线段的垂直平分线的性质和判定定理
线段垂直平分线的性质定理及逆定理课件
基础习题1
已知线段AB的垂直平分线与AB交于 点O，点C在直线OM上，CA=CB， 若AB=6cm，则AC=多少cm。
基础习题2
已知线段AB的垂直平分线为OM，点 C在直线OM上，AC=5cm， BC=3cm，则AB=多少cm。
进阶习题
进阶习题1
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在 。
感谢您的观看
THANKS
VS
进阶习题2
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在 直线OM上，AC=6cm，BC=4cm，求 AB的长度。
高阶习题
高阶习题1
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在直 线OM上，AC=7cm，BC=9cm，求AB的 长度。
高阶习题2
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在直 线OM上，AC=8cm，BC=10cm，求AB的 长度。
第三步
得出结论，完成证明。
定理证明的注意事项
注意证明的逻辑严密性
在推导过程中，要确保每一步的逻辑推理都是正确的，避免出现 逻辑漏洞。
注意使用正确的几何语言
在书写证明过程时，要使用规范的几何语言，确保表达的准确性和 严谨性。
注意检查结论是否符合题意
在得出结论后，要再次核对结论是否符合题目的要求，确保结论正 确无误。
定理在日常生活中的应用
定理在建筑设计中的应用
在建筑设计中，线段垂直平分线性质定理可以用于确定建筑物的对称轴，以保 证建筑物的美观和稳定性。
定理在交通规划中的应用
在交通规划中，线段垂直平分线性质定理可以用于确定道路的走向和交叉口的 设计，以提高交通效率和安全性。
定理在数学竞赛中的应用
定理在数学竞赛中的证明题中的应用
理，△AMP≌△MBN，所以PM=PN。
线段垂直平分线的性质和判定用
AC=CB（已知）
∠ACP=∠BCP（已证）
A
PC=PC（公共边）
C
B
∴△ACP≌△BCP(SAS)
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
以后知道直线MN是线段AB的垂直平分线时，可以直接得 到PA=PB 。书写格式如下：
数学表达： ∵直线MN⊥AB于C，AC=CB，点P在MN上 ∴PA=PB
DB
线段AB的垂直平分线
求证：AB垂直平分CD。
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 通过演示可以发现，点P,P,到点A的距离与它们到点B的距离分别相等。
∵直线MN⊥AB于C，AC=CB，点P在MN上
求证：AB垂直平分CD。 已知：如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P.
∴PD⊥AB,AC=CB
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
D
线用段尺垂 规直作平线分段线的的垂个性直质平端和分判线点定. 用距离相等的点，在这条线段的垂直
平分线上） ∠ACP=∠BCP（已证）
1、分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.
∴PD⊥AB,AC=CB
同理， ∴点P在线段AB的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点与这条
l
线段两个端点的距离相等(垂直
P
平分线的性质)
∵PC⊥AB,AC=CB ∴PA=PB
A
C
B
老师希望同学们证明这个命题!
已知：PC⊥AB , AC=CB 注意：文字叙述题要根据题
求证：PA=PB 证明：∵ PC⊥AB
意画出图形写出已知求证
l P
∴ ∠ACP=∠BCP=90º 在△ACP和△BCP中，
时线段的垂直平分线的性质与判定课件
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。
这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。
八年级数学上册《线段的垂直平分线的性质和判定定理》教案、教学设计
2.加强直观演示，利用教具、多媒体等教学手段，帮助学生形象地理解线段垂直平分线的性质和判定定理。
3.引导学生主动参与课堂，鼓励学生提问、发表见解，培养学生的自主学习能力和思考习惯。
4.拓展课堂练习，设计具有梯度、挑战性的习题，使学生在解决问题的过程中，巩固所学知识，提高综合运用能力。
（二）过程与方法
1.通过实际操作、观察和分析，引导学生发现线段垂直平分线的性质和判定定理。
-教师可以组织学生进行小组讨论、合作探究，通过观察线段垂直平分线的实例，引导学生发现性质和判定定理。
-学生在自主探究过程中，培养观察、分析、总结的能力。
2.运用数形结合的方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
5.练习巩固，拓展提高。
-设计形式多样的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，以满足不同层次学生的学习需求。
-通过练习，让学生在巩固知识的同时，提高解决问题的能力，拓展思维深度和广度。
6.反馈评价，总结反思。
-教学结束后，组织学生进行自我评价和同伴评价，反思学习过程中的收获和不足。
-教师根据学生的反馈，进行教学反思，调整教学策略，以促进教学效果的提升。
-学生可以通过写学习心得、画思维导图等方式，对自己的学习进行梳理和总结。
6.预习任务：
-布置下一节课的预习任务，让学生提前了解下节课将要学习的内容，为课堂学习做好准备。
2.提高题：设置一些有一定难度的题目，让学生在小组内合作完成，培养学生的团队协作能力。
3.拓展题：设计一些富有挑战性的题目，激发学生的思维潜能，提高学生的创新能力。
（五）总结归纳
1.学生总结：教师引导学生回顾本节课所学内容，让学生用自己的话总结线段垂直平分线的性质和判定定理。
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的性质
性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的
距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等等。
1、垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2、垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的
距离相等。
4、垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点；（2）直线⊥线段。
若图形（这个图形可以是直线的、折线的、曲线的）关于某条直线对称，这条轴就称
为对称轴。
以五角星为例，它有五条对称轴。
垂直平分线是存在某条线段时才会有这个概念。
它的定义是经过某一条线段的中点，
并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
它有一定的局限性。
轴对称图形的对称轴是对称图形中任意两个对应点连线段的垂直平分线。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
线段垂直平分线定理知识总结
线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。
分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。
解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。
又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。
因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。
又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。
又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
121线段垂直平分线的性质与判定
O
P
B
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保 持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
A
O
P
B PA＞PB
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保
持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ A P
C
O
B
D
一、线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
二、线段垂直平分线的判定性质:
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。
三、关系：互逆
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等
与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
M A
E C
解:
∵OM⊥PA于E，EA=EP，点C在OM上， ∴CA=CP(线段垂直平分线上的点与这条线 O
P DF N
段的两个端点的距离相等）
B
同理，
∵ON⊥PB于F，FB=FP，点D在ON上，
∴DB=DP
∵△PCD周长=CP+CD+DP=CA+CD+DB=AB 又∵AB=15cm
∴△PCD周长=15cm
A
O
B
C ≌RtΔ BOC（HL）
∴OA=OB
又∵CO⊥AB于O
∴C在AB的垂直平分线上
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 求证：AB垂直平分CD。
证明:
A
∵AC=AD ∴点A在CD的垂直平分线上（ 与一条线段两
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B
C
线段的垂直平分线
实际问题
数学化
1、求作一点P，使 它和已△ABC的三 个顶点距离相
题
1
B
p
C
PA=PB=PC
1. 已知：如图，△ABC中，边AB、BC的垂
直平分线相交于点P.
A
求证：PA=PB=PC
证明：∵△ABC中，
边 AB 、 BC 的 垂 直 平 分
P
线
B
C
相交于点P
∴PA=PB，PB=PC
③线段AB是轴对称图形吗？
M
重要结论
直线MN垂直于线段AB，并
且平分线段AB，我们把直线MN A
O
B
叫做线段AB的垂直平分线。
线段是轴对称图形.
N
7
二、探索线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，在L上任取一点P，
则点P可能有两种情况：当P恰是L与线段AB的交点时，
由L平分AB可知PA=PB，当P不在线段AB上时，P1，P2，P3，
距离相等。 • 3、到（ ）距离相等的点在线段的（ ）
上。
二：课内探究：
M
如图，在纸上画一条线段AB，通过对
折后点A与点B重合，思考下列问题，
与同学交流。
A
O
B
①将纸展开后铺平，记折痕所在的直
线为MN，直线MN与线段AB的交点为O， N 线段AO与BO的长度有什么有关系？
②直线MN与线段AB有怎样的位置关系？
∴PA=PB=PC
其实，数学并非生就一副冰冷、 严峻、 高不可攀的面孔，只要你 有一颗不倦于思考的头脑，一双 善于发现的明眸，就会在数学的 王国里发现那独特的美感——逻 辑之美、简洁之美、结构对称之 美……
BC 的垂直平分线吗？ A
解：∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线．
∵ MB =MC， ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上，
M
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
为什么？
B
D
C
线段的垂直平分线
一、性质1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
…是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
P3 P2
猜想：相等．
P1
A
B
你能用不同的方法验证这一结论吗？
l
证明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
• 请拿出你的学案，课本，双色 笔，还有你的动力和激情！
全力投入会使你与众不同 你是最优秀的，你一定能做的更好！
实际问题引入 A
潍坊市政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物 中心，试问，该购物中心应建于何处，才 能使得它到三个小区的距离相等。
B
C
青岛版八年级数学上册
滨海一中
王君
教学目标：
1.经历线段的轴对称性质的探索过程，理解线段的垂直 平分线概念. 2.探索并理解线段的垂直平分线的性质. 3.能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题.
自学课本：p45-47
• 思考下列问题： • 1、（ ）并且（ ）一条线段的（ ）
叫做这条线段的垂直平分线。 • 2、线段的垂直平分线上的点到（ ）的
∴ ∠PCA=∠PCB= 900
∴ PC⊥AB 又AC=BC
A C
B
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
结论和符号表示：
结论：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线
上．
P
用数学符号表示为：
∵ PA =PB，
A
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
C
B
勇闯天涯
如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段
点P在线段AB 的垂直平分线 上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
三、 线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的 集合
回归实际问题 A
潍坊市政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物 中心，试问，该购物中心应建于何处，才 能使得它到三个小区的距离相等。
l
P
A
C
B
结论：
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
：
如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 于___8___．
A
B
DE
C
三：探索线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？
P 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A C
B
证明线段垂直平分线的判定
证明：取AB的中点于点C，链接PC，
则AC=BC
∵ PA=PB,PC=PC
P
∴ △PCA ≌△PCB（SSS）．
∴ ∠PCA=∠PCB
又 ∠PCA+∠PCB= 1800