线段垂直平分线的性质定理及逆定理
线段垂直平分线的性质定理及逆定理课件
基础习题1
已知线段AB的垂直平分线与AB交于 点O，点C在直线OM上，CA=CB， 若AB=6cm，则AC=多少cm。
基础习题2
已知线段AB的垂直平分线为OM，点 C在直线OM上，AC=5cm， BC=3cm，则AB=多少cm。
进阶习题
进阶习题1
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在 。
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进阶习题2
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在 直线OM上，AC=6cm，BC=4cm，求 AB的长度。
高阶习题
高阶习题1
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在直 线OM上，AC=7cm，BC=9cm，求AB的 长度。
高阶习题2
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在直 线OM上，AC=8cm，BC=10cm，求AB的 长度。
第三步
得出结论，完成证明。
定理证明的注意事项
注意证明的逻辑严密性
在推导过程中，要确保每一步的逻辑推理都是正确的，避免出现 逻辑漏洞。
注意使用正确的几何语言
在书写证明过程时，要使用规范的几何语言，确保表达的准确性和 严谨性。
注意检查结论是否符合题意
在得出结论后，要再次核对结论是否符合题目的要求，确保结论正 确无误。
定理在日常生活中的应用
定理在建筑设计中的应用
在建筑设计中，线段垂直平分线性质定理可以用于确定建筑物的对称轴，以保 证建筑物的美观和稳定性。
定理在交通规划中的应用
在交通规划中，线段垂直平分线性质定理可以用于确定道路的走向和交叉口的 设计，以提高交通效率和安全性。
定理在数学竞赛中的应用
定理在数学竞赛中的证明题中的应用
理，△AMP≌△MBN，所以PM=PN。
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
线段垂直平分线的应用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，这是线段垂直平分线的一个重要性质，在解题过程中，若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，利用上述性质可顺利解决问题．一、用于计算例1 如图1，点P 在∠AOB 内，点M 、N 分别是点P PEF 的周长为5，求MN 的长．分析：由图1知MN 的长是ME 、EF 、FN 而P 与M 关于OA 对称，P 与N 关于OB 对称，所以OA 、 OB 分别是PM 、PN 知EM=EP ， FP=FN ，故MN 的长就是△PEF 的周长．解：因为P 与M 关于OA 对称，P 与N 关于OB 的垂直平分线，所以EM=EP ， FP=FN ．所以例2 如图2所示，DE 是△ABC 的边AB E 平分∠B AC ，若∠B=30º，求∠C 的度数．分析：由DE 是AB 边的垂直平分线可知BE=A E ∠B=∠1，又因为A E 是∠B AC 的角平分线，所以∠1=∠即可求出∠C 的度数． 解：因为DE 是AB 边的垂直平分线，所以BE=A E ∠B=∠1．因为∠B=30º，所以∠1=30º．又因为A E 平分∠B AC ，所以∠2=∠1=30º，即∠B AC=60º．因为∠C=180º－∠B AC －∠B ，所以∠C=90º．点评：通过以上两例可以看出，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地二、用于证明例3 如图3，已知AB=AC ， AD 平分∠BAC ，求证：∠分析：由已知AB=AC 及AD 平分∠BAC ，易想到连结BC ，得 等腰△ABC ，且AD 垂直平分BC ，从而有DB=CD 及BE=EC ，可得∠EBC=∠ECB ，∠DBC=∠DCB ，两式相减即有∠DBE=∠ECD ．证明：连结BC ，因为AB=AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD 垂 直平分BC ，所以BE=EC ，DB=CD ，所以∠EBC=∠ECB ，∠DBC= ∠DCB ，所以∠EBC －∠DBC=∠ECB －∠DCB ，即∠DBE=∠ECD 点评：本题也可以通过证明△ABE ≌△ACE 得∠AEB=∠AEC 及BE=EC ，再证明△BDE ≌△DCE ．但这种证法显然没有利用线段垂直平分线性质来得简捷．例4 如图4，在△ABC 中，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，分析：要证明CD ⊥CA ，只要使∠ACD=90º．由于AD=DB 可在AB 边上取中点E ，连结DE ，由AB=2AC 及∠BAD=∠得△ADE ≌△ADC ，从而得∠ACD=∠AED ，由AD=DB 知D 在AB 的垂直平分线上，可知∠AED=90º，问题解决．证明：在AB 边上取中点E ，连结DE ，因为AD=DB ，E 为中点，所以ED ⊥AB ．因为AB=2AC ，所以AE=21AB= AC ．在△ADE 和△ADC 中，AE= AC ，∠DAE=∠DAC ，AD 共用，所以△ADE ≌△ADC ，所以∠ACD=∠AED=90º，所以CD ⊥CA ．点评：由于受习惯思维的影响，同学们在解题过程中，在可以用线段垂直平分线性质说明的问题，仍然用三角形全等的方法来解决，这就给解题增加的麻烦，我们应有意识地应用这个性质探求新的解题途径，切勿机械套用全等三角形知识．线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理课前预习1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的2.线段垂直平分线定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。
【例1】如图所示，在△ABC 中，D 为BC 上的一点，连结AD ，点E 在AD 上，并且∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：AD 垂直平分BC【例2】判断：若PA=PB ，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线当堂训练知识点1：线段垂直平分线的性质1.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要 使钢索AB 与AC 的长度相等，•需加_ _______条件，理由是___ _____．2.（09钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB3.如图所示，CD 是AB 的垂直平分线，若AC=1.6cm ，BD=2.3cm ，则四边形ABCD 的周长是（ ）．A ．3.9cmB ．7.8cmC ．4cmD ．4.6cm4.如图所示，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，连接AD ，若∠CAD=20°，则∠B=（ ）．A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°知识点2：线段垂直平分线定理的逆定理5.AB =AD ，BC =CD ，AC 、BD 相交于点E ．则AB 是线段CD 的___ _____．课后作业6.给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l 是线段MN 的垂直平分线．∵点A 在直线l 上， ∴AM=AN （ ）．∵BM=BN ， ∴点B 在直线l 上（ ）．∵CM≠CN，∴点C 不在直线l 上．这是因为如果点C 在直线l 上，那么CM ＝CN （ ）． 这与条件CM≠CN 矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（ ） A ．②①① B ．②①② C ．①②②D ．①②①7.如图，已知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点，若PA=10 cm ，则PB=______cm 。
湘教版数学七年级下册_线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的性质定理内容：1．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．2．逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用：线段垂直平分线的性质定理是初中几何的基本定理，它在几何证明和求解中有着广泛的应用．现举例加以说明，供同学们参考．一、用于求线段的长【例1】如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长．【分析】题中有“线段垂直平分线”这个条件，因此考虑运用其性质定理，把BE与AE进行等量代换，再根据△BCE的周长及AC的长，可求出BC的长．【解】因为ED是线段AB的垂直平分线，所以BE=AE．因为△BCE的周长等于50，所以BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50，而AE+EC=AC=27，所以BC=50-27=23．二、用于求角的度数【例2】如图，在△ABC中，已知AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，且∠BAC=115º，∠EAF的度数．【分析】要求∠EAF的度数，可采用整体思想，结合条件“垂直平分线”得“线段相等”，进一步可得∠B=∠EAB，∠C=∠FAC，而∠B+∠C=180º-∠BAC=65º，从而可求得∠EAF的度数．【解】因为EM、FD分别是AB、AC的垂直平分线，所以EB=EA，FC=FA，所以∠B=∠EAB，∠C=∠FAC．因为∠B+∠EAB+∠C+∠FAC+∠EAF=180º，所以∠EAF=180º-2（∠B+∠C），而∠BAC=115º，所以B+∠C=180º-115º=65º，所以∠EAF=180º-130º=50º．三、用于证明两角（或线段）相等【例3】如图，已知AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF．求证：∠B=∠CAF．【分析】证明两角（或两线段）相等的常用方法是证两三角形全等，或用等边对等角（等角对等边），而本题中∠B与∠CAF不在同一个三角形内，它们所在的三角形又不能全等，故应从垂直平分线入手考虑问题．由于EF垂直平分AD，所以AF=DF，可得∠FDA=∠FAD，而∠CAF=∠FAD-∠1，只要证明∠B=∠FDA-∠2即可，这可由三角形外角定理证得．【证明】因为EF垂直平分AD，所以FA=FD，所以∠FDA=∠FAD．因为∠B=∠FDA-∠2，∠CAF=∠FAD-∠1，又因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2，所以∠B=∠CAF．四、用于证明两线段垂直【例4】如图，在△ABC中，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，AD= BD．求证：DC⊥AC．【分析】要证DC⊥AC，可证∠ACD=90º．由于AD=BD，可在AB上取中点E，连结DE，由AB= 2AC及∠BAD=∠CAD，易证得△ADE≌△ADC，从而得∠ACD=∠AED．由AD= BD知D在AB的垂直平分线上，可知∠AED=90º，本题得证．【证明】在AB上取中点E，连结DE．因为AD= BD，E为AB的中点，所以ED⊥AB．因为AB= 2AC，所以AE= AB=AC．在△ADE和△ADC中，因为AE= AC，∠DAE=∠DAC，AD公用，所以△ADE≌△ADC，所以∠ACD=∠AED=90º，所以DC⊥AC．【注】由于受学习习惯的影响，很多同学在可以用线段垂直平分线定理证明两角（或线段）相等，或证明两线段垂直（或直角）的地方，仍习惯用三角形全等的方法，这无形中增加了解（证）的复杂程度，我们在学习中应有意识地应用新定理探求新的解（证）题途径，切勿机械套用全等三角形知识．。
线段垂直平分线定理知识总结
线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。
分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。
解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。
又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。
因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。
又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。
又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
58.线段垂直平分线的性质定理的逆定理
证明：如图连接PA、PB、PC。 ∵P是AB、AC的垂直平分线的交点 ∴PA=PB，PB=PC ∴PA=PC ∴由线段垂直平分线定理的逆定理得： 点P也在AC的垂直平分线上。
根据垂分线的定理的逆定理：只 要证明PA=PC，就能证明P在AC的 垂直平分线上。而根据题意AB、 BC的垂直平分线相交于点P，很容 易证得PA=PC。从而证明证明P在 AC的垂直平分线上。
证明一条线为一个线段的垂直平 分线，应证明两个点到这条线段 两端的距离相等且这两个点都在 要求证的直线上。
一般情况下，垂直平分线内容会 与全等三角形内容结合来考察。 所以要熟悉三角形的有关概念。
通过实际操作观察领会线段垂直 平分线的逆定理的内容。
会用逆定理进行简单证明和计算。
1.逆定理内容： 到一条线段两端距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
2.拓展归纳： (1) 如图，直线MN上的点到线
段AB两端的距离相等，MN即为线 段AB的垂直平分线.巧记方法:点 到线段两端距离相等.
(2)要证明一条线为一个线段 的垂直平分线，应证明两个点到 这条线段两端的距离相等且这两 个点都在要求证的直线上。
要证点在线段的垂直乎分线上，由线段 垂直平分线的逆定理只需证OB=OC(想到 添辅助线)。已知OA=OC,O在AB的垂直平 分线上，得OB=OC。
总结
到一条线段两端距离相等的点，在这条线段的垂 直平分线上。由此得出其它推论。
已知：如图，在△ABC中，AB，BC 的垂直平分线相交于点P，求证:点P 也在AC的垂直平分线上。
(3)一般情况下，垂直平分线 内容会与全等三角形内容结合来 考察。
例：如图，在△ABC中, ON是AB的 垂直平分线，OA=OC.求证:点0在BC的 垂直平分线上。
线段垂直平分线的性质定理的逆定理
A
？？ C
B
A
P
c
B
P
？
c
B
尝试一： 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB， PC =PC， ∠PCA =∠PCB
失败！SSA不能证全等。
尝试二：
证明：连结点P和AB的中点C(作△PAB的中线PC)，
知识要点
线段垂直平分线的逆定理： 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
P
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
三 例题1:
已知：如图，在△ABC中，AB,AC的中垂线DP与EP相交于点P,
求证：点P在BC的中垂线上。
优翼 课件
冀教版八年级数学上（JJ）
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段垂直平分线性质定理的逆定理
定兴二中肖村分校 白金山
导入新课
情境引入
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一 个公共汽车站，使两个小区到车站的直线距离一样长，该公 共汽车站应建在什么地方？
AE=AE ∴ △ABE ≌△ADE（SSS）． ∴BE=DE（全等三角形对应线段相等）
证明两条线段相等的方法：
一、全等三角形。 二、线段中垂线性质 定理
挑战自我
已知：如图，在△ABC中， ∠C =90°，线 段BC的中垂线交AB于点D,点D为AB中点， 点F为AC中点，连结DF， 求证：DF是线段AC的垂直平分线
2024北师大版数学八年级下册1.3.1《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》教学设计
2024北师大版数学八年级下册1.3.1《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》教学设计一. 教材分析《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第3节的内容。
本节课主要介绍线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过证明线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，以及线段垂直平分线垂直平分线段这两个性质，让学生理解线段垂直平分线的重要性和应用。
同时，通过逆定理的证明，让学生掌握如何判断一条直线是线段的垂直平分线。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段、射线、直线的基本概念，以及全等三角形的性质和判定。
但线段垂直平分线的性质定理及其逆定理较为抽象，需要学生具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过生动形象的比喻和具体例子，帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
2.学会运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明。
2.如何运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索；通过具体案例，让学生理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理；通过小组合作学习，培养学生之间的交流和合作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.尺子、圆规、直尺等作图工具。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入：在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(6,7)之间有一条线段，求线段的垂直平分线方程。
让学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的主题。
2.呈现（15分钟）讲解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
通过PPT课件和板书，呈现定理的证明过程，让学生理解定理的含义。
同时，给出一些例子，让学生学会运用定理解决实际问题。
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3、如图PA=PB，则 直线MN是线段AB的 垂直平分线。
随堂演练
例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上;
M
A M′
P
B
C
N
N′
例 题 已知：在ΔABC中，ON是AB的垂直平分线 扩 求证：点O在BC的垂直平分线上。 展
OA=OC。
证明：连结OB。 A
二、逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段AB 的垂直平分线 上
线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等
PA=PB 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上
三、 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是到线段两上
端点距离相等的所有点的集合
∵ ON是AB的垂直平分线（已知）
∴ OA=OB（线段的垂直平分线上的点到这条线段N 的两个端点的距离相等）
∵ OA=OC（已知）
∴ OB=OC（等量代换）
∴点O在BC的垂直平分线上。 （到线段的两个端点距离相等的点，在这条线 B
段的垂直平分线上。）
O C
课堂小结
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
点P在线段AB 的垂直平分线 上
线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等
PA=PB 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上
三、 线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线 段两上端点距离相等的所有点的集合
1、如图直线MN垂直平 分线段AB，则AE=AF。
2、如图线段MN被直线AB 垂直平分，则ME点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上。
P
点P在线段AB
的垂直平分线 上
?
PA=PB
几何语言叙述:
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
A
C
B
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
拓展题
布置作业
点P在MN上.
求证： PA=PB
M P
A
C
B
N
线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的
距离相等。
点P在线段AB 的垂直平分线 上
线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离 相等
M
P PA=PB
几何语言叙述:
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA=PB
A
C
B
N
性质定理：线段垂直平分线上的到这条线段两个端点 的距离相等。
第1课时 线段垂直平分 线的性质定理及逆定理
学习目标
经历证明线段垂直平分线的性质 定理和判定定理的过程,并能够熟练运 用此定理解题。
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等。
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知：如图，直线MN⊥AB,垂足为C,
且AC=CB.