《复合材料细观力学》PPT课件

3D knitted composites fo r bicycle helmets
(a) cylinder and flange; (b) egg crate structures; (c) turb ine rotors woven by Techniweav
e Inc.; and (d) various
• 第三节 复合材料性能的自洽理论
50年代，Hershey and Kroner研究多晶体材料的弹性性能时，先后 提出了Self-consistent method . 思想：在计算夹杂内部应力场时，为了考虑其他夹杂的影响，认为夹杂单独处于一 有效介质中，而夹杂周围有效介质的弹性常数就是复合材料的弹性常数。
' ij
C1 ijkl
(
0 kl
' kl
)
0 ij
' ij
C0 ijkl
(
0 kl
' kl
)
C 0
00
ij
ijkl kl
in out 无夹杂存在
假定远场受均匀应力作用，椭球夹杂内场
均匀，给定一均匀本征应变 i*j
0 ij
' ij
C0 ijkl
(
0 kl
' kl
* kl
)
0 ij
' ij
C0 ijkl
复合材料等效弹性模量 C* C 0 (I f A)1
算例：含缺陷纤维复合材料热膨胀系 数预报
• 含圆币型基体裂纹的单向复合材料，假定定 向分布的微裂纹垂直于纤维方向
在纤维夹杂中 C f (~ ' *) Cm (~ ' * *)
* ( f m )T是纤维与基体之间热失 配应变 在圆币型裂纹夹杂中 Cm (~ 2 **) 0
• 按纤维种类分类
• 玻璃纤维复合材料 • 碳纤维复合材料 • 有机纤维复合材料 • 金属纤维复合材料（钨丝、不锈钢丝） • 陶瓷纤维复合材料（硼纤维、碳化硅纤维） • 混杂纤维复合材料（两种以上纤维）
• 按基体材料分类
• 聚合物基复合材料（热固性、热塑性树脂） • 金属基复合材料（铝、钛、镁） • 无机非金属基复合材料（陶瓷、水泥） • 碳碳复合材料
复合材料细观力学(1 )
哈尔滨工业大学 梁军
第一章 绪 论
• 定义：根据国际标准化组织为复合材 料所下的定义，复合材料是由两种或 两种以上物理和化学性质不同的物质 组成的一种多相固体材料。
• 连续体：基体 • 分散体：增强材料 • 两相之间存在界面相
• 复合材料的分类
• 按增强相材料形态分类
• 连续纤维复合材料 • 短纤维复合材料 • 晶须增强复合材料 • 颗粒增强复合材料 • 编织复合材料
(L* L1)1 (L* L2 ) 2 (L* L) P1 即1 A1 , 2 A2 A1, A2为集中因子应变张量
A11 P(L* L1) I P(L1 L) 代入上页公式 A21 I P(L2 L) f1(L1 L) A1 f2 (L2 L) A2 0 f1(L L2 )1 f2 (L L1)1 P 迭代求解
• 对于球形夹杂，具有下列形式：
a1 a2 a3
S1111
S2222
S3333
7 5 15(1
)
S1122
S2233
S3311
(1 5 ) 15(1 )
(4 5 ) S1212 S2323 S3131 15(1 )
其余分量为0
2.2 等效夹杂原理
由于椭球夹杂存在，则
0 ij
2.1Eshelby相变问题
将应变分解为两部分
ij
eij
* ij
扰动应变 本征应变
根据虎克定律，弹性体应力场
ij
Cijkl (kl
* kl
)
将上式代入平衡方程 ij, j 0
C C ijkl kl, j
* ijkl kl, j
分布体力问题
利用格林函数方法和高斯定理：
ui
V
Cmjkl
• Kerner提出广义自洽模型 • 上海交通大学
罗海安 三相模型 基体
等效介质
夹杂
合理原因：
➢考虑夹杂、基体壳和有效介质相互作用，比重平衡 ➢广义自洽理论放宽了相介质之间界面约束 缺点：解题难度增加
补充方程
~ f (S I ) * ~ f ' fC 0 (S I ) *
复合材料内部体平均应变场
* A 0
A {C0 (C1 C0 )[ fI (1 f )S]}1(C0 C1)
(1 f ) (0) f (1) 0 f * (I f A)C 01 0
1987
复合材料有效性能
• 有效弹性模量的影响因素
• 组分材料的弹性常数 • 基体 -各向同性 • 纤维 -横观各向同性
• 微结构特征 • 夹杂形状（纤维、颗粒、晶须、孔洞、裂纹） • 几何尺寸、分布 • 体积含量 • 等等
成熟的细观力学方法
• Eshelby 等效夹杂理论 • 自洽理论（自相似理论） • Mori-Tanaka方法（背应力法） • 微分法 • Hashin 变分原理求解上下限方法 • 其他方法
• Budiansky指出，当离散相为空洞时，按自洽 理论计算的等效剪切模量
G
3(1 1
2 f
f
)
G0
当f 0.5,G 0
原因：仅考虑了单夹杂与周围有效介质的作用，而 当夹杂体积分数或裂纹密度较大时，预报的有效弹 性模量过高（含硬夹杂）或过低（含软夹杂），特 别是夹杂与基体弹性模量相差较大时，等明显。随 机取向微裂纹密度=9/16，有效杨氏模量=0
复合材料有效弹性模量定义
• 两类均匀边界条件
ui
(s)
0 ij
x
j
Ti
(s)
0 ij
n
j
在均匀边条作用下，除边界点附近可能有扰动存在， 统计均匀复合材料应力场和应变场也是统计均匀的。 即，代表性体积单元内场量=复合材料体积平均值
ij
C* ijkl
kl
ij Si*jkl kl
• 证明
V ij
V ij dV
1 2
s(ui n j u j ni )ds
1
2
(
s
0 i
x
n
j
0 j
x
ni
)ds
1 2
V
[(
0 i
x
),
j
(
0 j
x
),i
]dV
1 2
V
(
0 i
x ,
j
0 j
x
,i
)dV
V
0 i
dV
V
0 i
n
C* 0 ijkl kl
f0
0 ij
f
r
r ij
r 1
n
C 0 0 ijkl kl
• 2、铺层设计 铺层方案 • 3、结构设计 产品结构的形状、尺寸、使用环境
分析角度
• 复合材料具有非均匀性和各向异性特 点，这种差别属于物理方面
• 弹性模量、拉压强度、剪切强度、热 膨胀系数等
• 复合材料细观力学的核心任务
• 建立复合材料宏观性能同其组分性能及其细观结构之 间的定量关系，并揭示复合材料结构在一定工况下的 响应规律及其本质，为复合材料优化设计、性能评价 提供必要的理论依据及手段。
• 按材料作用分类
• 结构复合材料 （卫星承力筒） • 功能复合材料 （导电、换能、防热）
复合材料的基本特点
• 共同特点：
• 可综合发挥各种组成材料优点，使一种材料具有多种功能 • 可按对材料性能需要进行材料的设计和制造 • 可制成所需要任意形状产品，避免多次加工工序
• 一般优点：
• 比强度、比刚度、轻质、耐疲劳、减震性好、抗冲击、耐高温、耐腐蚀等等
• 追溯到19世纪爱因斯坦关于两种不同介电性能的电介 质组成的复合电介质等效介电常数预报问题。
• 50年代----70年代
• 80年代快速发展
• 90年代不可缺少
参考教程
• 杜善义、王彪 《复合材料细观力学》科学出版社 1997 • Mura T. Micromechanics of defects in solids. • 杨卫 《宏微观断裂力学》国防工业出版社 1995 • 基础教程 《弹性力学》、《复合材料力学》
在远场均匀应力作用下，夹杂内应力为：
1 L( pt *) L(S I ) *
为了表征夹杂外部材料对夹杂变形的 约束作用，Hill引入一个约束张量使其满足：
1 L*(1 *) L* pt L*S *
夹杂中的应变 1 pt *
L*S L(I S) S PL (L* L)1 L
U
1 2
V ij ij dV
1 2
Ci*jkl
0
ij
k0ldV
U c
1 2
V ij ij dV
1 2
Si*jkl
0
ij
0 kl
dV
第二章 复合材料有效性能
• 第一节 Eshelby等效夹杂理论
1957年Eshelby在英国皇家学会会刊发表了关于无限大体内含有椭球夹杂弹性场 问题的文章，证明了在均匀外载作用时，椭球夹杂内部弹性场亦均匀。（椭圆积分形 式）
Cijkl
* ji
Gmk
,ln
(
x,
x'
)dV
(
x'
)
* mn
(
x)}
out
pq
C pqmn{
Cijkl
* ji
Gmk
,ln
(
x,
x'
)dV
}
得到各向同性介质椭球体中，存在
ij
Sijkl
* kl
S是四阶Eshelby张量，与材料性能和夹杂形状 有关，具有椭圆积分形式，并可推广到各向异 性介质和本征应变不均匀情况。对于特殊形状 夹杂，可以写出解析表达式：
已知
' S1 * 2 S2 **
将（4）是代入（1，3）式中
* [(C f Cm )(S1 I ) C f ]1[(C f Cm )~ (C f Cm )(S1 I ) *]
** (S2 I )1~
由材料内部扰动应力自 平衡（背应力法）得：
~ f1( ' * *) f2 ( 2 **) 0 ~ f1(S1 I )( * *) f2 (S2 I ) **
* kl,
jGim
(
x,
x')dV
(
x'
)
V
C G * mjkl kl im,
j (x,
x')dV (x')
Gim (x, x')
格林函数，表示在x’处沿
方向作用单位集中力，点x处产生的位移i
上分述量位移对应的应变场（几何方程）
ij
Baidu Nhomakorabea
1 2
(ui, j
u j,i )
in
pq
C pqmn{
• 设给定复合材料在其边界上受到远场均匀应 力场作用
在基体中（0） 0 ~ C0 ( 0 ~) 在夹杂中 (1) 0 ~ ' C1( 0 ~ ')
C0 ( 0 ~ ' *) 已知 ' S *
复合材料的体积平均应力应等于其远场作用的 均匀应力
0 (1 f ) (0) f (1) C 0 ( 0 ~) fC 0 ( ' *) C 0 ( 0 ~) fC 0 (S I ) *
• 复合材料性能和损伤破坏规律取决于
• 组分材料性能 • 微细观结构特征
• 复合材料结构设计
• 复合材料本身是非均质、各向异性材料，因此复合材料力学在经典非均匀各向 异性弹性力学基础上迅速发展。复合材料不仅是材料，更确切的说是结构
• 以纤维增强的层合板结构为例，复合材料设计可分为三个阶段： – 1、单层材料设计，选择增强材料、基体材料、配比关系
复合材料体平均应变场
1 ~dV 1 (~ *)dV 1 (~ **)dV
V V vv1v2
v1
V v2
f1 * f1[(C f Cm )(S1 I ) C f ]1[(C f Cm )~
(C f Cm )(S1 I ) *] f2 (S2 I )~
在温差T作用下，复合材料热膨胀系数com com m / T
fr (Cirjkl
C0 ijkl
)
r kl
r 1
n
f0 fr 1 r 1
式中上标0代表复合材料基体相，r代表复合材料第r类增强相
n
S* 0 ijkl kl
f0
0 ij
f
r
r ij
r 1
n
S 0 0 ijkl kl
fr (Sirjkl
Si0jkl )
r kl
r 1
• 利用散度定理可以证明复合材 料的应变能和余能分别是
对于两相复合材料夹杂与基体中平均应力、应变：
f1 f1
(1 (1
) )
f2 ( f2 ( 2
2 )
)
0
0
L L( f11 f2 2 )
f1(1 L1) f2 ( 2 L 2 ) 0
约束张量满足系列关系
1
2
L*( L*(
1) 2)
由1
L11, 2
L2
得
2
(
0 kl
' kl
)
in out
已知
C1 ijkl
(
0 kl
' ij
S * ijmn mn
' kl
)
C0 ijkl
(
0 kl
' kl
* kl
联立求解 )
* [C0 (S I ) C1S]1(C1 C0 ) 0
作业：求解复合材料内部弹性场
• 第二节 Mori-Tanaka方法
1973年Mori and Tanaka在研究弥散硬化材料的加工硬化问题时，提出 求解材料内部平均盈利的背应力法，即Mori-Tanaka方法