2012浙教版九上3.4《圆周角》word教案.doc
浙教版初中数学九年级上册3.4《圆心角(1)》导学案
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浙教版初中数学
3.4 圆心角（1）
我预学 1. 回忆：小学里我们学习分数和概率时，常把圆分成几份，你能发现如果 把圆分成 8 份，实际上是把什么分成了 8 份，每份多大？你能用几何符号 表示吗？
.
知识链接：
在同圆或等圆中，圆心角的度数与所对弧的度数
可以通过
来求，反之，求弧的度数可以通过
，所以求圆心角的度数 来求.
4.如图，已知△ABC，∠ACB=900，∠B=350，以点 C 为圆心，CA 为半径
⌒ 的圆交 AB 于点 D，那么AD的度数为
.B
D
第3题
C
A
第4题
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1.已知 AB、CD 是两个不同大小圆的弦，且它们所对的圆心角相等，那么
⌒⌒ AB与CD的关系是（ ）
⌒⌒ A. AB与CD 的长度相等
⌒⌒ C. AB与CD 能完全重合
⌒⌒ B. AB与CD 度数相等 D. 无法确定
2.半圆的圆心角是
度，四分之一圆的圆心角是
度.
3.如图，MN 为⊙O 的弦，∠M=50°，则圆心角∠MON=
2. （1） 什么样的图形叫中心对称图形？请列举几个中心对称图形. （2） 如果把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的像都和原图形重合， 这又叫圆的旋转不变性，你对这个圆的特性是如何理解的？还有这样 特性的图形吗？
3. 阅读教材中的本节内容后回答： （1）为什么本节中的性质要具备“在同圆或等圆中”这个前提条件？若没 有这个前提条件又会出现怎样的情况呢？ （2）你能用证明的方法为本节的性质给出严密的逻辑证明吗？
中学九年级数学上册 3.4 圆周角课件(2) 浙教版
D
O B
11
2，已知BC为半圆O的直径，AB=AF,AC 交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交 BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？ 为什么？ F
A M E B D O C
12
D
3
C A
1 2
B
9
如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点 ⌒ E,G是AC上任意一点,延长AG,与DC的延 长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图 中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.
F G C E
O A
B
D
10
1如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO 的中点,DE // AB,求证:EC=2EA. C E A
BD=DE
1
A
圆周角相等
2
E
弧相等 B D
C
5
如图，P是△ABC的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。 求证：△ABC是等边三角形 P A
· O
B
C
6
例3: 船在航行过程中经常会遇到暗礁区域，船长常常通过某 种方法来确定船的位置，来判定是否会进入暗礁。如图A,B表 示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示 一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，若∠ACB =50°, 问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?
B
●
O C
E
E
●
B
o
F
C
A
∠B = ∠D= ∠E
⌒ ⌒ 若
D
AB=CD
那么∠E=∠F吗？
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
3
P 78 做一做
浙教版数学九年级上册3.4 圆心角(二).docx
3.4 圆心角（二）1.已知下列命题：①若a ＞b ，则c －a ＜c －b ；②若a ＞0，则a 2＝a ；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形；④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的有(D )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(第2题)2.如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA ，OB 分别交小圆于点C ，D.给出下列结论：①AB ︵＝CD ︵；②AB ＝CD ；③AB ︵的度数＝CD ︵的度数.其中正确的结论有(B )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3.已知内接于⊙O 的等边三角形ABC 的边长是23，则⊙O 的半径为(B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.如图，AB 是AB ︵所对的弦，AB 的中垂线CD 交AB ︵于点C ，交AB 于点D ，AD 的中垂线EF 交AB ︵于点E ，交AB 于点F ，DB 的中垂线GH 交AB ︵于点G ，交AB 于点H ，则下列结论中，不正确的是(C )A. AC ︵＝CB ︵B. EC ︵＝CG ︵C. AE ︵＝EC ︵D. EF ＝GH(第4题) (第5题)5.如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥C D.若∠AOB ＝∠COD ，则AB ＝CD ，OE ＝OF ，AB ︵＝CD ︵ .6.如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，则线段AB < 2AC (填“>”“<”或“＝”).(第6题)7.如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，延长BA 交⊙A 于点G .求证：GE ︵＝EF ︵.(第7题)【解】 连结AF . ∵AB ＝AF ， ∴∠ABF ＝∠AF B.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥B C. ∴∠DAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF . ∴∠GAE ＝∠EAF .∴GE ︵＝EF ︵.8.如图，AB ，CD 为⊙O 的直径，AC ︵＝CE ︵.求证：BD ＝CE .(第8题)【解】 连结A C. ∵AC ︵＝CE ︵，∴AC ＝CE . ∵∠AOC ＝∠BOD ， ∴AC ＝B D.∴BD ＝CE .9.如图，在⊙O 中，AB 为直径，弦CD 交AB 于点P ，且OP ＝PC ，则AD ︵与CB ︵之间的关系为AD ︵＝3CB ︵.(第9题)【解】 如解图，连结OC ，O D.(第9题解)∵OC ＝OD ，∴∠D ＝∠C. ∵OP ＝PC ，∴∠C ＝∠COP ， ∴∠D ＝∠C ＝∠COP .又∵∠AOD ＝∠DPO ＋∠D ，∠DPO ＝∠C ＋∠COP ， ∴∠AOD ＝∠C ＋∠COP ＋∠D ＝3∠COP ， ∴AD ︵＝3CB ︵.10.如图，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任取一点作弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，连结PA ，P B.求证：PA ＝P B.(第10题)【解】 连结OP . ∵CO ＝OP ， ∴∠OCP ＝∠OP C. ∵CP 是∠DCO 的平分线，∴∠DCP ＝∠OCP .∴∠DCP ＝∠OP C.∴OP ∥C D. ∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ， ∴PA ︵＝PB ︵，∴PA ＝P B.11.如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点E ，OE 平分∠BE D. (1)求证：AB ＝C D.(2)若∠BED ＝60°，EO ＝2，求BE －AE 的值.(第11题)【解】 (1)过点O 作AB ，CD 的垂线，垂足分别为M ，N . ∵OE 平分∠BED ，且OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴OM ＝ON ，∴AB ＝C D. (2)∵OM ⊥AB ，∴AM ＝BM .∵∠BED ＝60°，∴∠BEO ＝12∠BED ＝30°.∴OM ＝12OE ＝1.∴EM ＝ 3.∴BE －AE ＝BM ＋EM －AE ＝AM ＋EM －AE ＝2EM ＝2 3.12.如图，半圆的直径AB 长为2，C ，D 是半圆上的两点，若AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°，动点P 在直径AB 上，求CP ＋PD 的最小值.(第12题)【解】 如解图，将半圆补成整圆，作点D 关于直径AB 的对称点D ′，连结CD ′，交AB 于点P ，则此时CP ＋PD 最小.连结PD ，OD ，OD ′，OC ，过点O 作ON ⊥CD ′于点N .(第12题解)∵AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°， ∴∠AOC ＝96°，∠DOB ＝36°， ∴∠COD ＝48°，∠BOD ′＝36°， ∴∠COD ′＝36°＋48°＋36°＝120°， ∴∠OCN ＝30°.∵半圆的直径AB 长为2， ∴ON ＝12OC ＝14AB ＝12，∴CN ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，∴CD ′＝2CN ＝ 3.∵CD ′＝PC ＋PD ′＝PC ＋PD ，∴PC ＋PD ＝ 3.初中数学试卷。
3.4圆心角-浙教版九年级数学上册教案
3.4 圆心角-浙教版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解圆心角。
2.理解圆周角、圆心角和弧度的关系。
3.掌握圆心角的概念和性质。
4.运用圆心角相关概念解决实际问题。
二、教学重点1.圆心角的概念和性质。
2.圆周角、圆心角和弧度的关系。
三、教学难点1.运用圆心角相关概念解决实际问题。
四、教学方法1.案例演示法。
2.讨论式教学法。
五、教学过程5.1 案例演示可以引入一个案例，让学生从实际中理解圆心角的概念和性质。
例如：某公园喷泉池的形状很漂亮，它呈扇形，每个扇形的角度是60度。
喷泉池的中心有一个喷头，水花可以高达10米，如果喷头调整到采用最大功率，喷头挡板的摆动角度是120度，此时水花最高可以喷多高？首先，介绍扇形和圆心角的概念。
一个扇形是一个圆的一部分，而圆心角是连接圆周上任意两点和圆心所形成的角度。
其次，介绍圆周角和弧度的概念，让学生明白它们与圆心角的关系。
最后，运用圆心角相关概念解决这个问题。
5.2 讨论式教学引导学生自己思考如下问题：1.圆心角的度数是多少？2.如果圆心角是一个直角，那么它对应的弧度是多少？3.如果圆心角是一个周角，那么它对应的弧度是多少？通过小组讨论的方式，让学生分享自己的答案和思考过程。
同时，教师可以给予适当引导和提示。
六、教学总结通过本节课的学习，学生应该掌握圆心角的概念和性质，理解圆周角、圆心角和弧度的关系，并能够运用圆心角相关概念解决实际问题。
七、课后作业1.完成课堂笔记。
2.完成课后习题，在纸上或电子文档上记录答案及解题过程，并自行检验答案的正确性。
3.总结圆心角相关概念，并用自己的话进行表述。
浙教版-数学-九年级上册-3.4 圆心角(2) 教案
3.4圆心角（2）教学目标:1.掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质;2.会运用关于圆心角，弧，弦，弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.教学重点与难点:教学难点: 关于圆心角，弧，弦，弦心距之间相互关系的性质.教学难点: 圆心角，弧，弦，弦心距之间相互关系的性质的应用.教学过程:我们已经知道，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦及其弦心距也分别相等.反过来，相等的弧所对的圆心角相等吗？相等的弦或弦心距所对的圆心角相等吗？请画出相应图形，并说明你的结论和理由.（可与你的同伴交流）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.例1如图，等边三角形ABC 内接于圆O ，连结OA ，OB ，OC ，延长AO 分别交BC 于点P ，交弧BC 于点D.连结BD ，CD.判断四边形BDCO 是哪一种特殊四边形，并给出证明.解：四边形BDCO 是菱形.证明如下：∠AOB=∠CODAB=CDOE=OF AB=CD ⌒⌒∵AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°∴∠BOD=180°-∠AOB=180°-120°=60°又∵OB=OD∴△BOD是等边三角形同理，△COD是等边三角形∴OB=OC=BD=CD，即四边形BDCO是菱形.例2已知：如图，△ABC是等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E.==.求证：AD DE EB证明：连结OD，OE∵OA=OD∴△AOD是等边三角形∴∠AOD=60°同理，∠BOE=60°∴∠DOE=180°-∠AOD-∠BOE=180°-60°-60°=60°∴∠AOD=∠DOE=∠BOE==∴AD DE EB布置作业课本作业题.。
浙教版初中数学九年级上册35圆周角优质教案
浙教版初中数学九年级上册 35 圆周角优质教案一、教学内容本节课选自浙教版初中数学九年级上册，第十五章圆，第3节“圆周角”。
具体内容包括：圆周角的定义，圆周角定理，圆周角的应用。
通过本节课的学习，让学生掌握圆周角的概念及相关性质，并能运用圆周角定理解决实际问题。
二、教学目标1. 知识目标：理解并掌握圆周角的定义，圆周角定理及推论，能运用圆周角定理进行相关计算。
2. 能力目标：培养学生观察、分析、解决问题的能力，提高学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和团队精神。
三、教学难点与重点重点：圆周角的定义，圆周角定理及推论。
难点：圆周角定理的证明，运用圆周角定理解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，圆规，量角器。
2. 学具：圆规，量角器，直尺，三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）让学生观察生活中的圆形物体，如车轮、风扇等，引导学生思考：圆周角是什么？（2）通过多媒体课件展示圆周角的动态图像，让学生直观地认识圆周角。
2. 探究新知（1）教师引导学生通过量一量、画一画、比一比等方法，发现圆周角的特点。
（2）学生自主探究圆周角的定义，教师适时进行指导。
3. 例题讲解（1）讲解圆周角定理的证明过程，引导学生理解定理的内涵。
（2）通过例题讲解，让学生学会运用圆周角定理解决实际问题。
4. 随堂练习（1）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
（2）学生互相交流、讨论，共同解决问题。
六、板书设计1. 圆周角的定义2. 圆周角定理3. 圆周角的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）已知圆的半径为5cm，求圆周角为90°的弧长。
（2）已知圆周角为60°，求所对圆心角的大小。
2. 答案：（1）弧长=半径×圆心角/180°×π=5×90°/180°×π=2.5π cm（2）圆心角=圆周角×2=60°×2=120°八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对圆周角的定义和定理掌握程度如何？哪些环节需要改进？2. 拓展延伸：引导学生探究圆周角与圆心角的关系，为下一节课的学习打下基础。
九年级数学上册 《圆周角》第二课件 浙教版
第一页，编辑于星期五：十三点 三十三分。
旧知回放:
A
1、圆周角的定义：
顶点在圆上，两边都与圆相交的角。
O
2、圆周角定理：
B
C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
3、圆周角定理的推论1：
C
半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角；
900的圆周角所对的弦是直径。
∴∠BAC=∠CPB=60°。
∴△ABC等边三角形。
第六页，编辑于星期五：十三点 三十三分。
：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证：⌒ ⌒ BD=DE
A
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC，
∵AB=AC， ∴AD平分顶角∠BAC， 即∠BAD=∠CAD，
Ｃ
·
Ｄ２１
·O
３
Ａ
Ｂ
第五页，编辑于星期五：十三点 三十三分。
练习： 如图，P是△ABC的外接圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°.
△ABC是等边三角形
A
P
证明：∵∠ABC和∠APC
都是
⌒
AC
所对的圆周角。
·· O
∴∠ABC=∠APC=60°
B
求证： C
(同弧所对的圆周角相等〕
同理，∵∠BAC和∠CPB都是 B⌒所C 对的圆周角，
小结
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、圆周角定理及其推论的用途你都 知道了吗？
第十五页，编辑于星期五：十三点 三十三分。
第十六页，编辑于星期五：十三点 三十三分。
3.4 圆心角 教案(表格式)2023-2024学年浙教版九年级数学上册
教学设计一、问题引入，动态感悟问题1：圆这一图形非常美观，你觉得它的美主要体现在哪里？问题2：圆的对称轴是什么呢？问题3：基于圆的对称性，我们主要学习了哪些知识？（垂径定理：知一推二）问题4：圆除了是轴对称图形，是否是中心对称图形呢？问题5：一个圆绕圆心旋转任意角度能够与本身重合吗？（插入旋转图片）圆的旋转不变性：把圆绕圆心旋转任意角度后，仍与原来的圆重合.通过设置一系列的问题串，让学生回顾圆的对称性，从垂径定理知一推二的模式为圆心角定理的学习作铺垫。
立足从图形变化的角度出发展开本节课的探索。
从对称性过渡到中心对称性，通过观察动态图感受圆的旋转不变性。
二、立足本质，引出概念问题6：由于圆上所有的点到圆心的距离相等，所以才有了圆的旋转不变性，如果我把圆上任意两点与圆心相连接，你还能看到了什么数学图形？问题7：这个角有什么特点吗？你能给这个角取一个名字吗？圆心角的概念：顶点在圆心的角叫作圆心角。
AB就是圆心角∠AOB所对的弧，弦AB就是∠AOB所对的弦。
辩一辩：下列哪些角是圆形角？通过圆旋转不变性的本质构造图形，得出圆心角这一概念，再次用辩一辩加强学生对概念的理解，对概念进行进一步的精致。
三、合作学习，探究定理问题8：如果在圆O中，有两个圆心角，∠AOB和∠COD，如果∠AOB=∠COD，你能发现哪些结论？（动态图观察发现结论）联结AB和CD，你还能发现什么结论？学生发现结论：圆心角相等，其所对的弧和弦都相等。
问题9：这是我们从图形几何直观的角度发现的结论，也是观察的结果，对于这样的结论我们还需要进一步的证明，从刚才的学习中你会联系哪些知识进行证明呢？（圆的旋转不变性）已知：在⊙O 中，∠AOB ＝∠COD ，求证：=AB CD ，AB ＝CD ．证明：设∠AOC =α，∵ ∠AOB = ∠COD ∴ ∠BOD = ∠BOC + ∠COD = ∠BOC + ∠AOB =α将扇形AOB 按顺时针方向旋转α角后，点A 与点C 重合，点B 也与点D 重合.根据圆的旋转的性质，AB 与CD 重合，弦AB 也与弦CD 重合，所以=AB CD ，AB ＝CD.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.几何语言：∵∠AOB ＝∠COD ，∴=AB CD ，AB ＝CD ．四、深入探究，巩固概念追问：定理中“在同圆或等圆中”这一条件能去除吗？试着画图说明.弧的大小明显不同，对于弧我们还需要有进一步的认识. 问题10：度数相等的弧是等弧吗？ 问题11：长度相等的弧是等弧吗？ 弧度数的表示方法 五、例题演练，巩固提升 例1、用直尺和圆规把⊙O 四等分．1°1°弧n°弧n°备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
浙教版数学九年级上册3.5《圆周角》说课稿
浙教版数学九年级上册3.5《圆周角》说课稿一. 教材分析《圆周角》是浙教版数学九年级上册第三章第五节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握圆周角的定义，性质及其在几何计算中的应用。
通过学习，使学生能够理解和运用圆周角定理，提高他们的几何思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对圆的相关知识也有所了解。
但是，对于圆周角的定义和性质，以及它在实际问题中的应用，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，我将会关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握圆周角的定义和性质，能够运用圆周角定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 说教学重难点1.重点：圆周角的定义和性质，圆周角定理的应用。
2.难点：圆周角定理在实际问题中的运用，特别是对于复杂图形的分析。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等工具，直观展示圆周角的定义和性质，增强学生的直观感受。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考圆周角的概念。
2.讲解圆周角的定义和性质：利用多媒体课件和几何画板，直观展示圆周角的定义和性质，引导学生理解和掌握。
3.应用练习：给出一些实际问题，让学生运用圆周角定理进行解决，巩固所学知识。
4.拓展与提高：引导学生思考圆周角定理在实际问题中的应用，提高他们的几何思维能力。
5.课堂小结：回顾本节课所学内容，强调圆周角的定义、性质和应用。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：圆上任意一点的两条射线所成的角。
2.性质：圆周角等于其所对圆心角的一半。
3.应用：圆周角定理在实际问题中的应用。
九年级数学上册 3.4 圆心角教案 (新版)浙教版-(新版)浙教版初中九年级上册数学教案
《圆心角》
情境导入：以认识奔驰宝马车的标志，激发学生的求知欲.
新知引入：
1以修自行车的实例来帮助学生理解圆的旋转不变性——把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合.
2定义：在旋转过程中产生了圆心角. 顶点在圆心的角叫做圆心角（给出概念后再让学生做一个简单判断）
3圆心角定理：(在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等.）
定理的探究：步骤：让学生观察，猜想，证明，最后教师给出实验过程.
新知巩固:
例1 如图，AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径.
求证：AB=BC=CD=DA;
弧AB=BC=CD=DA.
前后呼应：画宝马的标志.（例2: 用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分）
性质推导：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
1º的圆心角对着1º的弧,
1º的弧对着1º的圆心角.
nº的圆心角对着nº的弧,
nº的弧对着nº的圆心角.
A
学以致用：如图：点C为圆心，∠ACB=90°, ∠B=25°求弧AD的度数.
后呼应：
1、如图，图中标志每段弧的度数是多少
2、画出奔驰车的标志
课堂小结：通过"宝马奔驰"认识本堂课
1宝马奔驰"转"你没话说
2一把直尺和圆规能拥有"奔驰宝马"。
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3.4圆周角
1.圆周角的定义
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的叫做圆周角。
【注意】（1）圆周角必须具备两个特征：①顶点在圆周上；②除顶点外，角的两边分别与圆
还有另一个交点，不能仅从顶点是否在圆上来判断圆周角，如图1中的
∠ABC是圆周角。
例1 如图2所示，指出图中的圆周角。
图2
2.圆周角定理及其证明
（1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半。
【注意】①定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，
结论是圆周角等圆心角的一半；②不能丢掉“同一条弧所对
的”这个条件而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”。
【说明】圆的任意一条弧所对的圆心角只有一个，但圆的任意一条弧所对的圆周角从位置上
看有无数个，从数值上看只有一个。
（2）定理证明：
因为在O中，同一条弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有（如图3所示）三种情况：
圆心在圆周角的“一边上”“内部”“外部”，证明时应分三种情况进行讨论，在这三种情况
下，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，
转化的条件是添加以圆周角的顶点为端点的直径作为辅助线。
D
(3)(2)
(1)
D
B
O
O
O
C
A
A
B
C
A
B
C
图3
已知：如图3所示，在O中，BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC。
求证：∠BAC=12∠BOC。
图1
O
B
A
C
F
D
E
B
C
A
D
(3)(2)
(1)
D
B
O
O
O
C
A
A
B
C
A
B
C
【说明】①定理的证明方法叫做枚举法，它体现了两种数学思想：分类讨论思想和由特殊到
一般的思想；②因为圆心角的度数等于它所对的弧的度数，所以圆周角的度数等于它所对的
弧的度数的一半。
例2 如图4所示，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于
点E，则∠AEO的度数是 。
E
C
AOB
D
图4
例3 如图5所示，在O中，∠ACB=34°，则∠AOB的度数是（ ）
A、17° B、34° C、56° D、68°
B
O
C
A
图5 POABCD图6
例4 如图6所示，在O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B
等于（ ）
A、30° B、35° C、40° D、50°
3.圆周角定理的推论
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
【说明】在解题过程中，一般情况下，当条件中有直径时，往往作出直径所对的圆周角，从
而得到直角三角形，为进一步解题创造条件。
如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题。该推论也是证明弦是直径常用的
方法。
推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角
所对的弧也相等。
【说明】（1）推论2主要有两大作用，一
是用来证明角相等，从而进一步证明两个
三角形相似或全等；二是角的转换，将一
个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，
从而达到题目中的要求；（2）不能把“同
弧或等弧”改成“同弦或等弦”，因为一条弦所对的圆周角有两种
情况，一般情况下两个圆周角不相等，如图7①中的∠1与∠2. （3）
“相等的圆周角所对的弧也相等”这一结论的前提条件是“在同
圆或等圆中”，离开这一前提条件，结论不成立。如图7②中虽∠
BND=∠AMC，但AC与BD不相等。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三
角形是直角三角形。
【说明】推论的实质是直角三角形的斜边中线等于斜边的一般的逆定
理。
例5 如图8所示，AB是O的直径，C是O上的一点，若AC=8，
AB=10，OD⊥BC于点D，则BD的长为（ ）
A、1.5 B、3 C、5 D、6
4.在圆中，计算有关弦所对的弧的度数时要考虑两种情况
圆的任意一条弦均把圆周角分成两条弧，弦若不是直径时，这两条弧的度数是不相等的。故
圆内任意一条弦所对的圆周角从位置上看有两个，分别位于弦的两侧；则会两个圆周角之和
等于180°，如图9中的∠C和∠D，且∠C+∠D=180°。
例：点A、B、C在半径为2cm的O上，若BC=23cm，求∠A的度数。
例6 若O为△ABC的外心，且∠BOC=60°，则∠BAC= 。
5.圆周角在生活中的应用
日常生活中，有很多物品设计成圆形，而很多有关圆的问题用圆周角的知识来解决都很方便。
例如：现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，
且两边长度都长于井盖半径）。请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤。
D
C
B
A
图7
②
①
2
1
C
A
O
O
A
B
C
D
B
D
N
M
图8
D
A
O
B
C
图9
例7 已知如图10表示一个暗礁区，它的边缘是以AB为弦的一条优弧，现已测得暗礁区直
径为600米，灯塔A、B之间的距离为300米，当船在直线AB一侧航行时，为了使船只S
不进入暗礁区，试问航行中船只S对两个灯塔A、B的视角应满足什么条件？
P
A
B
图10