角平分线定理、垂直平分线定理学习资料
角平分线与垂直平分线知识点
角平分线与垂直平分线知识点一、角平分线1.角平分线可以得到两个相等的角。
（角平分线的定义）∵AD是∠CAB的角平分线1∠CAB∴∠CAD=∠B AD=22.角平分线上的点到角两边的距离相等。
（角平分线的性质）∵AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC ，DB⊥AB∴DC=DB3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。
（角平分线的判定）∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB∴点D在∠CAB的角平分线上。
二、角平分线图模（对称性）1、角平分线作垂线角平分线+垂直一边：“图中有角平分线，可向两边作垂线，作完垂线全等必出现”若PA⊥OM于点A，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。
利用角平分线的性质定理，可以得到∆OAP≌∆OBP（AAS）。
2、角平分线+垂线：“角分垂必延长”垂直角分线，等腰全等现。
若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，三线合一，∆OAP≌∆OBP（ASA）。
3、角平分线+斜线：“截等长构造全等”若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（SAS）。
4、角平分线+平行线：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现”若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，利用平行的内错角相等及等角对等边可以得到△POQ是等腰三角形。
5、角平分线+对角互补：“截长补短构造全等”6、夹角模型①双内角角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=90°+12∠A．②内角和外交角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=12∠A．③双外角角平分线模型：BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：∠D=90°-12∠B．在∠AOB中，画角平分线：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M，N。
角的平分线与垂直平分线
角的平分线与垂直平分线角是数学中常见的概念，它广泛应用于几何学和三角学中。
在几何学中，我们常常需要找出角的平分线和垂直平分线，以便解决一些与角有关的问题。
本文将详细介绍角的平分线和垂直平分线的概念、性质以及应用。
一、角的平分线角的平分线是指将一个角分成两个相等角的直线。
如下图所示，∠ABC是一个角，如果有一条线段AD，且AD将∠ABC分成两个相等的角∠BAD和∠DAC，那么AD就是∠ABC的平分线。
[插入图片]根据角的平分线的定义，我们可以总结出以下两个重要性质：1. 平分线与边的关系一个角的平分线必定与角的两条边相交于两个点，这两个点分别是该角的两条边上的点。
以图中的∠ABC为例，其平分线AD与边AB和边AC相交于点B和点C。
2. 平分线的角度关系一个角的平分线将该角分成两个相等的角度。
在图中，∠BAD与∠DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。
角的平分线在解决几何问题中有着广泛的应用。
例如，在三角形中，我们可以通过角的平分线来证明三角形的相似性。
此外，角的平分线也常用于解决与角度相关的测量和建模问题，在工程和建筑中有着重要的作用。
二、垂直平分线垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与这个线段垂直的直线。
如下图所示，线段AB被直线CD平分，并且CD与AB垂直，那么CD就是线段AB的垂直平分线。
[插入图片]根据垂直平分线的定义，我们可以总结出以下两个重要性质：1. 垂直平分线的性质垂直平分线与被分割的线段相交于该线段的中点，并且与该线段垂直。
在图中，CD与AB相交于点E，且AE = EB，CD与AB垂直。
2. 垂直平分线的个数一个线段拥有无数条垂直平分线。
对于线段AB来说，与AB垂直且平分线段AB的线段有无数条，如直线CD、EF等等。
垂直平分线在几何学中也具有重要的应用价值。
例如，在测量和构图中，垂直平分线能够帮助我们准确地找出线段的中点。
此外，在建筑设计中，垂直平分线常用于将墙壁或空间分割成相等的部分，以达到美学和结构平衡的目的。
2、垂直平分线与角平分线
第二讲、垂直平分线与角平分线知识回顾1、线段的垂直平分线垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点的距离相等。
垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。
2、角平分线角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三边距离相等，这个点叫做三角形的内心。
典型例题1．如图，点D，E分别在△A B C的边A C、B C上，∠A B D：∠A：∠C＝2：6：5，若D E垂直平分B C，则∠B D E＝（）A．30°B．35°C．40°D．50°2．在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条角平分线的交点B．三条高线的交点C．三条中线的交点D．三条边垂直平分线的交点3．已知△A B C边A B、A C的垂直平分线D M、E N相交于O，M、N在B C边上，若∠M A N＝20°，则∠B A C 的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．160°4．如图，在△A B C中，边A C的垂直平分线交A C于点M，交B C于点N，若A B＝3，B C＝13．那么△A B N的周长是（）A．10B．13C．16D．无法确定5．如图，在△A B C中，∠C＝30°，点D是A C的中点，D E⊥A C交B C于E；点O在D E上，O A＝O B，O D＝1，O E＝2，则B E的长为（）A．3B．4C．5D．66．已知如图，O P平分∠M O N，P A⊥O N于点A，点Q是射线O M上的一个动点，若∠M O N＝60°，O P ＝4，则P Q的最小值是（）A．2B．3C．4D．不能确定7．如图，△A B C的∠B的外角的平分线B D与∠C的外角的平分线C E相交于点P，若点P到直线A C的距离为4，则点P到直线A B的距离为（）A．4B．3C．2D．18．如图，在△A B C中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交A C，A B于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于M N长为半径画弧，两弧交于点O，作射线A O，交B C于点E．已知C E＝3，B E＝5，则A C的长为（）A．8B．7C．6D．59．已知：如图，△A B C中，∠C＝90°，点O为△A B C的三条角平分线的交点，O D⊥B C，O E⊥A C，O F ⊥A B，点D，E，F分别是垂足，且A B＝5，B C＝4，C A＝3，则点O到三边A B，A C和B C的距离分别等于（）A．1，1，1B．2，2，2C．3，3，3D．1，2，310．如图，在R t△A B C中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交A C，A B于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于M N的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线A P交边B C于点D，若C D＝5，A B＝12，则△A B D的面积是（）A．15B．30C．45D．6011．如图，A D是△A B C的角平分线，D E⊥A C，D F⊥A B，E，F分别是垂足，若B D＝2C D，A B＝6，则A C的长为（）A．3B．6C．9D．1212．如图，△A B C中，A D⊥B C交B C于D，A E平分∠B A C交B C于E，F为B C的延长线上一点，F G⊥A E交A D的延长线于G，A C的延长线交F G于H，连接B G，下列结论：①∠D A E＝∠F；②∠A G H＝∠B A E+∠A C B；③S△A E B：S△A E C＝A B：A C，其中正确的结论有（）个．A．0B．1C．2D．3二．解答题（共5小题）13．如图，△A B C中，∠A B C＝30°，∠A C B＝50°，D E、F G分别为A B、A C的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠D A F的度数；（2）若△D A F的周长为10，求B C的长．14．如图，A B垂直平分线段C D（A B＞C D），点E是线段C D延长线上的一点，且B E＝A B，连接A C，过点D作D G⊥A C于点G，交A E的延长线与点F．（1）若∠C A B＝α，则∠A F G＝（用α的代数式表示）；（2）线段A C与线段D F相等吗？为什么？（3）若C D＝6，求E F的长．15．如图，D E⊥A B于E，D F⊥A C于F，若B D＝C D，B E＝C F求证：A D平分∠B A C．16．如图，D是∠E A F平分线上的一点，若∠A C D+∠A B D＝180°，请说明C D＝D B的理由．17．如图，A D∥B C，∠D＝90°．如图，若∠D A B的平分线与∠C B A的平分线交于点P，试问：点P是线段C D的中点吗？为什么？课后作业1．如图，在△A B C中，A B边的中垂线D E，分别与A B边和A C边交于点D和点E，B C边的中垂线F G，分别与B C边和A C边交于点F和点G，又△B E G周长为16，且G E＝1，则A C的长为（）A．13B．14C．15D．162．如图，△A B C中，∠C＝90°，E D垂直平分A B，若A C＝12，E C＝5，且△A C E的周长为30，则B E的长为（）A．5B．10C．12D．133．如图，在△A B C中，A B，A C的垂直平分线D F，E G交于点M，点F，G在B C上．若∠G A F＝46°，则∠M的度数为（）A．67°B．65°C．55°D．45°4．如图，A D是△A B C的角平分线，D E⊥A B，垂足为E，A B＝20，C D＝6，若∠C＝90°，则△A B D面积是（）A．120B．80C．60D．40（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）5．如图，B M是∠A B C的平分线，点D是B M上一点，点P为直线B C上的一个动点．若△A B D的面积为9，A B＝6，则线段D P的长不可能是（）A．2B．3C．4D．5.56．如图，在△A B C中，∠B＝90°，点O是∠C A B、∠A C B平分线的交点，且B C＝4c m，A C＝5c m，则点O到边A B的距离为（）A．1c m B．2c m C．3c m D．4c m7．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（）个．A．3B．4C．5D．68．如图，R t△A C B中，∠A C B＝90°，∠A B C的平分线B E和∠B A C的外角平分线A D相交于点P，分别交A C和B C的延长线于E，D．过P作P F⊥A D交A C的延长线于点H，交B C的延长线于点F，连接A F交D H于点G．则下列结论：①∠A P B＝45°；②P F＝P A；③B D﹣A H＝A B；④D G＝A P+G H．其中正确的是（）A．1B．2C．3D．4二．解答题（共2小题）9．如图，在△A B C中，∠B A C＝90°，B E平分∠A B C，A M⊥B C于点M交B E于点G，A D平分∠M A C，交B C于点D，交B E于点F．求证：线段B F垂直平分线段A D．10．△A B C中，∠C＝90°，∠B A C的平分线交B C于D，且C D＝15，A C＝30，求A B的长．。
三角形的角平分线和垂直平分线
三角形的角平分线和垂直平分线三角形是几何学中最常见的形状之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，我们经常会遇到角平分线和垂直平分线这两个重要的概念。
本文将详细介绍三角形的角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在解题中的应用。
一、角平分线1. 定义：三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的角的线段。
具体而言，设三角形ABC中的∠BAC的角平分线为AD，那么AD将∠BAC分为两个相等的角∠BAD和∠DAC。
2. 性质：（1）角平分线与对边的关系：角平分线将对边分成两个部分，这两个部分的长度之比等于与它们相对的两个角的正弦值之比。
即AB/AC = BD/DC = sin∠BAD/sin∠DAC。
（2）角平分线的交点：三角形的三条角平分线交于一点，称为内心。
内心是三角形内切圆的圆心，三条角平分线相交于该点的原因是，该点到三条边的距离相等，满足等距离定理。
（3）内心到三边的距离：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。
设内心到三边的距离分别为r₁、r₂和r₃，那么r₁=r₂=r₃=r。
二、垂直平分线1. 定义：三角形中的垂直平分线是指从一个角的顶点出发，与对边垂直相交，并将对边分成两个相等部分的直线。
以三角形ABC中∠BAC的垂直平分线为例，假设该垂直平分线与BC相交于点D，那么BD=DC。
2. 性质：（1）垂直平分线与对边的关系：垂直平分线平分对边，并且被平分的两部分的长度相等。
即BD=DC。
（2）垂直平分线与角平分线的关系：垂直平分线与角平分线互相垂直。
也就是说，三角形的垂直平分线同时也是它的内角平分线。
三、角平分线和垂直平分线的应用角平分线和垂直平分线在解决三角形相关问题时起着重要的作用，它们能够提供关键的几何信息，帮助我们求解未知量、证明定理。
1. 解题应用：（1）角平分线的应用：在求解三角形相关问题时，可以利用角平分线的性质来求解未知量，比如利用角平分线将角分为两个相等的角，从而应用三角函数关系进行计算。
垂直平分线与角平分线(讲义及答案).
垂直平分线与角平分线（讲义）知识点睛1.垂直平分线相关定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段___________________；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2.角平分线相关定理：①角平分线上的点到这个角的_____________________；②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．精讲精练1.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________．第1题图第2题图2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．若DE=1，则线段AC的长为________．3.如图，在△ABC中，DE，GF分别是AC，BC的垂直平分线，AD=8，BG=10．若AD⊥CD，则DG的长为_______．4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．5.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AB=8，BC=6．若S△ABC=14，则DE=__________．第5题图第6题图6.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，点E在射线OA上，若∠AOB=60°，∠OPE=80°，则∠AEP的度数为_________．7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．求证：OD=OE．8.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．9.如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x轴正半轴上，且OC=OB，点D位于x轴上点C的右侧，连接BC，∠BAO和∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，连接BP，则∠PBC的度数为__________．10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，在AC和AB上分别截取AE，AD，使AE=AD．再分别以点D，E为圆心，大于12 DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG=4，AB=10，则△ABG的面积为________．第10题图第11题图11.如图，在△ABC中，∠B=35°，∠ACB=75°，请依据尺规作图的痕迹，计算∠α=__________．12.过直线上一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN上一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．作法：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，交直线MN于C，D两点；②分别以______，______为圆心，_________为半径作弧，两弧交MN上方于一点B；③______________．______________即为所求．13.过直线外一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN外一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．作法：①在MN下方任取一点P；②以_____为圆心，______为半径作弧，交MN于C，D两点；③分别以______，______为圆心，_________为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；④______________．______________即为所求．14.如图，已知△ABC，求作：（不写作法，保留作图痕迹）（1）AC边上的高；（2）BC边上的高．15.如图，C，D是∠AOB内部两点，在∠AOB内部求作一点P，使PC=PD，并且使点P到∠AOB两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）16.已知：如图，∠ABC，点D在射线BC上．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P 在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）17.如图，A，B是平面上的两定点，在平面上找一点C，使△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，这样的点C有几个？请用尺规作图确定点C的位置，保留作图痕迹．【参考答案】课前预习1.①两个端点的距离相等2.①两边的距离相等精讲精练1.322.33.64.证明略；提示：证△AOB≌△COD（ASA），得到OB=OD，再结合BE=DE，由“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”得证5.26.110°7.证明略；提示：由“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可证OD=OF=OE8.证明略；提示：过点F分别作FG⊥AD于G，FH⊥AE于H，FK⊥BC 于K，先由“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可证FG=FK=FH，再由“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”求证9.45°10.2011.75°12.①点C；点D；大于1CD的长；③作直线AB；直线AB213.②点A；AP长；③点C；点D；大于1CD的长；③作直线2AB；直线AB14.作图略提示：过直线外一点作已知直线的垂线；15.作图略提示：作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线；16.作图略提示：作线段BD的垂直平分线和∠ABC的角平分线；17.这样的点C有2个，作图略。
角平分线与垂直平分线----讲义
学案&讲义学生：______课程主题：两个定理（角平分线与线段垂直平分线）学习目标：1．能运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题2．初步掌握角的平分线的性质定理及其逆定理主要内容：一、线段的垂直平分线【知识梳理】1．线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．2．线段的垂直平分线逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．【例题精讲】例1．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=5，则△ADE周长是多少？为什么？（2）若∠BAC=120°，则∠DAE的度数是多少？为什么？例2．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系？并加以证明．例3．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，作AC的垂直平分线，分别交于AC于G，交CD于H，连接AH．求证：（1）AB=AH；（2）CD=AB+BD．例4．已知△ABC中∠BAC=130°，BC=20，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G．求：（1）∠EAF的度数．（2）求△AEF的周长．【巩固练习】1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，DE垂直平分AB．（1）若△DBC的周长为35，求BC的长；（2）若BC=13，求△DBC的周长．2．如图，在△ABC中，∠A=90°，DE垂直平分线段BC，分别交AC、BC于点D、E，BD平分∠ABC（1）直接写出图中相等的线段．（写出三组，即可得（2）试判断∠ABD与∠C的大小关系，并证明你的判断结论．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DB平分∠ABC交AC于点D，DE的垂直平分斜边AB于E．（1）请你在图形中找出至少两对相等的线段，并说明它们为什么相等；（2）如果BC=6，AC=8，则△BDC的周长为多少？二、角的平分线【知识梳理】1．角平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．【说明】该定理为我们提供了证明两条垂线段相等的一个新思路2．角平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【例题精讲】例1．（1）如图（1），尺规作△ABC的两内角∠A、∠B的角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想．你有什么发现？（2）如图（2），尺规作△ABC的两内角∠A、∠B的外角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想．你有什么发现？（3）你能用你的发现解决下面的实际问题：如图（3）直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？例2．如图，的边的中垂线交的外角平分线于，为垂足，于，且，求证：例3．△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是角平分线，ED⊥BC．①请你写出图中所有的等腰三角形；②若BC=10，求AB+AE的长．例4．如图，已知中，交于，交于，是上一点，且点到的距离与到的距离相等，判断是否平分，并说明理由．例5．如图，要在河流的南边，公路的左侧处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________ ，理由是__________ ．例6．如图，已知，，，和的平分线交于，过的直线交于，交于，求证：【巩固练习】1．如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．2．三角形中，到三边距离相等的点是__________ ．3．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．4．如图，，且，则与的比等于__________ ．5．直角三角形中，两锐角的角平分线所成的锐角等于__________ ．6．已知：如图，、是的角平分线，、相交于，，则的度数是__________ ．7．如图，为等边三角形，且，则=__________ ．巩固1．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，BC＞BA．求证：点D 在线段AC的垂直平分线上．2．如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的三边大小关系？3．如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．4．如图，在等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E在AC边上，且∠EDC=15°．（1）试说明直线AD是线段BC的垂直平分线；（2）△ADE是什么三角形？说明理由．5．如图，已知相交直线和，及另一直线。
专题16角平分线与线段的垂直平分线(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学专题16 角平分线与线段的垂直平分线（知识点总结+例题讲解）一、角平分线：1.角的平分线定义：（1）从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线；如图，因为AD是∠BAC的平分线，所以∠1=∠2=∠BAC；（2）类似地，还有角的三等分线等。
2.角平分线的作法(尺规作图)：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；（2）分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；（3）过点P作射线OP，射线OP即为所求。
3.角平分线的性质：（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵ AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上。
（3）三角形的角平分线。
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
12①三角形的角平分线是线段；②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；④可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。
4.角平分线的综合应用：（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；（2）在解决综合问题中的应用。
【例题1】(2020•乐山)如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝( )A．10°B．20°C．30° D．40°【答案】B【解析】根据平角的定义得到∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，由角平分线的定义可得∠CEB=12∠CEF=12×140°=70°，由GE⊥EF可得∠GEF＝90°，可得∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，由∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG 可得结果．解：∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵射线EB平分∠CEF，∴∠CEB=12∠CEF=12×140°=70°，∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°。
垂直平分线与角平分线综合复习资料
线段的垂直平分线与角平分线复习(1)知识点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.知识点2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.知识点3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线相交于一点,,i j k ,,i j k O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cm D ．12cm针对性练习：已知1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
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A.AB和BC，焊接点B B.AB和AC，焊接点A
C.AD和BC，焊接点D
D.AB和AD，焊接点A
➢ 典型例题解析
【例4】 (2003·黑龙江省)已知：如图4-4-10(1)所示， BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD， AG⊥CE，垂足分别为F、G.连接FG，延长AF、AG、与 直线BC相交，易证FG=1/2(AB+BC+BC).
➢ 典型例题解析
【例1】 如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC， BD是∠ABC的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等 于第三条线段，并证明你的猜想的正确性(证明你的猜想 需用题中所有的条件)
AB+AD=BC
➢ 典型例题解析
【例2】 (2003·河南省)已知：如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD，垂足为 E.BF∥AC交CE的延长线于F.求证：AB垂直平分DF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
➢ 要点、考点聚焦
(3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集合. (4)互逆命题与互逆定理.
2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理 (1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的距离相等. (2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上. (3)用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定理 .如图4-4-2所示.
图4-4-3
2.如图4-4-3所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公 路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相 等，则可供选择的地址有( D )
A．1处 B.2处 C.3处
D. 4处
➢ 课前热身
3.如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB于 R，PS⊥AC 于 S，AQ=PQ，PR=PS， 下 面 三 个 结 论 ： (1)AS=AR(2)QP∥AR(3)△BRP≌△CSP，正确的是
➢ 要点、考点聚焦
1.角平分线的性质定理和逆定理
(1)点在角平分线上 性质定点理到这个角的两边的距离相
等.
判定定理
(2)用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理.如图
4-4-1所示.
性 质 定 理 ： ∵ P 在 ∠ AOB 的 平 分 线 上 ， PD⊥OA，
PE⊥OB
∴PD=PE
逆定理：∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB
图4-4-10(3)
1.全等运用的干扰 角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直 接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍.
2.证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段 的两个端点距离相等，就下结论——过这一点的直线是 这条线段的中垂线，实际上由直线公理：“两点确定一 条直线”，还要再找出一个这样的点.
➢ 课时训练
2.(2004·河北省)如图是一个经过改造的台球桌面的示意
图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果
一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），
那么该球最后将落入的球袋是
( )B
A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋
➢ 课时训练
3.(2004·广州)如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角
➢ 典型例题解析
【例3】 (2003·浙江省舟山市)如图所示是人字型屋架的
设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中
A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC、D为BC的中点，
现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D.
如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快
速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是 ( C )
(1)若BD·CE分别是△ABC的内角平分线(如图4-4-10(2) 所示).
(2)BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平 分线(如图4-4-10(3)所示)，则在此
两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关 系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.
图4-4-10(1) 图4-4-10(2)
A.(1)和(2) C.(1)和(3)
B.(2)和(3) D.全对.
(A )
➢ 课前热身
4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB
的 垂 直 平 分 线 交 BC 于 D， 交 AB 于 E，DB=10cm， 则
AC=( C )
A.6
B.8 C.5
D.10
➢ 课前热身
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分 线交BC于D，∠CAD∶∠DAB=1∶2，则∠B= 36°.
➢ 要点、考点线 ∴PA=PB 逆定理：∵PA=PB ∴点P在AB的中垂线上.
【注意】 这里不可 说PC是AB的中垂线.
(4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有 点的集合.
➢ 课前热身
1.下列说法正确的是( C ) A.每个命题都有逆命题 B.直角都是邻补角 C.若1/a=1/b则a=b. D.真命题的逆命题是真命题.
∵AB的垂直平分线交AC于D，∴DA=DB。
∵AB=BC， ∠B＝120°，
∴ ∠A＝∠C＝30°,
∴ ∠A＝∠ABD＝30°,
∴ ∵
∠DBC＝90°, Rt△DBC中,有
DB
1DC
2
∴
AD 1DC 2
➢ 课时训练
1.(2004·四川)如图，已知点C是∠AOB平分线上一点， 点P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP' ，需 要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果 的序号 ①或②或④ 。
① ∠ OCP= ∠OCP' ;② ∠ OPC= ∠OP' C ; ③PC=PC ' ;④PP' ⊥OC
△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论①AE=2AC；②
CE=2CD；③ ∠ACD=∠BCE； ④CB平分∠DCE。请写出正
确结论的序号 ①②④
。
➢ 课时训练
4.(2004·呼和浩特)如图，在△ABC中，BA=BC，∠B＝
120°，AB的垂直平分线交AC于D，求证：AD 1DC
2
证：连接BD。