【精编精校卷】2020-2021学年安徽省合肥一六八中学高一下学期期中数学试题(解析版)

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2021-2022学年安徽省合肥市六校联盟高一下学期期中考试数学试题(解析版)

安徽省合肥市六校联盟2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确〖答案〗，请把正确〖答案〗涂在答题卡上）1．已知i 为虚数单位，则2(1i)-的值等于( ) A ．22i -B ．22i +C ．2i -D ．2i2．如图，在ABC ∆中，4BC =，AB AC ==ABC ∆的水平放置直观图为 △A B C '''，则△A B C '''的面积为( )AB ．C ．D ．3．圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为( )AB ．4C ．3D ．24．下列说法：（1）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；（2）棱锥至少有6条棱；（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；（4）以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．正确的个数有( )个 A ．0B ．1C ．2D ．35．已知向量(4,2)a =，(0,5)b =，则向量b 在向量a 上的投影向量为( ) A ．(2,1)B ．(2,1)--C ．20(9，10)9D ．(6,3)6．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，直线AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直7．已知ABC ∆中，3AB AC ==，BC =现以BC 为旋转轴旋转360︒得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( ) A ．27πB ．27π2C ．27π8D ．27π48．如图，在四边形ABCD 中，3BC =，CD DA ==，0CB CD ⋅=，6CD DA ⋅=，E ，F 分别为边BC ，CD 上的动点，且2EF =，则AE AF ⋅的最小值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．在复平面内有一个平行四边形OABC ，点O 为坐标原点，点A 对应的复数为11i z =+，点B 对应的复数为212i z =+，点C 对应的复数为3z ，则下列结论正确的是( ) A ．点C 位于第二象限 B ．132z z z +=C ．13||||z z AC -=D ．132z z z ⋅=10．已知向量(1,1)a =-，(2,)b λ=，则下列叙述不正确的是( ) A ．若a 与b 的夹角为锐角，则2λ>B ．若a 与b 共线，则2λ=C ．若2λ=，则a 与b 垂直D ．若2λ<，则a 与b 的夹角为钝角11．已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论正确的是( )A ．该多面体的体积为3B ．该多面体的外接球的表面积为8πCD ．该多面体的表面积为812．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，P 是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DPB ．DPC ．1AP PC +D ．1AP PC +三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在题中的横线上） 13．若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，则这个正四棱台的体积为．14．已知复数z 的共轭复数是z ，满足(12(z +=i 为虚数单位），则z 的虚部为． 15．设21a +，a ，21a -为钝角三角形的三边，则a 范围为． 16．已知,a b 是两个平面向量，||22b =，且对任意t ∈R ，恒有||||b ta b a --，则||||a b a -+的最大值是．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其它题每题12分，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量(2,2)a =，||2b =，且(2)8a b b +⋅=．（1）设向量a 与b 的夹角为θ，求θ的值；（2）若()()a kb b a +⊥-，求实数k 的值．18．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AD =，5AB =，14AA =，1DG BE ==，2CF =．（1）求平面四边形AEFG 的面积；（2）求几何体ABCDEFG 的体积．19．（12分）如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为)∆，现修成ABC草坪，图中MN把草坪分成面积相等的两部分，点M在AB上，点N在AC上．（1）若75AM=米，求AN长；（2）如果MN是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管MN最短，请确定点M，N的位置，并求MN的最小值．20．（12分）已知圆锥的底面半径6h=．R=，高8（1）求圆锥的表面积和体积；（2）如图若圆柱O O'内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值．21．（12分）如图，在ABC ∆中，已知5AB =，4AC =，且16AB AC ⋅=，20DC DB +=，AE EB =．（1）求AD AC ⋅；（2）设AD 与CE 交于点F ，求DFE ∠的余弦值大小．22．（12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知2sin cos sin A B C =，且边BC 上的中线长为4．（1）证明：A B =；（2）求ABC ∆面积的最大值．▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确〖答案〗，请把正确〖答案〗涂在答题卡上）1．〖解析〗化简可得2(1)i -212i i 2i =-+=-. 〖答案〗C2．〖解析〗在ABC ∆中，4BC =，AB AC ==，所以底边BC 上的高为4AO ==，所以ABC ∆的面积为14482ABC S ∆=⨯⨯=，所以ABC ∆水平放置的直观图△A B C '''的面积为8A B C ABC S '''∆=== 〖答案〗B3．〖解析〗圆锥的母线长是4，侧面积是4π，即2144π2α⨯⨯=，侧面展开图的圆心角为π2α=；所以12π42π4r ⨯⨯=⋅，解得底面圆半径为1r =，该圆锥的高为PO =〖答案〗A4．〖解析〗对于（1）：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定为棱柱，例如两个斜棱柱扣到一块构成的几何体就不叫棱柱，故（1）错误；对于（2）：三棱锥中有6条棱，故（2）正确；对于（3）：有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，与棱台的定义不符，故（3）错误；对于（4）：直角三角形以斜边为轴旋转得到的几何体为两个倒扣的圆锥，故（4）错误．〖答案〗B5．〖解析〗向量(4,2)a =，(0,5)b =，则向量b 在向量a 上的投影为40||cos ||16a b b a θ⋅⨯+===所以向量b 在向量a (4，2)(2=，1)．〖答案〗A6．〖解析〗由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出AB 与CD 异面；如图，设该正方体一顶点为E ，连接CE ，DE ，则//AB CE ； DCE ∴∠为异面直线AB ，CD 的夹角，并且该角为60︒；AB ∴，CD 异面但不垂直．〖答案〗D7．〖解析〗如图所示，旋转体的轴截面为边长为3的菱形，O 为内切球的球心，因为3,AB AC BC ===所以22299271cos 22332AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，因为0180BAC ︒<∠<︒，所以120BAC ∠=︒，所以30ABC ACB ∠=∠=︒，所以内切球的半径sin30cos30r AC =⋅︒⋅︒=，故227π4π4S =⨯⨯=．〖答案〗D8．〖解析〗设EF 的中点为M ，连接CM ，0CB CD ⋅=，即CE CF ⊥， 1.CM ∴=可得M 的轨迹是以C 为圆心，以1为半径的一段圆弧，连接AC ，AM ，则2222()||||212121236AC DC DA DC DA DC DA =-=+-⋅=++=，∴||6AC =．22111()()224AE AF AM EF AM EF AM EF ⋅=-⋅+=-， ||||15AM AC -=，∴1254244AE AF ⋅-⨯=，即AE AF ⋅的最小值为24．〖答案〗C二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．〖解析〗如图，由题意，(0,0)O ，(1,1)A ，(1,2)B ，OABC 为平行四边形，则(0,1)C ，3i z ∴=，点C 位于虚轴上，故A 错误；1321i i 12i z z z +=++=+=，故B 正确； 13|||1i i |1||z z AC -=+-==，故C 正确； 132(1i)i 1i z z z =+=-+≠，故D 错误．〖答案〗BC10．〖解析〗向量(1,1)a =-，(2,)b λ=，若a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>，即20λ-+>，求得2λ>，故A 正确；若a 与b 共线，则211λ=-，则2λ=-，故B 错误；若2λ=，20a b λ⋅=-+=，故a 与b 垂直，故C 正确；若2λ<，则20a b λ⋅=-+<，则a 与b 的夹角为钝角或平角180︒，故D 错误．〖答案〗BD11．〖解析〗如图所示，该多面体是每个面都是正三角形的正八面体，其中四棱锥P ABCD - 和四棱锥Q ABCD - 都是正四棱锥，所以四边形ABCD 是正方体，且PO ⊥平面ABCD ，1223P ABCD ABCD V V S PO -==⋅⋅⋅八面体12223=⋅⋅⋅=，故A 正确；连接AB ，CD ，PQ ，三条直线相交于点O ，因为OA OB OC OD OP OQ ======所以O故24π8πS =⋅=外接球．故B 正确；正八面体内切球的半径即点O 到平面ABP 的距离，设为r ，则221112332O ABP P AOB V V r --=⇔⋅=⋅⋅r =，故34π3V =⋅=内切球C 正确；2882ABP S S ∆===八面体，故D 错误．〖答案〗ABC12．〖解析〗显然当1DP A B ⊥时，DP 取得最小值，在△1A BD中，11A B A D ==，BD，11322A BDS∴=， D ∴到直线1A B的距离为112A BDSA B=，即DP ，故A 正确，B 错误；将△11A BC 绕1A B 旋转到平面1ABA 上，如图所示：则1AB =，12AA =，11A B BC ==，11A C =1cos ABA ∴∠=114cos 5A BC ∠==，1sin ABA ∠，113sin 5A BC ∠=，143cos 55ABC ∴∠==1AP PC ∴+的最小值为1AC ==，故C 错误，D 正确．〖答案〗AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在题中的横线上）13．〖解析〗上底面的对角线长为3，=所以正四棱台的体积为1(416)3⨯．〖答14．〖解析〗由(12z +=，得12z =====-，∴12z =+，即z ．〖答 15．〖解析〗由题意得：21a +为最大边，所对的角为钝角，设为α， 2222(21)(21)8cos 02(21)2(21)a a a a a a a a a α+--+-∴==<--，2(21)0a a ->，280a a ∴-<，解得08a <<，又2121a a a +->+，2a ∴>，则a 的范围为(2,8)．〖答案〗(2,8)16．〖解析〗对任意t R ∈，恒有||||b ta b a --，∴向量b 的终点到向量a 所在直线的距离最短．∴()a b a ⊥-．设||a x =，||b a y -=，则2228x y +==，∴2||||84a b a x y xyx -+=+=++=，当且仅当“x y =”时“=”成立．∴最大值为4．〖答案〗4四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其它题每题12分，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：（1）设向量a 与b 的夹角为θ，向量(2,2)a =，||2b =，且2(2)82222cos 4a b b a b b θ+⋅==⋅+=⨯⨯+，1cos 2θ∴=，π3θ∴=．（2）若()()a kb b a +⊥-，则22()()(1)(1)22cos 4403a kb b a k a b a kb k k π+-=-⋅-+=-⨯⨯⨯-+=，1k ∴=．18．解：（1）在平面11CC D D 中，过G 作1GM C C ⊥，由1DG =，2CF =，可得1FM =，在Rt GMF ∆中，求得GF ==在Rt ABE ∆中，求得AE =//AE GF 且AE GF =，∴四边形AGFE 为平行四边形．又AG ==AF =，在AGF ∆中，可得1cos26AGF ∠=-，sin AGF ∴∠=∴平面四边形AEFG 的面积sin S AG GF AGF =⋅⋅∠= （2）几何体ABCDEFG 的体积112(12)552532A DCFG A BCFE V V V --=+==⨯⨯⨯+⨯⨯=．19．解：（1）由75AM =，1111010sin 60222AMN ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯⨯︒=，设AN a =，则175sin602AMN S a ∆=⨯⨯⨯︒=2003a ∴=，即AN 的长为2003．（2）设MN y =，AM x =，在AMN ∆中由余弦定理可得2222cos60y x AN xAN =+-︒，又1sin 602AMN S xAN ∆=︒=5000AN x ∴=，2225000()5000y x x ∴=+-，500025000y ∴=⨯=当且仅当225000()x x=，即x =时取等号；即当M ，N 分别在AB ，AC 上距离A 点MN 距离最小，最小值为 20．解：（1）圆锥的底面半径6R =，高8H =，∴圆锥的母线长10L ==，则表面积2ππ60π36π96πS RL R =+=+=，体积21π96π3V R H ==．（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中8SO =，6OA OB ==，(08)OK h h =<<，设圆桂底面半径为r ，则868r h -=，即3(8)4r h =-．设圆柱的侧面积为233π2π2π(8)(8)42S r h h h h h =⋅=⋅-⋅=-+．当4h =时，S 有最大值为24π． 21．解：（1）因为CB AB AC =-，所以()16160CB AC AB AC AC AB AC AC AC ⋅=-⋅=⋅-⋅=-=，所以CB AC ⊥，因为20DC DB +=，所以13AD AC CD AC CB =+=+，所以2211()1633AD AC AC CB AC AC CB AC AC ⋅=+⋅=+⋅==．（2）因为AE EB =，所以1122CE CA CB =+，而13AD AC CB =+，所以221111113()()223262CE AD CA CB AC CB CA CB ⋅=++=-+=-，所以132cos 5||||2CE AD DFE CE AD -⋅∠=== 22．（1）证明：因为2sin cos sin sin()sin cos sin cos A B C A B A B B A ==+=+，所以sin cos sin cos 0A B B A -=，即sin()0A B -=，所以A B =；（2）解：由（1）a b =，取BC 的中点D ，ABD ∆中，由余弦定理得，222()2cos 22a ac AD AD ADB =+-⋅∠，ACD ∆中，由余弦定理得，222()2()cos 22a ab AD AD ADC =+-⋅∠，因为πADB ADC ∠+∠=，两式相加得，222222a cb AD +=+，即22264ac +=，由2032c <<，226420a c =->， 21128322433ABCc S ∆==⨯=，所以ABC ∆面积的最大值323．安徽省合肥市六校联盟2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确〖答案〗，请把正确〖答案〗涂在答题卡上）1．已知i 为虚数单位，则2(1i)-的值等于( ) A ．22i -B ．22i +C ．2i -D ．2i2．如图，在ABC ∆中，4BC =，AB AC ==ABC ∆的水平放置直观图为 △A B C '''，则△A B C '''的面积为( )AB ．C ．D ．3．圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为( )AB ．4C ．3D ．24．下列说法：（1）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；（2）棱锥至少有6条棱；（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；（4）以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．正确的个数有( )个 A ．0B ．1C ．2D ．35．已知向量(4,2)a =，(0,5)b =，则向量b 在向量a 上的投影向量为( ) A ．(2,1)B ．(2,1)--C ．20(9，10)9D ．(6,3)6．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，直线AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直7．已知ABC ∆中，3AB AC ==，BC =现以BC 为旋转轴旋转360︒得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( ) A ．27πB ．27π2C ．27π8D ．27π48．如图，在四边形ABCD 中，3BC =，CD DA ==，0CB CD ⋅=，6CD DA ⋅=，E ，F 分别为边BC ，CD 上的动点，且2EF =，则AE AF ⋅的最小值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．在复平面内有一个平行四边形OABC ，点O 为坐标原点，点A 对应的复数为11i z =+，点B 对应的复数为212i z =+，点C 对应的复数为3z ，则下列结论正确的是( ) A ．点C 位于第二象限 B ．132z z z +=C ．13||||z z AC -=D ．132z z z ⋅=10．已知向量(1,1)a =-，(2,)b λ=，则下列叙述不正确的是( ) A ．若a 与b 的夹角为锐角，则2λ>B ．若a 与b 共线，则2λ=C ．若2λ=，则a 与b 垂直D ．若2λ<，则a 与b 的夹角为钝角11．已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论正确的是( )A B ．该多面体的外接球的表面积为8πCD ．该多面体的表面积为812．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，P 是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DPB ．DPC ．1AP PC +D ．1AP PC +三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在题中的横线上） 13．若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，则这个正四棱台的体积为．14．已知复数z 的共轭复数是z ，满足(12(z +=i 为虚数单位），则z 的虚部为． 15．设21a +，a ，21a -为钝角三角形的三边，则a 范围为． 16．已知,a b 是两个平面向量，||22b =，且对任意t ∈R ，恒有||||b ta b a --，则||||a b a -+的最大值是．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其它题每题12分，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量(2,2)a =，||2b =，且(2)8a b b +⋅=．（1）设向量a 与b 的夹角为θ，求θ的值；（2）若()()a kb b a +⊥-，求实数k 的值．18．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AD =，5AB =，14AA =，1DG BE ==，2CF =．（1）求平面四边形AEFG 的面积；（2）求几何体ABCDEFG 的体积．19．（12分）如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为)∆，现修成ABC草坪，图中MN把草坪分成面积相等的两部分，点M在AB上，点N在AC上．（1）若75AM=米，求AN长；（2）如果MN是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管MN最短，请确定点M，N的位置，并求MN的最小值．20．（12分）已知圆锥的底面半径6h=．R=，高8（1）求圆锥的表面积和体积；（2）如图若圆柱O O'内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值．21．（12分）如图，在ABC ∆中，已知5AB =，4AC =，且16AB AC ⋅=，20DC DB +=，AE EB =．（1）求AD AC ⋅；（2）设AD 与CE 交于点F ，求DFE ∠的余弦值大小．22．（12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知2sin cos sin A B C =，且边BC 上的中线长为4．（1）证明：A B =；（2）求ABC ∆面积的最大值．▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确〖答案〗，请把正确〖答案〗涂在答题卡上）1．〖解析〗化简可得2(1)i -212i i 2i =-+=-. 〖答案〗C2．〖解析〗在ABC ∆中，4BC =，AB AC ==，所以底边BC 上的高为4AO ==，所以ABC ∆的面积为14482ABC S ∆=⨯⨯=，所以ABC ∆水平放置的直观图△A B C '''的面积为8A B C ABC S '''∆=== 〖答案〗B3．〖解析〗圆锥的母线长是4，侧面积是4π，即2144π2α⨯⨯=，侧面展开图的圆心角为π2α=；所以12π42π4r ⨯⨯=⋅，解得底面圆半径为1r =，该圆锥的高为PO =〖答案〗A4．〖解析〗对于（1）：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定为棱柱，例如两个斜棱柱扣到一块构成的几何体就不叫棱柱，故（1）错误；对于（2）：三棱锥中有6条棱，故（2）正确；对于（3）：有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，与棱台的定义不符，故（3）错误；对于（4）：直角三角形以斜边为轴旋转得到的几何体为两个倒扣的圆锥，故（4）错误．〖答案〗B5．〖解析〗向量(4,2)a =，(0,5)b =，则向量b 在向量a 上的投影为40||cos ||16a b b a θ⋅⨯+===所以向量b 在向量a (4，2)(2=，1)．〖答案〗A6．〖解析〗由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出AB 与CD 异面；如图，设该正方体一顶点为E ，连接CE ，DE ，则//AB CE ； DCE ∴∠为异面直线AB ，CD 的夹角，并且该角为60︒；AB ∴，CD 异面但不垂直．〖答案〗D7．〖解析〗如图所示，旋转体的轴截面为边长为3的菱形，O 为内切球的球心，因为3,AB AC BC ===所以22299271cos 22332AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，因为0180BAC ︒<∠<︒，所以120BAC ∠=︒，所以30ABC ACB ∠=∠=︒，所以内切球的半径sin30cos30r AC =⋅︒⋅︒=，故227π4π4S =⨯⨯=．〖答案〗D8．〖解析〗设EF 的中点为M ，连接CM ，0CB CD ⋅=，即CE CF ⊥， 1.CM ∴=可得M 的轨迹是以C 为圆心，以1为半径的一段圆弧，连接AC ，AM ，则2222()||||212121236AC DC DA DC DA DC DA =-=+-⋅=++=，∴||6AC =．22111()()224AE AF AM EF AM EF AM EF ⋅=-⋅+=-， ||||15AM AC -=，∴1254244AE AF ⋅-⨯=，即AE AF ⋅的最小值为24．〖答案〗C二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．〖解析〗如图，由题意，(0,0)O ，(1,1)A ，(1,2)B ，OABC 为平行四边形，则(0,1)C ，3i z ∴=，点C 位于虚轴上，故A 错误；1321i i 12i z z z +=++=+=，故B 正确； 13|||1i i |1||z z AC -=+-==，故C 正确； 132(1i)i 1i z z z =+=-+≠，故D 错误．〖答案〗BC10．〖解析〗向量(1,1)a =-，(2,)b λ=，若a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>，即20λ-+>，求得2λ>，故A 正确；若a 与b 共线，则211λ=-，则2λ=-，故B 错误；若2λ=，20a b λ⋅=-+=，故a 与b 垂直，故C 正确；若2λ<，则20a b λ⋅=-+<，则a 与b 的夹角为钝角或平角180︒，故D 错误．〖答案〗BD11．〖解析〗如图所示，该多面体是每个面都是正三角形的正八面体，其中四棱锥P ABCD - 和四棱锥Q ABCD - 都是正四棱锥，所以四边形ABCD 是正方体，且PO ⊥平面ABCD ，1223P ABCD ABCD V V S PO -==⋅⋅⋅八面体12223=⋅⋅⋅=，故A 正确；连接AB ，CD ，PQ ，三条直线相交于点O ，因为OA OB OC OD OP OQ ======所以O故24π8πS =⋅=外接球．故B 正确；正八面体内切球的半径即点O 到平面ABP 的距离，设为r ，则221112332O ABP P AOB V V r --=⇔⋅=⋅⋅r =，故34π3V =⋅=内切球C 正确；2882ABP S S ∆===八面体，故D 错误．〖答案〗ABC12．〖解析〗显然当1DP A B ⊥时，DP 取得最小值，在△1A BD中，11A B A D ==，BD，11322A BDS∴=， D ∴到直线1A B的距离为112A BDSA B=，即DP ，故A 正确，B 错误；将△11A BC 绕1A B 旋转到平面1ABA 上，如图所示：则1AB =，12AA =，11A B BC ==，11A C =1cos ABA ∴∠=114cos 5A BC ∠==，1sin ABA ∠，113sin 5A BC ∠=，143cos 55ABC ∴∠==1AP PC ∴+的最小值为1AC ==，故C 错误，D 正确．〖答案〗AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在题中的横线上）13．〖解析〗上底面的对角线长为3，=所以正四棱台的体积为1(416)3⨯．〖答14．〖解析〗由(12z +=，得12z =====-，∴12z =+，即z ．〖答 15．〖解析〗由题意得：21a +为最大边，所对的角为钝角，设为α， 2222(21)(21)8cos 02(21)2(21)a a a a a a a a a α+--+-∴==<--，2(21)0a a ->，280a a ∴-<，解得08a <<，又2121a a a +->+，2a ∴>，则a 的范围为(2,8)．〖答案〗(2,8)16．〖解析〗对任意t R ∈，恒有||||b ta b a --，∴向量b 的终点到向量a 所在直线的距离最短．∴()a b a ⊥-．设||a x =，||b a y -=，则2228x y +==，∴2||||84a b a x y xyx -+=+=++=，当且仅当“x y =”时“=”成立．∴最大值为4．〖答案〗4四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其它题每题12分，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：（1）设向量a 与b 的夹角为θ，向量(2,2)a =，||2b =，且2(2)82222cos 4a b b a b b θ+⋅==⋅+=⨯⨯+，1cos 2θ∴=，π3θ∴=．（2）若()()a kb b a +⊥-，则22()()(1)(1)22cos 4403a kb b a k a b a kb k k π+-=-⋅-+=-⨯⨯⨯-+=，1k ∴=．18．解：（1）在平面11CC D D 中，过G 作1GM C C ⊥，由1DG =，2CF =，可得1FM =，在Rt GMF ∆中，求得GF ==在Rt ABE ∆中，求得AE =//AE GF 且AE GF =，∴四边形AGFE 为平行四边形．又AG ==AF =，在AGF ∆中，可得1cos26AGF ∠=-，sin AGF ∴∠=∴平面四边形AEFG 的面积sin S AG GF AGF =⋅⋅∠= （2）几何体ABCDEFG 的体积112(12)552532A DCFG A BCFE V V V --=+==⨯⨯⨯+⨯⨯=．19．解：（1）由75AM =，1111010sin 60222AMN ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯⨯︒=，设AN a =，则175sin602AMN S a ∆=⨯⨯⨯︒=2003a ∴=，即AN 的长为2003．（2）设MN y =，AM x =，在AMN ∆中由余弦定理可得2222cos60y x AN xAN =+-︒，又1sin 602AMN S xAN ∆=︒=5000AN x ∴=，2225000()5000y x x ∴=+-，500025000y ∴=⨯=当且仅当225000()x x=，即x =时取等号；即当M ，N 分别在AB ，AC 上距离A 点MN 距离最小，最小值为 20．解：（1）圆锥的底面半径6R =，高8H =，∴圆锥的母线长10L ==，则表面积2ππ60π36π96πS RL R =+=+=，体积21π96π3V R H ==．（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中8SO =，6OA OB ==，(08)OK h h =<<，设圆桂底面半径为r ，则868r h -=，即3(8)4r h =-．设圆柱的侧面积为233π2π2π(8)(8)42S r h h h h h =⋅=⋅-⋅=-+．当4h =时，S 有最大值为24π． 21．解：（1）因为CB AB AC =-，所以()16160CB AC AB AC AC AB AC AC AC ⋅=-⋅=⋅-⋅=-=，所以CB AC ⊥，因为20DC DB +=，所以13AD AC CD AC CB =+=+，所以2211()1633AD AC AC CB AC AC CB AC AC ⋅=+⋅=+⋅==．（2）因为AE EB =，所以1122CE CA CB =+，而13AD AC CB =+，所以221111113()()223262CE AD CA CB AC CB CA CB ⋅=++=-+=-，所以132cos 5||||2CE AD DFE CE AD -⋅∠=== 22．（1）证明：因为2sin cos sin sin()sin cos sin cos A B C A B A B B A ==+=+，所以sin cos sin cos 0A B B A -=，即sin()0A B -=，所以A B =；（2）解：由（1）a b =，取BC 的中点D ，ABD ∆中，由余弦定理得，222()2cos 22a ac AD AD ADB =+-⋅∠，ACD ∆中，由余弦定理得，222()2()cos 22a ab AD AD ADC =+-⋅∠，因为πADB ADC ∠+∠=，两式相加得，222222a cb AD +=+，即22264ac +=，由2032c <<，226420a c =->， 21128322433ABCc S ∆==⨯=，所以ABC ∆面积的最大值323．。

安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若i是虚数单位，则复数i i−1的虚部是（）A．−i B．-1 C．i D．12．△ABC中，sin2A+sin2C=sin2B，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．正△ABC的边长为1，则AB⋅BC+BC⋅CA+CA⋅AB=（）A．32B．−32C．12D．−124．在△ABC中，“sin A>sin B”是“A>B”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．黄鹤楼地处蛇山之㠌､濒临万里长江，是武汉市地标建筑.已知黄鹤楼的高度CD约为303米，在其一侧有一座建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处，测得楼顶A､楼顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°.则地面上两点M,B 之间的距离约为（）A．203+1米B．303+1米C．303−1米D．203−1米6．如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度v1的大小为10km/h，水流的速度v2的大小为4km/h，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头B处，其航行速度的大小（）A．221km/h B．237km/h C．210km/h D．14km/h7．一个圆锥内切球的表面积是4π3，其侧面展开图是半径为R的半圆，则R=（）A．12B．32C．1 D．28．已知向量a=cos x,sin x,b=cos x,−sin x，且x∈0,π2，则函数f x=a⋅b−114a+b的最小值是（）A．0 B．−1C．−92D．−15332二、多选题9．设a,b都是非零向量，则下列命题中正确的是（）A．若a,b的夹角为钝角，则a⋅b<0B．若 a−b= a+b，则a⊥bC．若a⋅b>0，则a,b的夹角为锐角D．若a=2b，则a+b与a−3b同向10．设z1,z2是非零复数，z1,z2是其共轭复数，则下列结论中正确的是（）A．z1+z2=z1+z2B．z1⋅z2=z1⋅z2C．z1+z2=z1+z2D．z1⋅z2=z1⋅z211．已知点O是△EFG的外心，点T是边FG的中点，则下列结论中正确的是（）A． OF+OG⋅FG=0B．OE⋅EF=−12EF2C．OE+OF+OG=0D．EF+2OE=2OT+GE三、填空题12．锐角△ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a边在c边上的射影长等于△ABC的外接圆半径R，则sin A cos B的值是.13．如图，在三棱锥A−BCD中，AC⊥BD，点E在棱AB上，点F在棱CD上，且AEEB =CFFD，设α表示EF与AC所成的角，β表示EF与BD所成的角，则α+β的值为.14．在圆内接四边形ABCD中，已知AB=2,AC平分∠BAD，且AC⋅BD=52，则边AD的长为.四、解答题15．在△ABC中，三内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，且sin B+C5=a sin Bb.(1)求角A的大小；(2)若△ABC是锐角三角形，求ab的取值范围.16．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1,∠BAC=120∘.(1)若△ABC外接圆的半径是1，求直三棱柱ABC−A1B1C1的表面积；(2)若直三棱柱ABC−A1B1C1外接球的体积是4010π3，求此直三棱柱的高.17．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，其外接圆的半径是1，且向量m= 2sin A−2sin C,sin B，n=sin A+sin C,b−2a 互相垂直.(1)求角C的大小；(2)求△ABC面积的最大值.18．在△ABC中，中线AD和中线BE相交于点G，点F在边BC上.(1)若AF=14AB+34AC，证明：点F是边BC的靠近点C的四等分点；(2)证明：AG+BG+CG=0；(3)若56sin A⋅AG+40sin B⋅BG+35sin C⋅CG=0，求△ABC中最大角与最小角的和. 19．某公园计划改造一块四边形ABCD区域建设草坪（如图），其中AB=2百米，BC=1百米，AD=CD,AD⊥CD.草坪内需要规划4条人行道DM,DN,EN,EM，以及两条排水沟AC,BD.其中M,N,E分别是边BC,AB,AC的中点.，求排水沟BD的长；(1)若∠ABC=π2(2)设∠ABC=α,4条人行道总长度DM+DN+EN+EM记为fα. （i）求出函数fα的表达式；（ii）当α取多少时，fα有最大值，并求出这个最大值.。

合肥市第六中学、第八中学、168中学等校2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析(A卷)

安徽省合肥市第六中学、第八中学、168中学等校2021-2022学年高一下学期期中数学试题（A 卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．复数1iz i-=（其中i 是虚数单位）的虚部是（）. A ．1B ．iC ．1-D ．i -2．与向量()12,5a =平行的单位向量是（）A ．56,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．56,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或56,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．125,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭或125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭3．异面直线是指（）A ．不同在任何一个平面内的两条直线B ．平面内的一条直线与平面外的一条直线C ．分别位于两个不同平面内的两条直线D ．空间中两条不相交的直线4．数学家欧拉通过研究，建立了三角函数和指数函数之间的联系，得到著名的欧拉公式i e cos isin x x x =+(i 为虚数单位)，此公式被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，3i e 表示的复数在复平面中位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在ABC 中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，且222sin sin sin sin sin A B C C B -=+，则A ∠的大小是（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 6．已知向量()1,2a =--，()2,b λ=，且a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（） A ．(),1-∞- B ．()1,-+∞ C ．()1,4-D ．()()1,44,-⋃+∞7．设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个球面上，1AB AC AA ==，120BAC ∠=︒，且底面ABC 的面积为）A ．16πBC ．40πD ．64π8．ABC 的外接圆的圆心为O ，满足CO mCA nCB =+且432m n +=，43CA =6CB =，则CA CB ⋅=（）．A ．36B ．24C ．D ．二、多选题9．在ABC 中，AD 是中线2AG GD =，则下列等式中一定成立的是（） A ．2AB AC AD += B ．1331AG AB AC =+u u u r u u u r u u u rC ．3ABCGBCSS= D ．1233AG AB AC =+ 10．下列命题中，正确的有（）A ．若AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线 B ．若0MN NP PM →→→→++=，则M ，N ，P 三点共线 C ．对非零向量a →，若1λ>，则a a λ→→>D ．平面内任意一个向量都可以用另外两个不共线向量表示 11．设1z ，2z 是复数，则下列命题中正确的是（）A ．若22120z z +=，则120z z == B ．若12=z z ，则12=±z z C ．若12z z =，则12z z =D ．若120z z +=，则12z z =-12．如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱AD 、1AA 、AB 上的截点分别是E ，F ，G ，则截面EFG 可以是（）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形三、填空题13．若向量(),1a x =，()2,1b x =--，且a b a b +=-，则实数x 的值是______. 14．设i 是虚数单位，如果复数()i2ia a +∈-R 的实部与虚部相等，则复数11i z =+和复数24i z a =-在复平面内对应的两点之间的距离是______.15．用半径为1的半圆形纸板卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒内切球的体积是______.四、双空题16．在ABC 中，2BC =，5AB AC +=，若中线AD 的长为y ，边AB 的长为x ，则y 与x 的函数关系式是y =______，中线AD 长的最小值是______.五、解答题17．直角梯形的一个底角为45︒，上底长为下底长的一半.将这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的旋转体的表面积为(3π (1)求直角梯形的下底长； (2)求这个旋转体的体积18．已知复数z 满足i 22z z z ⋅=+，其中i 是数单位，z 是复数z 的共轭复数 (1)求复数z ；(2)若复数()()212i 3i 12m m z +-+-是纯虚数，求实数m 的值19．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，向量()1,1OA =，()2,3OB =-，()6,OC k =-， (1)当29k =时，试判断A ，B ，C 三点是否共线，写出理由； (2)若A ，B ，C 三点构成直角三角形，求实数k 的值20．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量cos122C B p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与向量2cos1,12B q ⎛⎫=- ⎪⎭平行. (1)确定角C 和角B 之间的关系； (2)若ABC 是锐角三角形，求cb的取值范围. 21．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点A 处，2号机器人在点B 处，3号机器人在点C 处，且45BAC ∠=︒，75BCA ∠=︒，(12AC =-米，如图所示(1)求1号机器人和2号机器人之间的距离；(2)若2号机器人发现足球在点D 处向点A 作匀速直线动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半作匀速直线运动去拦截足球.若已知17AD =米，忽略机器人原地旋转所需的时间，则2号机器人最快可在何处截住足球？22．如图，在ABC 中，点O 在边BC 上，且2OC OB =.过点O 的直线分别交射线AB 、射线AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =.(1)求2m n +的值:(2)若向量()2cos23,cos67a =︒︒，()cos68,2cos22b =︒︒，且)1t ta b m n+≥⋅恒成立，求实数t 的最小整数值.参考答案：1．C【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z 得答案．【详解】解：()111i i i z i i i i---===---⋅，故复数z 的虚部为1-，故选：C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题. 2．D【分析】与向量a 平行的单位向量是aa±，即可求解. 【详解】因为与向量a 平行的单位向量是aa±，21213a =+, 所以125,1313a a ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭, 故选：D 3．A【分析】利用定义可以判断选项A 正确,借助空间想象力判断选项BCD 错误.【详解】解：A. 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，所以该选项正确； B. 平面内的一条直线与平面外的一条直线，可能平行、异面和相交，所以该选项错误； C. 分别位于两个不同平面内的两条直线，不一定是异面直线，也有可能平行、异面和相交，所以该选项错误；D. 空间中两条不相交的直线，可能异面或者平行，所以该选项错误. 故选：A 4．B【分析】由题可知3i e 对应在复平面的点为()cos3,sin3，由32ππ<<可判断cos3和sin 3的正负，进而得到答案.【详解】由题，3i e cos3isin3=+，其对应点为()cos3,sin3, 因为32ππ<<知，cos30<，sin30>，所以点()cos3,sin3在第二象限，故选：B 5．C【分析】先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解.【详解】解：因为222sin sin sin sin sin A B C C B -=+，所以222a bc c b -=+，即222b c a bc +-=-.于是2221cos 22b c a A bc +-==-，因为(0,)A π∈，所以23A π=. 故选：C 6．D【分析】由a 与b 的夹角为钝角得0a b ⋅<，且,a b 不共线，再按照向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量()1,2a =--，()2,b λ=，且a 与b 夹角为钝角，由上述条件得，0a b ⋅<，且a ，b 不反向，由0a b ⋅<得，220λ--<，1λ>-. 当a ，b 共线时有，212λ=--，4λ=.此时a ，b 反向，因此实数λ的取值范围()()1,44,-⋃+∞. 故选:D. 7．C【分析】由三角形面积公式求得AB ，由正弦定理求得底面三角形外接圆半径，设,M N 分别是ABC 和111A B C △的外接圆圆心，则MN 的中点O 是三棱柱111ABC A B C -的外接球球心，求球半径后可得表面积．【详解】设1AB AC AA m ===，因为120BAC ∠=︒，所以1sin1202m m ⨯⨯⨯︒=m =而30ACB ∠=︒，所以2sin30r =︒(r 于是是ABC 外接圆的半径)，r =即AM =如图，设,M N 分别是ABC 和111A B C △的外接圆圆心，由直棱柱的性质知MN 的中点O 是三棱柱111ABC A B C -的外接球球心，11122OM MN AA ===所以外接球为R OA ==于是球的表面积为24S R =π=2440ππ=.故选：C.8．A【解析】根据已知条件，在CO mCA nCB =+两边分别乘以向量CA 和CB ，可以得到2448m nCA CB =+⋅①，1836n mCA CB =+⋅②，再根据432m n +=、①+②和①3⨯+②4⨯，得到()()187272m n CA CB m n CA CB ⎧+⋅=⎪⎨++⋅=⎪⎩，联立两式即可求出CA CB ⋅uu r uu r .【详解】如图，设AC 中点为P ，BC 中点为Q ，外接圆圆心O 为AC 和BC 垂直平分线的交点，则()21242CO CA CP PO CA CA PO CA ⋅=+⋅=+⋅=，同理()21182CO CB CQ QO CB CB QO CB ⋅=+⋅=+⋅=，在CO mCA nCB =+两边分别乘以向量CA 和CB ，22CO CA mCA nCA CB CO CB mCA CB nCB⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩，即2448m nCA CB =+⋅①，1836n mCA CB =+⋅②， ①+②得，()()()42124324m n m n CA CB m n CA CB =+++⋅=++⋅，即()18m n CA CB +⋅=③， ①3⨯+②4⨯得，()()()144144431442m n m n CA CB m n CA CB =+++⋅=++⋅，即()7272m n CA CB ++⋅=④，联立③④，解得36CA CB ⋅=. 故选：A【点睛】本题主要考查数量积的计算、三角形外心的概念和向量的运算，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题. 9．ABC【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，根据平面向量加法的平行四边形法则，即可判断A 是否正确；由题意可知()12AD AB AC =+，结合2AG GD =，根据共线定理即可求出AG ，即可判断B,D 是否正确；由于GBC ，ABC 同底，以及2AG GD =，结合相似关系，可得3ABCGBCSS=，即可判断C 是否正确.【详解】延长AD 至E ，使DE AD =，如下图所示，则ABEC 是平行四边形，所以2AB AC AE AD +==，故A 正确；因为()2211133233AG AD AB AC AB AC ==⋅+=+，故B 正确，D 错误；分别故,A G 作边BC 的垂线，垂足分别为,M N ，如下图所示：则Rt AMD Rt GND ~，又2AG GD =，所以13GD GN AD AM ==，所以GBC 与ABC 高之比为1:3，又GBC ，ABC 的底均为BC ，所以3ABCGBCS S=，故C 正确.故选:ABC. 10．CD【分析】可以举反例说明选项AB 错误，可以利用数乘向量的性质和平面向量基本定理判断选项CD 正确.【详解】对A ，因为共线向量所在直线可以平行，所以选项A 错误；对B ，M ，N ，P 可以组成三角形，所以选项B 错误；对C ，因为1λ>，0a →>，所以a a λ→→>，即a a λ→→>，所以选项C 正确；对D ，根据平面向量基本定理，可以判断该选项正确，所以选项D 正确. 故选：CD. 11．CD【分析】举反例证明选项A ，B 错误；利用一般情况证明选项C ，D 正确. 【详解】对A ，取11z =，2i z =，有221i 0+=，但10≠，且i 0≠，所以A 错误；对B ，取11i z =+，21i z =-，且1i 1i +=-，但()1i 1i +≠±-，所以B 错误；对C ，设1i z a b =+，则2i z a b =-，因此12z z =，所以C 正确；对D ，设1i z a b =+，2z c di =+，则由120z z +=得，()()220a c b d +++=，a c =-，=-b d ，因此12z z =-，所以D 正确. 故选：CD.12．AC【分析】结合长方体的性质，法1：设AE a =，AF b =，AG c =，由勾股定理可得EF ，FG ，GE ，根据余弦定理可判断内角均为锐角，而当a b c ==时，这个锐角三角形是等边三角形，即可得到答案；法2：由E F E A A F =+，EG EA AG =+，根据EF EG ⋅的正负可判断FEG ∠是锐角，同理判断其他内角也为锐角，而当a b c ==时，这个锐角三角形是等边三角形，即可得到答案.【详解】法1(余弦定理)：由题，如图，设AE a =，AF b =，AG c =，则EF =FG GE =在EFG 中，22222222cos 022a b c a b c a FEG EF GE EF GE+++--∠==>⋅⋅，所以FEG ∠是锐角，同理得到，EFG ∠，FGE ∠都是锐角，故C 对.特别地，当a b c ==时，EFG 是等边三角形，故A 对，故选：AC法2(向量法)：因为EF EA AF =+，EG EA AG =+，所以()()220EF EG EA AF EA AG EA EA AG EA AF AF AG EA ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅=>，因此FEG ∠是锐角，同理得到EFG ∠，FGE ∠都是锐角，故C 对，特别地，当a b c ==时，EFG 是等边三角形，故A 对，故选：AC 13．1【分析】由a b a b +=-可知a b ⊥，即0a b ⋅=，进而求解. 【详解】因为a b a b +=-，所以a b ⊥，则0a b ⋅=，即210x x --=，解得1x =，故答案为：114【分析】整理()212i i 2i 5a a a -+++=-，由实部与虚部相等可得3a =，则225i i z z -=-+，进而求解. 【详解】由题，()212i i 2i 5a a a -+++=-，则212a a -=+，所以3a =，因此1z ，2z 在复平面内对应的两点之间的距离是()()21i 34i 25i i z z -=+--=-+==15 【分析】根据题意得圆锥的母线长是1，根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，得到圆锥底面的半径，再利用轴截面的性质，结合三角形的面积等于三角形的周长乘以三角形内切圆半径的一半，求得圆锥内切球的半径，利用球的体积公式求得结果.【详解】圆锥筒的母线长是1.设圆锥筒的底面半径是r ，内切球的半径是R ，则2r ππ=，12r =.由()2111112R ++=，=R故该圆锥筒内切球的体积是343π⋅=⎝⎭，.16．【分析】设ADB θ∠=，则ADC πθ∠=-，利用这两个角结合余弦定理，整理可得y 与x 的函数关系，根据三角形中两边之和大于第三边可得x 的范围，进而结合二次函数性质求得AD 的最小值.【详解】由题，设ADB θ∠=，则ADC πθ∠=-，因为AB x =，则5AC x =-，如图所示，在ABD △中，由余弦定理得22212cos x y y θ=+-⋅①在ADC △中，()()222512cos x y y πθ-=+-⋅-② ①+②得，y =()02552x x x x x ⎧>⎪+>-⎨⎪-+>⎩，解得3722x <<，因为y = 所以当52x =时，y，17．(1)2 (2)43π【分析】（1）由题画出梯形，可得出各边关系，且可知旋转体为一个圆柱和一个圆锥的组合体，则(232AD AD CD AD BC ππππ=⋅+⋅⋅+⋅⋅，进而即可求解；（2）由（1）结合圆锥和圆柱的体积公式即可求解.【详解】（1）如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，45B ∠=︒，设CD x =，2AB x =，则AD AB CD x =-=，BC ，旋转体是一个圆柱和一个圆锥的组合体，所以(232AD AD CD AD BC ππππ=⋅+⋅⋅+⋅⋅，即(22232x x x πππ=+，解得1x =，故直角梯形的下底长为2.（2）由（1），因为圆柱的体积是2AD CD ππ⋅⋅=，圆锥的体积是()21133AD AB CD ππ⋅⋅-=，所以这个旋转体的体积为1433πππ+=. 18．(1)1i z =-+(2)1【分析】（1）根据复数的相等及乘法运算可求解；（2）由纯虚数的概念建立等式求解即可.(1)设i z a b =+，,a b R ∈，则i 22z z z ⋅=+，就是()()()i i i 22i a b a b a b +-=++，即()22i 222i a b a b +=++. 于是222220a b b a ⎧+=⎨+=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以1i z =-+. (2)()()()()()2212i 3i 1212i 3i 121i m m z m m +-+-=+-+--+()2232232i m m m m =-++--.此为纯虚数，所以223202320m m m m ⎧-+=⎨--≠⎩，即1,212,2m m m m ==⎧⎪⎨≠≠-⎪⎩，因此1m =. 19．(1)共线，理由见解析 (2)34-或5-【分析】（1）利用向量共线的条件进行运算求解即可；（2）分三种情况分别计算数量积为0时，实数k 的值即可.【详解】（1）因为()()()2,31,11,4AB OB OA =-=--=-,()()()6,291,17,28AC OC OA =-=--=-,所以7AC AB =-，且有公共点A ,故A ，B ，C 三点共线.（2）由(1)知，()1,4AB =-，()()()6,1,17,1AC OC OA k k =-=--=--，()()()6,2,38,3BC OC OB k k =-=---=-+，若90A ∠=︒，则0AB AC ⋅=，即()()17410k ⨯---=，34k =-. 若90B ?，则0BA BC ⋅=uu r uu u r ，即()()()18430k -⨯-++=，5k =-若90C ∠=︒，则0CA CB ⋅=，即()()()()78130k k -⨯-+-+=，22530k k ++=，无实根.故实数k 的值为34-或5-. 20．(1)2C B =(2)【分析】（1）根据向量共线坐标所满足的关系，建立等量关系式，利用余弦倍角公式，结合角的范围，得到2C B =；（2）结合正弦定理，以及（1）的结论和正弦倍角公式得到2cos c B b =，根据锐角三角形，得到64B ππ<<，进而求得结果. (1)由p q ∥得，cos 1110222C B B ⎫⨯--+=⎪⎭ 即2cos 12cos 122C B ⨯=-，cos cos 2C B = 因为022C π<<，0B π<<，所以2C B =，2C B =. (2) sin sin22cos sin sin c C B B b B B===.由ABC 是锐角三角形得02022032B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64B ππ<< 于是coscos cos 46B ππ<<2cos B < 故c b的取值范围是. 【点睛】该题考查的是有关三角和向量的综合题目，在解题的过程中，注意利用向量共线建立等量关系式，注意根据三角函数值相等得到角的关系时，一定注意角的范围，最后得范围时要注意根据锐角三角形正确求得角的范围.21．(1)(2)可在线段AD 上离点A 7米的点E 处截住足球【分析】（1）直接由正弦定理即可得结果；（2）设2号机器人最快可在点E 处截住足球，利用余弦定理解出即可.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC AB B BCA=∠，sin 75AB =︒，(12AB -==故1号机器人和2号机器人之间的距离为（2）如图，设2号机器人最快可在点E 处截住足球，点E 在线段AD 上设BE x =米.由题意，2ED x =米.()172AE AD ED x =-=-米在ABE 中，由余弦定理得2222cos BE AB AE AB AE A =+-⋅，(())2221722172cos45x x x =+--⨯-︒整理得23521850x x -+=.解得15=x ，2373x =. 所以1727AE x =-=，或233AE =-(不合题意，舍去) 故2号机器人最快可在线段AD 上离点A 7米的点E 处截住足球22．(1)3(2)2【分析】（1）利用向量的加法及三点共线的结论即得；（2）利用三角公式得出2a b ⋅=，利用基本不等式求出11m n+的最小值，进而得出答案. 【详解】（1）连接AO .因为2OC OB =，AB mAM =，AC nAN =，所以()112121333333AO AB BO AB BC AB AC AB AB AC mAM nAN =+=+=+-=+=+ 因为M ，O ，N 共线，所以21133m n +=，23m n += （2）2cos 23cos682cos67cos 22a b ⋅=︒︒+︒︒2cos 23cos682sin 23sin 682(cos 23cos68sin 23sin 68)2cos 45=︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒=显然0t >，所以)1t t a b m n +≥⋅等价于111m n +≥，即min 111m n ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭因为()111111223133m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当n，即3m =，3n =时，11m n +取到最小值)2113=于是)2113t ≥，故6t ≥-故实数t 的最小整数值是2.。

安徽省合肥一六八中学高一下学期期中考试数学试卷(凌志班)

安徽省合肥一六八中学高一下学期期中考试数学试卷（凌志班）一、单选题（本题共60分，每小题5分，每小题仅有一个正确选项） 1．函数y =1g （1-x ）+的定义域是（） A ． B ． C ．D ．2．在中，，，，，则（）A ．或B ．C ．D ．3．设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，若，，且，则A ．B ．2C ．D ．3 4．在中，角A ，B ，C 的对边分别是边a ，b ，c ，若，，，则A ．B ．6C ．7D ．85．等差数列前项和为 ,且33535=-s s ,则数列的公差为( )A ．3B ．2C ．1D ．46．已知是等差数列，是正项等比数列，且，，，，则A ．2274B ．2074C ．2226D ．2026 7．已知偶函数在区间单调递减，则满足的x 取值范围是 A ．B ．C ．D ．8．的三个内角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．9．我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（）A．0.9升B．1升C．1.1升D．2.1升10．已知则（）A． B． C． D．11．如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为．现用米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:）A．个B．个C．个D．个12．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路两点进行测量.在点测得塔底在南偏西，塔顶仰角为，此人沿着南偏东方向前进10米到点，测得塔顶的仰角为，则塔的高度为（）A．5米B．10米C．15米D．20米二、填空题（本题共20分，每小题5分，请将答案写在答题卷上）13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______．14．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为和，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度为______米.15．记等差数列的前n项和为，若，则_______16．若实数x ，y 满足约束条件则的最大值为______．三、解答题（本大题共70分） 17．（本题满分10分）已知在中，角，，的对边分别是，，，且.（1）求角的大小；（2）若2==c a ，求的面积.18．（本题满分12分）如图，在梯形中，，为上一点，，.（1）若，求；（2）设，若，求.19．（本题满分12分）已知数列的前项和为，满足，631+=-+n n n a s s .（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式。

2020-2021学年安徽省高一(下)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年安徽省高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. (1,−2)B. (−1,−2)C. (1,2)D. (2,−2)2. 已知复数z =3−i1−i ，则z ⋅z −=( )A. 5B. 4C. 3D. 23. 给出下列四个命题：①底面是正多边形的棱柱是正棱柱； ②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体； ③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．其中正确的命题个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知向量m⃗⃗⃗ =(2,−1)，n ⃗ =(x,6)，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则m ⃗⃗⃗ ⋅(n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ )=( ) A. −2 B. −8 C. −10 D. −125. 已知某平面图形的直观图如图所示，A′B′//C′D′，∠D′O′A′=135°，A′B′=4，C′D′=D′O′，若原平面图形的面积为12，则D′O′=( )A. 6B. 4C. 2√2D. 26. 已知在平面四边形ABCD 中，∠ABC +∠BCD =180°，若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(3−x)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则ABCD =( )A. 14B. 13C. 23D. 347. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中错误的是( )A. 点C ∈直线GHB. CD 与EF 是共面直线C. AB//EFD. GH 与EF 是异面直线8.已知水的密度为1g/cm3，冰的密度为0.9g/cm3，一水平放置的圆柱形桶内有一个半径为10cm的冰球，待冰球完全融化后测得桶内水面高为3cm，则桶的底面半径为()A. 20cmB. 18cmC. 15cmD. 10cm9.伯乐树是中国特有树种、国家一级保护树种，被誉为“植物中的龙凤”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁.一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度.他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪(高度忽略不计)进行测量，在点A处测得树干底部在西偏北30°的方向上，沿直线向西前进3.4m后，在点B处测得树干底部在西偏北40°的方向上，此时树干顶部的仰角为60°，则该伯乐树的高度为()(sin10°=0.17)A. 10√3mB. 10√2mC. 8√3mD. 7√3m10.在△ABC中，点D为AC边上靠近点C的三等分点，点E为AB边的中点，则DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 14BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12CE⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14CE⃗⃗⃗⃗⃗ C. −12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14CE⃗⃗⃗⃗⃗ D. −14BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CE⃗⃗⃗⃗⃗11.已知在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3，则b2+c2a2取值范围是()A. (54,3] B. (0,3] C. (54,2] D. (53,2]12.已知三棱锥A−BCD的侧棱AB，AC，AD两两垂直，CD=2，AC=AD，若该三棱锥的外接球体积为32π3，则该三棱锥的表面积为()A. 2+√6+√13B. 2√6+√13C. 1+2√6+√13D. 1+4√13二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示的后母戊鼎是一件非常有名的青铜重器，是商王武丁之子祭祀母亲戊所铸，现藏于国家博物馆.鼎身与四足为整体铸造，鼎耳则是在鼎身铸成之后再浇铸而成，鼎身大致为长方体形状的容器，长为110cm，宽为79cm，壁厚6cm.若一堆祭祀物品在该容器内燃烧后形成的灰平铺且铺满容器底部，灰的高度为0.5cm，则灰的体积为______ cm2．14.已知−1−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则n=______ ．15.已知半径为1的球在一个圆锥内部，该组合体的轴截面是一个正三角形与其内切圆，则圆锥的表面积为______ ．16.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角C=30°，边c=2，且a2cos2B+b2cos2A=2abcosAcosB，则a=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(−3,1)．(Ⅰ)若c⃗=(x,6)，且|c⃗|=2|2a⃗+b⃗ |，求x的值；(Ⅱ)若a⃗+b⃗ 与m a⃗+b⃗ 的夹角大小为π，求m的值．418.当实数m满足什么条件时，在复平面内表示复数z=(m2+2m−3)+(m2−4m−5)i的点分别满足下列条件？(Ⅰ)位于第三象限；(Ⅱ)位于第二象限或第四象限；(Ⅲ)位于直线y=2x+17上．19.如图所示为一段环形跑道，中间的两段AB，CD为直跑道，且AB=CD=100m，两端均为半径为30m的半圆形跑道，以A，B，C，D四点为顶点的四边形是矩形.甲、乙两人同时从CD的中点O处开始以7m/s的速率逆向跑步，甲、乙相对于初始位置点O的位移分别用向量s甲，s乙表示．(Ⅰ)当甲到达AD⏜的中点处时，求s甲⋅s乙；(Ⅱ)求20s后s甲，s乙的夹角的余弦值．注：π的值取3．20.在四边形ABCD中，AB//CD，AB=4，AD=2，BD=2√7，cosC=−√2．2 (Ⅰ)求角A；(Ⅱ)求BC的长．21.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的高为√3，底面边长为2，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(Ⅰ)在棱AC，A1C1上是否存在点D，D1使得平面BC1D//平面AB1D1？请说明理由．(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求几何体ABB1C1D1D的体积．22. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sinA +2sinB =√3sin(A +π2)，其中B ∈(0,π2).(Ⅰ)若a =√2，c =√3，求b ；(Ⅱ)若a =2，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，求△ABC 的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(−1,−2)−(2,4)=(−1,−2)．故选：B ．根据BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后进行向量坐标的减法和数乘运算即可．本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量坐标的减法和数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵复数z =3−i1−i ， ∴z ⋅z −=3−i 1−i⋅3+i 1+i=32+1212+12=5．故选：A ．利用复数的运算性质即可得出．本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：①底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱是正棱柱；所以①不正确； ②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；满足多面体的定义，所以②正确； ③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；不满足直棱柱的定义，所以③不正确； ④直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．所以④不正确；故选：B ．利用几何体的结构特征，几何体的定义，判断选项的正误即可．本题考查命题的直角的判断与应用，几何体的定义，结构特征的判断，是基础题．4.【答案】C【解析】解：向量m⃗⃗⃗ =(2,−1)，n ⃗ =(x,6)，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，可得2x −6=0，解得x =3，所以m ⃗⃗⃗ ⋅(n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ )=(2,−1)⋅(−1,8)=−10．故选：C ．通过向量垂直求解x ，然后求解向量的数量积即可．本题考查向量垂直关系的应用，向量的数量积的运算，是基础题．5.【答案】D【解析】解：根据平面图形的直观图画法规则，把直观图还原出原图形，是梯形ABCD ，如图所示：在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =A′B′=4，CD =C′D′，高DO =2D′O′，根据题意设C′D′=D′O′=x ，(x >0)，则原平面图形的面积为(x +4)×2x ÷2=12，整理得x 2+4x −12=0，解得x =2或x =−6(舍去)，所以D′O′=2．故选：D ．根据平面图形的直观图画法规则，把直观图还原出原图形，根据原图形是梯形，计算梯形的面积从而求出D′O′的长．本题考查了平面图形的直观图画法与应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC +∠BCD =180°，所以AB//CD ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(3−x)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x −3=0，即x =3，所以ABCD =13．故选：B．画出图形，结合已知条件，转化求解x，即可得到结果．本题考查平面向量基本定理的应用，向量共线是解题的关键，是基础题．7.【答案】C【解析】解：由图可知，还原正方体后，点C与G重合，∴C∈GH，又可知CD与EF是平行直线，即共面直线，AB与EF是相交直线(点B与点F重合)，GH与EF是异面直线，故只有C错误．故选：C．把展开图还原为原正方体，数形结合得答案．本题考查空间中点、线、面间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：设桶的底面半径为rcm，∵冰球的半径为10cm，冰球完全融化后桶内水面高为3cm，且水的密度为1g/cm3，冰的密度为0.9g/cm3，π×103×0.9=π×r2×3×1，由冰球与水的体积相等，可得43解得r=20cm．故选：A．设桶的底面半径为rcm，由题意以冰球与水的体积相等列式求解r即可．本题考查球与圆柱体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：如图所示，GH为树干，△ABH中，∠AHB=40°−30°=10°，AB=3.4，由正弦定理可得，BH sin30∘=ABsin10∘，BH =3.4sin30°sin10∘=3.4×120.17=10，Rt △BGH 中，∠GBH =60°，所以GH =BHtan60°=10√3，所以该伯乐树的高度为10√3m. 故选：A ．根据题意画出图形，结合图形利用正弦定理和直角三角形的边角关系求出伯乐树的高度．本题考查了正弦定理的实际应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．10.【答案】D【解析】解：由题意可知，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y CE⃗⃗⃗⃗⃗ 则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y(−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{−x +12y =1223x −y =−23，解得x =−14，y =12，即DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：D ．由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，考查了推理的能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：因为A =π3，由正弦定得b 2+c 2a 2=sin 2B+sin 2Csin 2A ，=43(sin 2B +sin 2C)=43(sin 2B +sin 2C)， =43[sin 2B +sin 2(2π3−B)]，=43[1−cos2B 2+1−cos(4π3−2B)2] =43[1+12sin(2B −π6)]，因为{0<B<π20<2π3−B<π2，所以π6<B<π2，π6<2B−π6<5π6，故12<sin(2B−π6)≤1，所以53<43[1+12sin(2B−π6)]≤2，即b2+c2a2取值范围是(53,2]．故选：D．由已知结合正弦定理，二倍角及辅助角公式先进行化简，然后结合正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理与三角恒等变换，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：如图，∵CD=2，AC=AD，且AB，AC，AD两两垂直，∴AC=AD=√2，设AB=ℎ，依题意，可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为√2，√2，h的长方体中，可得其外接球的半径r=√2+2+ℎ22=√4+ℎ22，又由43πr3=32π3，解得r=2，故√4+ℎ22=2，即ℎ=2√3．∴该三棱锥的表面积为S=12×√2×√2+2×12×√2×2√3+12×2×√13=1+2√6+√13．故选：C．由题意可把三棱锥置于一个长、宽、高分别为√2，√2，h的长方体中，由三棱锥的外接球的体积列式求解h，则三棱锥的表面积可求．本题考查几何体的体积与表面积的求法，训练了分割补形法，是中档题．13.【答案】3283【解析】解：由题意，容器内灰体的长度为110−12=98，灰体的宽度为79−12=67，又高度为0.5，∴灰的体积为98×67×0.5=3283cm2．故答案为：3283．由已知求出灰体的长度与宽度，由长方体体积公式求解．本题考查长方体体积的求法，是基础的计算题．14.【答案】2【解析】解：−1−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则：−1+i也是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则n=(−1+i)(−1−i)=(−1)2+12=2，故答案为：2．由−1−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，可得：−1+i也是关于x 的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，根据根与系数的关系即可得出．本题考查了复数的运算性质、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】9π【解析】解：由题意知，球是圆锥的内切球，作圆锥的轴截面，如图所示：设轴截面三角形ABC的内切圆圆心为O，圆O与边AB的切点为D，连接OB、OD，在Rt△BOD中，OD=1，BD=√3，所以AB=2√3，所以圆锥的底面半径为√3，母线长为2√3，×2√3π×2√3=9π．所以圆锥的表面积为S=π⋅(√3)2+12故答案为：9π．由题意知球是圆锥的内切球，画出圆锥的轴截面，结合图形求出圆锥的底面半径和母线长，计算出圆锥的表面积．本题考查了圆锥的内切球与表面积的计算问题，也考查了数形结合与运算求解能力，是基础题．16.【答案】√2+√6【解析】解：因为a 2cos 2B +b 2cos 2A =2abcosAcosB ，所以(acosB −bcosA)2=0，即acosB −bcosA =0，由正弦定理得sinAcosB −sinBcosA =sin(A −B)=0，所以A =B =75°，由正弦定理得a =csinA sinC=2sin75°12=4sin(45°+30°)=√2+√6．故答案为：√2+√6．由已知结合正弦定理及和差角公式可求A ，B ，然后结合正弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)2a ⃗ +b ⃗ =2(1，1)+(−3，1)=(−1，3)，∵|c ⃗ |=2|2a ⃗ +b⃗ |，∴x 2+36=4×10，∴x =±2． (Ⅱ)∵a ⃗ +b ⃗ =(−2，2)，m a ⃗ +b ⃗ =(m −3,m +1)，∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅(m a ⃗ +b ⃗ )=8， ∵|a ⃗ +b ⃗ |=√(−2)2+22=2√2，|m a ⃗ +b ⃗ |=√(m −3)2+(m +1)2=√2m 2−4m +10， ∴cos π4=2√2×√2m 2−4m+10=√22，即m 2−2m −3=0，∴m =3或−1．【解析】(Ⅰ)先求出向量2a ⃗ +b ⃗ 的坐标，再利用向量的求模公式即可求解．(Ⅱ)先求出两个向量a ⃗ +b ⃗ ，m a ⃗ +b ⃗ 的坐标，再求出它们的数量积和模，利用向量的夹角公式即可求解．本题考查向量数量积的坐标运算，求模，夹角公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，复数z =(m 2+2m −3)+(m 2−4m −5)i ，若复数z 表示的点位于第三象限，则有{m 2+2m −3<0m 2−4m −5<0，解得−1<m <1，即m 的取值范围为(−1,1)．(Ⅱ)若复数z 表示的点位于第二象限或第四象限，则有(m 2+2m −3)(m 2−4m −5)<0，即(m +3)(m −1)(m +1)(m −5)<0，解得−3<m <−1或1<m <5，即m 的取值范围为(−3,−1)∪(1,5)．(Ⅲ)若复数z 表示的点位于直线y =2x +17上，则有m 2−4m −5=2(m 2+2m −3)+17，变形可得m 2+8m +16=0，解得m =−4，故m =−4．【解析】(Ⅰ)根据题意，由复数的几何意义可得{m 2+2m −3<0m 2−4m −5<0，解可得m 的取值范围，即可得答案；(Ⅱ)根据题意，由复数的几何意义可得(m 2+2m −3)(m 2−4m −5)<0，变形解可得m 的取值范围，即可得答案；(Ⅲ)根据题意，分析可得m 2−4m −5=2(m 2+2m −3)+17，解可得m 的值，即可得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)如图，以点O 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，当甲到达AB⏜的中点处时，乙到达BC ⏜的中点处，设此时甲的位置为点E ，乙的位置为点F ，则E(−80,30)，F(80,30)，s 甲=OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−80,30)，s 乙=OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(80,30)，∴s 甲⋅s 乙=(−80,30)⋅(80,30)=−6400+900=−5500．(Ⅱ)20s 后甲、乙的路程均为20×7=140m ， AD⏜、BC ⏜的长度分别到达点A ，B 处， ∴s 甲=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−50,60)，s 乙=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(50,60)，设s 甲，s 乙的夹角为θ，则cosθ=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=11006100=1161，∴20s 后s 甲，s 乙的夹角的余弦值为1161．【解析】(Ⅰ)以点O 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，当甲到达AB⏜的中点处时，乙到达BC ⏜的中点处，设此时甲的位置为点E ，乙的位置为点F ，则E(−80,30)，F(80,30)，s 甲=OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−80,30)，s 乙=OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(80,30)，由此能求出s 甲⋅s 乙． (Ⅱ)20s 后甲、乙的路程均为140m ，AD⏜、BC ⏜的长度分别到达点A ，B 处，s 甲=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−50,60)，s 乙=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(50,60)，由此能求出20s 后s 甲，s 乙的夹角的余弦值．本题考查平面向量的数量积、向量夹角的余弦值的求法，考查向量夹角的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．20.【答案】解：(I)△ABD 中，由余弦定理得cosA =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD=16+4−282×2×4=−12，由角A 为三角形内角得A =2π3．(II)因为AB//CD ，所以∠ABD =∠BDC ，△ABD 中，由正弦定理得，AD sin∠ABD =BDsin∠A ，即2sin∠ABD =√7√32，所以sin∠ABD =sin∠BDC =√2114，因为cosC =−√22，所以sinC =√22，△BCD 中，由正弦定理得BCsin∠BDC =BD sin∠C，即√2114=√7√22，所以BC =√6．【解析】(I )由余弦定理可求cos A ，进而可求A ；(II)由正弦定理先求出sin∠ABD ，结合已知角关系及正弦定理再求BC ．本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)如图，连接A1B交AB1于O，连接OD1，由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O 为A1B的中点，∵平面BC1D//平面AB1D1，且平面BC1D//平面AB1D1= BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O，∴BC1//D1O，同理AD1//DC1，∴A1D1D1C1=A1OOB，A1D1D1C1=DCAD，又∵A1OOB =1，∴A1D1D1C1=DCAD=1．即D为AC的中点，D1为A1C1的中点，故当D、D1分别为棱AC，A1C1的中点时，平面BC1D//平面AB1D1；(Ⅱ)V三棱柱ABC−A1B1C1=12×2×√3×√3=3，V三棱锥A−A1B1D1=V三棱锥C1−BCD=13×12×1×√3×√3=12．∴V几何体ABB1C1D1D =3−2×12=2．【解析】(Ⅰ)连接A1B交AB1于O，连接OD1，由平行线截线段成比例结合平面BC1D//平面AB1D1可得D、D1分别为棱AC，A1C1的中点；(Ⅱ)由棱柱体积减去两个三棱锥的体积即可．本题考查平面与平面平行的性质定理及几何体的体积计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(I)因为sinA+2sinB=√3sin(A+π2)=√3cosA，所以2sinB=√3cosA−sinA=2sin(π3−A)，即sinB=sin(π3−A)，所以B=π3−A或B+π3−A=π，因为B∈(0,π2)，所以A+B=π3或B−A=2π3(舍)，所以C=2π3，由余弦定理得cosC=−12=a2+b2−c22ab=2+b2−32√2b，解得b =√6−√22．(II)由CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8得accosB =8，因为a =2，所以ccosB =4①，由正弦定理asinA =csinC 及A +B =π3，C =2π3，a =2得2sin(π3−B)=√32，所以csin(π3−B)=√3，即√3c 2cosB −c2sinB =√3②，①②联立得csinB =2√3，△ABC 的面积S =12acsinB =12×2×2√3=2√3．【解析】(I)由已知结合诱导公式及和差角公式进行化简可得A ，B 关系，然后结合三角形内角和可求C ；(II)由CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8结合向量数量积定义可求ccosB =4，再由正弦定理进行化简可得csin(π3−B)=√3，联立可求c sin B ，然后结合三角形面积公式可求．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换，属于中档题．。

安徽省2020年高一下学期期中数学试卷(II)卷

安徽省2020年高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若等差数列的前n项和为，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A . 1B .C . -2D . 32. （2分）下列命题中的假命题是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·湖州期末) 在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则A .B .C .D .4. （2分）已知非零向量，的夹角为，且||=1，|﹣2|=1，则||=（）A .B . 1C .D . 25. （2分） (2017高二下·正定期末) 已知是等比数列，，，则公比等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高三上·乌鲁木齐月考) 在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（）．A . -3B . -6C . 4D . 97. （2分） (2020高一下·永年期中) 已知正项等比数列的前n项和为，且，则的最小值为（）A . 9B . 8C . 6D . 48. （2分）中，角所对的边分别是，若角依次成等差数列，且则等于（）A .B .C .D .9. （2分）在中，若，则是（）．A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形10. （2分）四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直，=2，则该四面体体积的最大值为（）A .B .C . 2D . 711. （2分）数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，则数列{an}的通项公式为（）A . =2n﹣1B .C .D .12. （2分）已知数列{｝是公差为3的等差数列，且成等比数列，则等于（）A . 30B . 27C . 24D . 33二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） ||=1，||=2，=+，且，则与的夹角为________14. （1分） (2020高一下·深圳月考) 如图，太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西的方向上，汽车行驶后，又测得小岛在南偏西的方向上，则小岛到公路的距离是________ ．15. （1分） (2018高二上·舒兰月考) 数列的通项公式是，则该数列的前80项之和为________．16. （1分） (2016高一下·高淳期末) 数列{an}的通项，其前n项和为Sn ，则S30=________．三、解答题） (共6题；共55分)17. （5分）已知A（﹣1，2），B（2，8），若=，=﹣，求的坐标.18. （10分） (2020高一下·西安期末) 已知在直角坐标系中（O为坐标原点），，，．（1）若A，B，C共线，求x的值；（2）当时，直线上存在点M使，求点M的坐标．19. （10分） (2018高三上·黑龙江期中) 在数列中, 已知，且数列的前项和满足, .（1）证明数列是等比数列；（2）设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立, 求实数的取值范围.20. （10分） (2020高一下·句容期中) 已知平面向量 =(1，x)， =(2x+3，-x)，x∈R.（1）若⊥ ，求x的值；（2）若∥ ，求| - |的值.21. （10分） (2016高二上·宁阳期中) 已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．22. （10分） (2017高一下·承德期末) 已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan= （n≥1，n∈Z）（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求数列{n2an}的前n项和Tn ．。

高一数学下册期中考试试题6.doc

合肥一六八中学高一年级第二学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里。

）1.已知等差数列}{n a 中，11,2a d ==,则12a 的值是( ) A.21 B.22 C.23 D.242.不等式0432>--x x的解集是( )A ．}14|{-<>x x x 或B ．}14|{<<-x xC ．}14|{<<-x xD ．}41|{-<>x x x 或3.已知ABC ∆中，34,4,4===c b a ，则=∠C ( )A. 150B. 15030或C. 120D.12060或4.已知q p n m <>,，则p m -与q n -的大小关系是( )A ．q n p m -<-B ．q n p m -≤-C ．q n p m ->-D ．q n p m -≥-5.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S( )A ．1B ．-1C ．2D ．216.在ABC ∆中，若45,4,cos 5a b C ===-，则其面积等于( )A ．185B ．6C ．12 D.307．等差数列}{n a 中，首项3,431==a a ，则该数列中第一次出现负值的项为( ) A ．第9项B ．第10项C ．第11项D ．第12项8.不等式20x ax a +-对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．]0,(-∞B ．)4,(--∞C ．)0,4(-D ．]0,4(-9.下列结论正确的是( )A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B.21,≥+>x x x 时当C.21,2的最小值为时当x x x +≥D.无最大值时当xx x 1,20-≤<10.等比数列}{n a 中，已知对任意正整数n ，12321-=++++n n a a a a ，则2232221n a a a a ++++ 等于( )A ．)12(21-nB ．)12(31-nC ．)14(31-nD ．41n-11.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则y x z +=2的最大值为( )A ．1B ．-1C ．2D ．312.若250ax x b -+>解集为{|32}x x -<<,则250bx x a -+>解集为( )A ．11{|}32x x -<< B ．{|32}x x -<<C ．11{|}32x x x <->或 D ．{|32}x x x <->或二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷上。

合肥第二学期期中考试高一数学试卷

合肥第二学期期中考试高一数学试卷第二学期期中考试高一数学试题是查字典数学网为您整理的考试资讯，请您详细阅读!一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、数列2，5，8，11，，则23是那个数列的( )A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项2、已知△ABC中，a=4，b=43，A=30，则B等于( ).A、60 B.60或120 C.30 D.30或1503、等差数列中，已知前15项的和，则等于( ).A. B.12C. D.64、在△ABC中，若则的值为( )A、B、C、D、5、已知数列{an}首项为1，且满足，那么an等于()A、B、C、D、6、已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若asi nAsinB+bcos2A=2a，则ba的值为()A.23B.22C.3D.27、等差数列{an}中a10，S5=S8，则当Sn取最大值时n的值是()A.6B.7C.6或7D.不存在8、如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45和30，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于( )A.100米B. 米C. 米D. 米9、定义：称np1+p2++pn为n个正数p1，p2，，pn的均倒数，若数列{a n}的前n项的均倒数为12n-1，则数列{an}的通项公式为()A.2n-1B.4n-3C. 4n-1D.4n-510、已知数列，，它们的前项和分别为，，记( )，则数列的前10项和为( )A、B、C、D、二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11、2-1与2+1的等比中项是________.12、在△ABC中，若，C=150，BC=1，则AB=______.13、已知是数列的前项和，若，则的值为14、三角形一边长为14，它对的角为60，另两边之比为8：5，则此三角形面积为_ ___.15、等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，同时满足条件a1 1，a99a100-10，a99-1a100-10.给出下列结论：①0三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤)16、(本小题满分12分)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边长，已知a2-c2=b2-bc，求：(1)角A的大小; (2)若，求的大小.17、(本题共12分)已知是等差数列的前项和，满足; 是数列的前项和，满足：。

合肥市一中、六中、八中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)

合肥市一中、六中、八中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：每小题5分，共60分.1.设复数z 满足()1242i z i -=+，则z =（）A.3iB.3i -C.2iD.2i - 2.已知向量()1,2a =，(),1c m =-，若()a a c ⊥-，则实数m 的值为（）A.9B.7C.17D.213.某校高一年级15个班参加庆祝建党100周年的合唱比赛，得分如下：85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98，则这组数据的40%分位数、90%分位数分别为（）A.90.5，96B.91.5，96C.92.5，95D.90，964.从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（）A.“至少一个白球”和“都是红球”B.“至少一个白球”和“至少一个红球”C.“恰有一个白球”和“恰有一个红球”D.“恰有一个白球”和“都是红球”5.设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）①若//αβ，//a α，则//a β或a β⊂ ②若a α⊥，b α⊥，则//a b③若a α⊥，a β⊥，则//αβ ④若αβ⊥，b αβ=，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④其中x x 甲乙，则两个班学生身高的方差为（）A.19B.18C.18.6D.207.在一个掷骰子的试验中，事件A 表示“向上的面小于5的偶数点出现”，事件B 表示“向上的面小于4的点出现”，则在一次试验中，事件A B 发生的概率为（）A.12B.23C.13D.568.在ABC △中，已知cos cos a A b c B +=+，则ABC △的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形9.如图，矩形ABCD 中，AB =ADEF 的边长为1，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，则异面直线BD 与FC 所成角的余弦值为（）A.7-B.7C.5D.5-10.如图，在ABC △中，AB BC ==90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A.7πB.5πC.3πD.π11.如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，120BAD ∠=︒，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AM BD ⋅的最大值是（）A.3+B.3+C.5D.5+12.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形，PD ⊥平面ABCD ，且4PD =，E ，F ，M 为PA ，PC ，AB 的中点，则经过E ，F ，M 的平面截四棱锥P ABCD -的截面面积为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在ABC △中，23B π=，AC 1AB =，则BC =____________. 14.底面直径为2的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为____________.15.在某次测试中，甲、乙通过的概率分别为0.8，0.5，若两人测试是否通过相互独立，则至少有一人通过的概率为_______________.16.在ABC △中，角A ，B ，C 满足222sin 3sin 3sin sin sin A B C A B C =+-，则C =_________.三、解答题：本题共6小题，共70分.其中第17题10分，第18-22题每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知复数()()()1124z ai i i a R =++++∈.（1）若z 在复平面中所对应的点在直线0x y -=上，求a 的值；（2）求1z -的取值范围.18.某校高一年级为了提高教学效果，对老师命制的试卷提出要求，难度系数须控制在[]0.65,0.7（难度系数是指学生得分的平均数与试卷总分的比值，例如：满分为100分的试卷平均分为68分，则难度系数680.68100=），某次数学考试（满分100分）后，王老师根据所带班级学生的等级来估计高一年级1800人的成绩情况，已知学生的成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，统计数据如图所示，根据图中的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高一年级学生获得等级为B 的人数.（2）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应90分，80分，70分，60分，50分，请问按王老师的估计：本次考试试卷命制是否符合要求.（3）王老师决定对成绩为E 的16名学生（其中男生4人，女生12人）先找4人进行单独辅导，按分层抽样抽取的4人中任取2人，求恰好抽到1名男生的概率.19.已知ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ac =+ （1）求A ；（2）若ABC △的面积为2，求ABC △的周长的最小值.20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是边长为2的菱形，且160ABB ∠=︒，点M ，G 分别在1CC ，1AB 上，且11MC GB a ==，BC =（1）证明：直线//MG 平面111A B C . （2）若点G 恰好是点1C 在平面11ABB A 内的正投影，此时32a =，求三棱锥111M A B C -的体积. （注：本大题用空间坐标系解题一律不给分）21.合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形ABCD 的区域进行改造，如图所示，其中4DC a =米，2DA a =米，ABC △为正三角形.改造后BCD △将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，ABD △将作为对三国历史文化的介绍区域.（1）当3ADC π∠=时，求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积的最大值.22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BD ⊥平面1ABC ，其垂足D 落在直线1B C 上.（1）求证：1AC B C ⊥；（2）若P 是线段AB 上一点，BD =，2BC AC ==，三棱锥1B PAC -的体积为3，求二面角1P B C A --的平面角的正弦值.（注：本大题用空间坐标系解题一律不给分）参考答案一、选择题1.C2.B3.A4.D5.D6.A7.B8.D9.C 10.A 11.A 12.B二、填空题13.214.3π 15.0.9 16.6π 三、解答题17.解析：（1）化简得()()()()112435z ai i i a a i =++++=-++，………………………………2分所以z 在复平面中所对应的点的坐标为()3,5a a -+，………………………………………………3分在直线0x y -=上，所以()350a a --+=，得1a =-，…………………………………………5分（2）()()125z a a i -=-++==7分因为a R ∈，且24926292a a ++≥，…………………………………………………………9分所以1z -=1z -的取值范围为2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.………………10分 18.解析：（1）高一年级获得成绩为B 的人数为141800252100⨯=（人）.……………3分（2）王老师所带班级平均分为907801470416022501667.4100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，………………6分所以估计难度系数为0.674，符合要求.…………………………………………………………7分（3）按分层抽样，抽到的4人中男生1人，女生3人，……………………………………8分 4人中任取2人共有6种取法，……………………………………………………………………9分 2人中恰有1名男生有3种取法，……………………………………………………………………10分所以恰好抽到1名男生的概率为3162=.………………………………………………………………12分19.解析：（1）由已知，得()()()sin sin sin b B C a c A C =+-，由正弦定理，得()()()b b a c a c =+-，即222b c a +-=.…………………………………………………………………………………2分再由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-==.…………………………………………………………4分又0A π<<，所以6A π=.…………………………………………………………………………5分（2）由（1）及已知得，ABC △的面积为1sin 226ABC S bc π==△，所以8bc =.…………6分又b c +≥=7分于是()()222222cos 216a b c bc A b c bc b c =+-=+-=+--9分所以三角形周长2a b c b c ++=+≥+11分所以周长最小值为2，此时2a =，b c ==……………………………………………………………………12分20.解析：（1）过G 作1//GE AA 交11A B 于E ，连接1C E ，因为11AB A △为等边三角形，所以1GE GB =，又11GB MC =，所以1GE MC =，……………………………………………………………………1分又11//MC AA ，所以1//GE MC ，……………………………………………………………………2分所以四边形1MGEC 为平行四边形，………………………………………………4分所以1//MG EC ，又MG ⊄平面111A B C ，1EC ⊂平面111A B C ，所以直线//MG 平面111A B C .…………6分（2）因为2BC =112B C =，又132GB =，所以，在直角三角形11C GB中，1C G 7分11132sin 60224A B G S =⨯⨯⨯︒=△，…………………………………………………………9分又//MG 平面111A B C所以1111111111334M A B C G A B C C A B G V V V ---====.……………………………………12分 21.解析：（1）2222cos 3AC AD DC AD DC π=+-⋅⋅，∴AC =，………………………………2分又sin sin 3AC AD ACD π=∠，∴1sin 2ACD ∠=，∴2BCD π∠=，…………………………………………4分()3214m 2BCD S a =⨯⨯=△，………………………………………………………………5分（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，于是()222016cos AC a θ=-①，……………………………………………………………………6分 22sin sin sin sin AC a a ACθαθα=⇒=②，…………………………………………………………………7分 22222124168cos cos 8AC a a AC a aAC a a aAC+=+-⋅⇒=③，………………………………………8分∴22212sin 124sin 238BCD a AC a S a AC AC ACAC πθα⎡⎤+⎛⎫=⨯⨯⋅+=⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△((2222sin 4sin 43a a a πθθθ⎛⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎝⎝≤⎭，………………11分当且仅当5 326πππθθ-=⇒=时取等号，∴BCD S △最大值为(()224m a +.………………12分 22.解析：（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1AC BB ⊥，又BD ⊥平面1ABC ，∴AC BD ⊥，1BD BB B =，∴AC ⊥平面11BB C C ，……………………3分 1B C ⊂平面11BB C C ，∴1AC B C ⊥.………………………………………………………………4分（2）由（1）知AC ⊥平面11BB C C ，∴AC BC ⊥，2BC AC ==，∴AB =设AP x =，则122PAC S x x =⨯=△， ∵1BD B C ⊥，1Rt Rt B BC BDC △∽△，2BC =，BD，∴1BB =6分∴1132B PAC V x -=⨯⨯=∴2x =，∴13AP PB =，…………………………………………………………………………7分连接AD ，过P 作//PO BD 交AD 于O点，易知14PO BD ==，过P 作1PE B C ⊥，E 为垂足，连接OE ， 1B C PE ⊥，1B C PO ⊥，1PE PO P B C =⇒⊥平面POE ，OE ⊂平面POE ，所以1B C OE ⊥，则PEO ∠为二面角1P B C A --的平面角，………………………………………………10分在1PB C △中，易求PC =1PB =，14B C =，由等面积法可知PE =所以sin 13PO PEO PE ∠===……………………………………………………12分。

2021-2022学年安徽省合肥市六校联盟高一(下)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年安徽省合肥市六校联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知i为虚数单位，则(1−i)2的值等于()A. 2−2iB. 2+2iC. −2iD. 2i2.如图，在△ABC中，BC=4，AB=AC=2√5，若△ABC的水平放置直观图为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积为()A. √2B. 2√2C. 3√2D. 4√23.圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为()A. √15B. 4C. 3D. 24.下列说法：(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；(2)棱锥至少有6条棱；(3)有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；(4)以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．正确的个数有()个A. 0B. 1C. 2D. 35.已知向量a⃗=(4,2)，b⃗ =(0,5)，则向量b⃗ 在向量a⃗上的投影向量为()A. (2,1)B. (−2,−1)C. (209,109) D. (6,3)6.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为()A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直7. 已知△ABC 中，AB =AC =3，BC =3√3，现以BC 为旋转轴旋转360°得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( )A. 27πB.27π2C.27π8D.27π48. 如图，在四边形ABCD 中，BC =3，CD =DA =2√3，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =6，E ，F 分别为边BC ，CD 上的动点，且EF =2，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. 4B. 5C. 24D. 25二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在复平面内有一个平行四边形OABC ，点O 为坐标原点，点A 对应的复数为z 1=1+i ，点B 对应的复数为z 2=1+2i ，点C 对应的复数为z 3，则下列结论正确的是( )A. 点C 位于第二象限B. z 1+z 3=z 2C. |z 1−z 3|=|AC|D. z 1⋅z 3=z 210. 已知向量a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(2,λ)，则下列叙述不正确的是( ) A. 若a⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则λ>2 B. 若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则λ=2 C. 若λ=2，则a ⃗ 与b ⃗ 垂直D. 若λ<2，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角11. 已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论正确的是( )A. 该多面体的体积为8√23B. 该多面体的外接球的表面积为8πC. 该多面体的内切球的体积为8√627πD. 该多面体的表面积为812.如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，P是AB上的一动点，则下列选项正确的是()A. DP的最小值为3√55B. DP的最小值为√5C. AP+PC1的最小值为√6D. AP+PC1的最小值为√1705三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，则这个正四棱台的体积为______．14.已知复数z的共轭复数是z−，满足z(1+√3i)=2(i为虚数单位)，则z−的虚部为______．15.设2a+1，a，2a−1为钝角三角形的三边，则a范围为______．16.已知a⃗,b⃗ 是两个平面向量，|b⃗ |=2√2，且对任意t∈R，恒有|b⃗ −t a⃗|≥|b⃗ −a⃗|，则|a⃗−b⃗ |+|a⃗|的最大值是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量a⃗=(√2,√2)，|b⃗ |=2，且(2a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =8．(1)设向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，求θ的值；(2)若(a⃗+k b⃗ )⊥(b⃗ −a⃗ )，求实数k的值．18.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=5，AB=5，AA1=4，DG=BE=1，CF=2．(1)求平面四边形AEFG的面积；(2)求几何体ABCDEFG的体积．19.如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地(记为△ABC)，现修成草坪，图中MN把草坪分成面积相等的两部分，点M在AB上，点N在AC上．(1)若AM=75米，求AN长；(2)如果MN是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管MN最短，请确定点M，N的位置，并求MN的最小值．20.已知圆锥的底面半径R=6，高ℎ=8．(1)求圆锥的表面积和体积；(2)如图若圆柱O′O内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值．21. 如图，在△ABC 中，已知AB =5，AC =4且，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16，2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)设AD 与CE 交于点F ，求∠DFE 的余弦值大小．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知2sinAcosB =sinC ，且边BC 上的中线长为4． (1)证明：A =B ； (2)求△ABC 面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：化简可得(1−i)2=1−2i+i2=−2i故选：C．由完全平方公式展开化简可得．本题考查复数的代数形式的运算，属基础题．2.【答案】B【解析】解：在△ABC中，BC=4，AB=AC=2√5，所以底边BC上的高为AO=√(2√5)2−22=4，所以△ABC的面积为S△ABC=12×4×4=8，所以△ABC水平放置的直观图△A′B′C′的面积为S△A′B′C′=√24S△ABC=√24×8=2√2．故选：B．求出△ABC的面积，利用平面图形水平放置的直观图面积与原图形的面积比为√24，计算即可．本题考查了平面图形水平放置的直观图面积与原图形的面积计算问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：圆锥的母线长是4，侧面积是4π，即12×α×42=4π，侧面展开图的圆心角为α=π2；所以14×2π×4=2π⋅r，解得底面圆半径为r=1，该圆锥的高为PO=√PA2−OA2=√42−12=√15．故选：A．根据圆锥的结构特征，求出侧面展开图的圆心角，计算底面圆半径和圆锥的高．本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．4.【答案】B【解析】解：对于(1)：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定为棱柱，例如两个斜棱柱扣到一块构成的几何体就不叫棱柱，故(1)错误；对于(2)：三棱锥中有6条棱，故(2)正确；对于(3)：有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，与棱台的定义不符，故(3)错误；对于(4)：直角三角形以斜边为轴旋转得到的几何体为两个倒扣的圆锥，故(4)错误．故选：B．直接利用棱锥和棱台的定义和性质的应用判断即可得结论．本题考查的知识要点：棱锥和棱台的定义和性质的应用，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：向量a⃗=(4,2)，b⃗ =(0,5)，则向量b⃗ 在向量a⃗上的投影为|b⃗ |cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |=√16+4=√5；所以向量b⃗ 在向量a⃗上的投影向量为√5√16+4×(4,2)=(2,1)．故选：A．根据平面向量的投影定义，结合向量的数量积，转化求解的投影和投影向量．本题考查了平面向量的投影和投影向量计算问题，是基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查立体几何中的空间中直线与直线的位置关系，考查异面直线的概念，异面直线所成角的概念及求法，以及由正方体的平面展开图可以画出它对应的直观图，属于基础题．根据该正方体的平面展开图画出对应的直观图，即可判断AB，CD的位置关系，并求得所成的角．【解答】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出AB与CD异面；如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则AB//CE；∴∠DCE为异面直线AB，CD的夹角，并且该角为60°；∴AB，CD异面但不垂直．故选D．7.【答案】D【解析】解：如图所示，旋转体的轴截面为边长为3的菱形，O为内切球的球心，因为AB=AC=3,BC=3√3，所以cos∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC =9+9−272×3×3=−12，因为0°<∠BAC <180°，所以∠BAC =120°，所以∠ABC =∠ACB =30°，所以内切球的半径r =AC ⋅sin30°⋅cos30°=3√34，故S =4×π×(3√34)2=27π4，故选：D ．如图作出旋转体的轴截面，由题意可得轴截面为边长为3的菱形，其中∠BAC =120°，从而可求出内切球的半径，进而可求出其表面积．本题考查了旋转体内切球的表面积，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设EF 的中点为M ，连接CM ，∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即CE ⊥CF ，∴CM =1．可得M 的轨迹是以C 为圆心，以1为半径的一段圆弧，连接AC ，AM ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+12=36， ∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6． AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∵|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−1=5， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥25−14×4=24，即AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为24．故选：C ．设EF 的中点为M ，连接CM ，可得CM =1，连接AC ，AM ，由已知求得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，再由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2及|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−1=5，即可求得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化、数形结合思想，考查灵活变形及运算求解能力，是中档题．9.【答案】BC【解析】解：如图，由题意，O(0,0)，A(1,1)，B(1,2)，∵OABC为平行四边形，则C(0,1)，∴z3=i，点C位于虚轴上，故A错误；z1+z3=1+i+i=1+2i=z2，故B正确；|z1−z3|=|1+i−i|=1=|AC|，故C正确；z1z3=(1+i)i=−1+i≠z2，故D错误．故选：BC．由题意画出图形，求出C的坐标，得到z3，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合思想，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：∵向量a⃗=(−1,1)，b⃗ =(2,λ)，若a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，则a⃗⋅b⃗ >0，即−2+λ> 0，求得λ>2，故A正确；若a⃗与b⃗ 共线，则2−1=λ1，则λ=−2，故B错误；若λ=2，∵a⃗⋅b⃗ =−2+λ=0，故a⃗与b⃗ 垂直，故C正确；若λ<2，则a⃗⋅b⃗ =−2+λ<0，则a⃗与b⃗ 的夹角为钝角或平角180°，故D错误，故选：BD．由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量的夹角，得出结论．本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的夹角，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：如图所示，该多面体是每个面都是正三角形的正八面体，其中四棱锥P−ABCD和四棱锥Q−ABCD都是正四棱锥，所以四边形ABCD是正方体，且PO⊥平面ABCD，V八面体=2V P−ABCD=2⋅13⋅S ABCD⋅PO=2⋅13⋅2⋅2⋅√22−(√2)2=8√23，故A正确；连接AB，CD，PQ，三条直线相交于点O，因为OA=OB=OC=OD=OP=OQ=√2，所以O为正八面体的外接球球心，且外接球的半径为√2，故S外接球=4π⋅(√2)2=8π.故B正确；正八面体内切球的半径即点O到平面ABP的距离，设为r，则V O−ABP=V P−AOB⇔13⋅√34⋅22⋅r=13⋅12⋅(√2)2⋅√2，解得r=√63，故V内切球=43π⋅(√63)3=8√627，故C正确；S八面体=8S△ABP=8⋅√34⋅22=8√3，故D错误．故选：ABC．根据条件，可知该几何体是每个面都是正三角形的正八面体，然后依次判断各个选项即可．本题考查几何体体积，外接球和内切球问题，考查的核心素养为直观想象和数学运算，属于难题．12.【答案】AD【解析】解：显然当DP⊥A1B时，DP取得最小值，在△A1BD中，A1B=A1D=√5，BD=√2，∴S△A1BD =12×√2×√5−(√22)2=32，∴D 到直线A 1B 的距离为2S △A 1BD A 1B=3√55，即DP 的最小值为3√55，故A 正确，B 错误；将△A 1BC 1绕A 1B 旋转到平面ABA 1上，如图所示：则AB =1，AA 1=2，A 1B =BC 1=√5，A 1C 1=√2， ∴cos∠ABA 1=1√5，cos∠A 1BC 1=5+5−22×√5×√5=45，sin∠ABA 1=2√5，sin∠A 1BC 1=35， ∴cos∠ABC 1=1√5×45−2√5×35=−25√5，∴AP +PC 1的最小值为AC 1=√1+5−2×1×√5×(−25√5)=√1705，故C 错误，D 正确．故选：AD ．利用面积法求出D 到直线A 1B 的距离得出DP 的最小值，将△A 1BC 1绕A 1B 旋转到平面ABA 1上，计算AP +PC 1的最小值．本题考查了空间距离的计算，将不同线段转化到同一平面上去计算，属于中档题．13.【答案】28√73【解析】解：上底面的对角线长为2√2，下底面的对角线长为4√2，侧棱长为3，所以正四棱台的高为√32−(4√2−2√22)2=√7，所以正四棱台的体积为13×(4+√4×6+16)×√7=28√73．故答案为：28√73．求得棱台的高，进而求得棱台的体积．本题主要考查棱台的体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】√32【解析】解：由z(1+√3i)=2，得z=1+√3i =√3i)(1+√3i)(1−√3i)=√3i)1−(√3i)2=2(1−√3i)1+3=12−√32i，∴z−=12+√32i，即z−的虚部为√32．故答案为：√32．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．15.【答案】(2,8)【解析】解：由题意得：2a+1为最大边，所对的角为钝角，设为α，∴cosα=a2+(2a−1)2−(2a+1)22a(2a−1)=a2−8a2a(2a−1)<0，∵2a(2a−1)>0，∴a2−8a<0，解得：0<a<8，又a+2a−1>2a+1，∴a>2，则a的范围为(2,8)．故答案为：(2,8)由三边长得到最大边为2a+1，所对的角为钝角，设为α，利用余弦定理表示出cosα，将三边长代入，根据cosα的值小于0，列出关于a的不等式，同时根据两边之和大于第三边列出不等式，求出两不等式解集的公共部分即可得到a的范围．此题考查了余弦定理，以及三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16.【答案】4【解析】解：∵对任意t∈R，恒有|b⃗ −t a⃗|≥|b⃗ −a⃗|，∴向量b⃗ 的终点到向量a⃗所在直线的距离最短．∴a⃗⊥(b⃗ −a⃗ ).设|a⃗|=x，|b⃗ −a⃗|=y，则x2+y2=(2√2)2=8，∴|a⃗−b⃗ |+|a⃗|=x+y=√(x+y)2=√x2+y2+2xy=√8+2xy≤√8+x2+y2=4，当且仅当“x=y”时“=”成立．∴最大值为4．故答案为：4．由向量加法几何意义和基本不等式可解决此题．本题考查向量加法几何意义、基本不等式、数形结合思想，考查数学运算能力及直观想象能力．17.【答案】解：(1)∵设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，∵向量a ⃗ =(√2,√2)，|b ⃗ |=2，且(2a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =8=2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2×2×2cosθ+4，∴cosθ=12，∴θ=π3．(2)若(a ⃗ +k b ⃗ )⊥(b ⃗ −a ⃗ )，则(a ⃗ +k b ⃗ )(b ⃗ −a ⃗ )=(1−k)a ⃗ ⋅b ⃗ −a ⃗ 2+k b ⃗ 2=(1−k)×2×2×cos π3−4+4k =0，∴k =1．【解析】(1)由题意利用两个向量的数量积的定义，求得θ的值． (2)由题意利用两个向量垂直的性质，求得k 的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)在平面CC 1D 1D 中，过G 作GM ⊥C 1C ，由DG =1，CF =2，可得FM =1，在Rt △GMF 中，求得GF =√52+12=√26，在Rt △ABE 中，求得AE =√26，则AE//GF 且AE =GF ， ∴四边形AGFE 为平行四边形．又AG =√AD 2+DG 2=√52+12=√26，AF =√AC 2+CF 2=√(5√2)2+22=3√6，在△AGF 中，可得cos∠AGF =2×√26×√26=−126， ∴sin∠AGF =√1−(−126)2=15√326．∴平面四边形AEFG 的面积S =AG ⋅GF ⋅sin∠AGF =√26×√26×15√326=15√3；(2)几何体ABCDEFG 的体积V =V A−DCFG +V A−BCFE ==2×13×12×(1+2)×5×5=25．【解析】(1)证明四边形AEFG为平行四边形，求出∠AGF的余弦值，进一步得到正弦值，利用平行四边形面积公式求解；(2)把几何体ABCDEFG的体积转化为两个全等的四棱锥的体积求解．本题考查长方体截面四边形面积的求法，考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由AM=75，S△AMN=12S△ABC=12×12×10×10×sin60°=1250√3，设AN=a，则S△AMN=12×75×a×sin60°=1250√3，∴a=2003，即AN的长为2003．(2)设MN=y，AM=x，在△AMN中由余弦定理可得y2=x2+AN2−2xANcos60°，又S△AMN=12xANsin60°=1250√3，∴AN=5000x，∴y2=x2+(5000x)2−5000，∴y=√x2+(5000x)2−5000≥√2×5000−5000=50√2，当且仅当x2=(5000x)2，即x=50√2时取等号；即当M，N分别在AB，AC上距离A点50√2米时MN距离最小，最小值为50√2．【解析】(1)利用题中的条件三角形△AMN的面积是三角形△ABC面积的一半，即可解出；(2)设AM=x，则利用三角形△AMN的面积是三角形△ABC面积的一半，可将AN的长度用x表示出，再利用余弦定理即可解出．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，解三角形，属于基础题．20.【答案】解：(1)∵圆锥的底面半径R=6，高H=8，∴圆锥的母线长L=√H2+R2=10，则表面积S=πRL+πR2=60π+36π=96π，体积V=13πR2H=96π．(2)作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中SO =8，OA =OB =6，OK =ℎ(0<ℎ<8)，设圆桂底面半径为r ，则r6=8−ℎ8，即r =34(8−ℎ)．设圆柱的们面积为S =2πr ⋅ℎ=2π⋅34(8−ℎ)⋅ℎ=3π2(−ℎ2+8ℎ)．当ℎ=4时，S 有最大值为24π．【解析】(1)由已知求得圆雉的母线长，再由圆雉的侧面积与体积公式求解； (2)作出圆柱与圆雉的截面图，把圆柱的侧面积用S′表示，然后结合二次函数求最值．本题考查圆锥的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16−16=0，所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16． (2)因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，而AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+16CB⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−132，所以cos∠DFE =CE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CE⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−13252⋅√17=−13√1785．【解析】(1)由向量的线性运算及向量的数量积运算即可求得可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)由向量的数量积运算及夹角公式即可求解∠DFE 的余弦值．本题主要考查向量的线性运算及平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)因为2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA，所以sinAcosB−sinBcosA=0，即sin(A−B)=0，所以A=B；解(2)：由(1)a=b，取BC的中点D，△ABD中，由余弦定理得，c2=AD2+(a2)2−2AD⋅a2cos∠ADB，△ACD中，由余弦定理得，b2=AD2+(a2)2−2AD⋅(a2)cos∠ADC，因为∠ADB+∠ADC=π，两式相加得，c2+b2=2AD2+a22，即a2+2c2=64，由0<c2<32，a2=64−2c2>0，S△ABC=c2⋅√a2−c24=14√c2(4a2−c2)=14√−9(c2−1289)2+(1283)2≤14×1283=323，所以△ABC面积的最大值323．【解析】(1)由已知结合和差角公式进行化简即可证明；(2)由已知结合余弦定理及诱导公式进行化简，然后结合三角形面积公式及二次函数的性质可求．本题主要考查了和差角公式，余弦定理，三角形面积公式及二次函数的性质在求解最值中的应用，属于中档题．。

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2020-2021学年安徽省合肥一六八中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】先由欧拉公式计算可得i312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝⎭，在第一象限. 故选：A .2．若A 是直线m 外一点，过点A 且与m 平行的平面（） A ．存在无数个 B ．不存在 C ．存在但只有一个 D ．只存在两个【答案】A【分析】根据线面平行的判定方法可直观想象得到结果.【详解】过点A 作直线m 的平行线l ，则经过l 且不经过m 的所有平面均与m 平行，故有无数个. 故选：A.3．如图，A B C '''表示水平放置的ABC 根据斜二测画法得到的直观图，A B ''在x '轴上，B C ''与x '轴垂直，且2B C ''=，则ABC 的边AB 上的高为（）A ．2B ．22C ．4D ．42【答案】D【分析】过C '作//C D y ''轴交x '轴于D ，根据斜二测画法：平行依旧垂改斜，横定纵半竖不变，知ABC 的边AB 上的高为C D '的二倍，即可求高.【详解】过C '作//C D y ''轴交x '轴于D ，则45C DB ''∠=︒，而B C ''与x '轴垂直，且2B C ''=，如下图，∴22C D '=ABC 的边AB 上的高为242C D '=故选：D4．在ABC 中，点D 是线段BC (不包括端点)上的动点，若AB x AC y AD =+，则（） A ．1x > B ．1y > C ．1x y +> D ．1xy【答案】B【解析】设()01BD BC λλ=<<，由此用,AC AD 表示出AB ，则可得,x y 关于λ的表示，从而通过计算可判断出正确的选项.【详解】设()01BD BC λλ=<<，所以AD AB AC AB λλ-=-，所以()1AB AD AC λλ-=-，所以111AB AD AC λλλ=---，所以1,11x y λλλ=-=--，所以01x λλ=-<-，11=11111y λλλλλλ-+==+>---，又111x y λλ-+==-，()201xy λλ=-<-，故选：B.【点睛】结论点睛：已知平面中、、A B C 三点共线 (O 在该直线外)，若OA xOB yOC =+，则必有1x y +=.5．下列命题中正确的是（） A ．若2,10x C x ∈+=，则i x =B ．若复数12,z z 满足22120z z +=，则120z z == C ．若复数z 为纯虚数，则22z z =D ．若复数z 满足(2i)34i z +=-，则复数z 的虚部为1- 【答案】D【分析】通过复数的相关运算推理，分别举出对应特例，逐个选项进行判断，从而得出答案．【详解】解：对于A ，由210x +=，21x =-，x C ∈，令i x a b a b R =+∈，，，2222(i)2i x a b a b ab ∴=+=-+，则221a b -=-，20ab =，得0a =，21b =，1b ∴=±．即i x =±．故A 错．对于B ，设111(i)z a b =+，()2221122i ,,,z a b a b a b R =+∈，，则2222121222(i)(i)0z z a b a b +=+++=，得222212120a a b b +--=，且11222()0a b a b +=，当21a b =-，12a b =时成立，则B 错．对于C ，设i,,0z m m R m =∈≠，22||z m =，222(i)z m m ==-，22||z z ∴≠，故C 错误．对于D ，由复数z 满足(2i)|34i |z +=-，|34i |5-=，(2i)5z +=， 52i 2iz ==-+， 2i z ∴=-，则复数z 的虚部为1-，故D 答案正确．故选：D ．6．已知Rt ABC 中90,3,4C AC BC ∠=︒==，P 为线段AB 上的点，且||x yCP CA CB CB CA=+，则xy 的最大值为（） A ．3 B ．2C ．4D ．1【答案】A【分析】根据三点共线的关系得出134x y+=，利用均值不等式即可求出结果.【详解】设()01BP mBC m =≤≤，所以()()1CP CB BP CB mBA CB m CB CA mCA m CB =+=+=+-+=+-，又因为||x yCP CA CB CB CA=+，所以1||x y CB CA +=，即134x y +=，所以134343x y x yxy+=≥⋅34134x yx y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，等号成立，因此3xy ≤，故xy 的最大值为 3.故选：A.7．已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β等于 A 2B 2C 22D 42【答案】 C【分析】利用平方运算可求得a 和b ，根据数量积的运算律可求得a b ⋅，根据cos a b a bβ⋅=⋅可求得结果.【详解】()2222121122329124912cos 49a e e e e e e α=-=-⋅+=-+= 3a ∴=()222212112239696cos 18b e e e e e e α=-=-⋅+=-+= 22b ∴=又()()221212112232399299cos 28a b e e e e e e e e α⋅=-⋅-=-⋅+=-+=822cos 322a b a bβ⋅∴===⨯⋅【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够熟练掌握向量夹角公式cos ,a b a b a b⋅<>=⋅，利用平方运算和数量积运算律求得公式的各个构成部分.8．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为（）A ．)154πB ．()2154πC ．()3154πD ．()4154π【答案】D【解析】设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为h ，根据题意列出方程求出r 的值，再计算圆柱和圆锥侧面积之和即可求解.【详解】设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为h ，则4rl π=π，4r 4π=π，解得：1r =，所以24115h -圆柱体的侧面积为222215415r h πππ⋅=⨯=，所以制作这样一个粮仓的用料面积为()454π. 故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用圆锥的侧面积和母线长求出圆锥和圆柱底面圆的半径，再利用母线和底面半径求出圆锥的高，进而求出圆柱的高，再计算两个几何体侧面积之和即可.9．“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C ，D 两点间的距离，除了观测点C ，D 外，他又选了两个观测点12,P P ，且12PPa =，已经测得两个角1221,PP D P PD αβ∠=∠=，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C ，D 间距离的有（）组①1DPC ∠和1DCP ∠；②12PP C ∠和12PCP ∠；③1PDC ∠和1DCP ∠ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【分析】由已知条件结合正余弦定理，可判断所选的条件是否可以求出DC . 【详解】由12PP a =，1221,PP D P PD αβ∠=∠=， ∴可求出2DP 、1DP ，①1DPC ∠和1DCP ∠：△1DPC 中111sin sin DP DC DPC DCP =∠∠，即可求DC ；②12PP C ∠和12PCP∠：可求1DPC ∠、1PC ，则在△1DPC 中222111112cos DC DP PC DP PC DPC =+-⋅⋅∠求DC ；③1PDC ∠和1DCP ∠：可求1DPC ∠，则在△1DPC 中111sin sin DP DC DPC DCP =∠∠，即可求DC ；∴①②③都可以求DC . 故选：D10．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则（）A ．353522CT CA CE --=+ B ．515122CT CA CE --=+C ．515122CT CA CE --=+ D ．355142CT CA CE --=+ 【答案】A【分析】设AP a =，根据PT AP =,PT CP =，进而得到51515151,222CP CA PT TE CE CT +---===-，然后由CT CP PT =+求解.【详解】设AP a =，因为PT AP =所以,,PT CP CA ===，所以51515151,222CP CA PT TE CE CT +---===-，因为CT CP PT =+，51512CA CE +-=+，所以2515151CT CA CE +-=⋅++， 51CE -+，352CE -=+. 故选：A11．已知ABC 是边长为其中心为O ，P 为平面内一点，若1OP =，则PA PB ⋅的最小值是 A ．11- B ．6-C ．3-D ．15-【答案】A【分析】作出图像如下图所示，取AB 的中点为D ，由1OP =，则P 在以O 为圆心，以1为半径的圆上，再由公式()()()()22222+21244PA PB PA PBPD AB PA PB PD ---⋅===-，可得选项.【详解】作出图像如下图所示，取AB 的中点为D ，则123OD ==，因为1OP =，则P 在以O 为圆心，以1为半径的圆上，则()()()()22222+21244PA PB PA PBPD AB PA PB PD ---⋅===-.又PD 为圆O 上的点P到D 的距离，则min 211PD =-=， ∴PA PB ⋅的最小值为11-. 故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积的最值，转化法是解决此类问题的常用方法，属于中档题.12．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC --=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（） A ．2.5 B ．3C ．3.5D ．4【答案】D【分析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点()0,0B 、()(),00C a a ≠、(),A b c 、(),O m n ，根据已知条件求出点O 的坐标，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点()(),00C a a ≠、(),A b c 、(),O m n ，则(),OA b m c n =--，(),OB m n =--，(),OC a m n =--，由2730OA OB OC --=可得8320820m a b n c -+=⎧⎨+=⎩，解得3184m a b =-，14n c =-，所以，12ABC S ac =△，111248BOC S a c ac =⨯=△，因此，4ABC BOCS S =△△. 故选：D. 二、填空题13．已知z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-则(1)z z ⋅+=___________. 【答案】13i -【分析】由题意可知1i z =-，再利用复数的四则运算求解．【详解】解：z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，1i z ∴=-，2(1)(1i)(2i)2i 2i i 13i z z ∴⋅+=--=--+=-，故答案为：13i -．14．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．【答案】61π【解析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积.【详解】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O ，圆台上底面的圆心为'O ，则圆台的高2222''543OO OQ O Q =--，据此可得圆台的体积：()22135544613V ππ=⨯⨯+⨯+=.故答案为：61π.【点睛】关键点点睛：本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后利用几何关系确定圆台的高度即可求得其体积.15．南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”.他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”.世界各国从小学､中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理､定律和解题原则.科学史家称秦九韶：“他那个民族､他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”.在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S =a ､b ､c ､S 为三角形的三边和面积）表示，在ABC 中，a ､b ､C 分别为角A ､B ､C 所对的边，若3a =，且22cos cos 3c b C c B -=，则ABC 面积的最大值为___________.【分析】由已知结合余弦定理进行化简可得a ，b 的关系，然后结合已知公式代入后，利用二次函数的性质可求．【详解】解：因为3a =且22cos cos 3c b C c B -=，由余弦定理得22222222223a b c a c b c b c ab ac +-+-⋅-⋅=，即22222992663b c c b c b c b c +-+-⋅-⋅=，即2226b c =，所以b =，因为ABCS=24319322⨯当29c =，即3c =时，ABCS三、双空题16．已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】 0【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.【详解】正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=，BD AD AB =-， AB •AD =0，()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB ADλ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min 0AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ=()()2212345613562456AB BC CD DA AC BD AB ADλλλλλλλλλλλλλλ+++++=-+-+-++()()2213562456λλλλλλλλ=-+-+-++ ()()2213562456λλλλλλλλ≤++-++++()()22565622λλλλ=+-+++()()()225656565684λλλλλλλλ=+-+++-++()225682λλ=++12=+1220=+=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正．比如1234561,1,,1,1,11λλλ=-λλ=-=λ===则123456max AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ=点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题．【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 四、解答题17．如图，已知复平面内平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为1-，AB 对应的复数为22i,BC +对应的复数z ，且44i z =+（1）求D 点对应的复数；（2）求平行四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）34i -；（2）16【分析】（1）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（2）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【详解】解：（1）依题意，点A 对应的复数为1-，AB 对应的复数为22i +，所以(1,0)A -，(2,2)AB =，可得(1,2)B ．又BC 对应的复数z ，且44i z =+，所以44i z =-，所以(4,4)BC =-，可得()52,-C ．设D 点对应的复数为i x y +，x ，y R ∈．所以(5,2)CD x y =-+，(2,2)BA =--．ABCD 为平行四边形，∴BA CD =，即5222x y -=-⎧⎨+=-⎩解得34x y =⎧⎨=-⎩，故D 点对应的复数为34i -．（2）由（1）可知(2,2)AB =，(4,4)BC =-，可得：0AB BC ⋅=，∴AB BC ⊥．又||22AB =||42BC =故平行四边形ABCD 的面积224216S ==．18．如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=，2DB AD =，2CE EB =.（1）求CD 的长；（2）求AB DE ⋅的值．【答案】（117；（2）73.【解析】（1）将CD 用AB 和AC 表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2CD 的值，即可得出CD 的长；（2）将DE 利用AB 和AC 表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出AB DE ⋅的值．【详解】（1）2DB AD =，13AD AB ∴=，13CD AD AC AB AC ∴=-=-， 2AB =，3AC =，60BAC ∠=，1cos602332AB AC AB AC ∴⋅=⋅=⨯⨯=.222222112126723339393CD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-=-⋅+=⨯-⨯+=⎪⎝⎭；（2）2CE EB =，13BE BC ∴=，()212111333333DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC ∴=+=+=+-=+， 221111117233333333AB DE AB AB AC AB AB AC ⎛⎫∴⋅=⋅+=+⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.19．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点F 在棱1CC 上，过B ，1D ，F 三点的正方体的截面α与直线1AA 交于点E .（1）找到点E 的位置，作出截面α（保留作图痕迹），并说明理由；（2）已知CF a =，求α将正方体分割所成的上半部分的体积1V 与下半部分的体积2V 之比.【答案】（1）答案见解析；（2）12:1V V =.【分析】（1）过F 作//FG DC ，且交棱1DD 于点G ，在正方形11ADD A 内过1D 作1//D E AG ，且交棱1AA 于点E ，连接EB ，1ED ，则四边形1BED F 就是要作的截面α，再证明1BED F 是平行四边形；（2）()01CF a a =<<.由（1）的证明过程，可得1A E a =，连接11D B ，则平面α将正方体分割所成的上半部分的几何体，计算四棱锥111D A EBB -与四棱锥111D B BFC -的体积，再计算正方体的体积可得答案.【详解】（1）在正方形11CDD C 中，过F 作//FG DC ，且交棱1DD 于点G ，连接AG ，在正方形11ADD A 内过1D 作1//D E AG ，且交棱1AA 于点E ，连接EB ，1ED ，则四边形1BED F 就是要作的截面α.理由：由题意，平面α平面11AD D E =，α平面1BC BF =，平面1//AD 平面1BC ，应有1//D E BF ，同理，1//BE FD ，所以四边形1BED F 应是平行四边形，由作图过程，//FG DC ，FG DC =，又//AB DC ，AB DC =，所以//AB FG ，AB FG =，所以四边形ABFG 是平行四边形，所以//AG BF ，AG BF =，由作图过程，1//D E AG .又1//EA D G ，所以四边形1EAGD 是平行四边形，所以1//D E AG ，1D E AG =，又//AG BF ，AG BF =，所以1//D E BF ，且1D E BF =，所以1BED F 是平行四边形，四边形1BED F 就是要作的截面. （2）由题意，()01CF a a =<<，由（1）的证明过程，可得1A E a =，连接11D B ，则平面α将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥111D A EBB -与四棱锥111D B BFC -的组合体，1111111D A EBB D B BFC V V V --=+()()1111111113232a a -+⨯⎡⎤+⨯⎣⎦=⨯⨯+⨯⨯12=，而该正方体的体积1V =，2111122V V V =-=-=.所以12:1V V =.【点睛】本题考查了正方体中截面的做法和体积的求法，解题的关键点是作出截面，考查了学生的空间想象力和计算能力.20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足22242b ac =+- （1）求cos A 和sin A 的值.（2）若3sin 2sin 0c A a B =，且ABC 的面积22ABCS =c 的值.【答案】（1）22cos A =1sin 3A =；（2）22c =【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得cos A 的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A 的值．（2）由正弦定理化简已知等式，结合sin 0A ≠，可得32cb ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】解：（1）因为22242b ac =+-．由余弦定理可得422cos bc A =，解得2cos 3A =，又()0,A π∈，所以21sin 13A cos A =-．（2）因为3sin 2sin 0c A aB =，所以由正弦定理可得3sin sin 2sin C A A B =，由于sin 0A ≠，所以可得3sin 2C B =，即32c b =，可得32cb ，所以111sin 223ABCSbc A c ==⨯，解得c =21．在复平面内，O 是原点，OA ，OB 对应的复数分别为2cos 23i x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()22x i +2cos 23x π⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，i 为虚数单位.设函数()f x OA AB =⋅.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()y f x m =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（2）[1,2).【分析】由题设知AB OB OA =-，确定其坐标，应用向量数量积的坐标表示、两角和余弦公式、辅助角公式，可得()2sin(2)6f x x π=+.（1）根据正弦函数的单调区间，应用整体法求()f x 的单调递增区间即可；（2）将问题转化为y m =与()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，根据三角函数的性质有()[1,2]f x ∈-，进而可求m 的范围.【详解】由题设知：(2,cos(2))3OA x π=+，(22,2cos(2))3OB x x π=++，∴(32,2)AB OB OA x =-=，则()2322cos(2)cos 222sin(2)36f x OA AB x x x x x ππ=⋅=++==+，（1）由()f x 在222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈上单调增，∴()f x 在,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈上递增，即递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈.（2）由题设知：2sin(2)6x m π+=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个根，而此时72666x πππ≤+≤，∴2sin(2)[1,2]6x π+∈-，即y m =与()f x 有两个交点，∴[1,2)m ∈【点睛】关键点点睛：（1）由向量减法的坐标表示求AB ，进而根据向量数量积的坐标表示、两角和余弦公式、辅助角公式化简三角函数，进而研究其单调区间.（2）将问题转化为两个函数的交点问题，结合三角函数性质求参数范围.22．目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G 基站AB ，已知基站高50m AB =，该同学眼高1.5m （眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得基站底部B 的仰角为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°．（1）求出山高BE （结果保留整数）；（2）如图，当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离m MD x =，且记在M 处观测基站底部B 的仰角为α，观测基站顶端A 的仰角为β.试问当x 多大时，观测基站的视角AMB ∠最大?参考数据：sin80.14︒≈，sin370.6︒≈，sin 450.7︒≈，sin1270.8︒≈．【答案】（1）152m ；（2）1003x =【分析】（1）在ABC 中，由正弦定理求出BC ，即可求出BD ，进而求出；（2）根据题意得出tan tan()AMB βα∠=-，列出关于x 的式子，利用基本不等式可求出. 【详解】解：（1）由题知8,45ACB BAC ∠=∠=，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC=∠∠，即50sin8sin 45BC =，所以500.72500.14BC ⨯≈=，在Rt BDC 中，sin BDBCD BC ∠=，即sin 37250BD =，所以2500.6150BD ≈⨯=，所以山高150 1.5151.5152BE BD DE =+=+=≈m.（2）由题知AMD β∠=，BMD α∠=，则在Rt BMD △中，150tan BD MD xα==，在Rt AMD 中，200tan AD MD xβ==，由题知AMB βα∠=-，则tan tan tan tan()1tan tan AMB βαβααβ-∠=-=+220015050200150300001x x x x x x -==++⋅5030000x x =≤==+ ，当且仅当30000x x=即x =时，tan ACB ∠取得最大值，即视角最大.。