数列的迭代与递推

数列的迭代与递推

数列尤其是等差、等比数列，在考纲，重要性不言自明，而数列的迭代与递推型问题是我省近年来数学高考的热点和难点．这类问题一般运用累加法、累乘法、构造等差等比（或常数列）法、迭代法等“化归”的思想来解决．

第一节研究递推数列问题之基本方法

1．递推数列处理的最根本的解决方法是迭代法．迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，有的数列通过有限次的迭代，一定能求出通项公式．运用迭代法解决递推数列的通项公式问题是提高解题能力的有效途径．

2．构造与转化也是研究递推数列的一种常用的手段和方法，是我们必须具备的一种数学能力．

例1已知数列{a n } 满足a 1 = 1，a n +1 = 3a n + 1．求{a n }的通项公式．

分析此题的基本方法是由a n +1 = 3a n + 1，构造新数列

12n a ⎧⎫+⎨⎬

⎩

⎭是一个首项为32，公比为3的等比数列，从而求得

31

=2

n n a -．这种构造新数列的方法有时往往不能理解为何要这样配凑，于是也就仅限于依葫芦画瓢而已，其实此类型问题可采用迭代法求解． 解2122313(31)1331

n

n n n a

a a a ---=+=++=++32123133313331n n n a a ---=+++=⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅++

1

2

31

3

3

312

n n n ---=++⋅⋅⋅++=． 注：迭代法的实质就是通过反复替换，将a n 与a n －1的关系最终替换为a n 与a 1的关系，从而求出通项．实际上，累加法适用的递推数列类型可以看做是此类型的特例( p = 1) ，故一般都可用迭代法加以解决，如教材中对等差( 等比) 数列的概念就是以递推式的形式给出的，然后用累加( 累乘) 法证明通项公式，自然也可以用迭代法推导出其通项公式．由此可见，迭代法并非什么高深莫测的方法，而是通性通法．

例2（2020年）设数列{}n

a 满足1=2a ，211

32n n n a

a -+-=⋅．求{}

n a 的通项公式．

解：2(1)1132n n

n a

a ---=+⨯2(2)1232(32)32n n n a ----=+⨯+⨯=252323232n n n a ---=+⨯+⨯

2(3)125233(32)3232n n n n a -----=+⨯+⨯+⨯=⋅⋅⋅ 35252313(22222)n n a --=+⨯+++⋅⋅⋅++

21

212112

2232(22)212

n n n a ----=+⨯=+-=-． 变式1设数列{}n

a 的前n 项和为S n ，满足11221(N )n n

n S

a n +*+=-+∈，

且1

2

35a a a +，

，成

等差数列．

（1）求1

a 的值；

（2）求数列{}n

a 的通项公式．

分析由S n 求出a n +1 = 3a n + 2n 后，可变形为1

1

312

22n n n

n a

a +-=

⋅+，直接迭代，探求a n 与a 1的关系．

解：（1）略； （2）2n ≥时，11221n n

n S

a ++=-+，

1221n n n S a -=-+

两式相减得，1

32n n n a a +=+．

则122112323322n n n n

n n a

a a -----=+=+⋅+323213332322n n n n a ----=+⋅+⋅+=⋅⋅⋅

1201133232n n n a ---=+⋅+⋅⋅⋅+⋅112

323322

13

n n n n ---⋅

=

=--

．

n =1时也适合上式，所以32n n n

a

=-．

变式2在数列{}n

a 中，1=1a ，()()11

21N *n n n a

ca c n n ++=++∈，其中实

数0c ≠．求

{}n a 的通项公式．

解：()-1211n n

n a

ca c n =+-+⎡⎤⎣⎦

{}[]12[2(2)1]2(1)1n n n c ca c n c n --=+-++⨯-+

22[2(2)12(1)1]n n c a c n n -=+-++-+=⋅⋅⋅ 11[2112212(1)1]n n c a c n -=+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 12(1)n n c c n -=+-．

注：（1）依次迭代后主要是求和问题； （2）本题也可转化为1

+1

=

21n n

n n

a

a n c

c +++，然后累加法求通项． 变式3已知数列{}n

a 满足1

0a

=，

2a a =(0)a >，122(3)n n n a a a n --=+≥，求{}n

a 的通项公式．

分析相邻三项的递推关系可以先利用迭代法转化为相邻两项的关系，再利用迭代法求解．

解：因为122n

n n a

a a --=+，

所以11223223222n

n n n n n n n n a a a a a a a a a --------+=+=++=+2122a a a =⋅⋅⋅=+=，

所以122n

n a

a a -+=，即11

2

n n a a a -=-+．

所以2

12111222n n n a a a a a a

--⎛⎫⎛⎫

=-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1

2

3

1

11111211222232n n n n a a a a a a ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫=⋅⋅⋅=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=--⎢⎥

⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

．

经检验，n = 1， 2

时也符合通项，所以1

21132n n a a -⎡⎤

⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥

⎣⎦．

注：相邻三项或四项的问题理论上还是可以利用迭代法完成，但可能会较为复杂或者难以发现迭代规律，所以在使用时都应先变形化简再进行迭代，有一定的技巧性． 例3已知数列{}n

a 中，且1

3a

=，对任意的自然数n 都满足

2

1n n a a +=，求数列{}n a 的通项公式．

解：由2

1

n n a

a +=得()2311

2

222222

-12231==3n n n n n n n a a a a a a -----====⋅⋅⋅=．

注：本题也可对2

1

n n a

a +=两边同时取对数得：1lg 2lg n n a a +=，

即1

lg 2lg n n

a

a +=，所以{lg n a }是以

lg3为首项，2 为公比的等比数列，

所以lg a n =1

1

2

1

lg 2

lg3n n a --⋅=，所以a n =1

23n -．

例4已知数列{}n

a 满足1

(1)(1)n n

na n a n n +-+=+，N n *∈，且1

1a =．求

数列{}n

a 的通项公式．

解：由1

(1)(1)n n

na n a n n +-+=+两边同除以(1)n n +，

得111n n a a n n +-=+，从而数列{}n

a n

为首项1

1a =，公差1d =的等

差数列，