第9章系统建模灰箱方法资料
《灰色系统建模》课件
这个PPT课件将介绍灰色系统建模及其在实践中的应用。你将了解灰色关联分 析、灰色预测模型以及与其他建模方法的比较。通过实际案例，了解灰色系 统建模的局限性和发展方向。
灰色关联分析
基本原理
探索变量之间的关联性，揭示隐藏信息。
发展趋势
结合神经网络和灰色关联分析进行建模。
实际应用
在融合数据中应用灰色关联分析。
基本原理
灰色模型GM(1,1)的数学基础和原理。
实际应用
灰色模型GM(1,1)在实际问题中的应用。
灰色关联度分析模型
基本概念
灰色关联度分析模型的核心概念。
实现方法
如何实现灰色关联度分析模型。
灰色预测模型
1
构建方法
基于灰色模型GM(1,1)进行预测。
2
实践应用
市场营销中的灰色预测模型应用案例。
3
优缺点分析灰色模型的优势和局源自性。灰色系统建模与其他方法比较
神经网络模型
与灰色模型的比较与对比。
经济评价和决策
发展趋势
灰色模型在经济领域的应用案例。 灰色模型的未来发展方向。
灰色系统建模在实际问题中的应用案例
1
财务预测
使用灰色系统建模进行企业财务预测的实际案例。
2
环境预测
探讨灰色系统建模在环境预测中的应用。
3
人口统计
灰色模型在人口统计领域的实际应用案例。
灰色理论的历史与发展
1 理论渊源
灰色理论的起源和发展。
3 新兴方法
探讨新兴的灰色系统建模方法。
2 经典模型
介绍经典的灰色模型。
灰色模型GM(1,1 )
灰色系统分析讲义(精)
数学建模讲稿-------灰色系统分析五步建模思想研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能、协调功能以及系统各因素之间的关联关系、因果关系、动态关系进行具体的量化研究。
这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。
系统模型的建立，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤，故称为五步建模。
第一步：开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、途径、措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这便是语言模型。
第二步：对语言模型中的因素及各因素之间的关系进行剖析，找出影响事物发展的前因、后果，并将这种因果关系用框图表示出来（见图１）。
(a) (b)图１一对前因后果（或一组前因与一个后果）构成一个环节。
一个系统包含许多这样的环节。
有时，同一个量既是一个环节的前因，又是另一个环节的后果，将所有这些关系连接起来，便得到一个相互关联的、由多个环节构成的框图（如图２所示），即为网络模型。
图１第三步：对各环节的因果关系进行量化研究，初步得出低层次的概略量化关系，即为量化模型。
第四步：进一步收集各环节输入数据和输出数据，利用所得数据序列，建立动态GM模型，即动态模型。
动态模型是高层次的量化模型，它更为深刻地揭示出输入与输出之间的数量关系或转换规律，是系统分析、优化的基础。
第五步：对动态模型进行系统研究和分析，通过结构、机理、参数的调整，进行系统重组，达到优化配置、改善系统动态品质的目的。
这样得到的模型，称之为优化模型。
五步建模的全过程，是在五个不同阶段建立五种模型的过程：网络模型优化模型在建模过程中，要不断地将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往复，使整个模型逐步趋于完善。
数学建模讲稿-------灰色系统分析灰色系统建模的基本思路可以概括为以下几点：1科学实验数据；○2经验数据；○3生产数据；○4决策数据。
（1）建立模型常用的数据有以下几种：○（2）序列生成数据是建立灰色模型的基础数据。
用灰色模型进行数学建模-数学建模中的灰色方法
数学建模中的灰色方法在数学建模的过程中，常常遇到一些诸如：人在数学建模的过程中，常常遇到些诸如：人口模型、全国的物资调运、运输、生产销售等问题，其中有许多信息都无法确定，要建立这样的模型很困难。
量化分析方法大都是现有的系统分析方法—量化分析方法，大都是数理统计方法但这种方法多用于少因素的、线性的情形。
对于多因素的、非线性的则难以处理。
的情形对于多因素的非线性的则难以处理针对这些不足，邓聚龙教授创立了一种就数找数的方法，即灰色系统生成法。
创立灰色系统的数的方法即灰色系统生成法创立学科体系和灰色系统“概念与公理体系”，提出理论灰建模理论并创灰生成空间、灰关联空间理论、灰建模理论并创立灰预测理论及方法体系。
一、灰色系统.定义：系统作为一个包含若干相互关联、相互制约的任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体系任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体。
系统内部存在有物质流、信息流、能量流。
系统（根据信息明确程度）黑色系统（信息毫无所知或知之甚少）灰色系统（既含有已知信息又有未知信息）白色系统（信息完全明确）（）灰色系统公理：（一）灰色系统公理：1.信息不完全、不确定的解是非唯一的；（解的非唯一性原理）22.信息是认识的根据；（认识根据原理）3.灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最小信息”；最小信息原（最小信息原理）4.新信息对认识的作用大于老信息；（新信息优先原理）（二）灰色系统的描述：灰色系统用灰色参数、灰色方程、灰色矩阵、灰色度等综灰色系统用灰色参数灰色方程灰色矩阵灰色度等综合描述，其中灰数是灰色系统的基本单元。
1.灰色参数（灰数）灰数是那些只知道大概范围而不知其确切值的数（只知道部分数学特征而不知道具体数值的参数）（只知道部分数学特征，而不知道具体数值的参数）。
例如：“某人的身高约为170cm 、体重大致为60kg”，这里的“（约为））”“60”都是灰数这里的（约为）170（cm ）、60都是灰数，分别记为、。
基于灰色系统理论的建模方法介绍PPT课件
3
确定的复杂问题
半确定的复杂问题
B
不确定的复杂问题
确定的半复杂问题 C
D 不确定的半复杂问题
确定的简单问题
14
例：某地区1998—2004年总收入，工业收入，农业收入
年份 1998 总收入 18 工业收入 10 农业收入 3
1999 20 15 2
2000 22 16 5
2001 40 24 10
2002 44 28 12
（单位：亿元）
2003 2004
48
60
40
50
8
10
15
70
60
50
40
30
累加生成 (1)与x(0)之间满足如生下成关方系式: 累减生成
映射生成
令x(0)为原始序列,x(0) [ x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n)],
记生成生数成为数x列(1)：, x(1) [ x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n)], 如特果点：规律性强
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
总收入 工业收入 农业收入
16
3.1 数据列的表示方式
作关联分析首先要指定参考数据列，参考数据列
常用x0表示。不同时刻数据表示为：
xo=( x0 (1) , x0 (2) , … , x0 (n) )
序号
1
2
3
4
新编数学建模灰色模型-资料精选文档PPT课件
灰数的种类：
a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,b] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰 数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续 灰数。
■ 特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不 完全系统的建模与分析，具有独特的功效。
3
4
灰色系统理论是研究灰色系统分析、建 模、预测、决策和控制的理论。它把一般系 统论、信息论及控制论的观点和方法延伸到 社会、经济和生态等抽象系统，并结合数学 方法，发展出一套解决信息不完全系统（灰 色系统）的理论和方法。
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求
侧重 目标 特色
灰色系统 贫信息不确定 灰色朦胧集 信息覆盖 灰序列生成 任意分布 内涵 现实规律 小样本
概率统计 随机不确定 康托集 映射 频率分布 典型分布 内涵 历史统计规律 大样本
模糊数学 认知不确定 模糊集 映射 截集 隶属度可知 外延 认知表达 凭借经验
6
灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信 息未知”的“小样本，贫信息”不确定性问题， 并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物 运动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着 重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。
7
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
8
树高在20米至30米
9
表1.1 三种不确定性方法的比较
灰色系统及在建模中的应用
1
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总体概述
《灰色系统建模》PPT课件
5
0.778 0.538 0.538 1.000 0.778 0.368 0.778
6
0.778 1.000 0.467 0.636 0.538 0.412 0.778
7．分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）：
8．如到r0果劣1 不依0考次.7虑为781各号指1，.标050权号0重， （30号.7认，7为86各号0指，.67标23号6同，等04重号.46要．7），0.六33个3 被 1评.0价00对象0由.7好13
18987529 27875738 39796647 46888436 58669838 68957648
3．确定参考数据列：
4．计算 {x0} {9,， 见下9表, 9, 9, 8, 9, 9}
x0(k) xi (k)
编号 专业 外语 教学 科研 论文 著作 出勤 量
1
10123702
2
1
2
xi k , i xi 1
0 ,1,
, n；k
s
（4）采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同．
1, 2 ,
, m.
例如，某地县级医院病床使用率最高为90%，最低为60%，我们可以将90%转 化10，60%转化为1，其它可以通过内插法确定其转化值．如80%转化为多少？可 进行如下计算：
解之得，即80%转化为7．
1
0.778 1.000 0.778 0.636 0.467 0.333 1.000
2
0.636 0.778 0.636 0.467 0.636 0.368 0.778
3
1.000 0.636 1.000 0.538 0.538 0.412 0.636
4
0.538 0.778 0.778 0.778 0.412 0.368 0.538
数学建模灰色系统建模
2019/7/16
34
灰色系统理论根据灰色关联公理, 提出的“灰色关联度”概念。灰色关 联度是对数据序列几何形状的量化， 根据灰色关联度来判断数据序列间关 联程度的方法称为灰色关联分析。
下面首先介绍灰色关联分析中的 一些概念和数据预处理。
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2. 数据的规范化 设评价对象有m个，评价指标有
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1. 灰色系统的概念 对象的灰色系统中“灰色”的基
本含义是指信息不完全，包括元素信 息不完全；结构信息不完全；边界信 息不完全；运行行为信息不完全。
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2. 灰色系统的原理 目前, 灰色系统的理论体系尚不
完善。通常，灰色系统必须满足下列 基本原理：
(1) 差异信息原理——所有信息 皆有差异；
灰色系统理论是华中科大邓聚龙 教授1982年创立的一种研究少数据、 贫信息不确定性问题的新方法。
概率统计、模糊数学和灰色系统 理论是三种最常用的不确定性系统研 究方法。
概率统计研究的是“随机不确定” 现象，着重于考察随机不确定现象的
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历史规律。其出发点是大样本，并要 求对象服从某种典型分布。
15
灰色系统是极少数由中国学者创 立的理论之一，基本概念与基本理论 相当不完备，国内外许多学者对灰色 系统理论也有许多争论和不同看法。
本讲不过多探讨灰色系统的概念 和理论，而只是将其视为一种实用的 建模工具，会恰当地用其解决建模问 题即可。
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三、序列算子和灰色序列
灰色系统中原始数据中的信息是 不完全的。灰色系统往往通过对原始 数据的挖掘和整理来降低信息的不确 定性，这一数据预处理过程称为灰色 序列的生成，生成灰色序列的方法称 为序列算子。
第9章 系统建模灰箱方法
2 (Ri a bti )ti
i 1
0 0
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i 1
i1
2.1 利用最小二乘法求模型参数
例：表 1 中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根 据测量值确定该电阻的数学模型，并求出当温度在 70C 时
的电阻值。
表 1 热敏电阻的测量值 t (C) 20.5 26 32.7 40 51 61 73 80 88 95.7 R () 765 790 826 850 873 910 942 980 1010 1032
根据最小二乘的准则有
N
N
J min vi2 [Ri (a bti )]2
i 1
i 1
根据求极值的方法，对上式求导
J
a aaˆ J
b bbˆ
N
2 (Ri a bti )
i 1 N
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i 1
0 0
J a J b
a aˆ bbˆ
N
2 (Ri a bti )
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Input
Process
Output
工程实践 目 的 模型结构
模型确定 模型校验 参数辨识
1、问题的提出
y(t) a0 a1h1(t) a2h2 (t) anhn (t)
t(k)
y(k)
G(k)
v(k)
t(k)
y(k)
表 1 热敏电阻的测量值 t (C) 20.5 26 32.7 40 51 61 73 80 88 95.7 R () 765 790 826 850 873 910 942 980 1010 1032
R a bt
aˆ
N 7Ri0N2ti.27 6N 2Ri
ti
N
ti
bˆ 3.4344 aˆ
i 1
i 1
如果定义
h(k) [y(k 1),y(k 2),,y(k n),u(k 1),u(k 2),,u(k n)]
[a1, a2 ,, an ,b1,b2 ,,bn ]T
z(k) h(k) v(k)
式中 为待估参数。
2.2 一般最小二乘法原理及算法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z(k) h(k) v(k)
G(z)
y(z) u(z)
b1z1 b2 z2 bn zn 1 a1z1 a2 z2 an zn
n
n
y(k) ai y(k i) biu(k i)
i 1
i 1
2.2 一般最小二乘法原理及算法
v(k)
u(k)
y(k)
z(k)
G(z)
图 SISO 系统的“灰箱”结构
若考虑被辨识系统或观测信息中含有噪声
控制相关专业研究生选修课程
系统建模方法
马宏军 东北大学 信息学院 控制理论与导航技术研究所
2013年3月 逸夫楼203
第9章 系统建模灰箱方法
1、问题的提出
例：表中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根据 测量值确定该电阻的数学模型。
热敏电阻的测量值 t (C) 20 32 51 73 88 95 R () 765 826 873 942 1010 1032
通过试验确定热敏电阻阻值和温度间的关系
t (C)
t1
R ()
R1
t2
t N 1
tN
R2
RN 1
RN
R a bt
• 当测量没有任何误差时，仅需2个测量值。 • 每次测量总是存在随机误差。
yi Ri vi 或 yi a bt vi
vi yi Ri或vi＝yi a bti
2.1 利用最小二乘法求模型参数
i 1 N
2 (Ri a bti )ti
i 1
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ti
N
N
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i 1
i1
N
N
N
N Riti Ri ti
n
n
z(k) ai y(k i) biu(k i) v(k)
i 1
i 1
z(k) 为系统输出量的第 k 次观测值;
y(k) 为系统输出量的第 k 次真值;
u(k) 为系统的第 k 个输入值;
v(k) 是均值为 0 的随机噪声。
2.2 一般最小二乘法原理及算法
n
n
z(k) ai y(k i) biu(k i) v(k)
v(k)
u(k)
y(k)
z(k)
G(z)
令 k 1,2,, m ，则有
图 SISO 系统的“灰箱”结构
z(1)
Zm
z(2)
z(m)
h(1) y(0)
H
m
h(2)
y(1)
h(m) y(m 1)
y(1 n) y(2 n)
y(m n)
u(0) u(1)
1、问题的提出
1795年，高斯提出的最小二乘的基本原理是
未知量的最可能值是使各项实
际观测值和计算值之间差的平方乘
以其精确度的数值以后的和为最小。
z(k) y(k) v(k)
Gauss（1777-1855）
m
使 w(k) | z(k) y(k) |2 最小 k 1
2、最小二乘辨识方法的基本概念
z(k)
G(k)
m次独立试验的数据
(t1, z1)
(t2, z2 )
(tm , zm )
z(k) y(k) v(k)
1、问题的提出
z
v(k)
t(k)
y(k)
z(k)
G(k)
m次独立试验的数据
f (t)
(t1, z1)
(t2, z2 )
t (tm , zm )
z(k) a0 a1h1(k) a2h2 (k) anhn (k) v(k)
R a bt v
1、问题的提出
辨识目的：根据过程所提供的测量信息，在某种准则意 义下，估计模型的未知参数。
Input
t(℃) 20 32 51 73 88 95
Process
R a bt v a, b
Output
R(Ω) 765 826 873 942 1010 1032
1、问题的提出
u(m 1)
u(1 n)
u(2
n)
u(m n)
a1 an b1 bn T Vm v(1) v(2) v(m)T
根据最小二乘的准则有
N
N
J min vi2 [Ri (a bti )]2
i 1
i 1
根据求极值的方法，对上式求导
J
a aaˆ J
b bbˆ
N
2 (Ri a bti )
i 1 N
2 (Ri a bti )ti
i 1
0 0
J a J b
a aˆ bbˆ
N
2 (Ri a bti )
bˆ
i 1
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t
2 i
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i1
2.1 利用最小二乘法求模型参数
例：表 1 中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根 据测量值确定该电阻的数学模型，并求出当温度在 70C 时
的电阻值。
表 1 热敏电阻的测量值 t (C) 20.5 26 32.7 40 51 61 73 80 88 95.7 R () 765 790 826 850 873 910 942 980 1010 1032
i1
N
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N
t
2 i
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N
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t 7N 0CN N
N Riti Ri ti
R 943.168 bˆ
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N
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N
2 ti
i1 i1
2.2 一般最小二乘法原理及算法
v(k)
u(k)
y(k)
z(k)
G(k)
图 3.4 SISO 系统的“灰箱”结构