初中数学_一元二次方程根与系数的关系教学设计学情分析教材分析课后反思

一、温故知新

1．一元二次方程的一般形式

是什么？

2．一元二次方程求根公式的是什么？

3．一元二次方程的解的情况怎样确定？

问题引探

解下列方程：

2

x+5x+6=032x-x-1=0

2

x-4x+3=032x+x-2=0

并根据问题2和以上的求解，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？

问题4．请根据以上的观察发现并进一步猜想：方程2

a0(0)

x bx c a

++=≠的根

1

x，2

x与a、b、c之间的关系：____________．

问题5．你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明．

分小组讨论以上的问题，并作出推理证明

学生能自主回答，让学生了解知识的衔接性，培养学生循序渐进地学习

1．通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法．

2．此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆．

3．这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理，并简单介绍韦达,让学生了解数学史,激发学生学科学，爱科学的热情

问题6．你知道在方程2

a0(0)

x bx c a

++=≠中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b²-4ac可判定根的情况；

④当a≠0，b²-4ac≥0时，1x

+2x= ，1x2x = ．

⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0．

尝试发展

1．根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积各是多少？采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神

此试一试、巩固知识

（1）2x-3x-+1=0

（2）32x-2x=2

（3）22x+3x=0

（4）32x=1

1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础．

2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，

考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分．

一元二次方程根与系数的关系学情分析

新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。

本阶段的学生，已经学完了一元二次方程的解法，具备了本节课所需要的预备知识，同时也有了一定的分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成。随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。

但由于年龄的原因，学生思维虽然活跃、敏捷，但缺乏冷静、深刻，因此片面、不严密、意志比较薄弱等不足也伴随这一阶段的初中生的分析、解决问题当中。

一元二次方程根与系数效果分析

1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。

2.在教学过程中，基本上达到了教学目的，但是在学生利用一元二次方程根与系数的关系进行一元二次方程两根平方和的计算的时候，出现了一些问题，主要是不会进行配方，对以前所学的完全平方公式没有完全掌握，平时针对这方面的训练也较少，因此今后还要加强这样面的训练，把前后知识有机地结合起来，为学生今后学习方程理论打下基础。

3.在以前的教学设计中，我们习惯于教师讲，学生听，学生自主探究的机会较少，我们先把一元二次方程根与系数的关系告诉学生，之后再进行验证，学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力没有被充分发挥出来，通过这次的教学设计，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，提高了推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

一元二次方程根与系数的关系教材分析

教材通过一元二次方程(a≠0)的根推导出韦达定理，以及能够建立以数为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。

韦达定理是初中代数中的一个重要定理，这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

一元二次方程的根与系数的关系评测练习

学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明成立，使学生理解

其理论依据；

2.使学生会运用根与系数关系解决有关问题；

3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。

学习重点：根与系数的关系及推导

学习难点：正确理解根与系数的关系

一．学前准备

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？

⑴x2 + ２x = 0 ⑵x2 + ３x －４= 0 ⑶x2－５x + ６= 0

（一）尝试探索，发现规律：

1．若x

1、x

2

为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，结合上表，说明x

1

+x

2

与x

1

·x

2

与a、b、c有何关系？请你写出关系式

2、请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？小结：

1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x

1，x

2

，那么x

1

+x

2

=____，

x

1x

2

=____．

2．如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2－4ｑ≥0）的两个根是x

1，x

2

，

那么x

1+x

2

=_____，x

1

x

2

=________；

（二）例题分析

例１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）：

①x2 + 3x -1= 0 ②x2 + 6x +2= 0 ③3x2－4x+1= 0 (4)x2 + 3x +3= 0

例2.已知关于x的方程x2 + ｋx －6= 0的一个根是2，求另一个根及ｋ的值