角平分线性质定理和判定(经典)
角平分线四大模型总结+习题+解析（最全版）
⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）⾓平分线四⼤辅助线模型⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。
⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:163．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB ，另⼀把直尺压住射线OA 并且与第⼀把直尺交于点P ，⼩明说：“射线OP 就是BOA ∠的⾓平分线．”他这样做的依据是( )A ．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B ．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C ．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确6．（2019秋?梁平区期末）如图，若BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，40BAC ∠=?，130ADG ∠=?，则DGF ∠=．7．（2018春?开江县期末）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆⼼，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆⼼，⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交边BC 于点D ．下列说法错误的是( ) A ．CAD BAD ∠=∠B ．若2CD =，则点D 到AB 的距离为2C ．若30B ∠=?，则CDA CAB ∠=∠D ．2ABD ACD S S ??=8．（2014秋?西城区校级期中）如图，点E 是AOB ∠的平分线上⼀点，EC OA ⊥，ED OB ⊥，垂⾜分别是C ，D ．下列结论中正确的有( )（1）ED EC =；（2）OD OC =；（3）ECD EDC ∠=∠；（4）EO 平分DEC ∠；（5）OE CD ⊥；（6）直线OE 是线段CD 的垂直平分线．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．（2019春?杜尔伯特县期末）如图：在ABC ?中，90C ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =，证明：（1）CF EB =．（2）2AB AF EB =+．10．（2019秋?垦利区期中）如图，ABC⊥⊥且平分BC，DE AB中，AD平分BAC∠，DG BC于E，DF AC⊥于F．（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；（2）如果8AB=，6AC=，求AE、BE的长．11．（2017秋?遂宁期末）某地区要在区域S内（即COD∠内部）建⼀个超市M，如图所⽰，按照要求，超市M到两个新建的居民⼩区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【核⼼考点⼆】⾓平分线+⾓两边垂线12．（2019秋?肥城市期末）如图，//AB CD ，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与AB 垂直，垂⾜为A ，交CD 于D ，若8AD =，则点P 到BC 的距离是．13．（2015?湖州）如图，已知在ABC ?中，CD 是AB 边上的⾼线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE ?的⾯积等于( )A ．10B ．7C ．5D ．414．（2010秋?涵江区期末）如图所⽰，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BC AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC CD =+．15．（2012秋?蓬江区校级期末）如图，已知90∠=∠=?，M是BC的中点，DM平分B C∠．求证：ADC（1）AM平分DAB∠；（2）DM AM⊥．16．（2016秋?西城区校级期中）已知：如图，12∠=∠，P为BN上的⼀点，PF BC⊥于F，=，PA PC（1）求证：180∠+∠=?；PCB BAP（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．【核⼼考点三】⾓平分线+垂线17．（2017秋?和平区校级⽉考）如图．在ABC ?中，BE 是⾓平分线，AD BE ⊥，垂⾜为D ，求证：21C ∠=∠+∠．18．（2013秋?昌平区期末）已知：如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于点D ，DCB B ∠=∠，若10AC =，6AD=，求AB 的长．19．如图所⽰，ABC ?中，ACB ABC ∠>∠，AE 平分BAC ∠，CD AE ⊥于D ，求证：ACD B ∠>∠．20．已知：如图，在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21．（2019秋?下陆区期中）如图，BD 是ABC ∠的⾓平分线，AD BD ⊥，垂⾜为D ，20DAC ∠=?，38C ∠=?，则BAD ∠=．22．（2019秋?曲⾩市校级⽉考）如图，在ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，过C 作CE BD ⊥交BD 延长线于E ．求证：12CE BD =．23．（2019?沂源县⼀模）（1）如图（a）所⽰，BD、CE分别是ABC的外⾓平分线，过点A作AD BD⊥，AE CE⊥，垂⾜分别为D、E，连接DE，求证：1() 2DE AB BC AC=++；（2）如图（b）所⽰，BD、CE分别是ABC的内⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所⽰，BD为ABC的内⾓平分线，CE为ABC的外⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边⼜有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．24．（2017秋?夏⾢县期中）如图，在ABC ?中，ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于F ，过F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ?、CEF ?都是等腰三⾓形；②DE DB CE =+；③AD DE AE AB AC ++=+；④BF CF =．正确的有．25．（2019秋?垦利区期末）如图，平⾏四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =；，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ，则DE DF +的长度为．26．（2010秋?海淀区期末）如图，BD 是ABC ?的⾓平分线，//DE BC ，DE 交AB 于E ，若AB BC =，则下列结论中错误的是( )A ．BD AC ⊥B ．A EDA ∠=∠C ．2AD BC =D ．BE ED =27．如图，若BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过D 作//DE AB 交BC 于E ，作//DF AC 交BC 于F ，求证：BC 的长等于DEF ?的周长．28．（2018秋?邳州市期中）如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC平分BAD >，∠，AB AD 下列结论正确的是()A．AB AD CB CD->-B．AB AD CB CD-=-C．AB AD CB CD-<-D．AB AD-与CB CD-的⼤⼩关系不确定29．（2012?⿇城市校级模拟）在ABC∠的外⾓平分线，P是AD上的任意中，AD是BAC⼀点，试⽐较PB PC+与AB AC+的⼤⼩，并说明理由．30．（2018秋?万州区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD ∠，CE AB⊥于=+．E，且180B D∠+∠=?，求证：AE AD BE31．（2017秋?海淀区期中）如图，已知AD是BAC∠=?，C=+，31的⾓平分线，AC AB BD 求B∠的度数．32．（2019秋?平⼭县期中）如图，90∠=?，OM平分AOB∠，将直⾓三⾓板的顶点PAOB在射线OM上移动，两直⾓边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．33．（2016秋?丰宁县期中）如图，在ABC ?中，100A ∠=?，40ABC ∠=?，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD ⾄E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+．34．（2018秋?丰城市期中）在ABC ?中，2ACB B ∠=∠，（1）如图1，当90C ∠=?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，当90C ∠≠?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需要证明；（3）如图3，当AD 为ABC ?的外⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．35．（2019春?利津县期末）如图，在ABC∠平分线，AD的垂直平分线分中，AD是BAC别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）EAD EDA∠=∠；（2）//DF AC；（3）EAC B∠=∠．36．（2014?西城区⼆模）在ABC>，AD平分BAC∠交BC于点∠为锐⾓，AB AC，BACD．（1）如图1，若ABC是等腰直⾓三⾓形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若60∠=?，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；ABE②如图3，若AC AB+，求BAC∠的度数．⾓平分线四⼤辅助线模型--解析⼀．⾓平分线的性质与判定（共11⼩题）1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．【分析】⾸先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据⾓平分线的性质，即可求得PB 的值，⼜由垂线段最短，可求得PQ 的最⼩值．【解答】解：过点P 作PB OM ⊥于B ， OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，3PB PA ∴==，PQ ∴的最⼩值为3．故选：C ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利⽤⾓平分线的性质，可得出ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼相等，估计三⾓形的⾯积公式，即可得出ABD ?与ACD ?的⾯积之⽐等于对应边之⽐．【解答】解：AD 是ABC ?的⾓平分线，∴设ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼分别为1h ，2h ，12h h ∴=，ABD ∴?与ACD ?的⾯积之⽐:8:64:3AB AC ===，故选：B ．3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【分析】根据⾓平分线的性质得到ED EC =，计算即可．【解答】解：BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90ACB ∠=?， ED EC ∴=，3AE DE AE EC AC cm ∴+=+==，故选：B ．4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，根据⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等可得DE CD =，然后根据三⾓形的⾯积公式即可得到结论．【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，BD 是ABC ∠的平分线，90C ∠=?，DE CD m ∴==，ABD ∴?的⾯积122n m mn =??=，故选：A．5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB，另⼀把直尺压住射线OA并且与第⼀把直尺交于点P，⼩明说：“射线OP就是BOA∠的⾓平分线．”他这样做的依据是()A．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点C作CE AO=，再根据⾓⊥，CF BO⊥，根据题意可得CE CF的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上可得OP平分AOB∠；【解答】解：（1）如图所⽰：过两把直尺的交点P作PE AO⊥，⊥，PF BO两把完全相同的长⽅形直尺，PE PF∴=，∠（⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上），OP∴平分AOB故选：A．。
角平分线的性质定理及判定定理
流河路公北M 区CB A 角平分线(线段垂直平分线，等腰三角形) 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学符号可表示：∵点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ） ∴ 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 用数学符号可表示：∵∴点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ）基础闯关1.在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为1.5㎝，则M 到OB 的距离为 ㎝。
3.如图，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，AC ＝8㎝，DC ＝3DA ，则点D 到BC 的距离为 。
4.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点6.到一个角的两边距离相等的点在 ．7.如图，要在河流的南边，公路的左侧M 处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 点处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是 ．8．三角形中，到三边距离相等的点是（A ）三条高线交点．（B ）三条中线交点．（C ）三条角平分线交点．（D ）三边垂直平分线交点．9．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 ODPEBA 第3题图D ABC21D APOE B第4题图FEDCBAF E DCBA（A ）直角三角形．（B ）等腰三角形．（C ）等边三角形．（D ）等腰直角三角形 10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是 （A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ．二．解答题：1.如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC ， 求证：BE ＝CF 。
角平分线的判定
角平分线的性质和判定一、基础知识回顾。
角平分线的性质： 角平分线的判定：一、分线的判定定理角平分线的判定：到角两边距离相等的点在 。
如图：∵P D ⊥OA,PF ⊥OB ，PD=PE ，∴P 在∠AOB 的平分线上，或（∠AOP=∠BOP ）1、如图，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，BD=2CD ，BC=9，求点D 到AB 的距离。
D C BA2、如图，求作到三条直线距离相等的所有点。
3、如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，求证：AM 平分DAB ∠。
MDCBA4. 如图所示，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD . 求证：AD 平分∠BAC .5、如图，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE=DF ，求证：GE=GF 。
FGDCBAE6、如图，CD AB ⊥，BE AC ⊥，OB OC =，求证12∠=∠。
O21A B CDE7、如图，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，BD=DF ，求证：CF=EB 。
FD C BAE8 如图，BE=CF ，BE ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E,BF 和CE 交于点D ，求证：AD 平分∠BAC.9.如图在△ABC 中，∠B=∠C ,D 是BC 的中点，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AD 平分∠BACCFABC10.如图BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE,CF相交于点D，且CE=BF，求证:点D在∠BAC的平分线上11，在Rt△ABC中，∠C=90。
，AC=BC，AD为∠BAC的平分线，AE=BC，DE⊥AB，垂足为E，求证△DBE的周长等于AB.12，在△ABC中，外角∠CBE和∠BCG的平分线相交于点F，求证：点F在∠BAC的平分线上13，已知∠B=∠C=90。
，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，探究线段BM与CM的关系，说明理由。
角平分线的判定
几何语言: ∵PD⊥OA,PE⊥OB, 且PD=PE ∴OP是∠AOB的平分线
A D C P
O
E
B
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E B
F
D
C
如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P 在BM上,
2、三角形角平分线的交点性质：
三角形的三条角平分线交于一点。 3、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。
B A ND P M F
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
E
C
利用结论，解决问题
练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 在确定度假村的位置时,一定要画 想一想 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
E
F D
B
C
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E
F D
B
C
课堂练习
已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证： AD平分∠BAC 。
B
F
A
E
19.5 角的平分线
第19章几何证明§19.5 角的平分线学习目标1.通过学生探究发现角平分线性质定理，理解并掌握角平分线性质定理及其逆定理。
2.能够应用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题。
3.通过探索和证明，发展推理意识和能力；进一步提高观察、分析、解决问题的能力。
知识概要1.角平分线的性质定理性质定理：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
(说明：初中几何中规定，点到射线的距离是指这个点到这条射线所在的直线的距离)定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题。
角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线。
2.角平分线的判定定理逆定理：在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。
由性质定理和逆定理可知，角的平分线可以看作是在这个角的内部(包括顶点)到角的两边距离相等的点的集合。
3.两定理使用时的注意事项必须有两个垂直条件，若缺少垂直条件，可考虑添加辅助线；图中有四条垂线段，要明确哪个角被平分，哪两条垂线段的长表示角平分线。
4.(拓展)三角形三条角平分线的定理：三角形三条角平分线相交于一点(三角形的内心)，并且这一点到三边的距离相等。
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.经典题型精析(一)角平分线的性质定理对于证明与角平分线有关的线段(或角)相等问题，可以直接应用性质解决问题，省去证明三角形全等的步骤。
例1.已知：如图，PC PB 、分别是ABC ∆的外角平分线，AB PM ⊥，AC PN ⊥，点N M 、分别为垂足。
求证：(1)PN PM =； (2)PA 平分MAN ∠。
试一试：已知：如图，点D P 、在AOB ∠的平分线上，OB OA =，BD PM ⊥，AD PN ⊥，垂足分别是点N M 、. 求证：(1)ADO BDO ∠=∠； (2)PN PM =。
角平分线的判定课件申
拓展运用
问题3：直线表示三条相互交叉的公路,
现要建一个货物中转站,要求它到三条公 路的距离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
E 区域1
C
区域4
A
D
B
区域2 F
G 区域3
A
小结
C
Q
角平分线的判定定理：
角的内部到角的两边距
综合应用
某一个星期六，二十一中
初一年级的同学参加义务劳
动，其中有四个班的同学分
别在M、N两处参加劳动，
另外四个班的同学分别在道
路AB、AC两处劳动，现要
在道路AB、AC的交叉区域 内设一个荼水供应点P，使P
A
到两条道路的距离相等，且
使PM=PN，请你找出点P的
位置，并说明理由。
B
P ·M ·N
C
思考2 三角形的三条角平分线会交于一点吗？
已知：如图四所示，△ABC中BD、CE分别
平分∠ABC和∠ACB，BD和CE交于点O。
求证：点O在∠A的平分线上。 A
H
I
证明：过点O分别作OG⊥BC于点G，E O
D
图 三
OH⊥AC于点H，OI⊥AB于点I，
∵ BD平分∠ABC，点O在BD上，B
G
C
∴ OI=OG（角平分线的性质定理）， 结合角平分线
QD⊥OB于点D， QC=QD.
C
图
Q
二
O
D
B
∴点Q在∠AOB的平分线上．
集合思想：
角平分线可以看做：到角的两 边距离相等的所有点的集合。
新知探究
思考2 三角形的三条角平分线会交于一点吗？ 【分析】三角形的三条角平分线会交于一
角平分线的性质定理和判定定理（含答案）
⾓平分线的性质定理和判定定理（含答案）⼏何专题2：⾓平分线的性质定理和判定定理⼀、知识点(抄⼀遍)：1. ⾓平分线：把⼀个⾓平均分为两个相同的⾓的射线叫该⾓的平分线.2. ⾓平分线的性质定理：⾓平分线上的点，到这个⾓的两边的距离相等. 3. ⾓平分线的判定定理：⾓的内部到⾓的两边距离相等的点在⾓的平分线上. ⼆、专题检测题1. 证明⾓平分线的性质定理.（注意：证明⽂字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.） 2. 证明⾓平分线的判定定理. 3. 定理的⼏何语⾔表⽰（1）⾓平分线的性质定理：∵，∴ . （2）⾓平分线的判定定理：∵，∴ .4. 已知：如图所⽰，BN 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的⾓平分线，BN 、CP 相交于O点，连接AO ，并延长交BC 于M 求证：AM 是∠BAC 的⾓平分线.5. 如图，已知BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，点E ，F 为垂⾜，D 是BE 与CF 的交点，AD 平分∠BAC. 求证：BD=CD.B6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC. AD 是∠CAB 的平分线. 求证：AB=AC+CD.7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB.8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的⼀点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂⾜分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ；（2）OP 是CD 的垂直平分线；（3）OC=OD.O⼏何专题2：⾓平分线的性质定理和判定定理答案1. 证明⾓平分线的性质定理.已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E求证: PD=PE证明：∵OC 平分∠ AOB∴∠1= ∠2∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴∠PDO= ∠PEO 在△PDO 和△PEO 中∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP∴△PDO ≌△PEO(AAS) ∴PD=PE2.证明⾓平分线的判定定理.已知：如图,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂⾜，PD ＝PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上证明: 经过点P 作射线OC ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中PO ＝PO PD=PE ∴ Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ）∴∠ POD ＝∠POE ∴点P 在∠AOB 的平分线上.3. 定理的⼏何语⾔表⽰（1）⾓平分线的性质定理：∵ OP 平分∠AOB ，DP ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴ DP=EP. （2）⾓平分线的判定定理：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD ＝PE ．∴ OP 平分∠AOB ．OO4.已知：如图所⽰，BN、CP分别是∠ABC、∠ACB的⾓平分线，BN、CP相交于O 点，连接AO，并延长交BC于M求证：AM是∠BAC的⾓平分线.证明：作OE⊥AC，OG⊥AB，OF⊥BC，垂⾜分别为E、G、F.∵BN平分∠ABC，OG⊥AB，OF⊥BC，∴OG=OF.同理可证：OE=OF.∴OG=OE⼜∵OE⊥AC，OG⊥AB，∴AM是∠BAC的⾓平分线.5.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，点E，F为垂⾜，D是BE与CF的交点，AD平分∠BAC.求证：BD=CD.证明：∵AD平分∠BAC，BE⊥AC，CF⊥AB，∴DF=DE.∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠DFB=∠DEC=90°. 在△DFB和△DEC中，∠EDC=∠FDBDF=DE∠DFB=∠DEC∴△DFB≌△DEC（ASA）∴BD=CD.6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC. AD是∠CAB的平分线.求证：AB=AC+CD.证明：过点D作DE⊥AB，垂⾜为点E.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD.∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C.在△CAD和△EAD中，∠CAD=∠BAD，∠DEA=∠C，AD=AD.∴△CAD≌△EAD（AAS）.∴AC=AE，CD=DE.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，∵∠DEB=90°，∴∠EDB=45°=∠B.∴DE=BE,∴CD=BE，∴AB=AE+BE=AC+CD.B7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB.证明：过点M 作ME ⊥AD ，垂⾜为E ，∵DM 平分∠ADC ，∴∠1=∠2，∵MC ⊥CD ，ME ⊥AD ，∴ME=MC （⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等），⼜∵MC=MB ，∴ME=MB ，∵MB ⊥AB ，ME ⊥AD ，∴AM 平分∠DAB （到⾓的两边距离相等的点在这个⾓的平分线上）．8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的⼀点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂⾜分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ；（2）OP 是CD 的垂直平分线；（3）OC=OD.证明：（1）∵OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴PC=PD ∴∠PCD=∠PDC. （2）∵OP 平分∠AOB ，∴∠COP=∠DOP. ∵PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴∠PCO=∠PDO=90°，∴∠CPO=∠DPO. ∵PC=PD ，∴△CDP 是等腰三⾓形，∴PM 是等腰三⾓形底边上的中线和⾼线. 即OP 是CD 的垂直平分线. （3）由（2）知，∠CPO=∠DPO. ∴OP 平分∠CPD ，⼜∵CP ⊥OA ，DP 垂直OB ，∴OC=OD （⾓平分线的性质定理）.O。
角平分线的性质定理
1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离。
2、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
3、线段垂直平分线的性质定理：
垂直平分线上的点到线段两端点的距离都相等。
4、线段垂直平分线的逆定理：
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
5、等腰三角形性质：
①等腰三角形相等（定义）
②等腰三角形相等（等边对等角）
③等腰三角形底边上的和、顶角的互相重合（三线合一）
6、等腰三角形判定：
①有相等的三角形是等腰三角形
②有相等的三角形是等腰三角形。
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角平分线的性质定理和判定
第一部分：知识点回顾
1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；
2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；
3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上
第二部分：例题剖析
例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB
于点E，AB=15cm，
（1）求证：BD+DE=AC．
（2）求△DBE的周长．
例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．
例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少
第三部分：典型例题
例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交
于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180º
例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD请你证明你的结论；
（2）线段DM与AM有怎样的位置关系请说明理由．
2
1
N
P
F C
B
A
（3）CD、AB、AD间直接写出结果
【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．
例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．
【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
第四部分：思维误区
一、忽视“垂直”条件
例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。
求证：AF为∠BAC的平分线。
第五部分：方法规律
（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。
（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。
常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。
（3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．
第七部分：巩固练习
A组
一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）
1．三角形中到三边距离相等的点是（）
A、三条边的垂直平分线的交点
B、三条高的交点
C、三条中线的交点
D、三条角平分线的交点
2．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝12cm ，则△DBE 的周长为（）
A 、12cm
B 、10cm
C 、14cm
D 、11cm
D
C A
E
B
3．如图2所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线，PM ⊥BD ，PN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，那么PM 与PN 的关系是（） ＞PN ＝PN ＜PN D.无法确定
4．如图3所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠A 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )
①AD 平分∠EDF ； ②AE=AF ； ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等 ④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
5． 如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，P A ⊥AB ，PC ⊥BC ，
垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是（ ）． A ．AD =CP B ．△ABP ≌△CBP C ．△ABD ≌△CBD D ．∠ADB =∠CDB ．
二、解答题
6．已知：AD 是△ABC 角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，证：∠B ＝∠C.
D M A
C
N
P
E
图2
图
3
A
B
C D
P
7．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于
E ．求证：BE 平分ABC ∠．
8、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .
9.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB
上分别取OM=ON ，OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．
Ｂ
Ａ
Ｃ
第八部分：中考体验
一．选择题（共3小题）
1．（2011•衢州）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
2．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）
A．11 B．C．7D．
3．（2010•鄂州）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）
A．4B．3C．6D．5
4．（2011•岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE ⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为_________．
5．（2011•桂林）求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．
已知：
求证：
证明：。