01 角平分线的定义与性质
角平分线的定义
角平分线是从一个角的顶点出发，将 该角分为两个相等的部分的一条射线。
角平分线上的任意一点到这个角的两 边的距离相等。
角平分线的性质及判定 角平分线的应用
12.3角平分线的性质及判定第3课时角平分线的应用一、教学目标知识与技能：理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度与价值观：学生通过观察，亲自动手实验获得数学的猜想，体验数学活动充满着探索性和创作性，培养学生克服困难的意志，激发学生的学习兴趣二、教学准备多媒体课件，教学三角板三、重点难点重点：角平分线的性质难点：角平分线的应用四、教学方法讲练结合五、教学过程（一）、复习旧知1、角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。
3、判定定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
（二）、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？（三）探究新知关于三角形三条角平分线的交点问题如图，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB 的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点吗？②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，DI、EI、FI 有什么关系？结论：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. （四）例题精析例1三角形内（外）角平分线夹角结论（1）如图①PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB（2）如图②PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB的外角（3）如图③PB平分∠ABC、PC平分∠ACB的外角结论：（1）∠P=90°+21∠A（2）∠P=90°-21∠A（3）∠P=21∠A应用：如图在△ABC中，PB平分∠ABC，PC平分∠ACB的外角，若∠BPC=30°，则∠BAC= °例2、在△ABC中，O是角平分线BE和CD的交点，∠A=60°，求证：OD=OE例3、在△ABC中，AD是角平分线，2∠C=∠B， AC-AB=BDDEOBADA课堂练习在正方形ABCD中，∠1=∠2 AE=BE+DF（六）、课堂小结本节课我们学习了什么内容？首先复习了角平分线的定义，性质定理和逆定理。
角平分线的性质和判定角平分线画法角平分线的三个基本公式
一、角的平分线性质定理1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2.到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作内心。
内心到三角形三边的距离相等；4.三角形一个角的平分线，把对边所分成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。
二、角平分线画法方法11、以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M、N。
2、分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
方法21、在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD。
2、连接CN与DM，相交于P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
三、角平分线定义1、从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
四、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
1、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
五、角平分线的性质：角平分线上的点，到角两边的距离相等定理：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
垂直于两边为最短距离。
角平分线能得到相同的两个角。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
逆定理：到角两边的距离相等的点在角平分线上。
角平分线的性质定理和判定定理（含答案）
⾓平分线的性质定理和判定定理（含答案）⼏何专题2：⾓平分线的性质定理和判定定理⼀、知识点(抄⼀遍)：1. ⾓平分线：把⼀个⾓平均分为两个相同的⾓的射线叫该⾓的平分线.2. ⾓平分线的性质定理：⾓平分线上的点，到这个⾓的两边的距离相等. 3. ⾓平分线的判定定理：⾓的内部到⾓的两边距离相等的点在⾓的平分线上. ⼆、专题检测题1. 证明⾓平分线的性质定理.（注意：证明⽂字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.） 2. 证明⾓平分线的判定定理. 3. 定理的⼏何语⾔表⽰（1）⾓平分线的性质定理：∵，∴ . （2）⾓平分线的判定定理：∵，∴ .4. 已知：如图所⽰，BN 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的⾓平分线，BN 、CP 相交于O点，连接AO ，并延长交BC 于M 求证：AM 是∠BAC 的⾓平分线.5. 如图，已知BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，点E ，F 为垂⾜，D 是BE 与CF 的交点，AD 平分∠BAC. 求证：BD=CD.B6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC. AD 是∠CAB 的平分线. 求证：AB=AC+CD.7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB.8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的⼀点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂⾜分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ；（2）OP 是CD 的垂直平分线；（3）OC=OD.O⼏何专题2：⾓平分线的性质定理和判定定理答案1. 证明⾓平分线的性质定理.已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E求证: PD=PE证明：∵OC 平分∠ AOB∴∠1= ∠2∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴∠PDO= ∠PEO 在△PDO 和△PEO 中∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP∴△PDO ≌△PEO(AAS) ∴PD=PE2.证明⾓平分线的判定定理.已知：如图,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂⾜，PD ＝PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上证明: 经过点P 作射线OC ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中PO ＝PO PD=PE ∴ Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ）∴∠ POD ＝∠POE ∴点P 在∠AOB 的平分线上.3. 定理的⼏何语⾔表⽰（1）⾓平分线的性质定理：∵ OP 平分∠AOB ，DP ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴ DP=EP. （2）⾓平分线的判定定理：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD ＝PE ．∴ OP 平分∠AOB ．OO4.已知：如图所⽰，BN、CP分别是∠ABC、∠ACB的⾓平分线，BN、CP相交于O 点，连接AO，并延长交BC于M求证：AM是∠BAC的⾓平分线.证明：作OE⊥AC，OG⊥AB，OF⊥BC，垂⾜分别为E、G、F.∵BN平分∠ABC，OG⊥AB，OF⊥BC，∴OG=OF.同理可证：OE=OF.∴OG=OE⼜∵OE⊥AC，OG⊥AB，∴AM是∠BAC的⾓平分线.5.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，点E，F为垂⾜，D是BE与CF的交点，AD平分∠BAC.求证：BD=CD.证明：∵AD平分∠BAC，BE⊥AC，CF⊥AB，∴DF=DE.∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠DFB=∠DEC=90°. 在△DFB和△DEC中，∠EDC=∠FDBDF=DE∠DFB=∠DEC∴△DFB≌△DEC（ASA）∴BD=CD.6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC. AD是∠CAB的平分线.求证：AB=AC+CD.证明：过点D作DE⊥AB，垂⾜为点E.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD.∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C.在△CAD和△EAD中，∠CAD=∠BAD，∠DEA=∠C，AD=AD.∴△CAD≌△EAD（AAS）.∴AC=AE，CD=DE.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，∵∠DEB=90°，∴∠EDB=45°=∠B.∴DE=BE,∴CD=BE，∴AB=AE+BE=AC+CD.B7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB.证明：过点M 作ME ⊥AD ，垂⾜为E ，∵DM 平分∠ADC ，∴∠1=∠2，∵MC ⊥CD ，ME ⊥AD ，∴ME=MC （⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等），⼜∵MC=MB ，∴ME=MB ，∵MB ⊥AB ，ME ⊥AD ，∴AM 平分∠DAB （到⾓的两边距离相等的点在这个⾓的平分线上）．8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的⼀点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂⾜分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ；（2）OP 是CD 的垂直平分线；（3）OC=OD.证明：（1）∵OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴PC=PD ∴∠PCD=∠PDC. （2）∵OP 平分∠AOB ，∴∠COP=∠DOP. ∵PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴∠PCO=∠PDO=90°，∴∠CPO=∠DPO. ∵PC=PD ，∴△CDP 是等腰三⾓形，∴PM 是等腰三⾓形底边上的中线和⾼线. 即OP 是CD 的垂直平分线. （3）由（2）知，∠CPO=∠DPO. ∴OP 平分∠CPD ，⼜∵CP ⊥OA ，DP 垂直OB ，∴OC=OD （⾓平分线的性质定理）.O。
角平分线的性质与判定
C C′
B
例1 已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC ∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。 求证：BD＋DE ＝AC A
E
C
D
B
变式
已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
利用结论，解决问题
练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 在确定度假村的位置时,一定要画 想一想 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
M D C F A E B N
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平 分线上。 3.角平分线的性质定理和角平分线的判 定定理是证明角相等、线段相等的新途径.
再 见
Jilichuang
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
A
活
E 如 图 ： 在 △ ABC 中 ， F ∠C=90° AD是∠BAC的平分 线，DE⊥AB于E，F在AC上， D B C BD=DF； 求证：CF=EB 分析:要证 CF=EB,首先我们想到的是要证它 们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需 要我们找什么条件
B
活 动 3
根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线？（不用角平分仪或 量角器）
N E C N A
C
E
O
M
O
B M
活 动 4
C
1〉平分平角∠AOB
B
O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
初二讲义角平分线的判定与性质
第7讲角平分线的判定与性质【知识点与方式梳理】角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的判定定理:到一个角的两边的距离相等的点，在那个角的平分线上。
角平分线的作法（尺规作图）①以点0为圆心，任意长为半径画弧,交OA、0B于C、D两点;②别离以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P：③过点P作射线0P,射线0P即为所求.角平分线的性质及判定1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.推导已知：0C平分ZMON, P是0C上任意一点，PA丄OH, PB10N,垂足别离为点A、点B. 求证：PA=PB.证明：TPA丄OM, PB丄ON ・・・ZPA0=ZPB0=90° TOC 平分ZMON・・・Z1 = Z2在APAO 和Z\PBO 中，AAPAO^APBO・・・PA=PB几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）TOP 平分ZMON (Z1 = Z2) , PA丄OM, PB丄ON, •••PA=PB・ 2角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上・推导：已知：点P是ZM0N内一点，PA丄0M于A, PB丄ON于B,且PA=PB. 求证：点P在ZH0N的平分线上.证明：连结0P>A=PB<在R tAPAO 和R tAPBO 中, °卩=°»ARtAPAO^RtAPBO (HL)・・・Z1 = Z2・・・0P平分ZMON即点P在ZHON的平分线上.几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.）TFA丄OH, PB丄ON, PA=PB AZ1 = Z2 (OP 平分ZMON)【经典例题】例1・已知：如图，ZXABC中，ZC=90° , AD是AABC的角平分线，DE丄AB于E, F在AC上BD二DF,求证:CF二EBC D B例2•已知：如图，AD、BE是AABC的两条角平分线，AD、BE相交于0点求证：0在ZC的平分线上例3•如图AB/7CD, ZB=90° , E是BC的中点。
角平分线的性质定理和判定
第一局部：知识点回忆1、角平分线：把一个角平均分为两个一样的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二局部：自我评测知识点掌握情况备注非常好一般有待提高角平分线的定义 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 角平分线的作图第三局部：例题剖析例1. ：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ，〔1〕求证：BD+DE=AC ． 〔2〕求△DBE 的周长．分析：〔1〕因为AC=BC=BD+CD ，只要证明CD=DE 即可，又因为AD 平分∠BAC ，那么CD=DE ；〔2〕由〔1〕可知AC=BD+DE ，由CD=DE ，AD=AD ，∠C=∠AED=90°，可证△ACD ≌△AED ，那么AC=AE ，所以BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB ．解答：解：〔1〕∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE ，课题 11-4角平分线的性质定理和判定 学生XX年级八年级日期2021.9.22冯晓娟∴BC=BD+CD=BD+DE，AC=BC，∴AC=BD+DE；〔2〕∵CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，∴△ACD≌△AED，∴AC=AE，∵AC=BD+DE，∴BD+DE=AE，∴△BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．分析：首先要作辅助线，ME⊥AD那么利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．解答：证明：作ME⊥AD，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM 平分∠DAB ．例3.如图，△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，△ABC 的面积是 多少？．分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以OD ，然后列式进展计算即可求解．解答：解：如图，连接OA ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，∵△ABC 的周长是22，OD ⊥BC 于D ，且OD=3， ∴S △ABC =21×22×3=33． 故答案为：33． 第四局部：典型例题例1、：如下图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°．∵AO 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．在△AOD 和△AOE 中，∠ADC ＝∠AEB∠1＝∠2OA ＝OA，∴△AOD ≌△AOE 〔AAS 〕．∴OD=OE ．在△BOD 和△COE 中，∠BDC ＝∠CEBOD ＝OE ∠BOD ＝∠COE，∴△BOD ≌△COE 〔ASA 〕．∴OB=OC ．【变式练习】如图，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，PA=PC ， 求证：∠PCB+∠BAP=180º过点P 作PE ⊥BA 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF ，然后利用HL 证明Rt △PEA 与Rt △PFC 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB ，再根据平角的定义解答．解答：证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 于E ，∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于F ，∴PE=PF ，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt △PEA 与Rt △PFC 中PA ＝PCPE ＝PF∴Rt △PEA ≌Rt △PFC 〔HL 〕，∴∠PAE=∠PCB ，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°． 点评：此题考察了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．例2、：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． 〔1〕假设连接AM ，那么AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论； 〔2〕线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．3〕CD 、AB 、AD 间？直接写出结果首先要作辅助线，ME ⊥AD 那么利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC ，再利用中点的条件可知ME=MB ，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM 平分∠DAB ．〔2〕根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．〔3〕证Rt △DCM ≌Rt △DEM ，推出CD=DE ，同理得出AE=AB ，即可得出答案．解答：〔1〕证明：作ME ⊥AD 于E ，∵MC ⊥DC ，ME ⊥DA ，MD 平分∠ADC ，∴ME=MC ，∵M 为BC 中点，∴MB=MC ，又∵ME=MC ，∴ME=MB ，又∵ME ⊥AD ，MB ⊥AB ，∴AM 平分∠DAB ．〔2〕解：DM ⊥AM ，理由是：∵DM 平分∠CDA ，AM 平分∠DAB ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC ∥AB ，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°-〔∠1+∠3〕=90°，21NPF CBA即DM⊥AM．〔3〕解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt △DCM和Rt△DEM中DM＝DMEM＝CM∴Rt△DCM≌Rt△DEM〔HL〕，∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．点评：此题考察了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比拟典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式练习】1.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN即可．解答：证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ，P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN，∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线．点评：此题主要考察角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．用此性质证明它的逆定理成立．角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．正确作出辅助线是解答此题的关键例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC 的面积．过点D作DF⊥BC于点F．根据角平分线的性质，得DE=DF=2，再根据三角形的面积公式分别求得△ABD和△BCD的面积即可．解答：解：过点D作DF⊥BC于点F．∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DF=DE=2．∴△ABC的面积为12(9×2+6×2)＝15cm2【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等〞可得到12BF•DM=12DN•CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．解答：证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面积为：12BF•DM，△DCE的面积为：12DN•CE，∵△DCE和△DBF的面积相等，∴12BF•DM=12DN•CE，∵CE=BF，∴DM=DN，∴AD平分∠BAC〔到角两边距离相等的点在角的平分线上〕例4.如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．〔1〕在图上标出仓库G的位置．〔比例尺为1：10000，用尺规作图〕．〔2〕求出仓库G到铁路的实际距离。
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分线上）
角平分线性质与判定
定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OP 是 AOB 的平分线
PDOA PEOB
\ PD = PE
O
用途：证线段相等
D
A
C P
定理 2 角的内部到角的两边的距离相等 E B 的点 在角的平分线上。
∵ PDOAPEOB PD = PE \ OP 是 AOB 的平分线
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗? 角平分线性质与判定
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ ，交ＯＢ于Ｎ．
A Ｍ
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
§11.3 角平分线的 性质与判定（2课时）
角平分线性质与判定
复习提问
1、角平分线的定义
一条射线 把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
A
C
1
o
2
B
角平分线性质与判定
复习提问 2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
P
我的长度
A
O角平分线性质与判定
放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射
线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
证明： 在△ACD和△ACB中
A
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边） D
B
∴ △ACD≌ △ACB（SSS） E C ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
ND
M
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
P
F
B
C
E
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？ 角平分线性质与判定
5、如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ 与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的 距离相等．
更上一层楼！
A
F
E
CD B
角平分线性质与判定
4、已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂 足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
求证：AC=BD. O
C
D
A
E
B
角平分线性质与判定
练习2
2、 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。
A
E
CD
B
角平分线性质与判定
3、 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
B
复习提问
3、角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
推理的理由有三个 ，必须写完全，不
A
∵ ∠1= ∠2
能少了任何一个。
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
D
∴PD=PE
1
(角的平分线上的点到角的两边的O
2
距离相等)
P
E
B
角平分线性质与判定
判断下列各题是否正确地使用了角的平分线的性质?
(2)A.∠D∵1平=D分∠C2∠⊥BAACC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴到__一__个__角__的_两_ 边的距离相等的点，在这个角平分线上。
(_
___________________________________________
___)
角平分线性质与判定
角的平分线的作法
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A
A E
D
A
C
P
D B
E
B
C
O
角平分线性质与判定
练习
A
8 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分
E
别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°
，则 ∠EBF=
60 度，BE=
C D
。 BF
B
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AF BC，
∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的
，A角E+的DE平= 分线 。
6cm
角平分线性质与判定
10.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
(1)如图① ，∵AC平分∠BAD
B
∴DC=BC
错误
A
C
(2)如图② ，∵BC⊥AB,DC⊥AD来自∴DB=DC错误
(3)如图②，∵AD平分∠BAC，
且DB⊥AB，DC⊥AC
∴BD=CD
正确 A
D
图①
B
D
角平分线性质与判定
C
图②
如图，
∵
OC是∠AOB的平分线，
又 _P_D_⊥__O_A_，__P_E__⊥_O__B_
角∴的PD平=分P线E上的( 点
到角的两边的距离相等
A
D
)C
P
O
E B
角平分线性质与判定
复习提问
4、角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在
角的平分线上。
用符号语言表示为：
A D
∵
PDOA
PEOB
P
O
PD= PE
\ OP 是 AOB的平分线
E B
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
角平分线性质与判定
想一想：
为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ
证明：在△OMC和△ONC中，
Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
角平分线性质与判定
1、在△OAB中，OE是它的角平分线，且 EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
用途：判定一条射线是角平分线
由上面两个定理可知：角平分线上的点到角的两边的距离相等； 反过来，到角的两边的距离角相平分等线性的质与点判定都在这个角平分线上。
练习1：
A
填空：
12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D__C_=_D_E____ (__角_平__分_线__上__的_点__到_角__的_两__边_的__距_离__相_等___C_____D_______B__ )
H
Ｄ
Ｃ
F ＰＥ Ａ
ＢG
角平分线性质与判定
知识应用
6、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB ，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
7 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上 ,PD
⊥OA,PE⊥OB, 垂 足 分 别， 是 D 、 E,PD=4cm, 则 PE=__________cm.