高二数学周周练2
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1、平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)．
(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；
(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .
解：(1)因为a ＝mb ＋nc ，
所以(3，2)＝(－m ＋4n ，2m ＋n )．
所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.
(2)因为(a ＋k c )∥(2b －a )，a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)．
所以2(3＋4k )＋5(2＋k )＝0，即k ＝－1613
. 2、已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x .
(1)求f (x )的最小正周期和最大值；
(2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．
解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝
cos x sin x －32
(1＋cos 2x )＝ 12sin 2x －32cos 2x －32
＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32
. (2)当x ∥⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3
≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12
时，f (x )单调递增， 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3
时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 3、已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2
，n ∈N ＋； (1)求证：数列{a n }是等差数列；
(2)设b n ＝12S n
，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)证明：因为S n ＝a n （a n ＋1）2
，n ∈N ＋，
所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1（a 1＋1）2
， 所以a 1＝1.
当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1
， 得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.
即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，
因为a n ＋a n －1＞0，
所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．
所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列．
(2)由(1)可得a n ＝n ，
S n ＝n （n ＋1）2
， b n ＝12S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1
. 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1
＝1－1n ＋1＝n n ＋1
. 4、如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及正视图和侧视图(单位：cm)．
(1)画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；
(2)按照给出的数据，求该几何体的体积．
解：(1)该几何体的俯视图如图所示．
(2)该几何体的体积
V ＝V 长方体－V 三棱柱＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843
(cm 3)．
5、已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 3cos A ＝c sin C
.
(1)求A 的大小；
(2)若a ＝6，求b ＋c 的取值范围．
解：(1)由正弦定理，得a 3cos A ＝a sin A
， 整理得sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3.