角平分线的性质与判定培优讲义
培优提能5 三角形中的中线、高线、角平分线问题
处理与三角形中线有关的问题的常用方法:
(1)利用互补角(如本例中∠ADB与∠CDB互补,其余弦值互为相反数)及余弦定理
求解.
(2)利用中线长定理求解,但要书写其证明过程.
(3)利用向量法求解.
触类旁通 1
在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=acos C+ csin A,点 M
是 BC 的中点.
(1)求A的值;
解:(1)因为 b=acos C+ csin A,
根据正弦定理得 sin B=sin Acos C+ sin Csin
A,所以 sin(A+C)=sin Acos C+ sin Csin A,
所以 sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+ sin Csin
( + - )
.
(2)若∠A=,∠ACB 的平分线 CE 与边 AB 相交于点 E,延长 CE 至点 D,使得 CE=DE,求
cos∠ADB.
解:(2)不妨令 AC=3,因为∠ACB= ,可得 AB=3 ,BC=6,又因为 CE 为∠ACB 的平分线,
所以∠ACE=∠BCE=,
·
,联立可得 AM2=(AB2+AC2)
-≤-=,即当且仅当 b=c= 时,中线 AM 的长度可取得最大值.
法二
因为 AM 是 BC 边上的中线,
→
所以=
→
→
+
→
2
2
2
2
[数学]-必考点05 角平分线的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上
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11．（2021秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论序号是．
7．（2021秋•松桃县期末）如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
◆◆题型三角的平分线的性质与判定的综合应用
8．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H．
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．
1．（2022春•六盘水期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（ ）
A．5B．7C．7.5D．10
2．（2022•雁塔区模拟）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．△ABC三条高线的交点处
B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【例题20】（2022春•兰州期末）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处
第三节 角平分线的性质及应用-学而思培优
本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）．
三、全能突破
基 础 演 练
1．如图12 -3—1所示，OA是∠BAC的平分线， 于点 于点N，若 则OM长为( )．
2．如图12-3-2所示，OP平分 垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是( )．
6．已知，如图12-3-6所示，在四边形ABCD中， 平分
(1)求证：
(2)若 求四边形ABCD的面积，
7．如图12-3-7所示，D、E、F分别是△ABC的三边上的点， △DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分
能 力 提 升
8．如图12-3-8所示，么AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：(1)作OB的垂线 使 点H为垂足；(2)过点N作 (3)作 的平分线OP，与NM交于点P；(4)点P即为所求．其中(3)的依据是( )．
13．(1)如图12 -3 -13所示，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则 等于
(2)如图12 -3 -14所示，已知△ABC的周长是18cm，OB、OC分别平分 和 于
点D，若△ABC的面积为 则
14.如图12 -3 -15所示， M是BC的中点，AM平分 求证：DM平分
5．与角平分线有关的辅助线模型
(1)在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段．（点垂线，垂两边，线等全等都出现）
如下左图所示，过点C作 则
(2)在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．（角分线，分两边，对称全等要记全）
如下中图所示：在OA、OB上分别截取 连接CD、CE，则
高中数学课件-培优增分 第10讲 三角形中的高线、中线与角平分线问题
限时规范训练
培优增分 第10讲 三角形中的高线、中 线与角平分线问题
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命题解读 在解三角形的高考试题中，往往涉及三角形的高线、中 线与角平分线，解决此类问题除了应用正弦定理、余弦定理外，还要恰 当地使用其几何性质.
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题型一 高线问题 例1 (2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝ sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高.
13
解：(1)∵sin C＝sin 2B， ∴sin C＝2sin Bcos B， 由正弦定理得 c＝2bcos B， 由 b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)， 得 b2(1－4cos2B)＝－a2－ab， 又由 c＝2bcos B，得 c2＝4b2cos2B， b2(1－bc22)＝－a2－ab，a2＋b2－c2＝－ab，
①倍长中线：如图，构造全等，再用余弦定理即可；
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②向量法：A→D＝12(A→B＋A→C)，平方即可； ③余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 cos∠ADB＋cos∠ADC＝0. 补充：若将条件“AD 为 BC 的中线”换为“CBDD＝λ”则可以考虑方法 ②或方法③.
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所以 sin A＝sin(B＋C)＝sin(B＋π4)
＝sin
Bcosπ4＋cos
Bsinπ4＝3
10 10 .
限时规范训练
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限时规范训练
(2)在△ABC 中，记内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 因为 AB＝c＝5，C＝π4，sin B＝255， sin A＝31010， 所以由正弦定理sina A＝sinb B＝sinc C， 可得 a ＝ b ＝ 5 ，
角平分线的性质和判定(共张PPT)-图文
E
C
D
B
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物 中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择 的地址有( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点
F,CF=BF, 求证:点F在∠A的平分线上.
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ
Ｍ
，交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想为什一么想O：C是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
的
又两∵边距点离F相在等∠）C. BD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
M H
∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C， 那么补充下列一具条件后，仍无法判定 △ABE≌△ACD的是( B )
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
你会吗？
C D
A
培优专题3：三角形中与角平分线有关的规律探究
30°
.
3. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，∠ ACB ＝60°，点 P 为 BC 上任意一点，
可以与点 C 重合但不与点 B 重合， AD 平分∠ BAP ， BD 平分∠ ABP .
（1）当点 P 与 C 重合时，∠ ADB 的度数为 120°
（2）当 AP ⊥ BC 时，∠ ADB 的度数为 135°
◉答案 解：（2）由题意知∠ B ＝∠ C ＋ x °.∵ AF 平分∠ BAC ，∴∠
BAE ＝∠ CAE . 又∵∠ BAE ＋∠ B ＋∠ AEB ＝∠ CAE ＋∠ C ＋∠
AEC ，∴∠ B ＋∠ AEB ＝∠ C ＋∠ AEC ，∴∠ AEC ＝∠ AEB ＋ x °.又
∵∠ AEB ＋∠ AEC ＝180°，∴∠ AEB ＋∠ AEB ＋ x °＝180°，∴∠
DB ， DC ， BC 的延长线上， BE ， CE 分别平分∠ MBC ，∠ BCN ， BF ， CF 分别
52° .
平分∠ EBC ，∠ ECQ ，若∠ F ＝16°，则∠ A ＝
第9题图
规律四：角平分线与高线的夹角
方法归纳：三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的
一半.如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ， AE 平分∠ BAC ，则∠ EAD ＝
（∠ B －∠ C ）（其中∠ B ＞∠ C ）.
10. （深圳期中）如图，△ ABC 中， AD ⊥ BC ， AE 是∠ BAC 的平分线，∠ B ＝
60°，∠ BAC ＝84°，则∠ DAE ＝
1. [模型观念]如图，点 O 是△ ABC 中∠ ABC 的平分线与∠ ACB 的平分线的交点，
沪教版 八年级数学 暑假同步讲义 第20讲 线段垂直平分线及角平分线(解析版) 培优
线段的垂直平分线和角平分线内容分析线段的垂直平分线和角平分线是八年级数学上学期第十九章第四节内容，主要对线段的垂直平分线和角平分线进行讲解，重点是线段的垂直平分线和角平分线定理的理解，难点是线段的垂直平分线和角平分线定理的运用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习直角三角形提供依据，另一方面也为后面学习勾股定理奠定基础．知识结构模块一：线段的垂直平分线知识精讲一、线段的垂直平分线的性质及逆定理1、线段的垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离相等；注意：垂直平分线中的垂直是相互的，而平分则要看清楚到底是谁被平分．2、和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2 / 15【例1】 已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=°，30A ∠=︒，DE 垂直平分AB 于点D ，交AC于点E ．求证：DE CE =．【解析】连接BE∵DE 垂直平分AB 于点D ， ∴EB AE =， ∴︒=∠=∠30ABE A∵︒=∠+∠90ABC A ，30A ∠=︒， ∴︒=∠60ABC ，∴︒=∠30EBC ．可证BCE BDE ≌△△()S A A ..，则CE DE =．【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．【例2】 已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD M ，为垂足，DE 交AC 于点F ．求证：E 在AF 的垂直平分线上．【解析】∵EM 垂直平分BD ，∴ED EB =，∴D B ∠=∠∵90ACB ∠=°，∴︒=∠+∠90B A ，︒=∠+∠90DFC D ∴DFC A ∠=∠ ∵AFE DFC ∠=∠， ∴AFE A ∠=∠，∴EF AE = ∴E 在AF 的垂直平分线上．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理以及逆定理的运用．【例3】 如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在BC 延长线上，且例题解析DEABCABACONNMGFEDC BABAE ACE ∠=∠．求证：点E 在AD 的垂直平分线上．【解析】∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DAC BAD ∠=∠∵BAD DAE BAE ∠+∠=∠，DAC ADE ACE ∠+∠=∠，又BAE ACE ∠=∠ ∴DAE ADE ∠=∠ ∴ED EA =∴点E 在AD 的垂直平分线上．【总结】本题一方面考查三角形的外角性质，另一方面考查线段垂直平分线逆定理的运用．【例4】 已知：在ABC ∆中，90ACB ∠=，30A ∠=°，BD 平分B ∠交AC 于点D ．求证：点D 在AB 的垂直平分线上．【解析】∵︒=∠+∠90ABC A ，30A ∠=︒，∴︒=∠60ABC ，∵BD 平分B ∠，∴︒=∠30DBA ∴ABD A ∠=∠，∴BD AD = ∴点D 在AB 的垂直平分线上．【总结】本题一方面考查直角三角形的性质，另一方面考查线段垂直平分线逆定理的运用．【例5】 已知：在ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线, OA OC =．求证：点O 在线段BC 的垂直平分线．【解析】∵ON 是AB 的垂直平分线, ∴OB OA =∵OA OC =，∴OC OB = ∴点O 在线段BC 的垂直平分线．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理以及逆定理的运用．【例6】 如图，在△ABC 中，∠A =30°，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD ．求证：AF = FG = BG ． 【答案】见解析【解析】∵DE 垂直平分AB ，4 / 15GF ECBAEDCBA∴︒=∠=∠30DAB A ∵FM 垂直平分AD ， ∴DF AF =， ∴FDA A ∠=∠，∴︒=∠+∠=∠60ADF A DFE 同理可得：︒=∠60DGB ， ∴DFG △是等边三角形， ∴BG FG DF ==又∵DF AF =，BG DG =， ∴AF = FG = BG ．【总结】本题主要考查等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．【例7】 如图，在△ABC 中，∠B =22.5°，边AB 的垂直平分线交BC 于点D ，DF ⊥AC ，并与BC 边上的高AE 交于点G ． 求证：EG = EC ． 【答案】见解析【解析】∵边AB 的垂直平分线交BC 于点D ，∴DA DB =，∴︒=∠=∠5.22B BAD ∴︒=∠+∠=∠45BAD B ADC ， ∴ADE △为等腰直角三角形， ∴AE DE =证得：()A S A ACE DGE ..≌△△， ∴EG = EC ．【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．【例8】 如图，已知：△ABC 中，AB = CB ，点D 在线段AC 上，且AB = AD ，∠ABC =108°，过点A 作AE ∥BC ，交∠ABD 的平分线于E ，联结CE ． 求证：BD 垂直平分EC ．【解析】连接ED∵AB = CB ，∠ABC =108°，∴︒=∠=∠36BCA BAC ∵AB = AD ，∴︒=∠=∠72ADB ABD ， ∴︒=︒-︒=∠3672108DBC∵BE 平分ABD ∠，∴︒=∠=∠36EBD ABE ∵AE ∥BC ，∴︒=︒-︒=∠72108180BAE ， ∴BEA BAE ∠=∠，∴BE BA =又∵AB = CB ，∴BC BE =证得：()S A S BCD BED ..≌△△，∴CD DE =∵BE BA =，CD DE =，∴ BD 垂直平分EC ．【总结】本题主要考查等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．二、 角平分线的性质定理和角平分线的性质定理的逆定理1、 角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．2、 在一个角的内部（包括顶点）到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上注意：角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到这个角两边距离相等的点的集合．【例9】 如图，//AD BC AC ，平分BAD ∠，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，交AC 于点F ．求证：点F 到EA EC 、的距离相等． 【答案】见解析【解析】∵AC 平分BAD ∠，∴DAC BAC ∠=∠∵BC AD ∥，∴DAC ACB ∠=∠ ∴BAC ACB ∠=∠，∴BC AB =证得：()S A S CBE BAE ..≌△△，∴CEB AEB ∠=∠ ∴点F 到EA EC 、的距离相等．【总结】本题主要考查角平分线的意义和逆定理的运用．例题解析知识精讲模块二：角平分线AFBDEC6 / 15FG EBPON CDM A 【例10】 如图，90B C ∠=∠=°，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．求证：AM 平分DAB ∠． 【答案】见解析【解析】过M 作MN ⊥AD ，垂足为N∵DM 平分ADC ∠，∴CM MN =∵M 是BC 的中点，∴MB CM =，∴MB MN = ∴AM 平分DAB ∠．【总结】本题主要考查角平分线的性质定理和逆定理的运用．【例11】已知：如图，//AD OB OC ，平分AOB P ∠，是OC 上一点，过点P 作直线MN ，分别交AD OB 、于点M 和N ，且MP NP =． 求证：点P 到AO 和AD 的距离相等． 【答案】见解析【解析】过P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥OA 于点F ，PG ⊥AD 于点G ．∵OC 平分AOB ∠，∴PF PE =可证得：()S A A PGM PEN ..≌△△，则PG PE =，∴PG PF = ∴点P 到AO 和AD 的距离相等．【总结】本题主要考查角平分线的性质定理和逆定理的运用．【例12】如图，AD 为ABC ∆的角平分线，//DE AC ，交AB 于E ，过E 作AD 的垂线交BC 延长线于F ． 求证：B FAC ∠=∠．【解析】∵AD 为ABC ∆的角平分线，∴DAC BAD ∠=∠∵//DE AC ，∴DAC EDA ∠=∠ ∴EDA BAD ∠=∠，∴AE DE = ∵AD EF ⊥，∴EF 垂直平分AD ， ∴FD FA =，∴FDA FAD ∠=∠∵DAC FAC FAD ∠+∠=∠，BAD B FDA ∠+∠=∠ ∴B FAC ∠=∠．【总结】本题主要考查线段垂直平分性质定理及平行线+角平分线可以得到等腰三角形这个基本模型的运用．CMA DBABC DEF【例13】 已知：如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=°，D 为BC 的中点，且DE AB ⊥，垂足为点E ，过点B 作//BF AC 交DE 的延长线于点F ，联结CF ．（1）求证：AD CF ⊥；（2）联结AF ，试判断ACF ∆的形状，并说明理由．【解析】（1）∵ABC △为等腰直角三角形，∴︒=∠=∠45CBA CAB ∵//BF AC ，∴︒=∠45ABF证得：FBE DBE ≌△△，则可得DB BF = ∵D 为BC 的中点，∴DB CD =，∴BF CD = 证得：()S A S BCF CAD ..≌△△，∴BCF CAD ∠=∠∵︒=∠+∠90ACF BCF ，∴︒=∠+∠90ACF CAD ，∴AD CF ⊥； （2）等腰三角形．由（1）可得：AF AD =，CF AD =，∴CF AF = ∴ACF △是等腰三角形．【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质，本题（1）中的全等是一个基本模型，要注意理解，在后期证明中也会经常用到．【例14】如图，AP BP 、分别平分MAB ∠和NBA ∠，PC PD 、分别垂直于AM BN 、，如果123AC cm CP cm BD cm ===，，，那么PD =_______，AB = _________．【答案】2cm ，4cm ．【解析】过P 作PE ⊥AB 于E ．∵AP BP 、分别平分MAB ∠和NBA ∠ ∴2===PD PE PC可证：()S A A PEA PCA ..≌△△，()S A A PDB PEB ..≌△△ 则CE AC =，BE BD = ∴431=+=+=EB AE AB【总结】本题主要考查角平分线的性质定理和逆定理的运用．【例15】如图，ABC ∆中，90C ∠=°，点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点，OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点D E F 、、分别为垂足，且1086AB BC CA ===，，，则点OPBCAM NDAEFABCDEF8 / 15GFEDCBA GFDA到三边AB AC 、和BC 的距离分别为_______． 【答案】2． 【解析】∵24862121=⨯⨯=⋅⋅=BC AC S ABC △ ∴ABC ABO OBC AOC S S S S =++△△△△111108624222OF OD OE =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∵点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点， ∴OF OE OD == ∴2=OD【总结】本题一方面考查角平分线的性质定理，另一方面考查等积法的运用．【例16】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=°，AC BC =，AD 是BC 边上的中线，过C 作CF AD ⊥，E 为垂足，延长CE 交AB 于F ．求证：ADC BDF ∠=∠． 【答案】见解析【解析】过B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ．证得：()A S A BCG CAD ..≌△△， ∴BG CD =，G ADC ∠=∠ ∵D 为BC 的中点， ∴DB CD =，∴BG BD =证得：()S A S GBF DBF ..≌△△，则可得G BDF ∠=∠ ∴ADC BDF ∠=∠【总结】本题一方面考查直角三角形的性质，另一方面考查全等的基本模型．【例17】如图，已知正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AE DC CE =+．求证：AF 平分DAE ∠．EQ PDCBA 【答案】见解析【解析】连接EF 交AD 的延长线于G ．可证得：()A S A ECF GDF ..≌△△，则DG CE =，FG EF = ∵BC AD =，AE DC CE =+ ∴AE AG =可证得：()S S S AGF AEF ..≌△△， ∴GAF EAF ∠=∠ 即AF 平分DAE ∠．【总结】本题主要考查利用中线倍长构造全等，总而证明角平分线的成立．【例18】已知：如图，正方形ABCD 的边长为1，AB AD 、上各有一点P Q 、，若APQ∆的周长为2．求PCQ ∠的度数． 【答案】45°．【解析】∵APQ ∆的周长为2，∴2=++PQ AP AQ ．∵正方形ABCD 的边长为1，∴2=+++PB AP AD AQ ∴BP DQ PQ +=． 延长PB 至E ，使得BE =DQ可证：()S A S CBE CDQ ..≌△△，则CE CQ =，BCE DCQ ∠=∠ ∵BP DQ PQ +=，DQ BE =，∴EP PQ = 可证：()S S S CPE CPQ ..≌△△，∴PCE QCP ∠=∠ ∵︒=∠+∠90BCQ DCQ ，BCE DCQ ∠=∠， ∴︒=∠+∠90BCQ BCE ，即︒=∠90QCE 又∵︒=∠+∠90PCE QCP ，PCE QCP ∠=∠ ∴︒=∠45PCQ【总结】本题综合性较强，主要考查了全等的运用，以及截长补短辅助线的添加，最终目的是构造全等，在解题时要注意认真分析．【习题1】ABC ∆的边长AC BC 、的中垂线交AB 于一点O ，且OC BC =，则A∠随堂检测10 / 15EODCBA=________． 【答案】30°【解析】∵ABC ∆的边长AC BC 、的中垂线交AB 于一点O ，∴OC OB OA ==∴OCB B ∠=∠，ACO A ∠=∠ ∵︒=∠+∠+∠+∠180ACO A OCB B ∴︒=∠+∠90OCB ACO ，即︒=∠90ACB ∵OC BC =∴OBC △为等边三角形，∴︒=∠60B ∵︒=∠+∠90A B ，∴︒=∠30A ．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质以及等边三角形的性质．【习题2】 △ABC 中，AB = AC ，AC 的中垂线交AB 于E ，△EBC 的周长为20cm ，AB = 2BC ，则腰长为___________．【答案】cm 340．【解析】∵AC 的中垂线交AB 于E ，∴EC AE =∵△EBC 的周长为20cm ，∴20=+=++BC AB EC BC EB∵AB = 2BC ，∴340=AB【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质以及等腰三角形的性质．【习题3】 如图所示，AB //CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE =2， 则AB 与CD 之间的距离等于___________． 【答案】4【解析】过O 作OF ⊥AB 于F ，OG ⊥CD 于G∵O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，∴2===OG OF OE ， ∵AB //CD ， ∴F 、O 、G 三点共线，∴4=FG ． 【总结】本题主要考查角平分线性质以及平行线的性质． 【习题4】ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DE DF 、分别垂直于AB AC 、，垂足分别为E F 、，如果48ABC S ∆=，79AC AB ==，，则DF =______________． 【答案】6【解析】∵AD 平分BAC ∠，∴DF DE =∵487219212121=⨯⨯+⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅=+=DF DE DF AC DE AB S S S ADC ABD ABC △△△MNABC ∴6=DF【总结】本题主要考查角平分线性质以及等积法的运用．【习题5】 已知：点A 和点D 都是线段BC 外一点，且AB = AC ，DB = DC ，E 是AD 上一点．求证：BE = CE ．【答案】见解析【解析】∵AB = AC ，∴A 在线段BC 的垂直平分线上，∵DB = DC ，∴D 在BC 的垂直平分线上， ∴AD 是BC 的垂直平分线 ∵E 是AD 上一点 ∴BE = CE【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理及其逆定理的运用．【习题6】 已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=°，30A ∠=°，MN 是AB 的垂直平分线．求证：12CM AM =．【答案】见解析． 【解析】∵MN 是AB 的垂直平分线，∴︒=∠=∠30MBA A∵90C ∠=°，30A ∠=°，∴︒=∠60CBA ，∴︒=︒-︒=∠303060CBM ， ∴NBM CBM ∠=∠，∴MN CM =． 在直角△AMN 中，︒=∠30A ，则AM MN 21=，∴AM CM 21=． 【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质以及直角三角形的性质．【习题7】 已知：如图，ABC ∆中，90A ∠=°，AB AC BD ==，ED BC ⊥．求证：AE DE DC ==． 【答案】见解析 【解析】连接BE可证：()L H BDE BAE .≌△△，∴DE AE = ∵90A ∠=°，AB AC =， ∴︒=∠45C ∵ED BC ⊥∴△DEC 为等腰直角三角形， ∴DC DE =BEACD12 / 15ABCDOEF∴AE DE DC ==【总结】本题一方面考查了直角三角形全等的判定方法，另一方面考查了等腰直角三角形的性质，由于部分学生还未学过（H ．L ）的判定定理，因此可选择性的讲解．【习题8】 如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，EF 垂直平分BD 交CA 延长线于E ．求证：EAB EBC ∠=∠． 【答案】见解析【解析】∵EF 垂直平分BD∴ED EB = ∴EDB EBD ∠=∠ ∵BD 平分ABC ∠， ∴ABD DBC ∠=∠∵ABD EDB EAB ∠+∠=∠，DBC EBD EBC +∠=∠ ∴EAB EBC ∠=∠【总结】本题一方面考查线段垂直平分线的性质定理，另一方面考查三角形外角性质的运用．【习题9】 已知：如图，在凹四边形ABCD 中，EO 垂直平分BC ，FO 垂直平分AD ，EO与FO 相交于点O ，且AB CD =． 求证：ABO DCO ∠=∠． 【答案】见解析 【解析】连接OD 、OA∵EO 垂直平分BC ∴OC OB = ∵FO 垂直平分AD ∴OD OA =可证：()S S S DOC AOB ..≌△△ ∴ABO DCO ∠=∠．【总结】本题主要考查线段垂直平分线以及角平分线性质定理的综合的运用．课后作业ABCDEF【作业1】 如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=°，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，如果14DC cm AB cm ==，，那么ABD S ∆=___________．【答案】2【解析】∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，90C ∠=°， ∴1==DE CD∴2142121=⨯⨯=⋅⋅=DE AB S ABD △．【总结】本题主要考查角平分线性质定理的运用．【作业2】 如图，已知ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线，5AC =，ABD ∆的周长为13，求ABC ∆的周长． 【答案】18【解析】∵DE 是AC 的垂直平分线，∴DC AD =∵ABD ∆的周长为13， ∴13=++AD BD AB ∴ABC ∆的周长为：AB AC BC AB AC BD DC AB AC BD AD ++=+++=+++13518=+=．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理的运用．【作业3】 如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 上，且DB AD BC +=．求证：点D 在AC的垂直平分线上． 【答案】见解析【解析】∵DB AD BC +=，BC DC DB =+∴DC AD =∴点D 在AC 的垂直平分线上．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理逆定理的运用，证明点在线段垂直平分线上． 【作业4】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=°，AC 的垂直平分线DE 交BC 于D E ，为垂足，且18BC cm =，求DE 的长．【答案】3cm【解析】∵AB AC =，120BAC ∠=°，∴︒=∠=∠30C B∵AC 的垂直平分线DE 交BC 于D ∴DC AD =，︒=∠=∠30CAD C ，ABCEDAB C DD BACEADBEC14 / 15ED CBA ∴︒=︒-︒=∠9030120BAD在直角△BAD 中，︒=∠30B ，则BD AD 21= ∴182=+=+=DC DC DC BD BC ∴6=DC在直角△CED 中，︒=∠30C ，则321==DC DE ．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理及其直角三角形性质的运用．【作业5】 如图，正方形ABCD 的边长为1，AE 是CAB ∠的平分线，交BC 于点E ，则点E 到AC 的距离为___________． 【答案】12-．【解析】过E 作EF ⊥AC ，垂足为F可得：△CEF 为等腰直角三角形， 则由勾股定理可得：EF CE 2=∵AE 是CAB ∠的平分线，EF ⊥AC ，90B ∠= ∴BE EF = 又∵1=+EB CE ∴12=+EF EF ∴12-=EF【总结】本题综合性较强，主要考查了角平分线的性质以及正方形的性质，还运用勾股定理计算线段长．【作业6】 如图，已知ABC ∆中，点E 是AB 延长线上的一点，AE AC AD =，平分BAC ∠，BD = BE ．求证：2ABC C ∠=∠． 【答案】见解析【解析】由题意，易得：()S A S ACD AED ..≌△△则：C E ∠=∠∵BD = BE ，∴BDE E ∠=∠ ∴C E DBE E ABC ∠=∠=∠+∠=∠22ABCDE【总结】本题主要考查等边对等角以及三角形外角性质的运用，解题时注意分析，当看到证明一个角是另一个角的两倍时，通常都考虑采用外角性质证明．【作业7】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，AC CD BD +=．求证：2C B ∠=∠． 【答案】见解析【解析】在BD 上截取一点E ，使得DE =DC∵DC DE =，AC CD BD += ∴AC BE =可证：AED ACD ≌△△，则AE AC =，AED C ∠=∠ ∴AE BE =，∴BAE B ∠=∠ ∴C B BAE B AED ∠=∠=∠+∠=∠22 ∴2C B ∠=∠【总结】本题一方面考查了截长补短辅助线的添加，主要是看到两条线段和等于第三条线段的模型，另一方面考查了证明一个角是另一个角的两倍的基本模型，通常都考虑采用外角性质证明．ABCD。
角平分线性质(第一课时)
利用角平分线定理解决代数问题
除了在几何证明题中的应用，角平分线定理还可以用于解决 一些代数问题。例如，可以利用角平分线定理来求解一些与 角度和边长相关的问题，或者求解一些与三角形面积相关的 问题。
在解决代数问题时，我们需要将问题转化为几何图形，并利 用角平分线定理来建立代数方程或不等式，然后通过代数方 法求解。
03 角平分线的作法
利用直角三角板作角平分线
准备工具：直角三角板、 直尺、铅笔、橡皮。
步骤
1. 将直角三角板的一条直 角边与已知角的边重合。
2. 移动三角板，使另一条直 角边与角的另一边重合。
利用角平分仪作角平分线
准备工具：角平分仪、直尺、铅笔、橡皮。
01
02
步骤
1. 将角平分仪的固定臂与已知角的边重合 。
03
04
2. 调整角平分仪的活动臂，使其与角的另 一边重合。
3. 旋转角平分仪，使刻度线与角平分线重 合。
05
Hale Waihona Puke 064. 沿着刻度线画出角的平分线。
利用尺规作图作角平分线
准备工具：圆规、直尺、铅 笔、橡皮。
步骤
01
1. 以角的顶点为圆心，以适 当长度为半径画弧，交角的
02
03
两边于两点。
2. 分别以这两点为圆心，以 相同长度为半径画弧，两弧
交于一点。
04
05
3. 通过角的顶点和交点画出 角的平分线。
04 角平分线的性质在解题中 的应用
利用角平分线定理解决几何证明题
在几何证明题中，角平分线定理是一个重要的工具，可以帮助我们证明一些与角 平分线相关的结论。例如，可以利用角平分线定理证明等腰三角形的性质，或者 证明平行线的性质等。
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授课教案
教学标题 角平分线的性质
教学目标 熟练了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；掌握角平分线的性质和判定；综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。
教学重难点
重点：角平分线的性质和判定.难点：角平分线的性质和判定的综合应用.
上次作业检查 授课内容： 一．作业讲解
二．知识梳理
知识点一 角平分线的定义
知识点二 作角平分线（尺规作图，四弧一线） 知识点三 角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP 平分∠AOB ，AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，∴AP=BP. 知识点四 角平分线的判定 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵ AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，AP=BP ，∴点P 在∠AOB 的平分线上. 知识点五 角平分线的综合应用
三．典型例题
例1：如图，已知点C 为直线AB 上一点，过C 作直线CM ，使CM AB ⊥于C 。
分析：由于AB 是直线，要求作CM AB ⊥，实际上就是要作平角ACB ∠的平分线。
根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM.
例2：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F 。
连接EF ，交AD 于点G 。
说出AD 与EF 之间有什么关系？证明你的结论。
分析：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。
角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断.
例3：如图，BE CF =，DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ，BF 和CE 交于点D 。
求证：AD 平分BAC ∠。
O
A
B
P
分析：要证AD 平分BAC ∠，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。
而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明.
例6：如图，在ABC ∆中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，
BD DF =。
求证：CF EB =。
分析：由已知条件很容易得到DC ＝DE ；要证明CF ＝EB ，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。
四．课堂练习
1.如图，D 是ABC ∆的外角ACE ∠的平分线上一点，DF AC ⊥于F ，DE BC ⊥于E ，且交BC 的延长线于E .求证：CE CF =.
2.如图，,F G 是OA 上两点，,M N 是OB 上两点，且FG MN =，PFG PMN S S ∆∆=，试问点P 是否在AOB ∠的平分线上？
3.如图，已知在ABC ∆中，BD DC =，12∠=∠.求证：AD 平分BAC ∠.
五．课后反思：
1. 性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质；
2.判定角的平分线要满足两个条件：“垂直”和“相等”。
若已知“垂直”则设法证明“相等”，若已知“相等”则设法证明“垂直”.
一、选择题：
1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条高的交点
D. 三条角平分线的交点
2. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，若32BC =，且:9:7B D C D =，则点D 到AB 的距离为（ ）
A. 18
B. 16
C. 14
D. 12
3. 如图，直线123,,l l l 表示三条互相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）
A. 一处
B. 两处
C. 三处
D. 四处
4. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D ，若CD n =，AB m =，则ABD ∆的面积是（ ）
A.
1
3
m n B.
1
2
mn C. mn D. 2mn
5. 如图，ABC ∆中，90C ∠=，点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点，OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点,,D E F 分别是垂足，且10AB cm =，8BC cm =，6CA cm =，则
点O 到三边,,AB AC BC 的距离分别等于（ ）cm
A. 2、2、2
B. 3、3、3
C. 4、4、4
D. 2、3、5
二、填空题：
6. 如图，已知,BA CA 分别是DBC ∠，ECB ∠的平分线，BD DE ⊥，CE DE ⊥，垂足分别为,D E ，则DA 与EA 有怎样的数量关系____________。
7. 已知ABC ∆中，90C ∠=，AD 平分A ∠，2AD BD CD ==，点D 到AB 的距离等于 5.6cm ，则BC 的长为___________cm 。
8. 如图，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，
DF BC ⊥于F ，236ABC S cm ∆=，18AB cm =，12BC cm =，则DE 的长是__________。
三、解答题：
9. 如图，AB //CD ，90B ∠=，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠。
求证：AE 平分DAB ∠。
10. 如图，已知在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=，AC 平分BAD ∠，CE AD ⊥，E 为垂足。
求证：2AB AD AE +=。