哥德巴赫猜想的最终证明

哥德巴赫猜想的最终证明

1742年6月7日,当时还是中学教师的哥德巴赫,写信给当时乔居俄国彼得堡的数学家欧拉一封信,问道:“是否任何不小于6的偶数,均可表示为两个奇素之和?”.20天后,欧拉复信写到:“任何不小于6的偶数,都是两个奇素数之和.这一猜想,虽然我还不能证明它,但是我确信无疑地认为这是完全正确的定理.”这就是一直未被世人彻底解决的著名的哥德巴赫猜想,也称为哥德巴赫----欧拉猜想.

命题简述为:(1)每个≥6的偶数都可表示为两个奇素数之和;

(2)每个≥9的奇数都可表示为三个奇素数之和.

在260多年的漫长岁月里,各国数学都为证明这个猜想绞尽脑汁,但最终未能彻底证明.只是对第一部分进行了大量验证,对第二部分间接地进行了证明.现在让我们采用一种全新的方法揭示出这个猜想的

规律性,使这个定理得到最终证明.

要证明这个定理实质是解决下列问题:

(1)奇素数如何表示?

(2)猜想的第一部分能否由奇素数的表示法得到证明?

(3)第二部分是否是第一部分的推论?

首先,让我们解决问题(1):

奇素数定理:p是一个奇素数,当且仅当,

<1>p=3;

<2>p=6k-1,且k≠6mn±(m-n),m,n为任意正整数;

<3>p=6k+1,且k≠6mn±(m+n),m,n为任意正整数.

证明:=>若p是奇素数,则p≥3,若p=3,必要性显然;p>3时,p是素数则p/3余1或余2,即余1或-1,所以p=3p1±1,又p为奇数,从而p1 =2k,k为正整数,否则p为偶数.因而p=6k±1

当p=6k+1时,若存在正整数m,n使得k=6mn±(m+n)

则p=6[6mn±(m+n)]+1

=6m×6n±6(m+n)+1

=(6m±1)(6n±1)

从而p为合数,矛盾.

即不存在正整数m,n使得k=6mn±(m+n)

当p=6k-1时,若存在正整数m,n使得k=6mn±(m-n)则

p=6[6mn±(m-n)]-1

=6m×6n±6(m-n)-1

=(6m±1)(6n±1)

从而p为合数,矛盾.

即任意m,n使得k≠6mn±(m-n)

综合以上三方面可知必要性成立.

<=充分性.若p=3,充分性显然;若p=6k+1时,p=3×2k+1,则3ˉ︳p;又p=2k×3+1,则任意偶数2kˉ︳p;任一组正整数m,n,使得k=6mn±(m +n)不成立,即p=(6m±1)(6n±1)不成立,即(6m±1)ˉ︳p, (6

n±1)ˉ︳p﹐但1︱p,p︱p,

由奇﹑素数定义可知充分性成立;

同理可证若p=6k-1时充分性成立.

综上充分性得证.

由此定理可知:除3以外的奇素数都满足p=6k+1(k≠6mn±(m+n))

或p=6k-1(k≠6mn±(m-n))的形式.

其次,解决问题(2).

任一偶数N≥6,则有且只有下列一种情况成立:N=6k-2,N=6k,或N =6k+2.只要这三种情况下N都能表示为两个奇素数之和,则猜想成立.

证法1:同余统计法

当N=6k-2时,对N可进行[k/2]个如下连续分解: N=(6×1-1)+〔6×(k-1)-1〕

=(6×2-1)+〔6×(k-2)-1〕

=(6×3-1)+〔6×(k-3)-1〕

=(6×4-1)+〔6×(k-4)-1〕

=(6×5-1)+〔6×(k-5)-1〕

=(6×6-1)+〔6×(k-6)-1〕

=(6×7-1)+〔6×(k-7)-1〕

=(6×8-1)+〔6×(k-8)-1〕

=(6×9-1)+〔6×(k-9)-1〕

=(6×10-1)+〔6×(k-10)-1〕

. . . . . .

=〔6×(k/2)-1〕+〔6×(k/2)-1〕 (k为偶数) =〔6×[k/2]-1〕+〔6×([k/2]+1)-1〕(k为奇数)

这种形式的分解中有四种情况:<1>素+合,<2>合+素,<3>合+合,< 4>素+素.其中合数项6k-1=(6m-1)(6n+1)成对出现6m-1与6n+1,因

而只考虑6m-1与i(

p|(i)表示素数p=6m-1整除(6i-1),因为6m-1+m=i≤k必使6i-1为合数,则m≤[(k+1)/7],即这k个分解中的合数项全部是由1～[(k+1)/7]

项中的素数衍生的.则:

5|<1><6><11><16>..... <1(mod5)>

11|<2><13><24><35>.. ....<2(mod11)>

17|<3><20><37><54>.. ....<3(mod17)>

23|<4><27><50><73>.. ....<4(mod23)>

...........

(6[(k+1)/7]-1)|<[(k+1)/7]><7[(k+1)/7]-1> ....＜［(k+1)/7］(mo

d(7[(k+1)/7]-1))＞

因而在前10个分解中,10个前项有9个素数项,而10个后项至少有3个素数项,因此素+素的分解至少有2个,即这种情况下猜想得证.

当N=6k时,有如下k种分解:

N=(6×1+1)+〔6×(k-1)-1〕

=(6×2+1)+〔6×(k-2)-1〕

...... .......

=(6×[k/2]+1)+〔6×[k/2]-1〕(k为偶数)

=(6×[k/2]+1)+〔6×([k/2]+1 )-1〕(k为奇数) 若将前后项中的+1与-1颠倒顺序又会得到[k/2]个分解.

在前-后+的前10个分解中前项有1个合数,有9个素数,而后项最多有8个合数,因此前10个分解中至少有一个素+素分解.

即此情况下猜想成立.

当N=6k+2时,有如下［k／2］种分解:

N=(6×1+1)+〔6×(k-1)+1〕

=(6×2+1)+〔6×(k-2)+1〕

...... .......

=(6×[k/2]+1)+〔6×[k/2]+1〕(k为偶数)

=(6×[k/2]+1)+〔6×([k/2]+1)+1〕(k为奇数) 在前13个分解中前项有3个合数有10个素数,而后项最多有9个合数,因此前13个分解中至少有1个素+素分解.