直接证明与间接证明复习练习
直接证明与间接证明练习
直接证明与间接证明练习 2019直接证明与间接证明练习高中是重要的一年，大家一定要好好把握高中，查字典数学网小编为大家整理了直接证明与间接证明练习，希望大家喜欢。 1.若a，b，c为实数，且a A.ac2 C.1a D.baab 解析：a2-ab=a(a-b)， ∵a 又ab-b2=b(a-b)0，abb2，② 由①②得a2b2. 答案：B 2.要证：a2+b2-1-a2b20，只要证明 A.2ab-1-a2b2 B.a2+b2-1-a4+b420 C.a+b22-1-a2b2 D.(a2-1)(b2-1)0 解析：因为a2+b2-1-a2b2(a2-1)(b2-1)0. 答案：D 3.(2019山西师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：自然数a，b，c中恰有一个偶数正确的反设为 A.a，b，c中至少有两个偶数 B.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C.a，b，c都是奇数 D.a，b，c都是偶数 解析：恰有一个偶数的对立面是没有偶数或至少有两个偶数. 答案：B 4.(2019银川模拟)设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 ②ab，a ③ac，bc，ab不能同时成立， 其中正确判断的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：①②正确；③中，ab，bc，ac可以同时成立，如a=1，b=2，c=3，故正确的判断有2个. 答案：C 5.设a0，m=a-b，n=a-b，则m，n的大小关系是________. 解析：取a=2，b=1，得m a-b a 答案：m 6.用反证法证明命题若实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1， ac+bd1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________. 解析：至少有一个的否定是一个也没有，故结论的否定是a，b，c，d中没有一个非负数，即a，b，c，d全是负数. 答案：a，b，c，d全是负数 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。在高中复习阶段，大家一定要多练习题，掌握考题的规律，掌握常考的知识，这样有助于提高大家的分数。查字典数学网为大家整理了直接证明与间接证明练习，供大家参考。
2019年高考(理科)复习真题演练：第12章 12-2 直接证明与间接证明
真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 答案：1和3解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．2．[2014·天津卷]已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A ＝{x|x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1,2，…，n}．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ；(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n. 证明：若a n <b n ，则s<t.(1)解：当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0,1}，A ＝{x|x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，可得，A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)qn －2＋(a n －b n )q n －1≤(q－1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝－－qn －11－q －q n －1＝－1<0，所以s<t.课外拓展阅读反证法应用举例反证法的应用是高考的常考内容，题型为解答题，难度适中，为中高档题，考查方向主要有以下几个方面：一 证明否定性命题[典例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列．(1)[解] 当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1.又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1. (2)[证明] 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p<q<r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*) 又因为p<q<r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．[解题模板]用反证法证明问题的一般步骤二 证明存在性问题[典例2] 若f(x)的定义域为[a ，b]，值域为[a ，b](a<b)，则称函数f(x)是[a ，b]上的“四维光军”函数．(1)设g(x)＝12x 2－x ＋32是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b 的值； (2)是否存在常数a ，b(a>－2)，使函数h(x)＝1x ＋2是区间[a ，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知得g(x)＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b>1，所以b ＝3.(2)假设函数h(x)＝1x ＋2在区间[a ，b](a>－2)上是“四维光军”函数， 因为h(x)＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ ＝b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＋2＝b 1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．[易错警示] 利用反证法进行证明时，一定要对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立．三证明唯一性命题[典例3] 已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．(1)[证明] 由已知，得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.(2)[解] 假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD，∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.[方法规律] 当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．。
高三数学-直接证明与间接证明精品练习题(详解)
高三数学-直接证明与间接证明精品练习题（详解）普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)A 级——基础小题练熟练快1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实数根”时，假设为( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实数根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实数根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实数根解析：选A “至少有一个实数根”的否定是“一个实数根也没有”，即“没有实数根”．2．在△ABC 中，sin A sin C <cos A cos C ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C 由sin A sin C <cos A cos C ，得cos A cos C －sin A sin C >0，即cos(A ＋C )>0，所以A ＋C 是锐角，从而B >π2，故△ABC 必是钝角三角形． 3．分析法又称执果索因法，已知x >0，用分析法证明1＋x <1＋x 2时，索的因是( ) A ．x 2>2B ．x 2>4C ．x 2>0D ．x 2>1 解析：选C 因为x >0， 所以要证1＋x <1＋x 2， 只需证(1＋x )2<⎝⎛⎭⎫1＋x 22，即证0<x 24， 即证x 2>0，因为x >0，所以x 2>0成立，故原不等式成立．4．设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：选C 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6，而a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋⎝⎛⎭⎫y ＋1y ＋⎝⎛⎭⎫z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，与a ＋b ＋c ＜6矛盾，∴a，b，c都小于2不成立．∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.故选C.5．在等比数列{a n}中，a1<a2<a3是数列{a n}递增的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C当a1<a2<a3时，设公比为q，由a1<a1q<a1q2得若a1>0，则1<q<q2，即q>1，此时，显然数列{a n}是递增数列，若a1<0，则1>q>q2，即0<q<1，此时，数列{a n}也是递增数列，反之，当数列{a n}是递增数列时，显然a1<a2<a3.故a1<a2<a3是等比数列{a n}递增的充要条件．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：选A由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.7．(·太原模拟)用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设____________________．解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．答案：x≠－1且x≠18．如果a a＋b b＞a b＋b a，则a，b应满足的条件是__________．解析：a a＋b b＞a b＋b a，即(a－b)2(a＋b)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b9．设a＝3＋22，b＝2＋7，则a，b的大小关系为________．解析：a＝3＋22，b＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋47，显然6<7，所以a<b.答案：a<b10．已知a >b >0，则①1a <1b；②ac 2>bc 2；③a 2>b 2；④a >b ，其中正确的序号是________． 解析：对于①，因为a >b >0，所以ab >0，1ab >0，a ·1ab >b ·1ab ，即1b >1a，故①正确； 当c ＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确．答案：①③④B 级——中档题目练通抓牢1．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y，② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z，③ 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．解：(1)由S n ＝3n 2－n 2，得a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，当n ＝1时也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ， 即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2，而此时m ∈N *，且m >n .所以对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．3.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：EC ∥平面PAD ；(2)求证：平面EAC ⊥平面PBC .证明：(1)作线段AB 的中点F ，连接EF ，CF ，则AF ＝CD ，AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，则CF ∥AD .又EF ∥AP ，且CF ∩EF ＝F ，AP ∩AD ＝A ，∴平面CFE ∥平面PAD .又EC ⊂平面CEF ，∴EC ∥平面PAD .(2)∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC ⊥AC .∵四边形ABCD 是直角梯形，且AB ＝2AD ＝2CD ＝2，∴AC ＝2，BC ＝ 2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AC ⊥BC ，∵PC ∩BC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC .∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－2<b <－1.解：(1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， ∴x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ，∴1a是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾，∴1a≥c，又∵1a≠c，∴1 a>c.(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a>0，c>0，∴b<－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝－b2a＝x1＋x22<x2＋x22＝x2＝1a，即－b2a<1a.又a>0，∴b>－2，∴－2<b<－1.。
2.2直接证明与间接证明(课堂练习)
2．2 直接证明与间接证明（课堂作业）1.设lg 2lg5,a =+(0)x b e x =< 则a 与b 的大小为 A A. a b > B a<b C. a b = D. a b ≤2.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到 A 为钝角的结论，三边,,a b c 应满足什么条件 C A.222a b c <+ B. 222a b c =+ C. 222a b c >+ D.222a b c ≤+r3. 已知1a b c ++= ，求证：13ab bc ca ++≤ 证明：1a b c ++=2222221a b c ab bc ca ∴+++++=又222a b ab +≥222c b cb +≥ 222c a ca +≥2222()2(ab bc ca)a b c ++≥++ 222ab bc ca a b c ∴++≥++22212222223()a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca ∴=+++++≥+++++=++1ab bc ca 3∴++≤4.在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，且的对边为a 、b 、c 成等比数列, A 、B 、C 成等差数列，求证：△ABC 为等边三角形.证明：由A 、B 、C 成等差数列得2B A C =+,又三角形的内角和为3A B C B ππ++=∴=①由a 、b 、c 成等比数列得2b ac =② 由余弦定理及3B π=有222b ac ac =+-③由②③得2()0a c -=a c ∴=从而A C =3A B C π∴===所以△ABC 为等边三角形.知识点二：分析法5.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的 AA. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 等价条件6.要证： 222210a b a b +--≤ 只要证明 DA.22210ab a b --≤B. 4422102a b a b ++--≤ C.222()102a b a b +--≤ D. 22(1)(1)0a b --≥7.已知非零向量a ⊥b ，求证：2a b a b+≤-证明：a ⊥b ∴0a b ⋅= 要证明2a b a b+≤-，只需证：2220a b a b +-≥即2,a b a b +≤- 平方得222222(2),a b a b a b a b ++≤+-⋅只需证：2220a b a b +-≥即2()0a b -≥显然成立.故原不等式得证.8.已知110,1ab a>->>证明：由已知111b a->及0a >,可知0b >>1> 即证11a b ab +-->只需证0a b ab -->,即1a b ab ->,即111b a-> 而这正是已知条件,以上各步均可逆推,所以原不等式得证.知识点三：分析法9.否定“至多有两个解”的说法中，准确的是 DA. 有一个解B. 有两个解C. 至少有两个解D.至少有三个解 10.已知0,0,0a b c ab bc caabc ++>++>> 用反证法求证0,0,0a b c >>> 时的假设为 C A. 0,0,0a b c <<> B a 0,b>0,c>0≤ C. ,,a b c 不全是正数 D. 0abc <11.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ,若的对边为a 、b 、c 三边的倒数成等差数列，求证：∠B < 090证明：(反证法)假设∠B ≥090,则∠B 是△ABC 得最大内角. ∴b 是△ABC 的最大边∴,b a b c >>,1111,a b c b ∴>>相加得112a c b+>①a 、b 、c 三边的倒数成等差数列，112a c b∴+=②∴①与②矛盾. ∴∠B ≥090不成立. ∴∠B < 09012.已知0,0x y>>,且2x y +>，求证：11,x yy x++ 中至少有一个小于2 证明：假设11,x y y x ++都不小于2,即112,2x yy x++≥≥ 0,0x y >>,12,12x y y x ∴+≥+≥ 2()2()x y x y ∴++≥+2x y ∴+≤这与已知相矛盾,所以11,x yy x++ 中至少有一个小于213已知a 、b 、c 是互不相等的实数，求证：由222,2y ax bx c y bx cx a =++=++ 和22y cx ax b =++ 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点 证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴相交(即任何一条抛物线与x 轴没有两个不同的交点),由222,2y ax bx c y bx cx a =++=++, 22y cx ax b =++得21(2)40b ac =-≤,22(2)40c ab =-≤,23(2)40a cb =-≤由2224444440a b c ac bc ab ++---≤2222222220a b c ac bc ab ∴++---≤ 222()()()0a b b c c a ∴-+-+-≤a b c ∴==,这与题设a 、b 、c 是互不相等的实数矛盾,所以假设不成立,从而原命题得证.。
高考数学复习 小题专题 直接证明与间接证明练习(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某中学数学高考小题专题复习练习直接证明与间接证明一、填空题：（共12题，每题5分）1、已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数．若用反证法证明三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根．应假设．2、 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确 的是．3、若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 ．4、不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有.5、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称，则 .______________)5()4()3()2()1(=++++f f f f f6、在数列{}n a 中，)()1(1,2,1*221N n a a a a n n n ∈-+=-==+，则.__________10=S7、把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于对称，则函数)(x g =．（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）．8、设平面内有n 条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示n 条直线交点的个数，则f(4)=, 当n>4时，f(n)=．9、已知b a ,是不相等的正数，b a y ba x +=+=,2，则y x ,的大小关系是__________． 10、)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间（0，6）内解的个数的最小值是.11、设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q =.12、对“a ,b,c 是不全相等的正数”，给出两个判断：①0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ．②a c c b b a ≠≠≠,,不能同时成立，则①②(填对、错)某某中学数学高考小题专题复习练习答题纸班级某某分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3、 4、5、 6 、 7、 8、9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、2222111a b x y R a b x y ax by ∈+=+=+设、、、，且，.求证：≤直接证明与间接证明１．三个方程中都没有两个相异实根．2．假设三内角都大于60度 ．3．18. 4．7．5．06．357．答案不唯一，如;2,3-==x y x y 8．5, )1)(2(21+-n n 9． < 提示：平方作差10．5. 11．9- 提示：{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为32q =-，6q = -9 ．12．①对②错13．1ax by +≤证明：要证()21ax by +≤只需证222221a x abxy b y ++≤只需证222222222()()a x abxy b y a b x y ++≤++只需证()20bx ay -≥只需证()20bx ay -≥因为成立1ax by +≤所以成立.。
完整版直接证明与间接证明练习题
X 0,1 ，总有f(X)0;②f(1) 1;③若X10,X20,X1X21，都有
f (XiX2) f (Xi) f (X2)成立，则称函数f(X)为理想函数.
(1)若函数f(X)为理想函数，求f(0)的值;
⑵判断函数g(x) 2X1(X[0,1])是否为理想函数，并予以证明;
选择题
1.用反证法证明命题：若整系数方程ax2
bx c 0(a0)有有理根，那么a,b,c中
2三种证明方ຫໍສະໝຸດ 的定义与步骤：1.综合丄是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的 证明方法。
2.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的 充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条 件、定义、公理、定理等)为止的证明方法。
3.反证法假设原命题的结论不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明 假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法;它是一种间接的证明方 法.
反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止⑶断言假设不成立⑷肯定原命题的结论成立
题型一：用综合法证明数学命题
解析：(1)取X1X20 可得f(0) f(0) f(0)f(0) 0.
又由条件①f(0)0，故f(0)0.
(2)显然g(x) 2X1在[0,1]满足条件①g(X)0;
也满足条件②g(1)1.若X10， X20， X1X21，则
注：(1)凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难, 适宜用反证法。即“正难则反” ；(2)反证法步骤：假设结论不成立-推出矛 盾-假设不成立。
(完整版)直接证明与间接证明测试题
直接证明与间接证明测试题一、选择题1．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（ ）Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件21．11>，即证75111+>+，，3511>∵，∴原不等式成立．以上证明应用了（ ）Ａ．分析法 Ｂ．综合法Ｃ．分析法与综合法配合使用 Ｄ．间接证法 3．若π04αβ<<<，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则（ ） Ａ．a b < Ｂ．a b > Ｃ．1ab < Ｄ．2ab >4．设a b c ，，都是正数，则三个数111a b c b c a+++，，（ ） Ａ．都大于2Ｂ．至少有一个大于2Ｃ．至少有一个不大于2Ｄ．至少有一个不大于25．若01a <<，01b <<且a b ≠，则在a b +，22a b +和2ab 中最大的是（ ）Ａ．a b + Ｂ． Ｃ．22a b + Ｄ．2ab6．已知函数1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，B f =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（ ）Ａ．A B C ≤≤ Ｂ．A C B ≤≤ Ｃ．B C A ≤≤ Ｄ．C B A ≤≤二、填空题7．不共面的三条直线a b c ，，相交于P A a B a C b D c ∈∈∈∈，，，，，则直线AD 与BC 的位置关系是8．三次函数3()1f x ax =-在()-+，∞∞内是减函数，则a 的取值范围是 ．9．设向量(21)(1)()λλ=-=-∈R ，，，a b ，若向量a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为 ．三、解答题10．设函数()f x 对任意x y ∈R ，，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x <．（1）证明()f x 为奇函数；（2）证明()f x 在R 上为减函数．11．已知a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥12．用分析法证明：若0a >12a a+-．15．若x y z ，，均为实数，且2π22a x y =-+，2π23b y z =-+，2π26c z x =-+． 求证：a b c ，，中至少有一个大于零．。
高三数学一轮复习课时作业7：直接证明与间接证明
7.5 直接证明与间接证明一、选择题1．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理实数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数B ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数C ．假设a ，b ，c 都是偶数D ．假设a ，b ，c 都不是偶数2．(2015·安阳月考)用反证法证明命题：“已知a ，b ∈N ，若ab 可被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是( )A ．a ，b 都不能被5整除B ．a ，b 都能被5整除C ．a ，b 中有一个不能被5整除D ．a ，b 中有一个能被5整除3．(2014·上海模拟)“a ＝14”是“对任意正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac ＜3a ”索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜05．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p ，q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．不确定 6．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2二、填空题7．(2015·湛江二中月考)已知a ，b ，m 均为正数，且a ＞b ，则b a 与b ＋ma ＋m的大小关系是__________．8．(2015·大连三中月考)下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋ab≥2成立的条件的个数是__________．9．(2014·株洲模拟)已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)，且1a ＋9b ＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是__________．三、解答题10．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？11．假设数列{a n }的各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列成为数列{a n }的排序数列，例如a 2＜a 3＜a 1，满足的排序数列为2,3,1.(1)写出2,4,3,1的排序数列；(2)求证：数列{a n }的排序数列为等差数列的充要条件是数列{a n }为单调数列．12．已知函数f (x )＝a e x ＋b 在(0，f (0))处的切线方程为x －y ＋1＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，x 1＜x 2，k 表示直线AB 的斜率，求证：f ′(x 1)＜k ＜f ′(x 2)．答案一、选择题1．『解析』“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a ，b ，c 都不是偶数．『答案』D2．『解析』由反证法的定义得，反设即否定结论．『答案』A3．『解析』当a ＝14时，x ＋14x ≥2x ·14x ＝1，当且仅当x ＝14x ，即x ＝12时取等号；反之，显然不成立．『答案』A4．『解析』由题意知b 2－ac ＜3a ⇐b 2－ac ＜3a 2 ⇐(a ＋c )2－ac ＜3a 2 ⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0⇐－2a 2＋ac ＋c 2＜0⇐2a 2－ac －c 2＞0 ⇐(a －c )(2a ＋c )＞0⇐(a －c )(a －b )＞0.『答案』C5．『解析』q ＝ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .『答案』B6．『解析』∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.『答案』D二、填空题7．『解析』b a －b ＋m a ＋m ＝ab ＋bm －ab －am a a ＋m ＝m b －a a a ＋m ，∵a ，b ，m ＞0，且a ＞b ，∴b －a ＜0，∴b a ＜b ＋ma ＋m .『答案』b a ＜b ＋ma ＋m8．『解析』要使b a ＋a b ≥2，只需b a ＞0且ab ＞0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋ab≥2成立．『答案』39．『解析』∵a ，b ∈(0，＋∞)，且1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋⎝⎛⎭⎫9a b ＋ba ≥10＋29＝16(当且仅当a ＝4，b ＝12时等号成立)， ∴a ＋b 的最小值为16.∴要使a ＋b ≥μ恒成立，需16≥μ，∴0＜μ≤16.『答案』(0,16』三、解答题10．『解析』(1)证明：假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列； 当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3， 即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列． 11．『解析』(1)排序数列为4,1,3,2. (2)证明：充分性：当数列{a n }单调递增时， ∵a 1＜a 2＜…＜a n ，∴排序数列为1,2,3，…，n ， ∴排序数列为等差数列．当数列{a n }单调递减时，∵a n ＜a n －1＜…＜a 1， ∴排序数列为n ，n －1，n －2，…，1， ∴排序数列为等差数列．综上，数列{a n }为单调数列时，排序数列为等差数列． 必要性：∵排序数列为等差数列，∴排序数列为1,2,3，…，n 或n ，n －1，n －2，…，1， ∴a 1＜a 2＜…＜a n 或a n ＜a n －1＜…＜a 1. ∴数列{a n }为单调数列．12．『解析』(1)f (x )＝a e x ＋b ，f ′(x )＝a e x ，由f ′(0)＝1得a ＝1. 把x ＝0代入x －y ＋1＝0，得y ＝1，即f (0)＝1， ∴b ＝0，∴f (x )＝e x . (2)证明：由(1)得f ′(x )＝e x ，∴证明f ′(x 1)＜k ＜f ′(x 2)，即证121212x x x x e e e e x x -<<-，各项同除以1x e ，即证1＜21211x e x x x ---＜2xe －x 1，令t ＝x 2－x 1，则t ＞0，这样只需证明1＜e t －1t ＜e t(t ＞0)，即t ＜e t －1＜t e t .设g (t )＝e t －t －1，g ′(t )＝e t －1， ∵t ＞0，∴g ′(t )＞0，即g (t )在(0，＋∞)上是增函数． ∴g (t )＞g (0)＝0，即e t －1＞t .设h (t )＝(t －1)e t ＋1，h ′(t )＝e t ＋(t －1)e t ＝t e t ＞0，∴h (t )在(0，＋∞)上也是增函数，h (t )＞h (0)＝0，即t e t ＞e t －1. 从而证明了t ＜e t －1＜t e t 成立，所以f ′(x 1)＜k ＜f ′(x 2)成立．。
2021年江苏高考直接证明与间接证明专题练习(附答案)题型归纳
2021年江苏高考直接证明与间接证明专题练习（附答案）题型归纳直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。
以下是直接证明与间接证明专题练习，请考生查缺补漏。
【典例1】 (____天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2，，q-1}，集合A={_|_=_1+_2q++_nqn-1，_iM，i=1,2，，n}.(1)当q=2，n=3时，用列举法表示集合A.(2)设s，tA，s=a1+a2q++anqn-1，t=b1+b2q++bnqn-1，其中ai，biM，i=1,2，，n.证明：若an1及a0可知0，只需证1，只需证1+a-b-ab1，只需证a-b-ab1，即-1.这是已知条件，所以原不等式得证.考向3 反证法(高频考点)【典例3】 (1)(____山东高考改编)用反证法证明命题设a，b为实数，则方程_3+a_+b=0至少有一个实根时，要做的假设是________.(2)(____陕西高考)设{an}是公比为q的等比数列.推导{an}的前n项和公式;设q1，证明数列{an+1}不是等比数列.[思路点拨] (1)至少的否定是少于.(2)分q=1和q1两种情况求解.用反证法证明.[解析] (1)已知a，b为实数，则方程_3+a_+b=0至少有一个实根的否定为方程_3+a_+b=0没有实根.[答案] 方程_3+a_+b=0没有实根(2)设{an}的前n项和为Sn，当q=1时，Sn=a1+a1++a1=na1;当q1时，Sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-1，qSn=a1q+a1q2++a1qn，①-得，(1-q)Sn=a1-a1qn，Sn=，Sn=证明：假设{an+1}是等比数列，则对任意的kN+，(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1)，a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1，aq2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1，a10，2qk=qk-1+qk+1.q0，q2-2q+1=0，q=1，这与已知矛盾.直接证明与间接证明专题练习及答案就分享到这里，预祝考生可以考上自己理想的大学。
2.2直接证明与间接证明同步练习含答案详解
且
2 cos Asin B sin C ．判断 △ABC 的形状．
一、选择题
二、填空题 5． 6． 三、解答题 7.
2.2 直接证明与间接证明 答题纸
得答案
8. 9.
10.
A．充分条件
B．必要条件
C．充要 条件
D．必要不充分条件
4． 3.设 a， b， c， d ， m， n R ， P ab cd ，
Q ma nc·
b m
d n
，则有（ ）
Ａ ． P≥Q
Ｂ． P≤Q
Ｃ． PQ
Ｄ． P Q
8.（ 20 分 ） 设
3 2
x
2
，
求
证
：
2 x 1 2x 3 15 3x 8
证： a 3 ＋ b3 ＞ a 2b ab 2
9． (20 分 ) 设 a, b, c 为 任 意 三 角 形 边 长 ， I a b c, S ab bc ca ，
试证： 3S I 2 4S
10.（ 15 分 ） 在 △ABC 中 ， 已 知
(a b c)(a b c) 3ab ，
4.已 知 函 数
f
(x)
1 2
x
，
a， b R ，
A
f
a
2
b
，
B f(
ab) ，
C
f
ab ab
，
则
A， B， C 的大小关系（ ）
Ａ ． A≤B≤C
Ｂ ． A≤C≤B
Ｃ． B ≤ C ≤ A
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直接证明与间接证明复习练习
大家把理论知识复习好的同时，也应该要多做题，从题
中找到自己的不足，及时学懂，下面是小编为大家整理的直
接证明与间接证明复习练习，希望对大家有帮助。
1.已知函数y=f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，
x2D(x1x2)，都有fx1+x22
A.y=log2x B.y=x
C.y=x2 D.y=x3
解析：可以根据图象直观观察;对于C证明如下：
欲证fx1+x22
即证x1+x222
即证(x1-x2)20.显然成立.故原不等式得证.
答案：C
2.设a，b，c(-，0)，则a+1b，b+1c，c+1a
A.都不大于-2 B.都不小于-2
C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2
解析：因为a+1b+b+1c+c+1a-6，所以三者不能都大于-2.
答案：C
3.凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，
则对于区间D内的任意x1，x2，，xn，有
fx1+fx2++fxnnfx1+x2++xnn，已知函数y=sin x在区间(0，)
上是凸函数，则在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值
为________.
解析：∵f(x)=sin x在区间(0，)上是凸函数，
且A、B、C(0，)，
fA+fB+fC3fA+B+C3=f3，
即sin A+sin B+sin C3sin 3=332，
所以sin A+sin B+sin C的最大值为332.
答案：332
4.已知常数p0且p1，数列{an}的前n项和Sn=p1-p(1-an)，
数列{bn}满足bn+1-bn=logpa2n-1且b1=1.
(1)求证：数列{an}是等比数列;
(2)若对于在区间[0,1]上的任意实数，总存在不小于2的自
然数k，当nk时，bn(1-)(3n-2)恒成立，求k的最小值.
解：(1)证明：当n2时，
an=Sn-Sn-1=p1-p(1-an)-p1-p(1-an-1)，整理得an=pan-1.
由a1=S1=p1-p(1-a1)，得a1=p0，则恒有an=pn0，从而
anan-1=p.所以数列{an}为等比数列.
(2)由(1)知an=pn，则bn+1-bn=logpa2n-1=2n-1，
所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)++(b2-b1)+b1=n2-2n+2，
所以n2-2n+2(1-)(3n-2)，则(3n-2)+n2-5n+40在[0,1]时恒
成立.
记f()=(3n-2)+n2-5n+4，由题意知，f00f10，解得n4或n1.
又n2，所以n4.
综上可知，k的最小值为4.
要多练习，知道自己的不足，对大家的学习有所帮助，以下
是为大家总结的直接证明与间接证明复习练习，希望大家喜
欢。