线段的垂直平分线的性质和判定
线垂直平分线的判定
线垂直平分线的判定线垂直平分线是几何学中的一个重要概念，用于描述一个线段被等分成两等分的直线，且这条直线与线段垂直。
在本文中，我们将深入探讨线垂直平分线的定义、性质和判定方法。
我们将从简单的概念入手，逐渐深入探讨该主题的更复杂和有趣的方面。
1. 线垂直平分线的定义线垂直平分线是指一个直线将线段等分，且与线段垂直。
具体而言，对于一个线段AB，如果存在一条直线CD，使得CD将AB分为两等分，并且CD与AB垂直，则CD就是线段AB的垂直平分线。
线垂直平分线的存在可以帮助我们确定线段的中点，并且可以在几何证明中起到重要的作用。
2. 线垂直平分线的性质线垂直平分线具有一些重要的性质，这些性质使得它成为几何学中的一个重要工具：- 线垂直平分线平分线段：线垂直平分线将线段分成两个相等的部分，因此线段的两个端点到线垂直平分线的距离相等。
- 线垂直平分线垂直于线段：线垂直平分线与线段垂直，这意味着线垂直平分线所形成的两个角是直角。
- 线垂直平分线唯一性：对于给定的线段，存在唯一一条垂直平分线。
这是由线垂直平分线的定义所决定的。
如果有两条直线同时满足平分线和垂直线的条件，那么这两条直线将重合。
3. 线垂直平分线的判定方法线垂直平分线的判定方法有多种，我们将介绍两种常见的方法：- 利用垂直线段的性质：如果两条线段长度相等且垂直相交，那么它们的中垂线就是垂直平分线。
- 利用角的平分线的性质：如果两条边相等的角的平分线也相等，则该平分线是垂直平分线。
4. 个人观点和理解线垂直平分线作为几何学中的一个重要概念，对于解决几何问题和证明定理起到至关重要的作用。
它不仅可以帮助我们确定线段的中点，还可以与其他几何概念相结合，拓展我们的几何思维能力。
在解决实际问题时，线垂直平分线的概念也具有一定的应用价值，例如在建筑、地理测量等领域中，它可以帮助我们确保某些结构或地理位置的垂直平均。
深入理解线垂直平分线的概念对于我们的学习和应用都是十分重要的。
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。
这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。
(八下)线段的垂直平分线(一)
例题赏析课本23页
已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
课堂小结, 畅谈收获：
一、线段垂直平分线的性质定理．
二、线段垂直平分线的判定定理．
三、用尺规作线段的垂直平分线．
课本23页随堂练习 已知如图AB是CD的垂直平分线EF 是AB上的两点 求证：∠ECF=∠EDF
∵AC=AD ∴点A在CD的垂直平分线上（ 与一条线段两 个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上） 同理，
A
C
O
B
D
∵BC=BD
∴点B在CD的垂直平分线上 ∴AB垂直平分CD（两点确定一条直线）
用心想一想，马到功成
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建 造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什 么位置?
A B
一、线段垂直平分线的性质:
证明: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
直线MN⊥AB于C且AC=CB， 已知： 点P在MN上. 求证：PA=PB
D E B C
老师期望: 做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
悟
学以致用解决课前问题
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓 库的距离相等，码头应建在什么位置?
A B
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 求证：AB垂直平分CD。
证明:
C
A
O
B
一、线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
二、线段垂直平分线的判定性质:
线段的垂直平分线的性质和判定习题
13．1.2线段的垂直平分线的性质姓名：01基础题知识点1线段的垂直平分线的性质1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知PA＝5，则PB的长为( ) A．6 B．5 C．4 D．32．如图，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3，BD＝1.6，则四边形ACBD的周长是( )A．3.9 B．7.8C．4 D．4.63．如图，AD⊥BC，BD ＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长．4．如图，△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.求△AEG的周长．知识点2线段的垂直平分线的判定5．已知：如图，直线PO与AB交于O点，PA＝PB.则下列结论中正确的是( )A ．AO＝BOB．PO⊥ABC．PO是AB的垂直平分线D．P点在AB的垂直平分线上6．(毕节中考)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7．如图所示，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．02中档题9．(临沂中考)如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( ) A．AB＝AD B．AC平分∠BCDC．AB＝BD D．△BEC≌△DEC10．如图，△ABC中，∠B＝40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB∶∠CAE＝3∶1，则∠C等于( )A．28°B．25°C．22.5°D．20°11．已知：如图，AC是线段BD的垂直平分线，E是AC上的一点，则图中全等的三角形共有( ) A．3对B．4对C．5对D．6对12．(恩施中考)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE的长为( )A．3 cm B．6 cmC．12 cm D．16 cm13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，△BCE的周长是8，AB－BC＝2，则△ABC的周长是( )A．13 B．12 C．11 D．1014．如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，且AP＝5，那么PC＝．15．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC边的垂直平分线MN经过点A，连接AC，求证：点A在CD的垂直平分线上．03综合题16．如图，已知△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G.求证：。
《线段的垂直平分线的性质与判定》教学设计
中小学教师教学设计大赛参赛稿件人教版八年级上册线段的垂直平分线的性质与判定教学设计教材分析线段的垂直平分线的概念前面已学过，本课是进一步理解线段垂直平分线的性质，学会线段的垂直平分线的做法，会做轴对称图形的对称轴。
线段的垂直平分线的性质，在计算、证明、作图中有着广泛的应用，可以简化证明,方便计算。
在本课的学习中,应注重联系线段的垂直平分线性质,提高综合运用知识的能力。
学情分析由于本课的难点是线段的垂直平分线定理和逆定理的联系，因此，需注重对定理和逆定理的题设与结论的分析，使同学们能正确理解这两个定理的关系，能根据命题的条件准确地选择定理、选择方法，从而提高解决问题的能力。
教学目标①探索掌握线段的垂直平分线性质及它们的应用。
②正确理解两条性质的关系,准确选择定理与方法,提高解决问题的能力。
③揭示数学与现实生活中实际问题的联系，从而激发学生学习数学的积极性。
教学重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．教学难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．教学准备：课件、多媒体设备、三角板、圆规课时安排：1课时教法与学法：授课法、讨论法教学过程：一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它．二、探究新知(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA ＝PB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB.证明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(二)线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法．已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：P点在AB的垂直平分线上．证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt △PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．证法三过P点作∠APB的平分线．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB外一点C.(如下图)求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线．师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？请与同伴进行交流．生：从作法的第(2)(3)步可知CD＝CE，DF＝EF，∴C，F都在AB的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)．∴CF就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点．三、课堂练习教材第62页练习第1，2题．四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线．五、布置作业1．教材习题13.1第6题．2．补充题：(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，PO⊥AB，则必有AO ＝BO，为什么？(2)如左下图，△ABC中，AC＝16 cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE 的周长为26 cm.求BC的长．(3)有A，B，C三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．板书设计线段的垂直平分线的性质与判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．用符号语言表示为：∵ PC垂直平分AB(CA=CB,PC ⊥AB), ∴ PA=PB 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上用符号语言表示为：∵PA=PB ∴ P在线段AB的垂直平分线上作图：教学反思：本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等．。
线段的垂直平分线1性质定理与判定定理
′
逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上.
它是真命题吗?
驶向胜利 的彼岸
我能行 1
逆定理
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上.
如图, ∵PA=PB(已知),
M P
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条
线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上).
开启 智慧
几何的三种语言
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
Байду номын сангаас
距离相等. 如图,
M P
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任
意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上A 的点到这条线段两个端点距离
C
B
相等).
N
驶向胜利 的彼岸
思
你能写出它的逆命题吗?
考 分
析 定理 线段垂直平分线上的点
到这条线段两个端点距离相等.
A
C
B
N
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
驶向胜利 的彼岸
随堂练习 1
挑战自我
如图,已知AB是线段CD的垂直平 分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= 7 cm;如果∠ECD=600,那 么∠EDC= 60 0.
C
AE
B
D
驶向胜利 的彼岸
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 垂直平分线的定义介绍线段垂直平分线的概念，即垂直平分线是线段所在的直线，且垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。
1.2 垂直平分线的性质性质1：线段的垂直平分线垂直于线段所在的直线。
性质2：线段的垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。
性质3：线段的垂直平分线段将线段平分成两个相等的部分。
第二章：垂直平分线的判定2.1 线段垂直平分线的判定条件判定1：如果一条直线垂直于线段所在的直线，并且通过线段的中点，这条直线是线段的垂直平分线。
判定2：如果一条直线上的每一点到线段的两个端点的距离相等，这条直线是线段的垂直平分线。
2.2 垂直平分线的判定方法方法1：使用直角三角形的性质，通过构造直角三角形来判断直线是否为垂直平分线。
方法2：使用尺规作图，通过作图来判断直线是否为垂直平分线。
第三章：垂直平分线与线段的关系3.1 垂直平分线与线段的交点介绍垂直平分线与线段的交点，即垂直平分线与线段相交的点，这个点到线段的两个端点的距离相等。
3.2 垂直平分线与线段的垂直关系介绍垂直平分线与线段的垂直关系，即垂直平分线与线段所在的直线垂直。
3.3 垂直平分线与线段的中点介绍垂直平分线与线段的中点的关系，即垂直平分线通过线段的中点，并且将线段平分成两个相等的部分。
第四章：垂直平分线的应用4.1 垂直平分线在几何作图中的应用介绍垂直平分线在几何作图中的应用，例如利用垂直平分线来作图求解几何问题。
4.2 垂直平分线在证明中的应用介绍垂直平分线在几何证明中的应用，例如利用垂直平分线的性质和判定来证明几何定理。
4.3 垂直平分线在实际问题中的应用介绍垂直平分线在实际问题中的应用，例如利用垂直平分线来解决生活中的问题。
第五章：总结与拓展5.1 垂直平分线的性质与判定的总结对垂直平分线的性质和判定进行总结，加深学生对垂直平分线的理解。
5.2 垂直平分线的拓展与应用介绍垂直平分线的拓展与应用，例如垂直平分线在平面几何中的重要作用，以及与垂直平分线相关的其他几何概念。
线段的垂直平分线的性质和判定公开课教案
线段的垂直平分线的性质和判定公开课教案第一章：引言1.1 课程导入利用多媒体展示线段的垂直平分线的实例，引导学生观察和思考。
提问：什么是线段的垂直平分线？它有什么特殊的性质和应用？1.2 学习目标让学生了解线段的垂直平分线的定义和性质。
培养学生运用线段的垂直平分线解决实际问题的能力。
第二章：线段的垂直平分线的性质2.1 性质1：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等通过实际例子，引导学生发现并证明线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
2.2 性质2：垂直平分线与线段垂直通过几何画图软件展示垂直平分线与线段的垂直关系，引导学生理解和证明。
2.3 性质3：垂直平分线上的任意一点到线段的另一端点的距离等于线段的长度的一半通过实际例子，引导学生发现并证明垂直平分线上的任意一点到线段的另一端点的距离等于线段的长度的一半。
第三章：线段的垂直平分线的判定3.1 判定1：如果一条直线垂直平分一条线段，这条直线是该线段的垂直平分线通过实际例子，引导学生理解和证明判定1。
3.2 判定2：如果一条直线与一条线段垂直且通过线段的中点，这条直线是该线段的垂直平分线通过实际例子，引导学生理解和证明判定2。
第四章：线段的垂直平分线的应用4.1 应用1：线段的长度计算引导学生运用线段的垂直平分线的性质计算线段的长度。
4.2 应用2：线段的垂直平分线与线段的交点求解引导学生运用线段的垂直平分线的性质求解线段的垂直平分线与线段的交点。
第五章：总结与拓展5.1 总结让学生回顾本节课学习的线段的垂直平分线的性质和判定，巩固知识点。
5.2 拓展引导学生思考线段的垂直平分线在实际问题中的应用，提升学生的解决问题的能力。
第六章：例题解析6.1 例题1：已知线段AB，求其垂直平分线的方程引导学生利用性质1和性质2，通过给定的线段AB的两个端点坐标，求出其垂直平分线的方程。
6.2 例题2：已知线段AB的垂直平分线方程，求线段AB的中点坐标引导学生利用判定1和判定2，通过已知的线段AB的垂直平分线方程，求出线段AB的中点坐标。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 导入：引入线段的垂直平分线的概念，让学生直观地了解垂直平分线的作用和意义。
1.2 教学内容：1.2.1 垂直平分线的定义：介绍线段的垂直平分线的定义，即垂直平分线是线段上一点到线段两端点的距离相等的直线。
1.2.2 垂直平分线的性质：引导学生探究垂直平分线的性质，如垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等，垂直平分线与线段垂直相交等。
1.3 教学活动：1.3.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，加深对垂直平分线概念的理解。
1.3.2 小组讨论：让学生分组讨论垂直平分线的性质，并找出相关的证据和证明方法。
1.4 作业布置：布置一些有关垂直平分线性质的练习题，巩固所学知识。
第二章：垂直平分线的判定2.1 教学内容：2.1.1 垂直平分线的判定方法：介绍垂直平分线的判定方法，即如果一条直线垂直平分一条线段，则该直线满足一定的条件。
2.1.2 判定条件的应用：引导学生理解和掌握判定条件，并能够运用到实际问题中。
2.2 教学活动：2.2.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，加深对垂直平分线判定方法的理解。
2.2.2 小组讨论：让学生分组讨论垂直平分线的判定条件的应用，并找出相关的证据和证明方法。
2.3 作业布置：布置一些有关垂直平分线判定的练习题，巩固所学知识。
第三章：垂直平分线的性质与判定综合应用3.1 教学内容：3.1.1 综合应用：引导学生将垂直平分线的性质与判定方法综合运用到实际问题中，解决一些与垂直平分线相关的问题。
3.1.2 问题解决：让学生尝试解决一些与垂直平分线相关的问题，如寻找线段的垂直平分线、判断直线是否为线段的垂直平分线等。
3.2 教学活动：3.2.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，理解综合应用的意义和方法。
3.2.2 小组讨论：让学生分组讨论如何综合运用垂直平分线的性质与判定方法解决实际问题，并找出相关的证据和证明方法。
垂直平分线的性质定理和判定定理(含答案)
几何专题1：线段垂直平分线的性质定理和判定定理一、知识点(抄一遍)：1.线段垂直平分线的定义：垂直并且平分一条线段的直线.2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.3.线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.二、专题检测题1.证明线段垂直平分线的性质定理.（注意：证明文字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.）2.证明线段垂直平分线的判定定理.3.定理的几何语言表示（1）线段垂直平分线的性质定理：∵，∴ .（2）线段垂直平分线的判定定理：∵，∴ .4.如图所示，CD垂直平分线段AB，AB平分∠CAD. 求证：AD∥BC.5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高.AC的垂直平分线交DC于点E，且BD=DE.求证：AB+BD=DC.6.如图，已知在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.7.如图,在△ABC中，点D为BC上一点，连接AD，点E在线段AD上，并且∠1=∠2，∠3=∠4. 求证：AD垂直平分BC.8.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F.求证：点A在DF的垂直平分线上.几何专题1：线段的垂直平分线答案1. 证明线段垂直平分线的性质定理.已知：如图，直线l 是线段AB 的垂直平分线，垂足为M ，P 为直线l 上的任意一点，连接PA ，PB.求证：PA=PB.证明：①当P 点不与M 点重合时，∵直线l 垂直平分AB ，∴∠PMA=∠PMB=90°,AM=MB.在△APM 和△BPM 中，AM=BM∠PMA=∠PMBPM=PM∴ △APM ≌△BPM （SAS ）.∴ PA=PB. ②当P 点与M 点重合时， ∵AM=MB ， ∴PA=PB. 由①②可知，该命题成立.2. 证明线段垂直平分线的判定定理.已知：如图，线段AB ，P 为平面内一点，且PA=PB.求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上.证明： ①当P 点不在线段AB 所在的直线上时， 过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C.∵PA=PB,∴△PAB 是等腰三角形.∵PC ⊥AB,∴AC=BC.∴点P 在线段AB 的垂直平分线上. ②当P 点在线段AB 所在的直线上时， ∵PA=PB, ∴点P 是线段AB 的中点. ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上. 由①②可知，该命题成立. 3. 定理的几何语言表示（1）线段垂直平分线的性质定理：∵直线l 垂直平分AB ，∴AP=BP.（2）线段垂直平分线的判定定理：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.4.如图所示，CD垂直平分线段AB，AB平分∠CAD. 求证：AD∥BC.证明：∵CD垂直平分线段AB，∴AC=BC，∴∠CAB=∠B.∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB，∴∠B=∠DAB，∴AD∥BC.5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高.AC的垂直平分线交DC于点E，且BD=DE.求证：AB+BD=DC.证明：连接AE.∵AD是BC边上的高，BD=DE∴AD垂直平分BE，∴AB=AE.∵点E在AC的垂直平分线上，∴AE=CE，∴AB=CE，∴AB+BD=CE+DE，即AB+BD=DC.6.如图，已知在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.证明：连接AP,BP,CP.∵点P在AB的垂直平分线上，∴AP=BP同理可证：BP=CP∴AP=CP∴点P在AC的垂直平分线上.7.如图,在△ABC中，点D为BC上一点，连接AD，点E在线段AD上，并且∠1=∠2，∠3=∠4. 求证：AD垂直平分BC.证明：∵∠1=∠2，∴BE=CE.∴点E在线段BC的垂直平分线上.同理可证：点A在线段BC的垂直平分线上∴AE垂直平分BC.即AD垂直平分BC.8.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F.求证：点A在DF的垂直平分线上.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵DE⊥BC，∴∠FEC=∠FEB=90°，∴∠B+∠BDE=90°，∠C+∠F=90°.∴∠BDE=∠F.∵∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA.∴AF=AD，∴点A在DF的垂直平分线上.。