角平分线定理(2)
三角形角平分线定理
三角形角平分线定理三角形角平分线定理是指：三角形内一条角的角平分线把这条角分成两个相等角，并且这条角平分线所在的边与三角形外一边的两个对边的比等于被分角的两边的比。
三角形角平分线定理是一个重要且有用的几何定理，它可以帮助我们推导解决许多与三角形相关的问题。
本文将详细介绍三角形角平分线定理以及其应用。
一、三角形角平分线定理的定义与性质三角形角平分线定理可以描述为：设三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，则有以下两个性质成立：1. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD = ∠DAC。
2. AB/BC = BD/DC。
角平分线的定义是指一条线段或射线从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角。
根据角平分线的定义，我们可以得出性质1。
性质2则是说明了角平分线所在边与三角形外一边的两个对边的比例关系。
这个比例关系在解决一些三角形相关问题时非常有用，比如计算未知边长或角度大小等。
二、三角形角平分线定理的证明现在我们来证明三角形角平分线定理中的性质2。
首先，我们假设角BAD = α，角CAD = β，角DAC = α，角BDA = β。
根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sinα/BD = sinβ/AB (1)sinα/DC = sinβ/AC (2)将(1)除以(2)，可以得到：(AB/BD)/(AC/DC) = sinα/sinα = 1由于左边等式的分数形式是BD/DC的比，因此我们可以得出：AB/BC = BD/DC这就证明了三角形角平分线定理中的性质2。
三、三角形角平分线定理的应用三角形角平分线定理有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的题目时，可以通过应用该定理得到简洁而准确的答案。
以下是三个典型的应用案例：1. 求角平分线所分角的大小已知三角形ABC中，BD为角BAC的角平分线，要求角BAD的大小。
根据三角形角平分线定理的性质1，我们知道角BAD与角DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。
三角形角平分线有关的定理
三角形角平分线有关的定理1.引言1.1 概述概述部分内容：在我们的日常生活和几何学中，三角形是一种常见的几何图形。
它由三条边和三个顶点组成。
而在三角形中，角平分线是一种非常重要的概念。
角平分线是指从一个顶点出发，将一个角平分为两个相等的角的直线或线段。
在本篇文章中，我们将探讨与三角形角平分线相关的一些重要定理。
这些定理涉及到角平分线的定义、性质以及在几何学中的重要应用。
首先，我们将详细介绍角平分线的定义和性质。
通过理解角平分线的定义，我们可以更好地掌握它的特点和作用。
同时，探究角平分线的性质也能够帮助我们在解决相关几何问题时提供有力的依据。
其次，我们将重点讨论角平分线在几何学中的重要应用。
通过具体的实例和问题，我们将展示角平分线在解决三角形相关问题时的作用和意义。
这些应用包括角平分线的角度关系、角平分线与三角形边长的关系等。
通过学习这些应用，我们可以更好地理解角平分线在解决实际问题中的应用及其重要性。
最后，我们将对本文进行总结，并展望未来对于三角形角平分线相关定理的深入研究。
通过对这些定理的理解和应用的进一步探索，我们有望为几何学的发展做出更多的贡献。
同时，针对目前存在的问题和难点，我们也可以提出一些新的研究方向和解决思路。
通过本文的阅读和学习，我们将更深入地了解三角形角平分线相关的定理，并能够灵活运用于实际问题的解决中。
同时，我们也将对几何学的研究有更深入的认识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
希望读者能够通过本文的阅读，对三角形角平分线有一个全面而深入的了解。
1.2文章结构文章结构部分是用来概述和介绍整篇文章的组织结构和内容安排。
在本文中，文章结构包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要是对整篇文章进行概述，介绍了本文讨论的主题是三角形角平分线有关的定理。
文章将从定义和性质、重要应用两个方面进行论述。
此外，介绍了本文的目的是为了深入研究和了解三角形角平分线的基本原理和应用。
正文部分分为两个部分，分别是定理一和定理二。
直角三角形 角平分线定理
直角三角形角平分线定理
直角三角形的角平分线定理是指：在一个直角三角形中，如果从直角顶点引一条线段，将对角线分成两段，那么这条线段所在的直线就是这个直角顶点的两个相邻角的平分线。
具体来说，设一个直角三角形ABC，其中∠C=90度，AD为BC的中线，DE是AC的垂线，则AD是∠A和∠B的平分线，即∠CAD=∠BAD=∠A/2，∠CBD=∠ABD=∠B/2。
这个定理的证明可以利用几何知识进行证明，例如相似三角形、角度和定理等。
但简单来说，我们可以利用三角函数的定义，根据正弦、余弦、正切等函数来计算证明。
总之，直角三角形的角平分线定理在几何学中有着重要的应用价值，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的相关知识。
角平分线定律
角平分线定律一、什么是角平分线定律角平分线定律是解决几何问题中常用的一个定理。
简而言之，角平分线定律说明了一个角的平分线可以将对立的两边分成相等的两部分。
这个定律在三角形中特别有用，可以用于计算角度或边长的比例关系。
二、角平分线定律的表述角平分线定律可以用以下两个等式表达：•在一个三角形中，角的平分线将对立边上的长度成比例分割，即：AB/BC = AC/CD•在一个三角形中，角的平分线将对立角所对的弦分成相等的两部分，即：BD/DC = AB/AC其中，A、B、C是三角形的三个顶点，AB、BC、AC是三角形的三条边，CD是角ABC 的平分线，BD、DC是对立角所对的弦。
三、角平分线定律的证明角平分线定律的证明可以通过几何推理或使用三角函数进行推导。
这里我们以几何推理的方式进行证明。
证明过程：步骤一：假设我们假设在三角形ABC中，角ABC的平分线CD将边AB和AC分别分割成AD和AE 两部分，如下图所示：B/ \/ \A ---- C ---- E\ /\ /D步骤二：证明∠CAD ≌ ∠BAD由于CD是角ABC的平分线，根据平分线的定义，我们可以得出∠CAD ≌ ∠BAD。
步骤三：证明△ACD ≌ △ABD根据步骤二，我们知道∠CAD ≌ ∠BAD，而∠CAD 和∠BAD 是三角形ACD和ABD的共同角。
另外，根据假设，我们已知AD ≌ AD，因此根据ASA（边-边-角）准则，我们可以得出△ACD ≌ △ABD。
步骤四：证明AD/BD = AE/CE根据步骤三，我们知道△ACD ≌ △ABD，因此对应的边也成比例。
即AD/BD =AE/CE。
至此，我们完成了角平分线定律的证明。
四、角平分线定律的应用角平分线定律在解决各种几何问题时非常有用。
下面是一些常见的角平分线定律的应用示例：1. 计算角度的比例关系在一个三角形ABC中，角ABC的平分线AD将边AB和AC分割成AD和AE两部分。
已知AD/BD = 2/5，求∠BAD 和∠CAD 之间的比例关系。
三角形中的角平分线定理
角形中的角平分线定理
角平分线定理（Angle Bisector Theorem）是几何学中的一个重要定理，它涉及到角的平分线和角内部的边的比例关系。
具体表述如下：
在一个三角形中，如果一条线段从某个顶点的角的两边中间穿过，并将该角分为两个相等的角，那么这条线段被称为该角的角平分线。
角平分线将对边（即与该角相对的边）分成两个部分，它们的比例等于另外两边的比例。
具体来说，设在三角形ABC中，角BAC的角平分线通过顶点A，与边BC相交于点D。
那么有以下比例关系成立： AB/BD = AC/CD 其中，AB和AC是角BAC的两条边，BD和CD是角平分线AD所分割的对边BC的两段。
这个定理可以用于解决一些与角平分线和边比例有关的问题，例如根据已知比例求解未知边长，或者根据已知边长求解未知比例等。
在解题时，可以利用角平分线定理来建立比例方程，并通过求解方程得到所需的结果。
需要注意的是，角平分线定理只适用于三角形中的角，而且前提条件是角的平分线将角分成两个相等的角。
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角平分线(第2课时)
证三条直线交于一点
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
基本想法是这样的:我们知道,两条直线 相交只有一个交点.要想证明三条直线相 交于一点,只要能证明两条直线的交点在 A 第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚 ND 刚学到的逆定理. P 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是 B E,F,D. E ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.
HE
老师提示:
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一
这个交点叫做三角形的内心.
1．三角形的角平分线的性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边
相等 ． 的距离________
2．三角形三角置
性质
三角形三边的垂直 三角形内部，或外 到三角形三个顶点 平分线 部，或一边上(外心） 的距离相等
挑战自我
A
E C B
D
例1,AD,BE为△ABC的角平分线交于点I, （1）若CD=CE,判断IE与ID的数量关系并证明 （2）若∠C=60°,判断IE与ID的数量关系并证明
小结
拓展
回味无穷
A D 1 2 E B P
定理 角平分线上的点到这个 角的两边距离相等. O 逆定理 在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这 个角的平分线上. 定理:三角形的三条角平分线 相交于一点,并且这一点到三 边的距离相等(这个交点叫做 三角形的内心).
角平分线的定义和意义的区别
⾓平分线的定义和意义的区别 ⾓平分线的判定是怎样的，有同学了解过吗?没有的话，快来⼩编这⾥瞧瞧。
下⾯是由店铺⼩编为⼤家整理的“⾓平分线的判定是怎样的”，仅供参考，欢迎⼤家阅读。
⾓平分线的判定是怎样的 从⼀个⾓的顶点引出⼀条射线，把这个⾓分成两个完全相同的⾓，这条射线叫做这个⾓的⾓平分线(bisector of angle)。
三⾓形三条⾓平分线的交点叫做三⾓形的内⼼。
三⾓形的内⼼到三边的距离相等，是该三⾓形内切圆的圆⼼。
性质定理 1.⾓平分线将此⾓分为⼀对等⾓。
2.在⾓平分线上的点到这个⾓的两边距离相等。
证明如下： 已知：如下图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB。
求证：PC=PD。
证明：∵OP平分∠AOB， ∴∠AOP=∠BOP。
∵PC⊥OA，PD⊥OB。
∴∠OCP=∠ODP。
在△CPO和△DPO中， ∠OCP=∠ODP， ∠AOP=∠BOP， OP=OP，(注：三个条件⽤左⼤括号括住。
) ∴△CPO≌△DPO(AAS)。
∴PC=PD。
拓展阅读：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等 ⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等”是正确的，这句话是⾓平分线定理1，也可看作是⾓平分线的性质。
⾓平分线定理2是将⾓平分线放到三⾓形中研究得出的线段等⽐例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三⾓形内⾓平分线⻓与各线段间的定量关系。
三⾓形垂⼼有什么特点 主要有： 1、锐⾓三⾓形的垂⼼在三⾓形内;直⾓三⾓形的垂⼼在直⾓顶点上;钝⾓三⾓形的垂⼼在三⾓形外; 2、三⾓形的垂⼼是它垂⾜三⾓形的内⼼;或者说,三⾓形的内⼼是它旁⼼三⾓形的垂⼼; 3、垂⼼关于三边的对称点，均在三⾓形的外接圆上; 4、锐⾓三⾓形的垂⼼到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍; 5、锐⾓三⾓形的垂⼼是垂⾜三⾓形的内⼼;锐⾓三⾓形的内接三⾓形中，垂⾜三⾓形的周⻓最短。
角平分线(1-2)
§1．4．1角平分线（一）教学目标（一）知识目标1．角平分线的性质定理的证明。
2．角平分线的判定定理的证明。
3．用尺规作已知角的角平分线。
（二）能力目标1．进一步发展学生的推理证明意识和推理能力，培养学生将文字语言转化为符号语言，图形语言的能力。
2．体验解决问题策略的数学思想方法，提高实践能力。
教学重点1．角平分线的性质和判定定理的证明。
2．用尺规作已知角的角平分线并说明理由。
教学难点1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题。
2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明。
教学过程1、创设问题情境：〖思考与探索〗有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB 平分线OC上一点P处,为尽快爬到OA或OB上控制猎物,它应该选择什么路线,两条路线长度关系怎样?（蜘蛛实例的思考与探索，实际上既复习了点到直线的距离这一概念，又发现了角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质定理。
）2、新课引入问题：（1）还记得角平分线的概念吗？（2）还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？（3）你是怎样理解结论的？（4）以前我们用折纸的方法得到了一个结论，我们能进行严格意义的证明吗？师：（板演:画出一个角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。
）问：你能否将蜘蛛实例的结论转化为一个命题，写出以知与求证进行证明？已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E.求证：PD=PE.（注：将文字语言转化成符号语言和图形语言由师生共同完成）证明∵AC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC=21∠AOB 。
又∵∠AOC=∠BOC=RT ∠,OC=OC ∴△AOC ≌△BOC （HL ）∴CD=CE(全等三角形的对应边相等)(请学生回答蜘蛛控制猎物的方法、两条路线长度关系) 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等。
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∴PD=PE
同理：PE=PF．∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到 三边的距离相等. A
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的 三条角平分线,且PD⊥AB, PE⊥BC,PF⊥AC(已知), B
作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三个内角的角平分 线交于一点．这一点到三角形三边
的距离相等．
命题:三角形三个角的平分线相交于一点. 已知：如图，设△ABC的角平分线． BM、CN相交于点P， 求证：P点在∠BAC的角平分线上． A M F E C
N
D P B
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，
线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. C D B
E
老师期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.
独立作业 1
习题1.9
1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分 线. 求证:BD=2CD.
A
B
D
C
老师期望:你能写出规范的证明过程.
ND
P E
M F
C
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平
分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一
这个交点叫做三角形的内心.
随堂练习 1
Байду номын сангаас
挑战自我 A
如图,在△ABC中,已知
AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分
独立作业 2 2.已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角平分线相 交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A C F E
B D
老师期望:养成用数学解释生活的习惯.