角平分线的判定定理
初一数学：角平分线(含解析)
5角平分线知识互联网板块一角平分线的性质与判定知识导航角平分线的性质与判定：⑴定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．⑵角平分线的性质定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑶角平分线的判定定理12如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线；在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．夯实基础【例1】⑴证明：三角形三个角的角平分线交于一点．⑵已知：如图，ABC △的两条外角平分线交于点P ．求证：PB 平分ABC ∠．BAP【解析】⑴如图，在ABC △中，设BAC ABC ∠∠、的平分线的交点为I ，过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI BI 、都是角平分线，∴ID IE =，ID IF =，∴IE IF =，∴IC 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．这一点称之为三角形的内心，常用大写字母I 来表示，三角形的内心到三角形三条边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心．⑵如图，过P 作PM BA ⊥于M ，PN AC ⊥于N ，PQ BC⊥于Q ．由角平分线的性质定理，易证PM PN =，PN PQ =，故PM PQ =，因此根据角平分线的判定定理，PB 平分ABC ∠，得证．这一点称之为三角形的旁心，三角形的旁心到三角形三条边的距离相等，它是三角形旁切圆的圆心．旁心有3个．【例2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFAGM H D NEC BF AI FE DCB ANMC B AQ P3【解析】过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB △≌△，利用AAS 进而再证BCH NCG △≌△，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．【点评】此图在前面的学习中做过介绍，老师可以先带着学生简单复习一下相关结论。
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线的性质定理及其逆定理定理一、角平分线的性质定理及其逆定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2.角平分线的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
不难发现，定理1的条件是定理2的结论，同时它的结论又是定理2的条件，它们互为逆定理。
定理1说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；定理2反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。
在实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等或证明点在一个角的平分线上。
用数学语言可表示如下：例题一：（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∴PD=PE（定理1）（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴OC平分∠AOB（定理2）例题二：如图，△ABC的ㄥB平分线BD与ㄥC的外角的平分线CE相较于点P。
求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等这题对吗？。
三角形角平分线定理
三角形角平分线定理三角形角平分线定理是指：三角形内一条角的角平分线把这条角分成两个相等角，并且这条角平分线所在的边与三角形外一边的两个对边的比等于被分角的两边的比。
三角形角平分线定理是一个重要且有用的几何定理，它可以帮助我们推导解决许多与三角形相关的问题。
本文将详细介绍三角形角平分线定理以及其应用。
一、三角形角平分线定理的定义与性质三角形角平分线定理可以描述为：设三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，则有以下两个性质成立：1. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD = ∠DAC。
2. AB/BC = BD/DC。
角平分线的定义是指一条线段或射线从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角。
根据角平分线的定义，我们可以得出性质1。
性质2则是说明了角平分线所在边与三角形外一边的两个对边的比例关系。
这个比例关系在解决一些三角形相关问题时非常有用，比如计算未知边长或角度大小等。
二、三角形角平分线定理的证明现在我们来证明三角形角平分线定理中的性质2。
首先，我们假设角BAD = α，角CAD = β，角DAC = α，角BDA = β。
根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sinα/BD = sinβ/AB (1)sinα/DC = sinβ/AC (2)将(1)除以(2)，可以得到：(AB/BD)/(AC/DC) = sinα/sinα = 1由于左边等式的分数形式是BD/DC的比，因此我们可以得出：AB/BC = BD/DC这就证明了三角形角平分线定理中的性质2。
三、三角形角平分线定理的应用三角形角平分线定理有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的题目时，可以通过应用该定理得到简洁而准确的答案。
以下是三个典型的应用案例：1. 求角平分线所分角的大小已知三角形ABC中，BD为角BAC的角平分线，要求角BAD的大小。
根据三角形角平分线定理的性质1，我们知道角BAD与角DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。
八年级角平分线知识点总结
八年级角平分线知识点总结角平分线是几何知识中的一个重要概念，也是初中数学中常见的考点之一。
在八年级中学习了角平分线的相关知识后，许多同学还存在一定的困惑。
因此，本文将对八年级角平分线的知识点做一个总结，以帮助大家更好地掌握该知识。
一、角平分线的定义和性质1. 定义所谓“角平分线”，是指将一个角平分为两个角的线段。
在角上下方形成两个新的角，它们的大小相等。
2. 性质(1) 角平分线把原来的角分成两个大小相等的角。
(2) 角平分线的两侧所对的两个角相等。
(3) 在三角形中，若一条线段是一个角的平分线，则它所在的线段所对的两侧角的大小之比等于它所在的线段所对的两侧边的长度之比。
二、与角平分线有关的定理1. 外角定理所谓“外角”，是指一个三角形的一个内角所对的另一个角。
外角定理是指一个三角形的一个外角等于它的不相邻两个内角之和。
2. 内角定理一个多边形的内角和等于这个多边形的狄利克雷函数乘以180°。
三、角平分线的应用了解了角平分线的定义和性质以及与角平分线有关的定理，我们就可以在解题过程中灵活应用，其中最常见的就是角平分线定理的应用。
在三角形中，若已知一条角平分线及其所分割的两边长度，则可以利用角平分线定理求解三角形中其它角的大小。
例如，已知在三角形ABC中，角BAD的平分线交BC边于点E，且BE=7，EC=5，则可以利用角平分线定理求解角DAB和角DAC的大小。
根据角平分线定理，有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$因此，$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{7}{5}$又有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}$因此，$\dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angle DAC}=\dfrac{7}{5}$由于$\angle DAB+\angle DAC=180^\circ$，因此可以列出以下方程组：$\begin{cases} \dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angleDAC}=\dfrac{7}{5} \\ \sin \angle DAB+\sin \angle DAC=1\end{cases}$解得$\sin \angle DAB=\dfrac{7}{12}$，$\sin \angleDAC=\dfrac{5}{12}$，$\angle DAB=\sin^{-1} \dfrac{7}{12}$，$\angle DAC=\sin^{-1} \dfrac{5}{12}$，即$\angle DAB \approx 36.87^\circ$，$\angle DAC \approx 26.57^\circ$。
高中数学角平分线定理
高中数学角平分线定理角平分线定理是高中数学中一个重要的几何定理，它是在三角形中研究角平分线性质时的一个基本定理。
角平分线定理是指：若一条线段从一个角的顶点出发，平分这个角，并且与这个角的两边相交于两点，那么这条线段就称为这个角的角平分线，并且它将这个角分成两个相等的部分。
角平分线定理在解决三角形问题时具有重要的作用。
我们可以通过角平分线定理来证明一些性质或者解决一些问题。
下面我们将介绍角平分线定理的一些应用。
角平分线定理可以帮助我们证明两条角平分线互相垂直的性质。
假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要证明BD和CD相互垂直。
根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD 的度数相等。
同样地，角BAD和角CAD被角平分线CD所平分，所以角BAD和角CAD的度数也相等。
因此，角BAD和角CAD的度数相等，从而BD和CD相互垂直。
角平分线定理还可以帮助我们解决一些关于角度比例的问题。
假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要求证BD和CD的长度比。
根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD的度数相等。
根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度。
因此，角BAD和角CAD的度数都是90度。
根据三角形中角的度数之和等于180度，我们可以得知角ABC的度数为180度- 90度- 90度= 0度。
这意味着角ABC是一个平角，也就是说，角ABC是一条直线。
根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度，所以它们的度数都是90度。
因此，根据角平分线定理，BD和CD的长度比为1:1。
除了上述应用，角平分线定理还可以帮助我们证明一些关于相似三角形的性质。
假设在三角形ABC和三角形DEF中，角BAD和角CAD的角平分线分别与角EDF和角FDF的角平分线相交于点D和点E，我们想要证明三角形ABC和三角形DEF相似。
角平分线定理
角平分线定理角平分线定理是高中数学中的重要定理之一。
它描述了角平分线与三角形内部的关系。
在本文中，我们将简要介绍角平分线定理的定义、证明和应用。
角平分线定理是指：在一个三角形中，如果一条线段从一个顶点出发，将对角线平分成两条相等的线段，那么这条线段就是该角的平分线。
证明角平分线定理的一个常用方法是通过角的对等性。
我们可以假设在三角形ABC中，角BAD的平分线CE将角BAD平分成两个相等的角，即∠CAE≅∠EAD。
我们需要证明线段CE平分了角BAC。
首先，我们延长线段CE，使其与边BC相交于点F。
根据三角形内角和定理，可知∠CAF+∠BAC+∠BFA=180°。
由于∠CAE≅∠EAD，所以∠CAF≅∠EAF。
将这个结论代入上述等式中得到∠CAF+∠BAC+∠BFA=180°变为∠EAF+∠BAC+∠BFA=180°。
通过对等性，我们还可以得出∠EAD≅∠EAF。
将这一事实代入上述等式得到∠EAD+∠BAC+∠BFA=180°变为∠EAD+∠BAC+∠BAD=180°。
由于∠BAC+∠BAD=180°（三角形内角和定理），可得∠EAD+∠BAD=∠EAD+∠BAC+∠BAD。
根据等式两边的角相等性，我们可以得出∠EAD=∠EAD+∠BAC，进一步得出∠BAC=0°。
这说明线段CE平分了角BAC，从而证明了角平分线定理。
角平分线定理的应用非常广泛。
在几何证明中，我们常常可以利用角平分线定理来证明一些关于三角形的性质。
例如，利用角平分线定理可以证明等腰三角形的底角相等，证明三角形内角平分线交于一点等。
此外，在解题中角平分线定理也经常被使用。
根据角平分线定理，我们可以推导出一些重要的性质，如外接角平分线定理和内接角平分线定理。
这些性质可以帮助我们解决各种与角平分线有关的问题，例如求证两条角平分线垂直相交、求证两条角平分线平行等。
总结一下，角平分线定理是一条非常重要的几何定理，它描述了角平分线与三角形内部的关系。
直角三角形 角平分线定理
直角三角形角平分线定理
直角三角形的角平分线定理是指：在一个直角三角形中，如果从直角顶点引一条线段，将对角线分成两段，那么这条线段所在的直线就是这个直角顶点的两个相邻角的平分线。
具体来说，设一个直角三角形ABC，其中∠C=90度，AD为BC的中线，DE是AC的垂线，则AD是∠A和∠B的平分线，即∠CAD=∠BAD=∠A/2，∠CBD=∠ABD=∠B/2。
这个定理的证明可以利用几何知识进行证明，例如相似三角形、角度和定理等。
但简单来说，我们可以利用三角函数的定义，根据正弦、余弦、正切等函数来计算证明。
总之，直角三角形的角平分线定理在几何学中有着重要的应用价值，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的相关知识。
角平分线判定
判定定理：在一个角的内部，到角的两边的
距离相等的点在这个角平分线上。
由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等 的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分 线上的点到角的两边的距离相等。
角的平分线是到角的两边距离相等 的所有点的集合.
如图:要在S区建一个集贸市
场,使它到公路,铁路距离相 等,离公路与铁路交叉处500 米,这个集贸市场应建于何 处?在图上标出它的置, (比例尺为1:20000)
角平分线的判定
定理： 在一个角的内部，到角的两边的距离相等
的点在这个角平分线上。 已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。 用符号语言表示为： ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB PD=PE ∴ ∠1= ∠2 .
O A D
C
P
E
B
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的 两边的距离相等
A N F B P
M
D E
C
Sห้องสมุดไป่ตู้
猜
想
A
O
B
如图:要在S区建一个集贸市
场,合它到公路,铁路距离相 等,离公路与铁路交叉处500 米,这个集贸市场应建于何处 (在图上标出它的位置,比例 尺为1:20000)
2.5cm S
已知:在△ABC中,BE平分∠ABC,CF平分
∠ACB,BE,CF相交于点P,
求证:点P在角A的角平分线上.
三角形角平分线的定理
三角形角平分线的定理三角形角平分线的定理是初中数学中的一个重要定理，它是指在一个三角形中，如果一条直线从一个角平分另一个角，那么这条直线所在的线段将把对边分成两个相等的线段。
这个定理的主要内容包括以下几个方面：一、定理的表述三角形角平分线的定理可以用以下的方式表述：在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC=BD/CD。
其中，AB、AC、BD、CD分别表示三角形ABC中的边和角平分线。
二、定理的证明三角形角平分线的定理的证明可以通过以下的方式进行：1. 假设BD是角B的平分线，那么∠ABD=∠CBD。
2. 由于∠ABD=∠CBD，所以三角形ABD与三角形CBD是全等的。
3. 因此，AB/BD=CB/BD，即AB/CB=BD/CD。
4. 所以，AB/AC=AB/(AB+CB)=BD/(BD+CD)=BD/CD。
5. 因此，BD是角B的平分线，那么AB/AC=BD/CD。
三、定理的应用三角形角平分线的定理在初中数学中有很多应用，其中最常见的应用包括以下几个方面：1. 求角平分线所在的线段长度如果已知一个三角形中的两个边和一个角的大小，可以通过三角函数求出第三条边的长度，然后再利用角平分线的定理求出角平分线所在的线段长度。
2. 求角平分线所在的点的坐标如果已知一个三角形中的三个顶点的坐标，可以通过向量的方法求出角平分线所在的点的坐标。
3. 判断角平分线是否在三角形内部如果一个三角形中的一个角的平分线不在三角形内部，那么这个三角形就不是一个普通的三角形，而是一个退化的三角形。
四、总结三角形角平分线的定理是初中数学中的一个重要定理，它可以帮助我们求解三角形中的各种问题。
在学习这个定理的过程中，我们需要掌握定理的表述、证明和应用，以便在实际问题中灵活运用。
等边三角形角平分线定理
等边三角形角平分线定理定理：等边三角形中, 三条角平分线交于一个点，并且这个点是重心、垂心、外心、内心的交点。
证明：1. 假设三角形ABC是一个等边三角形，三个角的测量都是60度。
2. 连接三角形的顶点A与底边BC的中点D，同时也连接角A的平分线AE。
同样，连接B与平分线CF, C与平分线BG.3. 由于等边三角形中，三个角的测量都是60度，所以可以得到角DAB=30度，角FAE=30度，角GBC=30度。
4. 同样由于等边三角形中，AB=BC=AC，可以得到三角形ABD与三角形ACD 是相等的，即AB=AC，角DAB=角DAC=30度。
5. 这意味着线段AD是三角形ABC的一个角平分线。
同样由于线段BE和CF 也分别是角B和角C的平分线，我们可以得到三角形ABC中的三条角平分线。
6. 接下来，我们要证明这三条角平分线会交于同一个点。
假设它们交于点O。
7. 由于角DAB=30度，角FAE=30度，角GBC=30度，所以可以得到角BOC=120度。
8. 同时，由于线段AD是角A的平分线，所以可以得到角BAD=angleCAD=30度。
9. 又因为AB=AC，所以可以得到三角形ABO与三角形ACO是相等的，即AB=AC, AO=AO, 和角BAO=角CAO=30度。
10. 因此，三角形ABO与ACO是相等且全等的，从而可以得到BO=CO，即点O位于线段BC的中垂线上。
11. 可以类似地证明点O也位于线段AB和线段AC的中垂线上，所以它是三角形ABC的重心。
12. 另一方面，由于三角形ABC是等边三角形，所以利用此前已经证明过的结论，点O也是三角形ABC的垂心、外心和内心的交点。
综上所述，等边三角形中，三条角平分线交于一个点，并且这个点是重心、垂心、外心、内心的交点。
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12.3角的平分线的性质（第2课时）
教学目标：
知识与技能：
1、掌握角平分线判定定理的内容、证明及应用
2、会运用角平分线判定定理证明一射线是角的平分线，并且能判断一个点在一个角的平分线上。
过程与方法：
让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论。
情感、态度、价值观：
1、培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，
2、培养学生团结合作精神
教学重点：角平分线判定定理的运用
教学难点：角平分线判定定理的证明
教学过程：
一、复习
1、角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？
2、角平分线性质定理的作用是证明什么？
3、填空如图：
∵OC平分∠AOB，
∴AC=BC（角平分线性质定理）
二、新课
1、逆向思维探求角平分线的判定定理
问：把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？它正确？如何证明？
指出：以上问题是我们今天所要解决的重点。
2、证明上面提问得出的猜想：
如果一个点到角的两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上。
已知：PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE
求证：点P在∠AOB的平分线上
分析：
∠AOP=∠BOP
直角△DOP≌直角△EOP
（PD⊥OA，PE⊥OB）
PD=PE PO=PO
证明：（学生板书）
3、引导学生得出角平分线判定定理：
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
4、理解角平分线是到角的两边距离相等的点的集合
（1）角平分线上任意一点到角的两边的距离都相等（即在角平分线上找不到一个到角的两边的距离不相等的点）
（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点都在这个角的平分线上。
（即在角的内部找不到一个到角两边距离相等，而不在角的平分线上的点）即：角平分线上的点是到角两边距离相等的点，或者说到角两边距离相等的点也是角平分线上的点
由此得：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
3、定理的应用
（1）现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？
已知：，CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC
求证： OC平分∠AOB
证法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB
∴∠A=∠B
在△AOC和△BOC中
OA =OB
∴△AOC≌△BOC（HL）
∴∠AOC=∠BOC∴OC平分∠AOB
证法2：∵CA⊥OA于A，BC⊥OB于B， AC=BC
∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理）
指出：在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
（2）例已知：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点求证：O在∠C的平分线上
分析：作辅助线“过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
OG⊥AB于G”。
要证“O在∠C的平分线上”必须证“OM=
ON”。
而由“AD、BE是△ABC的两个角平分线”、“OM⊥BC，
ON⊥A，OG⊥AB”所以“OG=ON，OG=OM”得“OM=ON”。
此题目得证。
证明：过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，OG⊥AB于G
∵OM⊥BC，ON⊥AC，OG⊥AB，AD、BE是△ABC的两个角平分线
∴OG=ON，OG=OM（角平分线性质定理）
∴OM=ON
∵OM⊥BC，ON⊥A
∴O在∠C的平分线上（角平分线判定定理）
（3）练习：P 50（2）
四、小结
1、角平分线的判定定理是什么？它的作用是用来证明什么相等？
2、在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
五、作业P 56 / 6 、7、8。