角平分线的性质定理和判定

第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：自我评测知识点掌握情况备注非常好一般有待提高角平分线的定义 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 角平分线的作图第三部分：例题剖析例1. 已知：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ，（1）求证：BD+DE=AC ． （2）求△DBE 的周长．分析：（1）因为AC=BC=BD+CD ，只要证明CD=DE 即可，又因为AD 平分∠BAC ，则CD=DE ； （2）由（1）可知AC=BD+DE ，由CD=DE ，AD=AD ，∠C=∠AED=90°，可证△ACD ≌△AED ，则AC=AE ，所以BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB ． 解答：解：（1）∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE ，∴BC=BD+CD=BD+DE ， AC=BC ， ∴AC=BD+DE ；（2）∵CD=DE ，AD=AD ，∠C=∠AED=90°， ∴△ACD ≌△AED ，课题 11-4角平分线的性质定理和判定 学生姓名年级八年级日期2012.9.22冯晓娟∴AC=AE，∵AC=BD+DE，∴BD+DE=AE，∴△BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．分析：首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．解答：证明：作ME⊥AD，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC 的面积是多少？．分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以OD ，然后列式进行计算即可求解．解答：解：如图，连接OA ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ， ∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，∵△ABC 的周长是22，OD ⊥BC 于D ，且OD=3， ∴S △ABC =21×22×3=33． 故答案为：33．第四部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°． ∵AO 平分∠BAC ， ∴∠1=∠2．在△AOD 和△AOE 中，∠ADC ＝∠AEB∠1＝∠2OA ＝OA，∴△AOD ≌△AOE （AAS ）．∴OD=OE ．在△BOD 和△COE 中，∠BDC ＝∠CEBOD ＝OE ∠BOD ＝∠COE，∴△BOD ≌△COE （ASA ）． ∴OB=OC ．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC ， 求证：∠PCB+∠BAP=180º过点P 作PE ⊥BA 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF ，然后利用HL 证明Rt △PEA 与Rt △PFC 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB ，再根据平角的定义解答．解答：证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 于E ，∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于F ， ∴PE=PF ，∠PEA=∠PFB=90°， 在Rt △PEA 与Rt △PFC 中PE ＝PF∴Rt △PEA ≌Rt △PFC （HL ）， ∴∠PAE=∠PCB ， ∵∠BAP+∠PAE=180°， ∴∠PCB+∠BAP=180°．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果21NPF CA首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．解答：（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°-（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中DM＝DMEM＝CM∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．点评：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式练习】1.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN即可．解答：证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ，P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN，∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线．点评：本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．用此性质证明它的逆定理成立．角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．正确作出辅助线是解答本题的关键例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．过点D作DF⊥BC于点F．根据角平分线的性质，得DE=DF=2，再根据三角形的面积公式分别求得△ABD和△BCD的面积即可．解答：解：过点D作DF⊥BC于点F．∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DF=DE=2．∴△ABC的面积为12(9×2+6×2)＝15cm2【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到12BF•DM=12DN•CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．解答：证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面积为：12BF•DM，△DCE的面积为：12DN•CE，∵△DCE和△DBF的面积相等，∴12BF•DM=12DN•CE，∵CE=BF，∴DM=DN，∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）例4.如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1：10 000，用尺规作图）．（2）求出仓库G到铁路的实际距离。

（1）利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上；（2）利用图上距离与实际距离的比值进行计算即可．解答：解：（1）∵其仓库G 在A 区，到公路和铁路距离相等，∴利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G 在∠NOQ 的平分线上，再用刻度尺量出5cm 即可得出G 点．（2）仓库到铁路的图上距离为5cm ， 则实际距离为5×10 000=50 000cm=500m ． 答：仓库到铁路的实际距离为500m ．【变式练习】如图，直线123,,l l l 表示三条互相交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到 三条公路的距离相等，试问： （1） 可选择的地点有几处？ （2） 你能画出塔台的位置吗？第五部分：思维误区一、忽视“垂直”条件例1.已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B=∠C ，BF=CF 。

求证：AF 为∠BAC 的平分线。

错误解法：线上）距离相等的点在角平分的平分线上（到角两边在点CAB F BFCF ∠∴=正确解法： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知） ∴∠CDF=∠BEF=90°∵∠DFC=∠BFE(对顶角相等)，BF=CF(已知) ∴△DFC ≌△EFB(S.S.A.)∴DF=EF(全等三角形对应边相等) ∵FE ⊥AB,FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF 为∠BAC 的平分线错因：在应用角平分线定理及逆定理时遗漏了“垂直” 的条件。

（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。

（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。

常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。

（3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．A 组一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分） 1．三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点2．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝12cm ，则△DBE 的周长为（）A 、12cmB 、10cmC 、14cmD 、11cmDC EB3．如图2所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线，PM ⊥BD ，PN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，那么PM 与PN 的关系是（）A.PM ＞PNB.PM ＝PNC.PM ＜PND.无法确定4．如图3所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠A 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )①AD 平分∠EDF ； ②AE=AF ； ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等 ④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5． 如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，P A ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是（ ）． A ．AD =CP B ．△ABP ≌△CBP C ．△ABD ≌△CBD D ．∠ADB =∠CDB ． 二、精心填一填，你会轻松（每题6分，共30分）6．在直角△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD=8，则点D 到斜边AB 的距离等于_____________．7．如图5所示，已知点C 是∠AOB 平分线上的一点，点P 、P ′分别在边OA 、OB 上，如果要得到OP ＝OP ′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为___________________．①∠OCP ＝∠OCP ′；②∠OPC ＝∠OP ′C ；③PC ＝P ′C ；④PP ′⊥OC ． 8．如图，已知BO 平分CBA ∠，CO 平分ACB ∠，MN BC ∥，且过点O ，若12AB =，14AC =，则AMN △的周长是．D M ACNPE图2图3ABC DP9．如图，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，BC ＝8cm ，BD ＝5cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．10．如图所示：⑴若∠BAD ＝∠CAD ，且BD ⊥AB 于B ，DC ⊥AC 于C ，则BD ＝CD ，⑵若BD ⊥AB 于B ，DC ⊥AC 于C ，且BD ＝CD ，则∠BAD ＝∠CAD ，试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A 、B 、C 三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处． 三、细心做一做，你会成功（共40分）11．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.12．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．13． 先作图，再证明．（1）在所给的图形（如图）中完成下列作图（保留作图痕迹） ①作ACB ∠的平分线CD ，交AB 于点D ； ②延长BC 到点E ，使CE CA =，连结AE ． （2）求证：CD AE ∥．ＢＡ ＣＯＡＭＢＣＮＢＤＡＣEBDCAAFC E14、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .B 组一、选择题1、△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（ ） A ．2cm ，2cm ，2cm ； B ． 3cm ，3cm ，3cm ； C ． 4cm ，4cm ，4cm ； D ． 2cm ，3cm ，5cm2、如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A 、1处B 、2处C 、3处D 、4处 l 2l 1l 33、如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等4、（2009·温州中考）如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A.PA PB =B.PO 平分APB ∠C.OA OB =D.AB 垂直平分OPDCAO5、(2009·牡丹江中考)尺规作图作AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 二、填空题6、（2009·厦门中考）如图，在ΔABC 中，∠C=90°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D 到直线AB 的距离是_______厘米。