2.1.6 衰减振动的一般规律
第七章衰减关系
b = c0 + c1M − c2 M 2
R0 = c 4 exp( c5 M )
进行回归分析得到系数 c0 、 c1 、 c2 、 c4 和 c5 。这样作的好处是第一步回归时不出现震级，只考虑距 离的影响，可以使震级的误差不至于影响到距离回归；第二步回归时不出现距离，只考虑震级影响， 将震级和距离影响解耦。其次在对震级作回归分析时每个地震的权相等，不至于受观测数据较多的 某次地震控制。
基本衰减模型： 地震动衰减模型中的有关参数
不论采用什么衰减模型，在研究地震动衰减关系时都必须 考虑四个方面的参数，即地震动参数、地震参数、传播介质 参数与场地参数。 峰值加速度 a 、速度 v 、反应谱 s(T , λ ) 与持续时间 Td 或强度包 • 地震动参数： 络函数 f ( t ) 等。 • 地震参数：地震参数是指与地震本身有关的参数，所以也 称为震源参数。最常用的地震参数是震级。其它地震参数还 有震源尺度与几何位置、地震矩或矩震级、应力降等。 • 传播介质参数：传播介质对地震动衰减的影响主要有几何 衰减和非弹性耗能衰减，它们都与场点到震源的距离有关。 距离有震中距 △、断层距D、震源距 R等。 • 场地参数：场地参数指的是用以反映基岩上覆盖的近代沉 积物或土层的空间分布和动力性能参数。
对震级和距离解耦的处理方 法‐‐两步回归法
两步回归方法是在地震动衰减关系回归 分析中，对震级和距离解耦的处理方法。 Joyner和Boore于1981年提出了这一方法， 并被广泛采用。与传统的最小二乘法相 比，这一方法能将影响地震动强度(峰值加 速度、峰值速度、反应谱等)的主要因素， 即震级项与距离项解耦，从而减小由于二 者的相关性造成衰减关系识别过程中的不 确定性。
• 地壳构造影响地震波传播的因素很多，其中最主要 的是地震波在传播过程中随距离的衰减。距离对衰 减的影响函数 有两种机理，可表示为： f2 (R) = f21(R) f22(R) • f21(R)是因波阵面的不断扩大引起的单位面积波动能 量减少，使振幅随距离增大而衰减，称为几何衰减 或几何扩散。若地震波是球面波，则体波随震源距 的负二次方衰减。总之，振幅的衰减与距离的负冪 次成比例。经验分析中难以区分地震波的不同类型 ，故表示介质几何衰减的函数形式： f 21 ( R ) = ( R + R0 ) − c3
阻尼振动与物体运动的衰减特性
阻尼振动与物体运动的衰减特性阻尼振动是一种重要的物理现象，它与物体运动的衰减特性密切相关。
在自然界和工程实践中，我们经常可以观察到这种现象的存在。
本文将详细探讨阻尼振动的概念、特性以及其在物体运动中的作用。
首先，我们来了解阻尼振动的概念。
阻尼振动是指受到阻尼力影响下的振动过程。
在没有阻尼力存在的情况下，物体的振动只有无衰减的匀速往复运动。
但是在实际情况中，由于摩擦力、空气阻力等的存在，物体的振动会逐渐减弱，直到停止。
这种减弱振幅的过程称为阻尼振动。
阻尼振动的特性表现在振动的幅度和周期上。
随着时间的推移，振幅逐渐减小，最终趋于零。
而周期则与无阻尼振动相比会有所改变，振动的频率也会相应改变。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，且振幅的减小是指数衰减。
在物体运动中，阻尼振动的衰减特性发挥着重要的作用。
以弹簧振子为例，当弹簧振子受到外力的激励后开始振动，随着时间的推移，由于摩擦力的作用，振动幅度会逐渐减小。
这就意味着物体的能量会逐渐损失，从而导致振动的减弱。
这种衰减特性在许多领域都有应用，例如振动检测、减震装置等。
除了衰减特性外，阻尼振动还有一个重要的概念——临界阻尼。
临界阻尼是指当阻尼系数等于一个特定值时，振动不再有周期性。
此时，物体的振动会立即停止而不会继续进行。
临界阻尼在实际应用中非常有意义，因为它可以避免过度振动和损坏系统。
阻尼振动还可以分为过阻尼和欠阻尼。
过阻尼是指阻尼系数大于临界阻尼值的情况。
在过阻尼的情况下，物体的振动会更快地衰减，但不会出现周期性振动。
相反，欠阻尼是指阻尼系数小于临界阻尼值的情况。
在欠阻尼的情况下，物体的振动会在一定时间内周期性地减弱，但振幅会逐渐减小。
在工程实践中，我们常常需要控制阻尼振动，以保证系统的正常运行。
一种常见的方法是通过增加系统的阻尼来减小振动幅度。
例如，建筑物中的减震装置就可以通过提供额外的阻尼来减弱地震或风力引起的振动。
此外，还可以通过调整系统的质量、刚度等参数来改变阻尼振动的特性。
大学物理振动
4.1 简谐振动
一.简谐振动
一物理量随时间的变 化规律遵从余弦函数 关系，则称该物理量 作简谐振动。
表达式 x(t)=Acos( t+)
特点 (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
－A 0 A
X
表达式 x(t)=Acos( t+)
二. 描述简谐振动的特征量 1. 振幅 A： 即最大位移：x＝±A 2. 角频率 （圆频率）ω （弧度/秒：rad/s） 3. 周期T 和频率 v ∵ ωT＝2π ∴ T＝2π/ω （s） （完成一次全振动所需的时间） 而 v = 1/T ＝ω/2π （Hz）
a
d2x d t2
2 Acos(
t
0)
2 Acos(
t
0
)
x、 v 、a
2A
A v
A
x
0
-A
- A
- 2A v > 0
<0
a<0 减速
<0 加速
<0 >0 减速
a
T t
>0 >0 加速
解题方法
由初始条件求解振幅和初位相：
设 t =0 时，振动位移：x = x0
振动速度：v = v0
x Acos（ t ） xo Acos
谐振系统的总机械能：
E Ek Ep
1 m 2 A2 sin 2 ( t ) 1 kA2 cos2 ( t )
2
2
E
1 2
kA2
1 2m2 A2来自1 2mvm 2
x Acos t
X
Ep
Ek
E 1 kA2
2
X
结论：
大学普通物理课件 第20章 振动(1)
2. 复摆（物理摆） physical pendulum
悬挂点O与质心C的距离为 h OC
取角坐标 ，规定逆时针方向 0 。
由转动定律 小振动 1 M mghsin mgh J d 2
dt2
d 2 mgh 0 2 mgh J
dt2 J
O h
在正的最大位移处，则第二个质点的振动方程为（ ） B
A) x2
A c os (t
1 2
)
B) x2
A c os (t
1 2
)
C ) x2
A c os (t
3 2
)
D)x2 Acos(t )
练习2：两个同周期简谐振动曲线如图所示，x1的相位比x2的
速度在x 轴上的投影，分别是简谐运动的运动方程、速度和 加速度。
于是可以用一个旋转 矢量来描述简谐运动，这
t A
一表示法称为旋转矢量法。 （相量图法）
t
t 0
O
x
优点： 将简谐运动的特征量 赋予几何意义：
振幅 A ——矢量A 的 大小；
角频率 ——矢量 A的转动角速度； 相位 t —— A与 x 轴的夹角；
参考圆
初相 —— t 0 时的夹角。
可直观地研究简谐运动的相位和相差；
为研究简谐运动的合成提供方法
相位、相位差
相（位）—— 一定的相表示简谐运动某时刻的状态。
时刻 t1： t1 / 2, x 0, v A 运动状态？
时刻 t2： t2 , x A, v 0
§20-1 简谐运动的描述
中国地震烈度的衰减规律
中国地震烈度的衰减规律
地震烈度衰减规律是指地震波在地球表面和体内传播时，随距离的增大，其所传达的能量逐渐衰减的规律。
从深化对中国地震的研究，可以发现：在中国，地震烈度的衰减规律具有相当的一致性，它包括两个主要特点，即烈度随着几何距离的增大而迅速衰减，而且衰减的速度也是有规律的。
首先，中国的地震烈度衰减模式表明，烈度随着距地震源的几何距离增加，其振动能量会呈现出大幅衰减，基本上可以拟合为一条函数曲线，大致有两个明显的趋势：一是烈度衰减的速度会随着距离的增加而变快，而当几何距离达到一定的长度后，会出现非常快的衰减；二是就算是在一定的几何距离下，烈度也会继续出现提高，但速率会变得非常缓慢，这也就是为什么某些地震期间可能会在距离地震源比较遥远的地方感到到地动的原因。
此外，中国地震烈度衰减规律还反映了地震余波的传播特性，表现为具有高斯数理特点的衰减，另外地震波在波源附近几乎没有衰减（并不是越远越弱），然后接下来的路径则会出现快速的衰减。
综上所述，可以总结出中国地震烈度衰减规律的两个主要原则：一是随着几何距离的增大，地震烈度会迅速衰减；二是随着非几何距离的增大，地震衰减的速度也会变快，但会出现所谓的地震余波现象。
虽然中国的地震烈度衰减规律在一定程度上整体相对稳定，但也存在着一些因素会影响地震烈度衰减的程度，例如，地震位置、地表地貌、地表覆盖、地质结构等都会影响地震烈度衰减的规律。
总之，地震烈度衰减规律是描述地震波在传播过程中衰减程度的重要准则，也是分析地震烈度衰减的重要基础。
对这一重要概念的充分理解，有助于广大民众更好的预防和缓解强烈地震的危害，从而提高我们的灾害防御能力。
阻尼力与弹簧振动的衰减
阻尼力与弹簧振动的衰减引言：当我们推动一个摆，摆动减小，逐渐停止，直到最后静止不动。
这种减幅过程是因为阻尼力的存在，它是一种形成阻碍物体运动的力。
在物理学中，阻尼力与弹簧振动的衰减密切相关。
本文将探讨阻尼力如何影响弹簧振动，并解释衰减的原理和这种现象的重要性。
1. 阻尼力的定义和作用阻尼力是一种与物体相对运动方向相反的力。
它来自运动物体与周围介质之间的相互作用。
在弹簧振动中，阻尼力可以通过摩擦产生，或是物体与空气碰撞时引起的空气阻力。
阻尼力的作用是使物体运动减速，使振动更快地衰减。
2. 阻尼力与弹簧振动的关系弹簧振动是由于弹簧受到外力激发，从平衡位置偏离后，弹簧恢复力的作用使其发生周期性的振动。
然而，在没有阻尼力的情况下，弹簧振动将永远不会停止，振幅将保持不变。
当引入阻尼力时，阻尼力与弹簧恢复力相抵消，使振幅逐渐减小，从而导致振动的衰减。
3. 阻尼振动与无阻尼振动的对比阻尼振动与无阻尼振动之间存在明显的差异。
无阻尼振动的振幅在振动过程中保持不变。
它的周期始终相同，振幅恒定。
然而，随着阻尼的应用，振幅会逐渐减小，振动周期变短，直到最后停止。
4. 阻尼振动的衰减过程在阻尼振动的衰减过程中，随着时间的推移，弹簧系统的振幅逐渐减小。
这是因为阻尼力削弱了弹簧振子的振动能量。
随着时间的推移，振幅减小的速度越来越快，直到振幅减小到零，弹簧振动完全停止。
衰减过程可以通过阻尼系数来描述，阻尼系数越大，衰减速度越快。
5. 阻尼振动的实际应用阻尼振动在实际生活中有着广泛的应用。
例如，汽车的避震系统利用阻尼振动原理来减少车辆行驶过程中的颠簸感。
电视屏幕的扩音器中的阻尼振动机构可以有效地减少音箱震动引起的噪音。
此外，阻尼振动还被广泛应用于建筑物结构的设计中，以减少地震或风力造成的结构破坏。
结论：阻尼力是一种影响弹簧振动衰减的重要因素。
它可以通过阻尼力的引入来改变振动过程，使振动逐渐减小并最终停止。
阻尼振动在现实生活中具有广泛的应用，对于减少噪音、改善舒适性以及保护结构的稳定性都有着重要影响。
学习声音的衰减和共振频率
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声音衰减对共振频率的影响：随着声音能量的减弱，声音的频率也会逐渐降低。当声音能量不足以激发物体 的共振频率时，物体将不再产生共振效应。
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实际应用：了解声音衰减和共振频率的相互作用，有助于在声音设计和控制中更好地利用共振原理，提高声 音传播效率和音质。
声音衰减和共振频率在声学设计中的应用
声音的衰减和共振频率
汇报人：XX
单击输入目录标题 声音的衰减 共振频率
声音的衰减和共振频率的关系
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声音的衰减
声音衰减的定义
声音衰减是指声音在传播过程中，随着传播距离的增加或介质不均匀而逐渐减小的现象。
声音衰减的原因主要是声波在传播过程中受到空气阻力、散射和吸收等因素的影响。
声音衰减的程度取决于传播距离、介质特性和声波的频率等多个因素。
温度：声音在高温环境中更容易传播，而在低温环境中则会衰减得更快。
密度：声音在密度较大的介质中传播时衰减较快，而在密度较小的介质中则衰减较慢。
声速：声速越快，声音的传播距离越远，衰减越慢。
共振频率
共振频率的定义
共振频率是指一 个系统在受到外 部激励时，产生 共振现象的频率。
共振频率是系统 固有属性，与系 统本身的物理性 质有关。
声音衰减：声音在传播过程中，由 于空气阻力、物质吸收等因素，能 量逐渐减少。
关系：声音的衰减和共振频率密切 相关，共振频率影响声音的传播距 离和强度。
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共振频率：声音通过物体振动传播 时，某些特定频率的声音会被物体 增强，形成共振。
应用：在声学设计中，利用声音衰 减和共振频率的关系，可以优化声 音传播效果，提高声音清晰度。
从振动衰减曲线中获得阻尼的方法
从振动衰减曲线中获得阻尼的方法
振动衰减曲线显示了振幅随时间的变化情况，利用这个曲线可以推断系统的阻尼特性。
阻尼表示系统中振动的能量损耗程度，一般通过振动衰减曲线中的振幅变化来评估。
在实验中获得振动衰减曲线后，有几种方法可以从中获取阻尼的信息：
1.对数衰减法：如果振动衰减曲线是指数衰减的，即振幅以指数方式递减，你可以取两个不同振动周期的振幅差，并计算其自然对数的比值。
这个比值与时间之比就等于阻尼比。
阻尼比可以和系统的自然频率结合，计算出阻尼比和临界阻尼比之间的比值，从而得到阻尼比例。
2.半周期法：该方法需要振动衰减曲线的周期性特征。
通过测量相邻两个相同振动方向的振幅极值点，然后计算其对数比值。
对于自由振动，在相邻两个极值点之间的时间等于振动周期的一半。
将这些值代入公式，可以推断出阻尼比。
3.拟合法：将振动衰减曲线与已知的阻尼模型进行拟合。
常用的模型有一阶阻尼振动模型、二阶阻尼振动模型等。
通过拟合实验数据，找到最匹配的模型，并从模型参数中获得阻尼值。
4.能量方法：通过分析振动系统在单位时间内损失的能量来计算阻尼。
这种方法需要考虑系统的动能和势能随时间的变化，进而推导出阻尼和振动能量损失之间的关系。
无论使用哪种方法，正确地分析振动衰减曲线需要对振动理论有较好的了解，以便准确地推断阻尼值。
此外，实验条件的稳定性和数据采集的精确性也对结果的准确性有重要影响。
《大学物理》振动2
d2x dx 2 2 x0 0 2 dt dt
2 )t ( 2 0
C2e
其中C1 、C2是积分常数，由初始条件来决定。 振动特点 *非周期运动 *无振动发生
x(t )
过阻尼
运动一开始，便逐渐回到 平衡位置。
临界阻尼
t
（3） =0，称为临界阻尼
三、共振的应用:
有利的一面： 1、收音机利用电磁共振进行选台、核磁共振。
2、乐器利用共振来提高音响效果。
3、用薄板共振控制噪声，等等。
不利的一面：
共振时振幅过大，造成的损害：如课本上塔科马海峡 大桥的断塌。
MRI也就是核磁共振成像，英文全称是： nuclear magnetic resonance imaging，
2 外 tg 2 2 0 外
2. 稳定受迫振动与简谐振动的区别： * 受力不同： 弹簧振子— F弹， 受迫振动—F外 **三特征量的本质不同： 外 —外力决定 0 —系统固有 受迫振动 A 解方程 弹簧振子 A 由初始 条件决定 求得 * 能量情况不同：简谐振动系统能量守恒 ** 受迫振动系统阻力消耗的能量=外力作功
身体内有不能除去的其他金属异物，如金属内 固定物、人工关节、金属假牙、支架、银夹、 弹片等金属存留者，为检查的相对禁忌
在进入核磁共振检查室之前，应去除身上带的手 机、呼机、磁卡、手表、硬币、钥匙、打火机、 金属皮带、金属项链、金属耳环、金属纽扣及其 他金属饰品或金属物品。否则，检查时可能影响 磁场的均匀性，造成图像的干扰，形成伪影，不 利于病灶的显示；而且由于强磁场的作用，金属 物品可能被吸进核磁共振机，从而对非常昂贵的 核磁共振机造成破坏；另外，手机、呼机、磁卡、 手表等物品也可能会遭到强磁场的破坏，而造成 个人财物不必要的损失。
振动的合成公式
振动的合成公式振动的合成公式简介振动是物体在时间上的周期性变化，它可以用数学公式来描述。
在许多领域中，如物理学、工程学和音乐学等，振动合成公式是非常重要的工具。
本文将介绍一些常用的振动合成公式，并给出例子来说明其具体用途和效果。
正弦振动公式振动最简单的形式是正弦振动，可以用以下公式来描述：y(t)=A⋅sin(ωt+ϕ)其中，y(t)是振动的位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，ϕ是相位差。
例子假设有一个正弦振动的物体，振幅为2米，角频率为2π弧度/秒，相位差为0。
根据上述公式，可以计算出在不同时间点的位移值。
•当t=0时，y(0)=2⋅sin(0+0)=0米•当t=1秒时，y(1)=2⋅sin(2π⋅1+0)=0米•当t=2秒时，y(2)=2⋅sin(2π⋅2+0)=0米可以看出，这个物体在整个过程中保持着 0 米的位移，也就是不发生运动。
谐波合成公式谐波合成是将多个不同频率的正弦振动叠加在一起，形成复杂的振动波形。
可以用以下公式来描述谐波合成：Ny(t)=∑A n⋅sin(ωn t+ϕn)n=1其中，A n是第n个振动的振幅，ωn是第n个振动的角频率，ϕn 是第n个振动的相位差。
例子假设有三个不同频率的正弦振动，分别为：•第一个振动：振幅为1米，角频率为2π弧度/秒，相位差为0 •第二个振动：振幅为米，角频率为4π弧度/秒，相位差为π/4•第三个振动：振幅为米，角频率为6π弧度/秒，相位差为π/2根据谐波合成的公式，可以计算出在不同时间点的位移值。
)+⋅•当t=0时，y(0)=1⋅sin(2π⋅0+0)+⋅sin(4π⋅0+π4 sin(6π⋅0+π)=0米2•当t=1秒时，y(1)=1⋅sin(2π⋅1+0)+⋅sin(4π⋅1+π4)+⋅sin(6π⋅1+π2)≈−米•当t=2秒时，$y(2) = 1 (2 + 0) + (4 + ) + (6 + ) ≈ $ 米可以看出，通过谐波合成，三个不同频率的振动共同作用，形成了一个复杂的振动波形。
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1
【 第二章 振动学基础 】
2
2.1质点的自由振动
●
2.1.1基本概念
●
2.1.2自由振动方程
●
2.1.3自由振动的一般规律
●
2.1.4双弹簧的串联与并联
●
2.1.5衰减振动方程
●
2.1.6衰减振动的一般规律
2
2.1.6衰减振动的一般规律
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方程 (1-3-3) 也是一个二阶齐次常微分方程，现在我们没用为复指数，即设
（ 2-1-22 ）
其中为特定常数，将此解代人方程 （ 2-1-21 ） 可得
若上式对任意时间 c 都成立，则必须满足
（ 2-1-23 ）
因而求解微分方程 (1-3-3) 的任务就归结为求解二次代数方程 （ 2-1-23 ） , 解此
代数方程可得
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于是方程 (1-3-3) 的一般解可写成
（ 2-1-24 ）
式中
，为了描述实际的衰减振动，应将 （ 2-1-24 ） 式化为实部，
由于 （ 2-1-24 ） 式是复数解，因而常数 A 与 B 也可能是复数。如设
， 也为由初始条件确定的两个实常数，这样位移就表示成
（ 2-1-25 ）
或写成
（ 2-1-26 ）
其中
近似表示为衰减振动的振幅 ① 。由此可见由于存在阻力振动
质点的振幅已不再是常数了。它将随时间作指数衰减，衰减系数愈大，振幅衰得
也愈快。有时也用振幅衰减到初始值的
倍的时间来度量衰减的快慢，这一时间
标为衰减模量，其单位是秒，等于
. 从 （ 2-1-26 ） 式还可看到一个
与非阻尼振动的区别，这就是现在系统的固有圆频率变为
，虽然它仍为决定于
系统固有参量 ( 如此
， ， 等 ) 的常数，但与非阻尼振动相比是变小
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了。如果力阻 很小，那么这种变化也很微小，利用级数展开
当 << 时，可近似得
或
从 (1-3-7) 式我们还可求出，相隔一个周期 T 时间的相邻两次振动振幅的比值为
i 代表振动的序数，从此也可求得第一次与第 i 次的振幅比为 ，
即第一次振幅是第
i
次的 倍，可见振幅的衰减是以几何级数规律进行的，
例如设
，则可以算得 ，而这时 。由此可见，在小阻尼
情况下，固有频率的变化虽然甚微，但振幅的衰减却可能进行得很快。
图 2-1-4 表示质点作衰减振动的规律。固中实线描述质点位移随时间 t 变化的总
规律，其振幅每隔一个周期都有一定降低；虚线描述了振幅衰减规律。
2 2.1.6衰减振动的一般规律 [ 下一节： 2 2.2质点的强迫振动]
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2 2.1质点的自由振动 [ 下一节： 2
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