_角平分线的性质和判定(包含答案)

角平分线的性质和判定

（1）以的顶点为圆

心，任意长为半径画弧，分别交

、于点、；

（2）分别以点、为圆心，

大于长为半径画弧，相交

于点；

（3）连接点和并延长，则

射线就是的角平分线

若DP=EP，则点P在∠AOB的角

平分线上

一．考点：角平分线的尺规作图，角平分线的性质和判定

二．重难点：角平分线的性质和判定

三．易错点：

1．角平分线的性质和判定混淆不清导致解题出错．

题模一：尺规作图

例1.1.1如图，已知M、N分别是AOB

∠的边OA上任意两点．

（1）尺规作图：作AOB

∠的平分线OC；

（2）在AOB

∠的平分线OC上求作一点P，使PM PN

+的值最小．（保留作图痕迹，不写画法）

例1.1.2作图题：（简要写出作法，保留作图痕迹）

如图，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到点M，N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．

题模二：性质

例1.2.1如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，

则点P到BC的距离是（）

A.8

B.6

C.4

D.2

例1.2.2如图，在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BP＋CQ－AR＝________．

例 1.2.3 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．

题模三：判定

例1.3.1 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥CB 于点B ，DC ⊥BC 于点C ，DE 平分∠ADC ，且点E 为BC 的中点，连接AE ．

（1）求证：AE 平分∠BAD ； （2）求∠AED 的度数．

例 1.3.2 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．

随练1.1 尺规作图（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）

如图，两条公路EA 和FB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站P 到两条公路EA 、FB 的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．

F

A

B

C

D

E

O

O

E

D

C

B

A

随练1.2如图，△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；

②分别以点E、F为圆心，大于1

2

EF长为半径画弧，两弧相交于点G；

③作射线AG交BC边于点D．

则∠ADC的度数为（）

A.65°

B.60°

C.55°

D.45°

随练1.3如图，已知ABC

∆的周长是20，OB和OC分别平分ABC

∠和ACB

∠，OD BC

⊥于点D，且3

OD=，则ABC

∆的面积是（）

A.20

B.25

C.30

D.35

随练 1.4如图，AB CD

∥，BP和CP分别平分ABC

∠和DCB

∠，AD过点P，且与AB垂直．若8

AD=，则点P到BC的距离是（）

A.8

B.6

C.4

D.2

随练1.5三角形中到三边的距离相等的点是（）

A.三条边的垂直平分线的交点

B.三条高的交点

C.三条中线的交点

D.三条角平分线的交点

随练1.6如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC的外角的平分线，求证：点P在∠A的平分线上．

拓展1如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD

（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．

拓展2如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）

A.四处

B.三处

C.两处

D.一处

拓展3在ABC

∆中，AB AC

=，70

ABC

∠=︒

（1）用直尺和圆规作ABC

∠的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）在（1）的条件下，BDC

∠=________．

P

C

B

A

拓展4 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点

拓展5 如图，已知在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，2DE =，则BCE ∆的面积等于________．

拓展6 如图，ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC ∆分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）

A.1:1:1

B.1:2:3

C.2:3:4

D.3:4:5

拓展7 如图，已知：BD 是ABC ∠的平分线，DE BC ⊥于E ，236ABC S cm ∆=；，12AB cm =，18BC cm =，则DE 的长为________cm ．

拓展8 如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥交AF 的延长线于F ．

（1）说明BE CF =的理由；（2）如果AB a =，AC b =，求AE BE 、的长．