正弦定理、余弦定理的综合应用课件
合集下载
1.3.1 正弦定理、余弦定理的应用-课件ppt
解三角形应用举例
江苏南通田家炳中学 张妹
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C （R为三角形的外接圆半径） B
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cosB
c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b2 c2 a2 2bc
解三角形 AB ＝ AC sin C sin B
例题讲解
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC
AB AC sin ACB sin ABC
55sin ACB sin ABC
55sin 75o sin(180o 51o 75o)
55sin 75o sin 54o
66(m)
解：在△ACD中， ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3
在△BCD中， ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45°+45°+30°）=60°
由正弦定理
sin
BC DC BDC sin DBC
，得
答：A,B两点间的距离为66米。
思考 两个不可到达点的问题
如何测定河对岸两点ห้องสมุดไป่ตู้、B间的距离？
B A
解：如图，测量者可以在 河岸边选定两点C、D， 测出CD=a，∠BCA=α， ∠ACD=β，∠CDB=γ，
∠ADB=δ。 第一步:在△ACD中，算出角∠DAC， ∠ADC
由正弦定理
AC DC sin ADC sin DAC
BC DC sin BDC 100 3 sin 75 200sin 75
江苏南通田家炳中学 张妹
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C （R为三角形的外接圆半径） B
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cosB
c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b2 c2 a2 2bc
解三角形 AB ＝ AC sin C sin B
例题讲解
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC
AB AC sin ACB sin ABC
55sin ACB sin ABC
55sin 75o sin(180o 51o 75o)
55sin 75o sin 54o
66(m)
解：在△ACD中， ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3
在△BCD中， ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45°+45°+30°）=60°
由正弦定理
sin
BC DC BDC sin DBC
，得
答：A,B两点间的距离为66米。
思考 两个不可到达点的问题
如何测定河对岸两点ห้องสมุดไป่ตู้、B间的距离？
B A
解：如图，测量者可以在 河岸边选定两点C、D， 测出CD=a，∠BCA=α， ∠ACD=β，∠CDB=γ，
∠ADB=δ。 第一步:在△ACD中，算出角∠DAC， ∠ADC
由正弦定理
AC DC sin ADC sin DAC
BC DC sin BDC 100 3 sin 75 200sin 75
正弦定理、余弦定理的应用PPT教学课件
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
距离（精确到0.1 m).
B
想一想
分 析：在本题中直接给出了数学模型（A三角形），要求A、C B间距离，相当于在三角形中求某一边长？
奴隶社会走向崩溃。
战国时期，社会经济继续向前发展，各诸侯国 新兴地主阶级进行了不同程度的变法，使封建 制度逐步得到确立。其中，以秦国的商鞅变法 最为彻底。春秋战国时期，诸侯争战连绵不断， 给广大劳动人民带来严重灾难，但客观上又促
进了民族融合，符合人民渴望统一的愿望。
大的冶炼场有工匠几百人
c.冶铁中心
楚国的宛、赵国的邯郸
②煮盐业山东海盐、山西的池盐和石盐
③手工艺品
丝麻织品、漆器
3.商业的兴盛 ①种类繁多
②封建城市兴起 齐国 临淄 赵国 邯郸 楚国 郢 魏国 大梁
小结：
春秋战国时期是我国奴隶社会瓦解，封建社会 形成时期。春秋时期，周王室不再受到尊崇， 出现诸侯争霸的局面，此时因铁器和牛耕的使 用，生产力得到发展，私田增多，井田制瓦解，
想一想
有其他解法？
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改：点A、B都在河的对岸
且不可到达，那又如何求A、B两点间的距离？请同
学们设计一种方法求A、B两点间的距离。（如图）
A
B
分析：象例1一样构造三角形，利
用解三角形求解。
D
C
实例讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点Ｃ、Ｄ，测的ＣＤ＝a
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
距离（精确到0.1 m).
B
想一想
分 析：在本题中直接给出了数学模型（A三角形），要求A、C B间距离，相当于在三角形中求某一边长？
奴隶社会走向崩溃。
战国时期，社会经济继续向前发展，各诸侯国 新兴地主阶级进行了不同程度的变法，使封建 制度逐步得到确立。其中，以秦国的商鞅变法 最为彻底。春秋战国时期，诸侯争战连绵不断， 给广大劳动人民带来严重灾难，但客观上又促
进了民族融合，符合人民渴望统一的愿望。
大的冶炼场有工匠几百人
c.冶铁中心
楚国的宛、赵国的邯郸
②煮盐业山东海盐、山西的池盐和石盐
③手工艺品
丝麻织品、漆器
3.商业的兴盛 ①种类繁多
②封建城市兴起 齐国 临淄 赵国 邯郸 楚国 郢 魏国 大梁
小结：
春秋战国时期是我国奴隶社会瓦解，封建社会 形成时期。春秋时期，周王室不再受到尊崇， 出现诸侯争霸的局面，此时因铁器和牛耕的使 用，生产力得到发展，私田增多，井田制瓦解，
想一想
有其他解法？
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改：点A、B都在河的对岸
且不可到达，那又如何求A、B两点间的距离？请同
学们设计一种方法求A、B两点间的距离。（如图）
A
B
分析：象例1一样构造三角形，利
用解三角形求解。
D
C
实例讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点Ｃ、Ｄ，测的ＣＤ＝a
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
6.4.3余弦定理、 正弦定理 余弦定理(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
cos B
3 ,所以B 30,因此C 105
2ac
4( 3 1)
2
3. 在△ABC中,已知b 5, c 2, 锐角A满足 sin A 231 ,求C(精确到1) 20
因为sin A 231 , 且A为锐角,所以cos A= 1 sin2 A 13 ,
20
20
由余弦定理, 得a2 b2 c2 2bc cos A 16, 所以a 4;
而勾股定理是余弦定理的特例.
一般地, 三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c b
c
叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形.
C
a
B
环节五：课堂练习，巩固运用
例5 在△ABC中,已知b 60 cm, c 34 cm, A 41, 解这个三角形 (角度精确到1, 边长精确到1 cm).
余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即
a2 b2 c2 2bc cos A
你能用其他方法
b2 a2 c2 2ac cosB
证明余弦定理吗？
c2 a2 b2 2abcosC
问题：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？
所以cos C a2 b2 c2 37 ,利用计算器可得C 22
2ab
40
所以C 180 ( A B) 180 (41 106) 33
例6 在△ABC中, a 7, b 8, 锐角C满足 sin C 3 3 , 求B(精确到1). 14
分析：由条件可求cosC, 再利用余弦定理及其推论可求出B的值.
因为sin C 3 3 , 且C为锐角,所以cos C 1 sin2 C 1 ( 3 3 )2 13 ,
6.4.3余弦定理与正弦定理课件(人教版)
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC
新人教A版必修二 6.4.3 余弦定理、正弦定理 课件(11张)
第四章 三角函数、解三角形
[规范解答] (1)由 sin 23π＝ 23，cos 23π＝－12， 得 f23π＝ 232－－122－2 3× 23×－12＝2. (2)因为 cos 2x＝cos2x－sin2x， sin 2x＝2sin xcos x，
1 分 得分点 三角函数、解三角形
[规范解答]
(1)由题设及 A＋B＋C＝π 得 sin B＝8sin2B2， 2 分 得分点①
故 sin B＝4(1－cos B)，
4 分 得分点②
上式两边平方，整理得 17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得 cos B＝1(舍去)，或 cos B＝1157.
6 分 得分点③
所以 f(x)＝－cos 2x－ 3sin 2x＝－2sin 2x＋π6， 7 分 得分点④
所以 f(x)的最小正周期是 π，
8 分 得分点⑤
第四章 三角函数、解三角形
由正弦函数的性质，得
π2＋2kπ≤2x＋π6≤32π＋2kπ(k∈Z)，
10 分 得分点⑥
解得π6＋kπ≤x≤23π＋kπ(k∈Z)，
第四章 三角函数、解三角形
[解题点津] (1)要善于抓解题的关键点，解题步骤中明显呈现的得分点，如 本题(1)中23π的正弦和余弦值必须呈现出来. (2)要清晰呈现“化一”的过程以及用联立不等式求单调区间 的过程.
第四章 三角函数、解三角形
[核心素养] 三角函数问题是高考必考问题，三角求值与求三角函数的最值、 周期、单调区间是高考的常见题型；本题型重点考查灵活运用 三角公式进行三角变换的能力，以及“数学运算”的核心素养.
第四章 三角函数、解三角形
类型二 解三角形问题 (12 分)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
正弦定理和余弦定理 课件(53张)
a≥b 一解
a>b 一解
上表中,若A为锐角,当a<bsin A时无解;若A为钝角或直角,当a≤b时无解.
3.三角形面积
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S.
(1)S=
1 2
ah(h为BC边上的高).
1
(2)S= 2 absin C=
1
1
2 acsin B = 2 bcsin A.
1∶13.
由余弦定理得cos
C=
52
112 132 2 511
<0,所以C为钝角,即△ABC一定是钝角
三角形.
2-2 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos
A,则△ABC的形状为 ( D )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
A. 6 B. 3 C. 6
D. 3
4.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2cos Asin B=b2sin Acos B,
则△ABC的形状为 ( D )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形
5.若满足条件C=60°,AB= 3 ,BC=a的△ABC有两个,那么a的取值范围是
1 2
absin
C≤
3
3 4
,又S△
ABC>0,所以S△ABC∈
0,
3
3 4
.
解法二:因为 a = b = c =2,
sin A sin B sin C
所以a=2sin A,b=2sin B.
又A+B=
2
3