自动控制理论例题集锦_第5章
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第5章 线性系统的频域分析法
例 1 单位反馈系统的开环传递函数为1
1
)(+=
s s G ，试根据频率特性的物理意义，求在输入信号为t t r 2sin )(=作用下系统的稳态输出ss c 和ss e 。
解：
1. 求系统的稳态输出ss c 。 系统闭环传递函数为
2
1
)(1)()(+=+=
s s G s G s Φ
闭环频率特性为
2ω
tan 4
121)(1)()(12--∠+=+=+=
ωωωωωΦj j G j G j
闭环幅频特性为
4
1
)(2
+=
ωωΦj
闭环相频特性为
2
ω
tan )(1
--=∠ωΦj 输入信号为t t r 2sin )(=作用下，闭环幅频和相频分别为
4
24
21)2(2=
+=
j Φ ︒-=-=∠-451tan )2(1j Φ
因此系统的稳态输出
)452sin(4
2
)]2(2sin[)2()(︒-=
∠+=t j t j t c ss ΦΦ 2. 求系统的误差稳态输出ss e 。 系统的误差传递函数为
2
1
)(11)(e ++=+=
s s s G s Φ
误差频率特性为
)2
ωtan ωtan (4121)(1122e ---∠++=++=ωωωωωΦj j j 输入信号为t t r 2sin )(=作用下，误差的幅频和相频分别为
410
)2(e =
j Φ 3
1
tan 21tan 1tan )2(111e ---=-=∠j Φ
因此系统误差的稳态输出为
)3
1
tan 2sin(410)]2(2sin[)2()(1e -e ss t j t j t e -=
∠+=ΦΦ 例 2 已知单位反馈系统的开环传递函数为)
1()(+=
Ts s K
s G ，当系统的输入
t t r 10sin )(=时，闭环系统的稳态输出为)9010sin()(︒-=t t c ，试计算参数K 和T 的数值。
解：
系统闭环传递函数为
2
)(1)()(2
++=+=
s Ts K
s G s G s Φ 闭环频率特性为
2
1
2
222ω
tan )()(ωωωω
ωωΦT K T K K j T K K j -∠+-=
+-=
-
输入信号为t t r 10sin )(=，闭环幅频和相频分别为
110
)100()10(2
2
=+-=
T K K
j Φ （5-1）
︒-=-=∠-9010010
tan )10(1
T
K j Φ （5-2）
由式（5-1）、（5-2）易求得10=K 、1.0=T 。
例3 试绘制下列开环传递函数的幅相特性，并判断其负反馈闭环时的稳定性。
1. )15)(5(250
)()(++=s s s s H s G
2. )
15)(5()
1(250)()(2+++=s s s s s H s G
解：
1. 系统的开环频率特性为
)
15)(5(250
)()(++=
ωωωωωj j j j H j G
)
()()75(40075)75(400202502232
222ωωωωωωωωj V j U j
+=-+---+⨯-= 曲线的起点：系统为Ⅰ型，+=0ω时，=+
→)()(lim 0ωωωj H j G ∞︒-∠90
曲线的终点：=ω∞时，j G (∞︒-∠=2700)
因系统中无开环零点，所以相频特性)(ωϕ单调递减，易知幅相曲线与实轴有交点。下面求幅相曲线与实轴交点的坐标
令0)(=ωj V ，得
75=ω
代入)(ωj U ，得
17.0)(75
-==
ωωj U
系统为Ⅰ型，系统幅相曲线起始时渐进线是平行于虚轴的直线，其横坐标为
9.0)(lim 0-=+
→ωωj U
根据以上分析，可概略地作出幅相曲线，如图5-1所示。
图5-1
由系统的开环传递函数知，系统无右半平面开环极点，即0=P 。由图5-3可见，幅相曲线不包围)0,1(j -点。根据奈氏判据，系统负反馈闭环时稳定。
2. 系统的开环频率特性为
)
15)(5()
1(250)()(2++-+=
ωωωωωωj j j j H j G
)
()()75(400)55(250)75(4001975250
2222222222ωωωωω
ωωωωωωj V j U j +=-+-⋅
--++⋅-= 曲线的起点：系统为Ⅱ型，+=0ω时，=+
→)()(lim 0ωωωj H j G ∞︒⨯-∠902
曲线的终点：=ω∞时，j G (∞︒-∠=2700)
因系统中有开环零点，所以相频特性)(ωϕ单调递减，易知幅相曲线与实轴有交点。下面求幅相曲线与实轴交点的坐标
令0)(=ωj V ，得
55=ω
代入)(ωj U ，得：
23.0)(55
-==
ωωj U
根据以上分析，可概略地作出幅相曲线，如图5-2所示。
图5-2
由系统的开环传递函数知，系统无右半平面开环极点，即0=P 。由图5-2可见，幅相曲线不包围)0,1(j -点。根据奈氏判据，系统负反馈闭环时稳定。
例 4 已知系统开环传递函数为)
1()
4()()(-+=s s s K s H s G ，试用奈奎斯特稳定判据判断闭
环系统的稳定性，并确定K 的取值围。
解：
1. 系统的开环频率特性为
)
1()
4(15)1()4()()(222+-++-=-+=ωωωωωωωωωK j K j j j K j H j G