角平分线的性质和判定经典复习题
[数学]-必考点05 角平分线的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上
![[数学]-必考点05 角平分线的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上](https://img.taocdn.com/s3/m/6a3e1acc8662caaedd3383c4bb4cf7ec4bfeb650.png)
11．（2021秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论序号是．
7．（2021秋•松桃县期末）如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
◆◆题型三角的平分线的性质与判定的综合应用
8．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H．
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．
1．（2022春•六盘水期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（ ）
A．5B．7C．7.5D．10
2．（2022•雁塔区模拟）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．△ABC三条高线的交点处
B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【例题20】（2022春•兰州期末）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处
人教版八年级数学上册《角平分线的性质和判定》复习题
角均分线内容及典型例题一.复习内容：1.角均分线的作法．2.角均分线的性质及判断．3.角均分线的性质及判断的应用．二. 知识重点：1. 角均分线的作法（尺规作图）①以点 O 为圆心，随意长为半径画弧，交OA 、 OB 于 C、D 两点；②分别以 C、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P；③过点 P 作射线 OP，射线 OP 即为所求．2.角均分线的性质及判断（1）角均分线的性质：角的均分线上的点到角的两边的距离相等．①推导已知： OC 均分∠ MON ， P 是 OC 上随意一点， PA ⊥ OM ， PB⊥ ON，垂足分别为点 A 、点 B ．求证： PA ＝PB．证明：∵PA ⊥ OM ，PB⊥ON∴∠ PAO＝∠ PBO＝ 90°∵OC 均分∠ MON∴∠ 1＝∠ 2在△ PAO 和△ PBO 中，∴△ PAO≌△ PBO∴PA＝ PB②几何表达：（角的均分线上的点到角的两边的距离相等）以下图，∵OP 均分∠ MON （∠ 1＝∠ 2）， PA ⊥ OM ， PB⊥ ON，∴PA＝ PB．（2）角均分线的判断：到角的两边的距离相等的点在角的均分线上．①推导已知：点 P 是∠ MON 内一点， PA ⊥ OM 于 A ， PB⊥ ON 于 B，且 PA ＝PB ．求证：点 P 在∠ MON 的均分线上．证明：连结 OP在 Rt△PAO 和 Rt△ PBO 中，∴Rt △PAO ≌ Rt △PBO（ HL ）∴∠ 1＝∠ 2∴OP 均分∠ MON即点 P 在∠ MON 的均分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的均分线上．）以下图，∵PA⊥ OM ， PB⊥ ON，PA ＝ PB∴∠ 1＝∠ 2（ OP 均分∠ MON ）3. 角均分线性质及判断的应用①为推导线段相等、角相等供给依照和思路；②实质生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，而且到河上公路桥头的距离为300 米．在以下图中标出工厂的地点，并说明原因．4.画一个随意三角形并作出两个角（内角、外角）的均分线，察看交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．三.重点难点：1.重点：角均分线的性质及判断2.难点：角均分线的性质及判断的应用【考点剖析】本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中有时以选择题或填空题的形式出现，但角均分线的性质及判断有时出此刻综合题题目中间，所以仍是比较重要的．【典型例题】例 1. 已知：以下图，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（ 1）∠ ABC ＝∠ ABC ′；（ 2）BC ＝BC ′（要求：不用三角形全等判断）．剖析：由条件∠ C＝∠ C′＝ 90°， AC ＝AC ′，能够把点 A 看作是∠ CBC ′均分线上的点，由此可翻开思路．证明：（1）∵∠ C＝∠ C′＝ 90°（已知），∴ AC ⊥BC ，AC ′⊥ BC ′（垂直的定义）．又∵ AC＝ AC′（已知），∴点 A 在∠ CBC′的角均分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的均分线上）．∴∠ ABC ＝∠ ABC′．（ 2）∵∠ C＝∠ C′，∠ ABC ＝∠ ABC′，∴180°－（∠ C＋∠ ABC ）＝ 180°－（∠ C′＋∠ ABC′）（三角形内角和定理）．即∠ BAC ＝∠ BAC′，∵ AC ⊥BC ，AC′⊥ BC′，∴BC＝ BC′（角均分线上的点到这个角两边的距离相等）．评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有必定的踊跃作用，但也会产生悲观作用，在解题时，要能打破思想定势，追求解题方法的多样性．例 2. 以下图，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D 点到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 能否均分∠ BAC ，并说明原因．剖析：判断一条射线能否是一个角的均分线，可用角均分线的定义和角均分线的判断定理．依据题意，第一由角均分线的判断定理推导出∠ 1＝∠ 2，再利用平行线推得∠3＝∠ 4，最后用角均分线的定义得证．解： AD 均分∠ BAC ．∵ D 到 PE 的距离与到PF 的距离相等，∴点 D 在∠ EPF 的均分线上．∴∠ 1＝∠ 2．又∵ PE∥ AB ，∴∠ 1＝∠ 3．同理，∠ 2＝∠ 4．∴∠ 3＝∠ 4，∴ AD 均分∠ BAC ．评析：由角均分线的判断判断出 PD 均分∠ EPF 是解决本例的重点．“同理”是当推理过程同样，不过字母不一样时为书写简易能够使用“同理”．例 3. 以下图，已知△ABC的角均分线BM，CN订交于点P，那么AP可否均分∠BAC？请说明原因．由本题你能获取一个什么结论？剖析：由题中条件可知，本题能够采纳角的均分线的性质及判断来解答，所以要作出点P到三边的垂线段．解： AP 均分∠ BAC ．结论：三角形的三条角均分线订交于一点，而且这一点到三边的距离相等．原因：过点P 分别作 BC ，AC ， AB 的垂线，垂足分别是E、 F、 D．∵ BM 是∠ ABC 的角均分线且点P 在 BM 上，∴PD＝ PE（角均分线上的点到角的两边的距离相等）．同理 PF＝ PE，∴ PD＝ PF．∴AP 均分∠ BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的均分线上）．例 4. 以下图的是相互垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的均分线上的 P 点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x 轴、 y 轴成立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在地点的坐标．剖析：因为角均分线上的点到角的两边距离相等，所以点P 到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点 P 在第四象限，求点P 的坐标时要注意符号．解：（ 1）∵点 P 在公路与铁路所夹角的均分线上，∴点 P 到公路的距离与它到铁路的距离相等，又∵点 P 到公路的距离是400m，∴点 P（学校）到铁路的距离是400m．（ 2）学校所在地点的坐标是（400，－ 400）．评析：角均分线的性质的作用是经过角相等再联合垂直证明线段相等．例 5. 以下图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA均分∠CAB否在 AB 上确立一点 E，使△ BDE 的周长等于 AB 的长？若能，请作出点若不可以，请说明原因．交BC 于D，问能E，并给出证明；剖析：因为点 D 在∠ CAB 的均分线上，若过点 D 作 DE ⊥AB 于 E，则 DE ＝ DC．于是有 BD ＋ DE ＝ BD ＋DC＝ BC＝ AC ，只需知道 AC 与 AE 的关系即可得出结论．解：能．过点 D 作 DE ⊥AB 于 E，则△ BDE 的周长等于 AB 的长．原因以下：∵AD 均分∠ CAB ， DC⊥ AC ，DE ⊥ AB ，∴DC＝DE ．在 Rt△ACD 和 Rt△ AED 中，，∴Rt △ACD ≌ Rt△ AED （ HL ）．∴AC ＝AE ．又∵ AC＝ BC，∴ AE ＝BC ．∴△ BDE 的周长＝ BD ＋ DE＋BE ＝BD ＋ DC＋ BE＝BC ＋BE＝ AE ＋ BE ＝ AB ．评析：本题是一道研究题，要擅长利用已知条件获取新结论，找寻与要解决的问题之间的联系．本题利用角均分线的性质将要研究的结论进行转变．这是初中几何中常用的一种数学思想．【方法总结】学过“角的均分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的均分线上” 这两个结论后，很多波及角的均分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有很多同学对质明两个三角形全等的问题已经很熟习了，所以证题时，不习惯直策应用这两个结论，仍旧去找全等三角形，结果相当于从头证了然一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．练习题一.选择题1.以下图， OP 均分∠ AOB ， PC⊥ OA 于 C，PD⊥ OB 于 D ，则 PC 与 PD 的大小关系是（）A. PC ＞ PDB. PC＝ PDC. PC＜ PDD. 不可以确立2.在 Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°， AD 是角均分线，若BC ＝ 10， BD ∶ CD ＝3∶ 2，则点 D 到 AB 的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103.在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， E 是 AB 边的中点， BD 是角均分线，且 DE ⊥ AB ，则（）A. BC＞AEB. BC ＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4.（2007 年浙江义乌）以下图，点 P 是∠ BAC 的均分线 AD 上一点， PE⊥ AC 于点 E，已知 PE＝3，则点 P 到 AB 的距离是（）A.3B.4C.5D.65.以下图，在△ ABC 中，∠ C＝90°， AD 均分∠ BAC ，AE ＝ AC ，以下结论中错误的选项是（）A. DC ＝ DEB. ∠AED ＝ 90°C. ∠ ADE ＝∠ ADCD. DB ＝DC6.到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角均分线的交点D. 不可以确立7.以下图，△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC ＝BC ，AD 均分∠ CAB 交 BC 于 D， DE ⊥ AB于 E，且 AB ＝ 6cm，则△ DEB 的周长为（）A. 4 cmB. 6 cmC. 10cmD. 以上都不对8.以下图，三条公路两两订交，交点分别为A 、B 、 C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地点有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四周二. 填空题9.以下图，点 P 是∠ CAB 的均分线上一点， PF⊥ AB 于点 F， PE⊥AC 于点 E，假如PF＝ 3cm，那么 PE＝__________ ．10.以下图， DB ⊥ AB ，DC⊥AC ，BD ＝ DC，∠ BAC ＝ 80°，则∠ BAD ＝ __________ ，∠CDA ＝ __________．11. 以下图， P 在∠ AOB 的均分线上，在利用角均分线性质推证PD＝ PE 时，一定知足的条件是 ____________________．12. 以下图，∠B＝∠ C， AB ＝AC ， BD ＝ DC，则要证明AD是∠ BAC的__________线．需要经过__________ 来证明．假如在已知条件中增添∠ B 与∠ C 互补后，就能够经过__________来证明．因为此时BD 与 DC 已经分别是 __________的距离．13. 以下图， C 为∠ DAB 内一点， CD⊥ AD 于 D，CB⊥ AB 于 B，且 CD ＝ CB，则点 C 在__________ ．14.以下图，在 Rt△ ACB 中，∠ C＝ 90°， AD 均分∠ BAC 交 BC 于点 D．（1）若 BC＝ 8， BD ＝5，则点 D 到 AB 的距离是 __________ ．（2）若 BD ∶ DC＝ 3∶ 2，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC 的长为 __________．15. （ 1）∵ OP 均分∠ AOB ，点 P 在射线 OC 上，PD⊥ OA 于 D ，PE⊥ OB 于 E，∴ __________（依照：角均分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵ PD⊥ OA ， PE⊥ OB，PD＝ PE，∴ OP 均分∠ AOB （依照： ___________）．三.解答题16.已知：如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， D 是 AC 上一点， DE ⊥AB 于 E，且 DE ＝DC ．（1）求证： BD 均分∠ ABC ；（2）若∠ A ＝ 36°，求∠ DBC 的度数．17.如图：△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的均分线， E、 F 分别为 AB 、AC 上的点，且∠ EDF ＋∠ BAF ＝180°．（1）求证： DE＝ DF；（2）若把最后一个条件改为： AE ＞ AF ，且∠ AED ＋∠ AFD ＝ 180°，那么结论还成立吗？18.如图，∠ 1＝∠ 2， AE ⊥ OB 于 E， BD ⊥ OA 于 D， AE 与 BD 订交于点 C．求证： AC ＝BC ．19. 以下图，某铁路MN 与公路 PQ 订交于点O，且夹角为90°，其库房G 在 A 区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出库房 G 的地点．（比率尺为 1∶10000，用尺规作图）（2）求出库房 G 到铁路的实质距离．四. 研究题20.有位同学发现了“角均分线”的另一种尺规作法，其方法为：（ 1）以下图，以O 为圆心，随意长为半径画弧交OM 、 ON 于点 A 、B ；（ 2）以 O 为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM 、ON 于点 C、 D；（ 3）连结 AD 、BC 订交于点E；（ 4）作射线OE，则 OE 为∠ MON 的均分线．你以为他这类作法对吗？试说明原因．。
角的平分线的性质(含例题)
1．作已知角的平分线用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于__________的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示：★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．2．角的平分线的性质内容：角的平分线上的点到角的两边的距离__________．【提示】（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．3．证明几何命题的一般步骤一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．4．角的平分线的判定（1）内容：角的内部到角的两边的距离__________的点在角的平分线上．（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．K知识参考答案：1．（2）12MN 2．相等3．相等K—重点尺规作图作角的平分线，角的平分线的性质和判定K—难点证明几何命题的一般步骤K—易错角的平分线的判定一、角的平分线的性质遇到已知一个点在某个角的平分线上时，一般过该点向角的两边作垂线，运用角的平分线上的点到角两边的距离相等寻找线段的相等关系，有时可结合全等三角形建立未知线段与已知线段的关系，从而求出待求线段．【例1】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3 cm，则点D到AB的距离DE是A．5 cm B．4 cmC．3 cm D．2 cm【答案】C【解析】如图，过D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3 cm，∴DE=3 cm．故选C．【例2】如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是A．PA=PB B．PO平分∠AOBC．OA=OB D．AB垂直平分OP【答案】D二、角的平分线的判定1．当题目中出现角内的一点到角两边的距离相等时，可以考虑应用角的平分线的判定方法证明两个角相等．2．角的平分线的性质和判定恰好是条件和结论互换，即点在角平分线上的一点到角两边的距离相等．【例3】如图，PA=PB，∠1+∠2=180°．求证：OP平分∠AOB．三、角的平分线的性质的应用证明角平分线的方法：只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想．【例4】如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有A．1处B．2处C．3处D．4处【答案】D【解析】如图，A、B、C、D为三条直线组成的三角形内角和外角的角平分线的交点，由角平分线上的点到角两边距离相等可得在这四点处，货物中转站到三条公路距离相等．故选D．【例5】如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=AD=5.2 km，CB=CD=5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则C村到公路l2的距离是A．3 km B．4 km C．5 km D．5.2 km【答案】B。
角平分线的性质与判定习题
[角平分线的性质与判定]一、选择题1.如图BP为∠ABC的平分线,过点D作BC,BA的垂线,垂足分别为E,F,则下列结论中错误的是()A.∠DBE=∠DBFB.DE=DFC.2DF=DBD.∠BDE=∠BDF2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是()A.点MB.点NC.点PD.点Q3.如图已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.424.如图在平面直角坐标系中,AD平分∠OAB,DB⊥AB, BC∥OA交y轴于点C,若点B的横坐标为1,点D的坐标为(0,√3),则点C的坐标是()A.(0,2) B .(0,5) C.(0,√5) D.(0,√3+√2)二、填空题5.如图∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D,若QC=QD,则∠CQO=°6.已知如图AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD, PE⊥AC于点E,且PE=3 cm,则AB与CD之间的距离为cm7.如图∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB.若EC=1,则EF=.8.如图AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为48和26,则△EDF的面积为.三、解答题9.如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB 于点E,CD=3.(1)求DE的长; (2)若AC=6,BC=8,求△ADB的面积10.如图P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.11.如图在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是Rt△ABC的一条角平分线,点O,E,F分别在BD,BC,AC上,且四边形OECF 是正方形.(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.课时作业(十)[三角形三条内角的平分线]一、选择题1.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一座凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,则凉亭的位置应选在()A.△ABC的三条中线的交点处B.△ABC的三边的垂直平分线的交点处C.△ABC的三条角平分线的交点处D.△ABC的三条高所在直线的交点处2.如图已知△ABC的周长是18 cm,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC于点D,若OD=3 cm,则△ABC的面积是()A.24 cm2B.27 cm2C.30 cm2D.33 cm2二、填空题3.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,则∠BDC的度数是.4.在△ABC中,AB=13 cm,AC=5 cm,BC=12 cm,若△ABC 内有一点P到各边的距离相等,则这个距离为cm.5.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC 的平分线BP相交于点P.若∠BPC=40°,则∠CAP=°.三、解答题如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠ACB的平分线,AD,CE相交于点F.请你判断FE与FD之间的数量关系(不需要证明).(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,则你在(1)中所得到的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(提示:四边形的内角和为360°)。
角平分线的性质定理和判定经典习题
角平分线的性质定理和判1.已知：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ， （1）求证：BD+DE=AC ． （2）求△DBE 的周长．2. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点， DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB ．3. 如图，已知△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ， 且OD=3，△ABC 的面积是多少？4.已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．5. 如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点， PF ⊥BC 于F ，PA=PC ， 求证：∠PCB+∠BAP=180º21NPF CBA7.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD、AB、AD间有什么关系？直接写出结果8.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．9.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．9.如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．10.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。
求证：AF为∠BAC的平分线。
11．已知：AD 是△ABC 角平分线，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ， 证：∠B ＝∠C.12．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=， 点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．13.如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .14.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ， OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．ＢＤＥAFCDEB。
角平分线的性质和判定经典题
角平分线的性质和判定复习一知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）思考：这一画法的根据是什么？2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何表达：∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知）∴PA＝PB．（角平分线的性质）思考：这一性质定理的根据是什么？（2）角平分线的判定：文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何表达：∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知）∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）二、典型例题角平分线的性质一例题1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等例题2如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则求DE的长.例题3已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上BD=DF ， 求证：CF=EB 。
D FE C BA例题4已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.例题5 已知:如图所示,点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,垂足分别为D ，E,求证：OB ＝OC.例题6 如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB 的周长.A F DE B例题7如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=CF,求证:BD=FD.例题8如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°.求证:DE=DF.例题8 求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.角平分线的性质二例题1如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E，F,AE=AF.求证：(1)PE=PF；(2)点P在∠BAC的平分线上.例题2如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.例题3已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：（1）当∠1＝∠2时，OB＝OC；（2）当OB＝OC时，∠1＝∠2.例题4已知：如图所示，在△ABC中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.例5、如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．E是DC 的中点，求证：BE平分∠ABC．例题6 .如图所示,在四边形ABCD中,∠ADC+∠ABC=180°,BC=DC,CE⊥AD,交AD的延长线于点E,CF⊥AB于点F.求证:AC平分∠BAD.例7如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？。
角平分线的性质和判定经典复习题
角平分线的性质和判定复习二、典型例题例1 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？例2.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E， AB=10求△BDE的周长例3、如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．E是DC的中点，求证：BE 平分∠ABC．例4、如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数．三、巩固练习1. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB 的距离是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 102. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定3. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处第3题图第4题图第5题图4.如图，AB∥CD，点P到AB,BC,CD距离都相等，则∠P=5、如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于6、BD是∠ABC的平分线交AC于D，DE⊥AB于点E，AB=36，BC=24，S△ABC=144则DE=7、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且BC=CD，求证∠B+∠D＝180°8. （上一题变式）如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．求证：DE＝DF；9．如图，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．10．如图，已知在△ABC中，∠B=600,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．。
【精】2018年八年级数学《12.3 角平分线的性质与判定》同步复习资料【1】【含解析】
2018年八年级数学《12.3 角平分线的性质与判定》同步复习资料【1】一．选择题（共10小题）1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．B．2 C．3 D．22．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（）A．18 B．16 C．14 D．123．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．44．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．2【1】【3】【4】5．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．56．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，S△ABD=12，则S△ABD：S△ACD=（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：167．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP 的面积比等于（）A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：28．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【5】【6】【8】9．如图，四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）10．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（）A．8 B．12 C．4 D．6【9】【10】二．填空题（共10小题）11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是．12．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=．13．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是．14．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．【11】【12】【14】15．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为．16．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=．17．如图，AB∥CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于．18．直线l1、l2、l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有处．19．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是．（填写序号）【17】【18】【19】三．解答题（共10小题）20．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．21.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．22．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．22．如图，△ABC中∠B的外角平分线BD于∠C的外角平分线CE相交于点P，求证：点P在∠ABC的角平分线上．24．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．25．如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．《12.3 角平分线的性质与判定》同步复习资料【1】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．B．2 C．3 D．2【解答】解：过点P作PB⊥OM于B，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PB=PA=3，∴PQ的最小值为3．故选：C．2．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（）A．18 B．16 C．14 D．12【解答】解：如图，∵BD+CD=BC=32，BD：DC=9：7作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC∴DE=CD=14．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）即：点D到AB的距离为14，故选C．3．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC•EF=×5×2=5，故选C．4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∴PA=PD=4，∴PE=4．故选C．5．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．5【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．6．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，S△ABD=12，则S△ABD：S△ACD=（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16【解答】解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F…（1分）∴DE=DF，…（3分）∴S△ABD=•DE•AB=12，∴DE=DF=3…（5分）∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…（6分）∴S△ABD：S△ACD=12：9=4：3．故选A．7．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP 的面积比等于（）A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2【解答】解：∵P为三边角平分线的交点，∴点P到△ABC三边的距离相等，∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比=6：4：4=3：2：2．故选D．8．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，故A选项正确，∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=（180°﹣60°）=60°，∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=（180°﹣70°）=55°，故D选项正确．故选：B．9．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）【解答】解：作∠E的平分线，可得点P到AB和CD的距离相等，因为AB=CD，所以此时点P满足S△PAB=S△PCD．10．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（）A．8 B．12 C．4 D．6【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF=S△GDH，设面积为S，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF=S△ADH，即38+S=50﹣S，解得S=6．故选D．二．填空题（共10小题）11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是3．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故答案为3．12．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=50°．【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=（x﹣40）°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，∵，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP=∠PAC=50°．故答案为：50°．13．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是4：3．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，故答案为4：3．14．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC 的面积是30．【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=20×3=30，故答案为：30．15．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为8．【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小．∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD=DP，又AD=8，∴DP=8．故答案为：8．16．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=125°．【解答】解：∵OF=OD=OE，∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣70°=110°，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣55°=125°．故答案为：125°．17．如图所示，AB∥CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于2．【解答】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=1+1=2．故答案为：2．18．直线l1、l2、l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有4处．【解答】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，∴货物中转站可以供选择的地址有4个．故答案为：4．19.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是①③④．（填写序号）【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°，①正确；∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=25°，∴∠DOC=25°+60°=85°，②错误；∠BDC=60°﹣25°=35°，③正确；∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，∴AD是∠BAC的外角平分线，∴∠DAC=55°，④正确，故答案为：①③④．三．解答题（共10小题）20．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．21．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．22．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在Rt△ADF与Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．23．如图，△ABC中∠B的外角平分线BD于∠C的外角平分线CE相交于点P，求证：点P在∠ABC的角平分线上．【解答】证明：作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥AC于H，∵∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P，∴PF=PG，PH=PG，∴PF=PH，又PF⊥AB，PH⊥AC，∴点P在∠CAB的角平分线上．24．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC=2AE．证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADE=∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．25．如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．【解答】证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．【解答】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
/
角平分线的性质和判定复习
一知识要点：
1. 角平分线的作法（尺规作图）
思考：这一画法的根据是什么
2. 角平分线的性质及判定
（1）角平分线的性质：
文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
)
几何表达：
∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知）
∴PA＝PB．（角平分线的性质）
思考：这一性质定理的根据是什么
（2）角平分线的判定：
文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
几何表达：
【
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知）
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）
思考：这一判定定理的根据是什么
二、典型例题
例1 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC请说明理由．由此题你能得到一个什么结论
思考：画一个任意三角形并作一个内角、一个外角的平分线相交；两个外角的平分线相交，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．
—
例2.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E， AB=10求△BDE的周长
…
例3、如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．
例4、如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数．
>
【思维方法总结】
1、学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论。
2、如果已知角平分线，（或要证角平分线）可以考虑：有一条距离可以考虑
再作一条距离，一条距离也没有可以考虑作两条距离。
从而利用角平分线
的性质定理和判定定理解决问题。
三、巩固练习
1. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（）
A. 4
B.
6 C.
8 D. 10
'
2. 到三角形三边距离相等的点是（）
A. 三条高的交点
B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 不能确定
3. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）
A. 一处
B. 二处
C. 三
处 D. 四处
第3题图第4题图第5题图
4.如图，AB∥CD，点P到AB,BC,CD距离都相等，则∠P=
~
5、如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于
6、BD是∠ABC的平分线交AC于D，DE⊥AB于点E，AB=36，BC=24，
S△ABC=144则DE=
7、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且BC=CD，求证∠B+∠D＝180°
）
8. （上一题变式）如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC 上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．求证：DE＝DF；
9．如图，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．
10．如图，已知在△ABC中，∠B=600,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．。