高三一轮复习考点练习
Unit 2 高考考点练习课件 -2023届高三英语一轮复习人教新课标必修二
11. 不可否认京剧真的经受住了时间的考 is no denying that Peking opera has really stood the test of time，so I can't stand people ignoring it.
15. 是我们的老师提醒我们：我们越自信，就越有 可能成功。
It was our teacher who reminded us that
the more confident we were, the more
likely we were to succeed.
16. 我们现在生活在所谓的“信息时代”。 We live in _w_h_a_t__is_c_a_l_le_d___ “Information Age”
一、语法填空： 用括号内单词的正确形式填空或者
根据句意及汉语意思填入恰当的单词:
1. (2021·全国乙卷) We had a woman patient who was recovering from a knee _r_e_p_la_c_e_m__e_n_t_ (replace) operation.
6. (2020·天津卷) It encourages us to occupy our own little corner, to avoid _fo_o_l_is_h__
(fool) leaps into the dark, to be satisfied.
7. Eating properly and exercising
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解练习26 空间向量在空间几何中的运用
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解练习 考点26 空间向量在空间几何中的运用一．设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为1n ，2n ，则有如下结论：1n ，2n1n ∥2n ⇔1n ＝k 2n (k ∈R)1n ⊥2n ⇔1n ·2n ＝0的方向向量为n ，平mn ⊥m ⇔n ·m ＝0n ∥m ⇔n ＝k m (k ∈R)的法向量分别为n ，mn ∥m ⇔n ＝k m (k ∈R)n ⊥m ⇔n ·m ＝0二．点面距已知AB 为平面α的一条斜线段(A 在平面α内)，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|||cos ,|||||||||AB d AB AB AB AB ⋅===<>n n n ||||AB ⋅n n 注：空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问题．三．异面直线所成角设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ=cos a b a bθ=，其中a b 、分别是直线a 、b 的方向向量四．直线与平面所成角l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则||a n sin cos a n a nϕ＝〈，〉＝(直线与平面所成角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2)五．二面角 平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，〈1n ，2n 〉＝θ，设二面角大小为φ，则1212||cos =|cos |=||||n n n n ϕθ考点题型分析考点题型一 空间向量证平行垂直【例1】(2022·全国高三专题练习)如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点.求证：(1)PB//平面EFG；(2)平面EFG//平面PBC.【举一反三】1．(2022·全国高三专题练习)如图所示，在直二面角D AB E--中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE EB=，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)求证：平面⊥BDF平面ABCD.2．(2022·全国高三专题练习)如图，在多面体ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC，B1C1=12BC，二面角A1ABC是直二面角.求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .考点题型二 空间向量求线线角【例2】(2022·西安市航天城第一中学)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB =BC =CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A ．12B ．-12C ．2D ．【举一反三】1．(2022·广西河池市)如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA AB=，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为( )．A．5B C．5D2．(2022·陕西西安市·西安中学)如图，四面体ABCD中，4CD=，2AB=，E，F分别是,AC BD 的中点，若EF AB⊥，则EF与CD所成的角的大小是( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 3．(2022·安徽高三期末)已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，E ，F ，G 分别为1CC ，CD ，1D D ，11A B 的中点，则异面直线GF 与PE 所成角的余弦值为( )A ．13B ．3C D考点题型三 空间向量求线面角【例3】(2022·北海市北海中学高三月考)在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)求证：BE ⊥DC ；(2)求直线PC 与平面PDB 所成角的正弦值．【举一反三】1．(2022·浙江高三期中)如图，已知三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，,,2AC BC PA AC BC DB AD⊥===，M、E分别为PB、PC的中点，N为AE的中点．(Ⅰ)求证：MN CD⊥；(Ⅱ)求直线PB和平面PCD所成角的正弦值．2．(2022·浙江绍兴市·绍兴一中高三期末)在三棱锥A BCD-中，2AB AD BD===，BC DC==，2AC=.(1)求证：BD AC ⊥； (2)若P 为AC 上一点，且34AP AC =，求直线BP 与平面ACD 所成角的正弦值.3．(2022·浙江绍兴市·高三期末)已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，11AA AC CA BC ===，1AB =．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面11ACC A ；(Ⅱ)求直线1AB 与平面1A BC 所成角的大小．考点题型四 空间向量求二面角【例4】(2022·盐城市伍佑中学高三期末)在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，E 是11A C 的中点.(1)求证：AB CE ；(2)求二面角B CE A --的余弦值.【举一反三】1．(2022·湖北高三月考)如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面1,//,,2ABCD AB CD AB AD CD PD AD AB ⊥===.(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；(2)若2AP DC ==，求二面角D PC B --的正弦值.2．(2022·山西吕梁市·高三一模)如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SCD 为等边三角形， 4AB BC ==，2CD =，SB =(1)求证：BC SD ⊥；(2)求二面角B AS D --的余弦值.3．(2022·江西赣州市·高三期末)在如图所示的几何体中，ABC ，ACE △，BCD △均为等边三角形，且平面ACE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC .(1)证明：//DE AB ；(2)若4AB =，求二面角B CE D --的余弦值.考点题型五 空间向量求空间距【例5】(2022·上海浦东新区·华师大二附中高三月考)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点，3,4,5AD PD PC ===.(1)证明：直线//PA 平面BDE ；(2)求点A 到平面PBC 的距离.【举一反三】 1．(2022·吉林长春外国语学校)如图，平行四边形ABCD 中，26AD AB ==，,E F 分别为,AD BC 的中点.以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，使点C 到达点M 的位置，点D 到达点N 的位置，且NF NA =.）建立合适空间直角坐标系，在平面α内取一点）求解出AB 和平面的法向量n ；AB n n ⋅=即可求解出点A 到平面(1)求证：平面AFN ⊥平面NEB ；(2)若BE =F 到平面BEM 的距离.2．(2022·全国高三专题练习)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ABC π∠=，D 是棱AC 的中点，且11AB BC BB ===.(1)求证：1//AB 平面1BC D ；(2)求直线1AB 到平面1BC D 的距离.。
传送带模型(牛顿第二定律)-2024年高考物理一轮复习考点通关卷(学生版)
考点巩固卷传送带模型建议用时：50分钟考点序号考点题型分布考点1水平传送带模型3单选+2多选+2解答考点2倾斜传送带模型3单选+3多选考点3传送带模型中的划痕问题5多选考点01：水平传送带模型(3单选+2多选+2解答)一、单选题1(2023·全国·模拟预测)如图所示，水平传送带以恒定速度v=16m/s顺时针匀速运行，左右两端A、B之间距离L=16m。
现将一质量m=2kg可看做质点的物块轻轻放到传送带A端，同时对物块施加一水平向右的恒力F=10N。
已知物块与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.30，重力加速度g=10m/s2。
物块从A端运动到B端的过程中，下列说法正确的是()A.物块从A端运动到B端的过程先匀加速运动后匀速运动B.物块从A端运动到B端的时间t=1sC.摩擦力对物块做功W=96JD.物块运动到B端时，恒力F的瞬时功率P=200W2(2023春·河北·高三校联考阶段练习)如图所示为速冻食品加工厂生产和包装饺子的一道工序。
将饺子轻放在匀速运转的足够长的水平传送带上，不考虑饺子之间的相互作用和空气阻力。
关于饺子在水平传送带上的运动，下列说法正确的是()A.饺子一直做匀加速运动B.传送带的速度越快，饺子的加速度越大C.饺子由静止开始加速到与传送带速度相等的过程中，增加的动能等于因摩擦产生的热量D.传送带多消耗的电能等于饺子增加的动能3(2023·全国·高三专题练习)如图甲所示，将一物块P轻轻放在水平足够长的传送带上，取向右为速度的正方向，物块P最初一段时间的速度-时间图像如图乙所示，下列描述正确的是()A.小物块一直受滑动摩擦力B.传送带做顺时针的匀速运动C.传送带做顺时针的匀加速运动D.小物块最终有可能从图甲的左端滑下传送带二、多选题4(2023·甘肃兰州·统考一模)近年来网上购物的飞速增长催生了物流行业的快速发展。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 55 二项分布与超几何分布、正态分布
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结55 二项分布与超几何分布、正态分布高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲研读1.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用3．借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义4．能解决一些简单的实际问题一、基础小题1．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为() A ．4 B ．6 C.8 D ．10答案 A解析 x ＝0与x ＝a －2关于x ＝1对称，则a －2＝2，a ＝4.故选A.2．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝( )A.516 B ．316 C.58 D ．38答案 A解析 X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，由二项分布可得，P (X ＝3)＝C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. 3．15个村庄中有7个交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( ) A ．P (X ＝2) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝4) D ．P (X ≤4) 答案 C解析 X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，k ＝4. 4．一试验田某种作物一株生长果实个数x 服从正态分布N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为( )A ．3B ．2.1 C.0.3 D ．0.21答案 B解析 ∵x ～N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，∴P (x >110)＝0.2，∴P (90≤x ≤110)＝0.5－0.2＝0.3，∴X ～B (10,0.3)，则X 的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.故选B.5．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25 B ．35 C.18125 D ．54125答案 D解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次抽到黄球的概率为P 1＝35，所以3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125.6．(多选)抛掷一枚质地均匀的硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P 1，P 2，P 3，P 4，则下列结论中正确的是( )A ．P 1＝P 2＝P 3＝P 4B ．P 3＝2P 1C ．P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1D ．P 4＝3P 2答案 CD解析 根据伯努利试验的概率计算公式，可得P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P 3＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝38，P 4＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P 1＝P 2＜P 3＝P 4，故A 错误；P 3＝3P 1，故B 错误；P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1，故C 正确；P 4＝3P 2，故D 正确．故选CD.7．某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，已知P (80≤ξ≤100)＝0.40，若按成绩采用分层随机抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为________．答案 10解析 P (ξ>120)＝12[1－2P (80≤ξ≤100)]＝0.10，所以应从120分以上的试卷中抽取100×0.10＝10份．8．甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45；乙第一次射击的命中率为78，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为34，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为12.乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数的期望为________，乙射中的概率为________．答案 1256364解析 甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45，则甲击中的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，45，∴甲三次射击命中次数的期望为E (X )＝3×45＝125.由题意可得乙射中的概率为P ＝78＋18×34＋18×14×12＝6364.二、高考小题9．(2022·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中不正确的是( )A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等答案 D解析 对于A ，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99的概率与大于10.01的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量在一次测量中落在(9.9,10)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D.10．(2022·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X ＝4)<P(X＝6)，则p＝()A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3答案B解析∵D(X)＝np(1－p)，∴p＝0.4或p＝0.6.∵P(X＝4)＝C410p4(1－p)6<P(X＝6)＝C610p6(1－p)4，∴(1－p)2<p2，可知p>0.5.∴p＝0.6.故选B.三、模拟小题11．(2022·广东惠州第二次模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，若μ＝4，σ＝1，则P(5<X≤6)≈()A．0.1359 B．0.1859 C．0.2718 D．0.6827答案A解析由P(3≤X≤5)≈0.6827，得P(4≤X≤5)≈0.68272＝0.34135，由P(2≤X≤6)≈0.9545，得P(4≤X≤6)≈0.95452＝0.47725，所以P(5<X≤6)＝P(4≤X≤6)－P (4≤X ≤5)≈0.47725－0.34135＝0.1359.故选A.12．(2022·宁夏吴忠市青铜峡市高级中学月考)有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X 表示取得次品的次数，则P (X ≤2)＝( )A.38 B ．1314 C.45 D ．78答案 D解析 因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为48＝12.从中取3次，X 为取得次品的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，P (X ≤2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.故选D. 13．(2022·浙江省杭州市高级中学高考仿真模拟)已知在盒中有红色、黄色、白色的球各4个，现从中任意摸出4个球，则摸出白球个数的期望是( )A.13 B ．23 C.43 D ．53答案 C解析 设摸出的白球的个数为X ，则X ＝0,1,2,3,4，所以P (X ＝0)＝C 48C 412＝1499，P (X ＝1)＝C 14C 38C 412＝224495，P (X ＝2)＝C 24C 28C 412＝168495，P (X ＝3)＝C 34C 18C 412＝32495，P (X ＝4)＝C 44C 08C 412＝1495.所以摸出白球的期望是E (X )＝0×1499＋1×224495＋2×168495＋3×32495＋4×1495＝43.14．(多选)(2022·广东肇庆第二次统一检测)已知两种不同型号的电子元件(分别记为X ，Y )的使用寿命均服从正态分布，X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.A．P(μ1－σ1≤X≤μ1＋2σ1)≈0.8186B．P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)C．P(X≤σ2)<P(X≤σ1)D．对于任意的正数t，有P(X≤t)>P(Y≤t)答案ABD解析对于A，P(μ1－σ1≤X≤μ1＋2σ1)≈(0.6827＋0.9545)×12＝0.8186，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线，可知μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线，可知σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故C错误；对于D，对于任意的正数t，有P(X≤t)>P(Y≤t)，故D正确．故选ABD.15．(多选)(2022·辽宁名校联盟高三联考)在3n(n∈N*)次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥．已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为25，事件C发生的概率为15.则()A．事件A发生次数的数学期望为6n 5B ．A ，B ，C 三个事件发生次数的数学期望之和为3nC ．事件B ，C 发生次数的方差之比为43D ．A ，B ，C 三个事件各发生n 次的概率为C n 3n C n 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫252n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15n 答案 ABD解析 由题意可知，事件B ∪C ＝∁U A ，A ∪C ＝∁U B ，A ∪B ＝∁U C ，所以事件A ，B ，C 均看作二项分布．对于A ，期望值E ＝3np A ＝6n 5，即A 正确；对于B ，期望值之和E总＝3np A ＋3np B ＋3np C ＝6n 5＋6n 5＋3n 5＝3n ，即B 正确；对于C ，事件B 发生次数的方差D 1＝3np B (1－p B )＝18n 25，事件C 发生次数的方差D 2＝3np C (1－p C )＝12n 25，则D 1D 2＝1812＝32，即C 不正确；对于D ，从3n 次中选择n 次为事件A ，则为C n 3n ，从余下的2n 次中选择n 次为事件B ，则为C n 2n ，所以各发生n 次的概率为C n 3n C n 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫252n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ，即D 正确． 16．(2022·新高考八省联考)对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ，为使误差εn 在(－0.5,0.5)内的概率不小于0.9545，至少要测量________次(若X ～N (μ，σ2)，则P (|X －μ|<2σ)≈0.9545)．答案 32解析 根据正态曲线的对称性知，要使误差εn 在(－0.5，0.5)内的概率不小于0.9545，则(μ－2σ，μ＋2σ)⊆(－0.5,0.5)，又μ＝0，σ＝2n ，所以0.5≥22n ，解得n ≥32.17．(2022·福建省宁化第一中学高三9月第二次月考)已知随机变量X ～B (4，p )，方差D (X )的最大值为________，当方差D (X )最大时，⎝⎛⎭⎪⎫4px －1x 6的展开式中1x 2的系数为________．答案 1 60解析 因为随机变量X ～B (4，p )，D (X )＝4p (1－p )≤4⎣⎢⎡⎦⎥⎤p ＋(1－p )22＝1，当且仅当p ＝12时取等号．由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫4px －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝－2，则r ＝4，所以展开式中1x 2的系数为(－1)4×22×C 46＝60.一、高考大题1．(2022·天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，从而P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫133－k ，k ＝0,1,2,3. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝3×23＝2.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，且M ＝{X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0}．由题意知事件{X ＝3，Y ＝1}与{X ＝2，Y ＝0}互斥，且事件{X ＝3}与{Y ＝1}，事件{X ＝2}与{Y ＝0}均相互独立，从而由(1)知P (M )＝P ({X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0})＝P (X ＝3，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝P (X ＝3)P (Y ＝1)＋P (X ＝2)P (Y ＝0)＝827×29＋49×127＝20243.2．(2022·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p <1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．3．(2022·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2， (16)用样本平均数x－作为μ的估计值μ^，用样本标准差s作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592, 0.008≈0.09.解(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的数学期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x －＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ≈16×0.2122＋16×9.972≈1591.134， 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09. 二、模拟大题4．(2022·江苏省百校联考高三第一次考试)冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届，第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动．为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在全市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：(1)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30以下的概率；(2)某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导．规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”．在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1，在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”，能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由．解(1)记“选出的两所学校参与旱地冰壶人数在30以下”为事件A.参与旱地冰壶人数在30以下的学校共6所，随机选择2所学校共C26＝15种，所以P(A)＝C26C210＝1 3.因此选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30以下的概率为13.(2)答案不唯一．示例一：可以认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化，理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为C23×0.12×0.9＋C33×0.13＝0.028.指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．示例二：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为C23×0.12×0.9＋C33×0.13＝0.028.虽然概率非常小，但是也可能发生，所以无法确定甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．5．(2022·山东省潍坊市五县市高三联考)2022年8月，体育总局和教育部联合提出了《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》．某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图所示)，且规定计分规则如下表：每分钟[155,165)[165,175)[175,185)[185,215]跳绳个数得分17181920(1)(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ，σ2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的数学期望和方差，已知样本方差s2≈169(各组数据用中点值代替)，根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步，假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10，现利用所得正态分布模型：①预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；(结果四舍五入到整数)②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由频率分布直方图得，得分为17,18的人数分别为100×0.006×10＝6,100×0.012×10＝12，由题意知两人得分之和不大于35分，即为两人得分均为17分，或两人中1人得分为17分，1人得分为18分．故两人得分之和不大于35分的概率为P＝C 26＋C16C112C2100＝291650.(2)x－＝160×0.06＋170×0.12＋180×0.34＋190×0.30＋200×0.1＋210×0.08＝185(个)，又σ2≈s2≈169，∴σ≈13，∴正式测试时，μ＝195，σ≈13，∴μ－σ≈182.＝0.84135，①P(X>182)≈1－1－0.682720．84135×2000＝1682.7≈1683(人)．∴预估正式测试每分钟跳182个以上的人数为1683.②在全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数在195以上的概率约为0.5，即ξ～B(3,0.5)，∴P(ξ＝0)≈C03×(1－0.5)3＝0.125，P(ξ＝1)≈C13×0.5×(1－0.5)2＝0.375，P(ξ＝2)≈C23×0.52×(1－0.5)＝0.375，P(ξ＝3)≈C33×0.53＝0.125，∴ξ的分布列为E(ξ)≈3×0.5＝1.5.6．(2022·辽宁省渤海大学附属高级中学高三上学期第一次考试)随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户．某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：(1)求恰好有3个水果是二等级别的概率；(2)若水果进口商进口时，将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层随机抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，Y 表示抽取的优级水果的数量，求Y 的分布列及数学期望E (Y )．解 (1)设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为A ， 则P (A )＝250500＝12，有放回地随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. (2)用分层随机抽样的方法从500个水果中抽取10个，则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．现从中抽取3个，则优级水果的数量Y 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3. 则P (Y ＝0)＝C 37C 310＝724，P (Y ＝1)＝C 27C 13C 310＝2140，P (Y ＝2)＝C 17C 23C 310＝740，P (Y ＝3)＝C 33C 310＝1120.所以Y的分布列如下：所以E(Y)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.。
高三一轮复习必修一练习题
高三1轮复习化学必修一试题第一套第一部分第Ⅰ卷（40分）下列每小题只有一个选项符合题意，共20小题，每小题2分。
1. 我国重点城市近年来已发布“空气质量日报”。
下列物质中不列入污染指数的是A. 二氧化硫B. 二氧化氮C. 二氧化碳D. 可吸入颗粒物2. 下列物质中，不属于电解质的是A. 苏打B. 食盐C. 硫酸D. 蔗糖3. 当光束通过下列分散系：①有尘埃的空气②稀硫酸③蒸馏水④氢氧化铁胶体，能观察到丁达尔效应的是A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 下列各组混合物中，能用分液漏斗进行分离的是A. 酒精和水B. 碘和四氯化碳C. 水和四氯化碳D. 汽油和植物油5. 下列变化中，需要加入适当的氧化剂才能完成的是A. F e→FeCl3B. CuO→CuC. SO3→H2SO4D. HNO3→NO6. 下列说法中，不正确的是A. 2g氢气的体积不一定是22.4LB. 300mL 5mol/L KNO3与300mL 5mol/L KCl含有相同的离子数C. 250mL 1 mol/L AlCl3溶液中Cl－数为3×6.02×l023个D. 0.5mol Cl2与铁反应转移1 mol电子7. 在两个容积相同的容器中，一个盛有HCl气体，另一个盛有H2和CO2的混合气体。
在同温同压下，两容器内的气体一定具有相同的A. 原子数B. 分子数C. 质量D. 密度8. 下列反应的产物中，一定不含有+2价铁元素的是A. 铁与盐酸B. 铁与硝酸C. 铁与氯气D. 铁与氯化铁溶液9. 向下列各物质的水溶液中滴加稀硫酸或MgCl2溶液时，均有白色沉淀生成的是A. BaCl2B. Ba（OH）2C. Na2CO3D. KOH10. 下列物质中，与盐酸、氢氧化钠溶液均能反应，且都生成氢气的是A. Al2O3B. Al（OH）3C. AlD. （NH4）2CO311. 下列物质中，不能使有色布条褪色的是A. 氯水B. 次氯酸钠溶液C. 漂白粉溶液D. 氯化钙溶液12. 下列离子方程式书写正确的是A. 向氯化铵稀溶液中加入稀烧碱溶液NH4+＋OH－=NH3↑＋H2OB. 铁钉放入硫酸铁溶液中F e＋Fe3+=2Fe2+C. 铜和稀硝酸反应Cu＋4H+＋2NO3－=2NO2↑＋Cu2+＋2H2OD. 氯气与烧碱溶液反应Cl2＋2OH－=Cl－＋ClO－＋H2O13. 下列反应中，能用离子方程式H+＋OH－=H2O表示的是A. NaOH溶液和H2SiO3溶液混合B. Ba（OH）2溶液和盐酸混合C. Al（OH）3和稀H2SO4反应D. 氨水和硫酸反应14. 把铁片放入下列溶液中．铁片溶解，溶液质量增加，但没有气体放出的是A. 稀硫酸B. CuSO4溶液C. Fe2（SO4）3溶液D. AgNO3溶液15. 下列叙述不正确的是A. 钠燃烧时发出黄色火焰B. 在常温下，铝不能与氧气反应C. 常温下可以用铁罐装运浓硫酸D. 为了检验某FeCl2溶液是否变质，可向溶液中加入KSCN溶液16. 室温时，在体枳相同日的容器内混合下列气体。
高三一轮复习生物：《无机物》40道选择题限时30分钟专项练习
《无机物》40道选择题限时30分钟专项练习姓名：__________班级：__________考号：__________1. 生物体的生命活动离不开水，下列关于水的叙述，正确的是( )A. 同一株植物体中，老叶细胞比幼叶细胞中自由水的含量高B. 结合水是细胞结构的重要组成成分，主要存在于液泡中C. 水具有缓和温度变化的作用，与水分子间的氢键有关D. 自由水是生化反应的介质，不直接参与生化反应2. 磁共振技术(MRI)可应用于临床疾病诊断。
因为许多疾病会导致组织和器官内水分发生变化，这种变化恰好能在磁共振图像中反映出来。
下列有关叙述错误的是( )A. 构成人体的不同组织和器官含水量是不一样的B. 水在细胞中的存在形式及功能是不变的C. 若组织发生病变，水分减少可能会影响组织内的化学反应正常进行D. 发生病变的器官，水分改变，新陈代谢速率会发生改变3. 水在生物体及细胞内的生命活动中具有非常重要的生理功能，下列叙述正确的是( )A. 自由水和结合水是不可以转化的B. 不同种生物细胞的自由水和结合水的比值相同，则它们的代谢强度也相同C. 水分过多与水分过少对生物新陈代谢的影响相同D. 细胞中的许多生物化学反应需要水的参与4. 人体中水的含量约占65%，下列选项中能正确说明水对人体重要性的是( )①水和糖类、蛋白质、脂肪一样，为人体提供能量②没有水，人体内大部分化学反应就根本不会发生③水的比热容大，有利于维持体温④体内营养物质的运输离不开水A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④5. 某运动饮料广告词“解口渴，更解体渴”，其中“解体渴”主要含义是( )A. 该饮料中含有大量水，补充剧烈运动散失的水分B. 该饮料中含有葡萄糖，补充剧烈运动散失的能量C. 该饮料中含有大量水和少量无机盐，补充剧烈运动散失的水分和无机盐D. 该饮料中添加的无机盐，能补充剧烈运动散失的能量6. 生物体内含水量可变化，且自由水和结合水可相互转化。
高考物理一轮复习 选修3-3 3 热力学定律与能量守恒练习(含解析)-人教版高三选修3-3物理试题
热力学定律与能量守恒考点一热力学第一定律的理解和应用【典例1】一定质量的气体，在从状态1变化到状态2的过程中，吸收热量280J，并对外做功120J，试问：(1)这些气体的内能发生了怎样的变化？(2)如果这些气体又返回原来的状态，并放出了240J热量，那么在返回的过程中是气体对外界做功，还是外界对气体做功？做功多少？【通型通法】1.题型特征：热力学第一定律的应用。
2.思维导引：气体的内能仅与状态有关，气体返回到原状态，整个过程中气体内能变化为零。
【解析】(1)由热力学第一定律可得ΔU=W+Q=-120J+280J=160J，气体的内能增加了160J。
(2)气体从状态2回到状态1的过程中内能的减少量应等于从状态1到状态2的过程中内能的增加量，如此从状态2到状态1的内能应减少160J，即ΔU′=-160J，又Q′=-240J，根据热力学第一定律得：ΔU′=W′+Q′，所以W′=ΔU′-Q′=-160J-(-240J)=80J，即外界对气体做功80J。
答案：(1)增加了160J (2)外界对气体做功80J1.热力学第一定律ΔU=Q+W：(1)符号法如此。
符号W Q ΔU(2)三种特殊情况。
2.做功和热传递的区别与联系：看能的性质能的性质发生了变化能的性质不变变化情况联系做一定量的功或传递一定量的热量在改变内能的效果上是一样的【加固训练】(多项选择)如下列图，一绝热容器被隔板K隔开成a、b两局部。
a内有一定量的稀薄气体，b内为真空。
抽开隔板K后，a内气体进入b，最终达到平衡状态。
在此过程中( )A.气体对外界做功，内能减少B.气体不对外界做功，内能不变C.气体压强变小，温度降低D.气体压强变小，温度不变E.单位时间内和容器壁碰撞的分子数目减少【解析】选B、D、E。
a内气体向真空膨胀，不对外界做功，故A错误；又因容器绝热，Q=0，由热力学第一定律知，ΔU=0，故B正确；稀薄气体可看作理想气体，内能不变，如此温度不变，由玻意耳定律知压强减小，故C错误，D、E正确。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 19 平面向量的概念及线性运算
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习第四章平面向量、复数考点知识总结19平面向量的概念及线性运算高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.了解向量的实际背景2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3．理解向量的几何表示4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6．了解向量线性运算的性质及其几何意义一、基础小题1．给出下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a －b＝a＋(－b)．其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．5答案D解析 由零向量和相反向量的性质，知①②③④⑤均正确．2. 如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →答案 D解析 由图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →.3．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；④若非零向量a ，b 的方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同．其中叙述错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 对于②，当a ＝0时，不成立；对于③，当a ，b 之一为零向量时，不成立；对于④，当a ＋b ＝0时，a ＋b 的方向是任意的，它可以与a ，b 的方向都不相同．故选C.4．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12答案 B解析 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧ λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.5．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，λ，μ∈R ，若A ，B ，C 三点共线，则λ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或1D ．－1或2答案 D解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，∴存在实数m 使得AB →＝m AC →，则λa ＋2b ＝m [a ＋(λ－1)b ]，∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧λ＝m ，2＝m (λ－1)，解得λ＝2或－1.故选D. 6．已知在四边形ABCD 中，O 是四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝a －b ＋c ，则四边形ABCD 的形状为( )A ．梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形答案 C解析 因为OD →＝a －b ＋c ，所以AD →＝c －b ，又BC →＝c －b ，所以AD →∥BC →且|AD →|＝|BC→|，所以四边形ABCD 是平行四边形．故选C.7．已知△ABC 中，AD →＝2DC →，E 为BD 的中点，若BC →＝λAE →＋μAB →，则λ－2μ的值为( )A ．2B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由已知得，BC →＝BA →＋AC →＝BA →＋32AD →＝BA →＋32(AE →＋ED →)＝BA →＋32(2AE →＋BA →)＝3AE →－52AB →，所以λ＝3，μ＝－52，所以λ－2μ＝8.8．设e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，AB →＝(a －1)e 1＋e 2，AC →＝b e 1－2e 2(a ＞0，b ＞0)，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 因为a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，设AB →＝λAC →，即(a －1)e 1＋e 2＝λ(b e 1－2e 2)，因为e 1，e 2是平面内两个不共线向量，所以⎩⎨⎧a －1＝λb ，1＝－2λ，解得λ＝－12，a －1＝－12b ，即a ＋12b ＝1，则1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝1＋1＋b 2a ＋2a b ≥2＋2b 2a ·2a b ＝2＋2＝4，当且仅当b 2a ＝2a b ，即a ＝12，b ＝1时取等号，故1a ＋2b 的最小值为4.故选B.9．(多选)已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( )A ．2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2eB ．存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0C ．x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)D ．已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b答案 AB解析 对于A ，∵向量a ，b 是两个非零向量，2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－2e ，∴a ＝27e ，b ＝－87e ，此时能使a ，b 共线，故A 正确；对于B ，存在相异实数λ，μ使λa －μb ＝0，要使非零向量a ，b 是共线向量，由共线定理可知成立，故B 正确；对于C ，x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)，如果x ＝y ＝0，则不能使a ，b 共线，故C 错误；对于D ，已知梯形ABCD 中，AB →＝a ，CD →＝b ，如果AB ，CD 是梯形的上下底，则正确，否则错误．故选AB.10．(多选)已知等边三角形ABC 内接于⊙O ，E 为边BC 的中点，D 为线段OA 的中点，则BD →＝( )A.23BA →＋16BC →B.43BA →－16BC →C.BA →＋13AE →D.23BA →＋13AE →答案 AC解析 如图所示，BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋13AE →＝BA →＋13(AB →＋BE →)＝BA →－13BA →＋13×12BC→＝23BA →＋16BC →.故选AC.11．(多选)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则( )A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形C ．△ABC 的面积为23D ．△ABC 的面积为3答案 AC解析 由|PB →|＝|PC →|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点D ，连接PD ，则PD⊥BC ，又AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，所以PD ＝12AB ＝1，且PD∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB →|＝2，|PD →|＝1可得|BD →|＝3，则|BC→|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝2 3.12．已知A 1，A 2，A 3为平面上三个不共线的定点，平面上点M 满足A 1M →＝λ(A 1A 2→＋A 1A 3→)(λ是实数)，且MA 1→＋MA 2→＋MA 3→是单位向量，则这样的点M 有________个．答案 2解析 由题意得，MA 1→＝－λ(A 1A 2→＋A 1A 3→)，MA 2→＝MA 1→＋A 1A 2→，MA 3→＝MA 1→＋A 1A 3→，所以MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＝(1－3λ)(A 1A 2→＋A 1A 3→)，设D 为A 2A 3的中点，则(1－3λ)·(A 1A 2→＋A 1A 3→)为与A 1D →共起点且共线的一个向量，显然直线A 1D 与以A 1为圆心的单位圆有两个交点，故这样的点M 有2个，即符合题意的点M 有2个．二、高考小题13．(2022·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →答案 A解析 如图，在△ABC 中，根据向量的运算法则，可得EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－14(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →.故选A.14．(2015·全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.15．(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析 如图，在△ABC 中，MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝－23AC →＋AB →＋12BC →＝－23AC →＋AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →－16AC →.∴x ＝12，y ＝－16.三、模拟小题16．(2022·辽宁东北育才学校三模)在△ABC 中，若AB →＋AC →＝4AP →，则CP →＝( ) A.34AB →－14AC → B ．－34AB →＋14AC →C.14AB →－34AC → D ．－14AB →＋34AC →答案 C解析 由题意得AB →＋AC →＝4AP →＝4(AC →＋CP →)，解得CP →＝14AB →－34AC →.故选C.17．(2022·广东茂名市高三期中)已知向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ为( )A ．2B ．1 C.12 D.14答案 C解析 因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在k ∈R ，使得λa ＋b ＝k (a ＋2b )，因为向量a ，b 不平行，则⎩⎨⎧k ＝λ，2k ＝1，解得λ＝12.故选C. 18．(2022·山西太原高三模拟)平面向量a ，b 共线的充要条件是( )A ．a ·b ＝|a ||b |B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0答案 D解析 对于A ，a ·b ＝|a ||b |成立时，说明两个非零向量的夹角为零度，但是两个非零向量共线时，它们的夹角可以为平角，故A 错误；对于B ，两个非零向量也可以共线，故B 错误；对于C ，只有当a 不是零向量时才成立，故C 错误；对于D ，当平面向量a ，b 共线时，若a ＝0，则存在λ1≠0，λ2＝0，λ1a ＋λ2b ＝0，若a ≠0，则存在一个λ，使得b ＝λa 成立，令λ＝－λ1λ2(λ2≠0)，则b ＝－λ1λ2a ，所以λ1a ＋λ2b ＝0，因此存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0；当存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0成立时，若实数λ1，λ2都不为零，则有a ＝－λ2λ1b 成立，显然a ，b 共线，若实数λ1，λ2有一个为零，不妨设λ1＝0，则有λ2b ＝0⇒b ＝0，所以平面向量a ，b 共线，所以D 正确．故选D.19．(2022·安徽高三二模)△ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在边AC 上，且满足3AE →＝AC →，BE 交AD 于点F ，则BF →＝( )A ．－34AB →＋14AC → B.34AB →－14AC →C ．－13AB →＋23AC →D ．－23AB →＋13AC →答案 A解析 由题设画出几何示意图，设BF →＝λBE →，AF →＝μAD →，∵BE →＝AE →－AB →＝13AC →－AB →，∴BF →＝λBE →＝λ3AC →－λAB →，∵AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AF →＝μAD →＝μ2(AB →＋AC →)．由AB →＋BF →＝AF→知(1－λ)AB →＋λ3AC →＝μ2(AB →＋AC →)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝μ2，λ3＝μ2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝34，μ＝12，∴BF →＝34BE →＝14AC →－34AB →.故选A.20. (2022·滨海县八滩中学高三期中)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过H 作一直线分别与边AB ，AC 交于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ＋4y 的最小值为( )A.52B.73C.94D.14 答案 C解析 因为D 是BC 中点，所以AD →＝12AB →＋12AC →，由题知，AB →＝1x AM →，AC →＝1y AN →，AD →＝2AH →， 所以2AH →＝12x AM →＋12y AN →，AH →＝14x AM →＋14y AN →，因为M ，H ，N 三点在同一直线上，所以14x ＋14y ＝1.x ＋4y ＝(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋14y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋x y ＋4y x ，因为x >0，y >0，所以由基本不等式得x y ＋4yx ≥2x y ·4y x ＝4，所以x ＋4y ≥94，当且仅当x ＝34，y ＝38时等号成立．故选C.21．(2022·湖南天心长郡中学高三月考)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCDS △ACD＝( )A.16B.12C.13D.23 答案 B解析 如图，设AD 交BC 于E ，且AE →＝xAD →＝x 3AB →＋x 2AC →，由B ，E ，C 三点共线可得 x 3＋x 2＝1⇒x ＝65，∴AE →＝25AB →＋35AC →，∴25(AE →－AB →)＝35(AC →－AE →)⇒2BE →＝3EC →.设S △CED ＝2y ，则S △BED ＝3y ，∴S △BCD ＝5y .又AE →＝65AD →⇒AD →＝5DE →，∴S △ACD ＝10y ，∴S △BCDS △ACD ＝5y 10y ＝12.故选B.22．(多选)(2022·福建龙岩高三月考)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，点O ，H ，G 分别是外心、垂心、重心，BC 边的中点为D ，则下列四个结论中错误的是( )A.GH →＝2OG →B.GA →＋GB →＋GC →＝0 C.AH →＝3OD → D.OA →＝OB →＝OC → 答案 CD解析 如图，由题意，得GH →＝2OG →，故A 正确；∵D 为BC 的中点，G 为△ABC 的重心，∴AG →＝2GD →，GB →＋GC →＝2GD →＝－GA →，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，故B 正确；∵AG →＝2GD →，GH →＝2OG →，∠AGH ＝∠DGO ，∴△AGH ∽△DGO ，∴AH →＝2OD →，故C 错误；向量OA →，OB →，OC →的模相等，方向不同，故D 错误．故选CD.23．(2022·江苏省高三一模)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1CB →＋λ2CA →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.答案 －23解析 因为AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，所以DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12(CB →－CA →)－23CB →＝－16CB →－12CA →，所以λ1＝－16，λ2＝－12，则λ1＋λ2＝－23.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2022·银川摸底)已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2， 即⎩⎨⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．2. (2022·内江市市中区天立学校高三月考)如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，BM ＝23BC ，AN ＝14AB .(1)试用向量a ，b 来表示DN →，AM →； (2)AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值．解 (1)∵AN ＝14AB ，∴AN →＝14AB →＝14a ，DN →＝AN →－AD →＝14a －b ，∵BM ＝23BC ，∴BM →＝23BC →＝23b ，∴AM →＝AB →＋BM →＝a ＋23b .(2)∵A ，O ，M 三点共线，设AO →＝λAM →＝λa ＋2λ3b ，∵D ，O ，N 三点共线， ∴DO →＝μDN →，AO →－AD →＝μAN →－μAD →，∴AO →＝μAN →＋(1－μ)AD →＝μ4a ＋(1－μ)b .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ4，2λ3＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝314，μ＝67，∴AO →＝314AM →，OM →＝1114AM →，∴AO ∶OM ＝3∶11.3. (2022·河南安阳模拟)如图，已知△ABC 的面积为14，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，AE 与CD 交于点P .设存在λ和μ，使AP →＝λAE →，PD →＝μCD →，AB →＝a ，BC →＝b .(1)求λ及μ； (2)用a ，b 表示BP →； (3)求△P AC 的面积． 解 (1)由于AB →＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b ，AP →＝λAE →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ，DP →＝μDC →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ，AP →＝AD →＋DP →＝23AB →＋DP →，∴23a ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ， ∴λ＝23＋13μ，① 23λ＝μ，②由①②，得λ＝67，μ＝47.(2)BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＝－17a ＋47b .(3)由|PD →|∶|CD →|＝μ＝47， 得S △P AB ＝47S △ABC ＝8，由|PE →|∶|AE →|＝1－λ＝17， 得S △PBC ＝17S △ABC ＝2，∴S △P AC ＝S △ABC －S △P AB －S △PBC ＝14－8－2＝4.。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 39 两条直线的位置关系与距离公式
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结39 两条直线的位置关系与距离公式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.能根据两直线方程判断这两条直线平行或垂直2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离一、基础小题1．已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为() A．0或3或－1 B．0或3C．3或－1 D．0或－1答案D解析由题意知1×3a－a2(a－2)＝0，即a(a2－2a－3)＝0，解得a＝0或a＝－1或a＝3，经验证，当a＝3时，两直线重合．故选D.2．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是() A．[－10,10] B．[－10,5] C．[－5,5] D．[0,10]答案D解析 由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．3．已知直线4x ＋my －6＝0与直线5x －2y ＋n ＝0垂直，垂足为(t,1)，则n 的值为( )A ．7B ．9 C.11 D ．－7答案 A解析 由直线4x ＋my －6＝0与直线5x －2y ＋n ＝0垂直得，20－2m ＝0，m ＝10.因为直线4x ＋10y －6＝0过点(t,1)，所以4t ＋10－6＝0，t ＝－1.又点(－1,1)在直线5x －2y ＋n ＝0上，所以－5－2＋n ＝0，n ＝7.4．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B ．175 C.135 D ．115答案 C解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 5．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1 C.－2 D ．－1答案 C解析 因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，解得n ＝－4，所以直线l 2的方程为x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是5，所以|m ＋3|1＋4＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2.故选C.6．直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0答案 D解析 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎨⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，所以M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0.故选D.7．已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( )A.45 B ．25 C.255 D ．105答案 A解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方．由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|12＋22＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.8．在平面直角坐标系xOy (O 为坐标原点)中，不过原点的两直线l 1：x －my ＋2m －1＝0，l 2：mx ＋y －m －2＝0的交点为P ，过点O 分别向直线l 1，l 2引垂线，垂足分别为M ，N ，则四边形OMPN 面积的最大值为( )A ．3B ．32 C.5 D ．52答案 D解析 将直线l 1的方程变形得(x －1)＋m (2－y )＝0，由⎩⎨⎧ x －1＝0，2－y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，则直线l 1过定点(1,2)，同理可知，直线l 2过定点(1,2)，所以，直线l 1和直线l 2的交点P 的坐标为(1,2)，易知，直线l 1⊥l 2，如图所示，易知，四边形OMPN 为矩形，且|OP |＝12＋22＝5，设|OM |＝a ，|ON |＝b ，则a 2＋b 2＝5，四边形OMPN 的面积为S ＝|OM |·|ON |＝ab ≤a 2＋b 22＝52，当且仅当⎩⎨⎧a ＝b ，a 2＋b 2＝5，即当a ＝b ＝102时，等号成立，因此，四边形OMPN 面积的最大值为52.故选D.9．(多选)已知直线l ：mx ＋y －m ＋1＝0，A (1,2)，B (3,4)，则下列结论正确的是( )A ．存在实数m ，使得直线l 与直线AB 垂直B ．存在实数m ，使得直线l 与直线AB 平行C ．存在实数m ，使得点A 到直线l 的距离为4D ．存在实数m ，使得以线段AB 为直径的圆上的点到直线l 的最大距离为17＋2 答案 ABD解析 ∵直线l ：mx ＋y －m ＋1＝0，A (1,2)，B (3，4)，∴直线l 的斜率为－m ，直线AB 的斜率为1，故当m ＝1时，直线l 与直线AB 垂直；当m ＝－1时，直线l 与直线AB 平行，故A ，B 正确；直线l ：mx ＋y －m ＋1＝0，即m (x －1)＋y ＋1＝0，令⎩⎨⎧x －1＝0，y ＋1＝0，求得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，可得直线经过定点P (1，－1)，由于AP ＝3，故点A 到直线l 的最大距离为3，故C 错误；由于A (1,2)，B (3，4)，AB ＝4＋4＝22，故以AB 为直径的圆的圆心Q (2,3)，且PQ ＝1＋16＝17，圆的半径为2，圆心Q 到直线l 的最大距离为17，故以线段AB 为直径的圆上的点到直线l 的最大距离为17＋2，故D 正确．10．(多选)经过点P (0,1)的直线l 与两直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于P 1，P 2两点，且满足P 1P →＝2PP 2→，则( )A ．点P 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103 B ．|P 1P 2|＝212 C ．点P 2的坐标为(7,1) D ．直线l 的方程为y ＝1答案 BD解析 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 与两直线l 1：x－3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0的交点P 1，P 2的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，(0,8)，则P 1P →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－73，PP 2→＝(0,7)，不满足P 1P →＝2PP 2→，故直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则直线l 与两直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0的交点P 1，P 2的横坐标分别为73k －1，7k ＋2，∵P 1P →＝2PP 2→，∴0－73k －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7k ＋2－0，解得k ＝0，则P 1，P 2的坐标分别为(－7,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，∴|P 1P 2|＝212，直线l 的方程为y ＝1.故选BD.11．已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________，此时a ＝________，b ＝________.答案 25 5 5解析 由两直线互相平行可得a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a ≥13＋26a b ·6b a ＝25，当且仅当a ＝b＝5时取等号．故2a ＋3b 的最小值为25.12. 如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0，2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．答案 (4，＋∞)解析 从特殊位置考虑．如图，因为点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，所以kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2,1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，所以k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．二、高考小题13．(2022·新高考Ⅱ卷)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p ＝( )A ．1B ．2 C.22 D ．4答案 B解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋11＋1＝2，解得p ＝2(p ＝－6舍去)．故选B.14．(2022·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( )A ．1B ． 2 C.3 D ．2答案 B解析 由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1，0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离最大，即为|AP |＝ 2.故选B.15．(2022·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B ．255 C.355 D ．455答案 B解析 由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心必在第一象限．设圆心的坐标为(a ，a )，a ＞0，则圆的半径为a ，圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2.由题意可得(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5.所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)．点(1,1)，(5,5)到直线2x －y －3＝0的距离均为d ＝25＝255，所以圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255.故选B.16．(2022·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．答案 4解析 解法一：由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)，则动点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.解法二：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的动点到直线x ＋y＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4. 三、模拟小题17．(2022·济南模拟)若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)答案 C解析 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －(5－3x )－1|12＋(－1)2＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．18．(2022·河北省实验中学高三开学考试)若直线l 1：y ＝kx －k ＋1与直线l 2关于点(2,3)对称，则直线l 2一定过定点( )A ．(－3,5)B ．(3，－5)C ．(3,5)D ．(5,3)答案 C解析 直线l 1：y ＝kx －k ＋1可化为y －1＝k (x －1)，故一定经过点(1,1)；点(1,1)关于点(2,3)的对称点的坐标为(3,5)，由于直线l 1：y ＝kx －k ＋1与直线l 2关于点(2,3)对称，所以直线l 2一定过定点(3,5)．故选C.19．(2022·吉林省梅河口市第五中学月考)已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A.51313 B ．91326 C.41313 D ．71326答案 D解析 ∵直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝4，将直线3x ＋2y －3＝0的方程化为6x ＋4y －6＝0，则两条平行直线之间的距离d ＝|1－(－6)|62＋42＝71326.故选D.20．(多选)(2022·河北省实验中学高三开学考试)瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(0，－2)答案 AD解析 设C (x 1，y 1)，AB 的垂直平分线为y ＝－x ，△ABC 的欧拉线方程为x －y ＋2＝0，与直线y ＝－x 的交点为M (－1,1)，∴|MC |＝|MA |＝10，∴(x 1＋1)2＋(y 1－1)2＝10①，由A (－4,0)，B (0,4)，得△ABC 的重心为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－43，y 1＋43，代入欧拉线方程x －y ＋2＝0，得x 1－y 1－2＝0 ②，由①②可得x 1＝2，y 1＝0或x 1＝0，y 1＝－2.故选AD.21．(多选)(2022·湖南永州高三复习检测)已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的可能取值为( )A.43 B ．23 C.－43 D ．－23答案 BCD解析 设l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0，易知l 1与l 2交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13，l 3过定点B (0，－1)．因为l 1，l 2，l 3不能构成三角形，所以l 1∥l 3或l 2∥l 3或l 3过点A .当l 1∥l 3时，m ＝23；当l 2∥l 3时，m ＝－43；当l 3过点A 时，m ＝－23，所以实数m 的可能取值为－43，－23，23.故选BCD.22．(2022·安徽四校联考(二))已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．答案 6x －y －6＝0解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 23．(2022·山东省历城二中上学期学情检测)已知m ∈R ，动直线l 1：x ＋my －1＝0过定点A ，动直线l 2：mx －y －2m ＋1＝0过定点B ，则B 点坐标为________；若直线l 1与l 2相交于点P (异于点A ，B )，则△P AB 周长的最大值为________．答案 (2,1) 2＋2解析 由条件知直线l 1过定点A (1,0)，直线l 2过定点B (2,1)，所以|AB |＝12＋12＝2，又因为1×m ＋m ×(－1)＝0，所以l 1⊥l 2，即P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝2，|P A |＋|PB |≤2 |P A |2＋|PB |22＝2，当且仅当|P A |＝|PB |＝1时取等号，所以|P A |＋|PB |＋|AB |≤2＋2，故△P AB 周长的最大值为2＋ 2. 24．(2022·岳阳模拟)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则m ＝________，12a ＋2c 的最小值为________．答案 0 94解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，设点Q (4,0)到直线l 的距离为d ，当d ＝|PQ |时取最大值，所以(4－1)2＋(－m )2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12×⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·陕西榆林质量检测)已知两条不重合的直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0.又因为直线l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)因为直线l 2的斜率存在，且l 1∥l 2，所以直线l 1的斜率存在．所以a b ＝1－a .①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .②联立①②，可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.2．(2022·深圳调研)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解 (1)设A ′(x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413. 所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又因为m ′经过点N (4,3)， 所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)设P (x ，y )为直线l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 所以直线l ′的方程为2x －3y －9＝0.。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 1 集合
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习第一章 集合与常用逻辑用语考点知识总结1 集合高考 概览本考点在高考中是必考知识点，常考题型为选择题，分值为5分，低难度考纲 研读1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 7．能使用Venn 图表达集合的关系及运算一、基础小题1．已知集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |2<x <5}，则A ∪B ＝( ) A ．(1，6) B ．(－2，5) C ．(2，3) D ．(3，5) 答案 B解析 A ＝{x |－2<x <3}，A ∪B ＝(－2，5).故选B.2．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 集合M ＝{a 1，a 2}或{a 1，a 2，a 4}，有2个．故选B. 3．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <13，则(∁R P )∩N ＝()A ．{x |0<x <3}B ．{x |0<x ≤3}C ．{0，1，2，3}D ．{1，2，3} 答案 C 解析 由题意，得P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <13＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －33x >0＝{x |x >3或x <0}，则(∁R P )∩N ＝{x |0≤x≤3}∩N ＝{0，1，2，3}．故选C.4．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 答案 A解析 由已知得B ＝{(2，1)}，所以B 的子集有2个．故选A.5．已知集合A ＝{x |(x －2)(x ＋2)≤0}，B ＝{y |x 2＋y 2＝16}，则A ∩B ＝( ) A ．[－3，3] B ．[－2，2] C ．[－4，4] D ．∅ 答案 B解析 由题意，得A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |－4≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}．故选B.6．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，A ∩(∁U B )＝{3}，则B ＝( )A ．{1，2}B ．{2，4}C ．{1，2，4}D ．∅ 答案 A解析 由∁U (A ∪B )＝{4}，得A ∪B ＝{1，2，3}．由A ∩(∁U B )＝{3}，得3∈A 且3∉B .现假设1∉B ，∵A ∪B ＝{1，2，3}，∴1∈A .又1∉A ∩(∁U B )＝{3}，∴1∉∁U B ，即1∈B ，矛盾．故1∈B .同理2∈B .故选A.7．已知集合A ＝{x |y ＝x 2－2}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2}，则有( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝A D ．A ∩B ＝A 答案 C解析 A ＝{x |y ＝x 2－2}＝R ，B ＝{y |y ＝x 2－2}＝[－2，＋∞)，所以B ⊆A ，故A ∪B ＝A .故选C.8．已知集合M 是函数y ＝11－2x的定义域，集合N 是函数y ＝x 2－4的值域，则M ∩N ＝( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤12B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－4≤x <12 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪x <12且y ≥－4D ．∅ 答案 B解析 由题意，得M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，N ＝[－4，＋∞)，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，12.故选B.9.若集合U ＝R ，A ＝{1，2，3，4，5}，集合B ＝{x |0<x <4}，则图中阴影部分表示( )A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{4，5}D ．{1，4} 答案 C解析 集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x |0<x <4}，图中阴影部分表示A ∩(∁U B )，又∁U B ＝{x |x ≥4或x ≤0}，所以A ∩(∁U B )＝{4，5}．故选C.10．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B解析 由y ＝2x 与y ＝x ＋1的图象可知，两函数图象有两个交点，如图所示．∴A ∩B中元素的个数为2.故选B.11．(多选)已知全集U＝R，函数y＝ln (1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x＜0}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝N B．M∩(∁U N)≠∅C．M∪N＝U D．M⊆(∁U N)答案AB解析由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜1}，所以M∩N＝N.又∁U N＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(∁U N)＝{x|x≤0}≠∅，M∪N＝{x|x＜1}＝M，M⊆/(∁U N).故选AB.12．(多选)已知集合A＝{0，1，2}，若A∩(∁Z B)≠∅(Z是整数集合)，则集合B可以为()A．{x|x＝2a，a∈A}B．{x|x＝2a，a∈A}C．{x|x＝a－1，a∈N}D．{x|x＝a2，a∈N}答案ABD解析由题意知，集合A＝{0，1，2}．{x|x＝2a，a∈A}＝{0，2，4}，则A∩(∁Z B)＝{1}≠∅，A满足题意；{x|x＝2a，a∈A}＝{1，2，4}，则A∩(∁Z B)＝{0}≠∅，B满足题意；{x|x＝a－1，a∈N}＝{－1，0，1，2，3，…}，则A∩(∁Z B)＝∅，C不满足题意；{x|x＝a2，a∈N}＝{0，1，4，9，16，…}，则A∩(∁Z B)＝{2}≠∅，D满足题意．故选ABD.二、高考小题13．(2022·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝() A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}答案 B解析 因为A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，所以A ∩B ＝{2，3}．故选B. 14．(2022·新高考Ⅱ卷)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，6}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{3}B ．{1，6}C ．{5，6}D ．{1，3} 答案 B解析 由题意可得∁U B ＝{1，5，6}，故A ∩(∁U B )＝{1，6}．故选B.15．(2022·全国甲卷)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N ＝( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤13B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4C ．{x |4≤x <5}D ．{x |0<x ≤5} 答案 B 解析 由已知得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4.故选B.16．(2022·全国乙卷)已知集合S ＝{s |s ＝2n ＋1，n ∈Z }，T ＝{t |t ＝4n ＋1，n ∈Z }，则S ∩T ＝( )A ．∅B ．SC ．TD ．Z 答案 C解析 因为s ＝2n ＋1，n ∈Z ，当n ＝2k ，k ∈Z 时，s ＝4k ＋1，k ∈Z ；当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，s ＝4k ＋3，k ∈Z ，所以TS ，S ∩T ＝T .故选C.17．(2022·天津高考)设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，3，5}，C ＝{0，2，4}，则(A ∩B )∪C ＝( )A ．{0}B ．{0，1，3，5}C ．{0，1，2，4}D ．{0，2，3，4} 答案 C解析 ∵A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，3，5}，C ＝{0，2，4}，∴A ∩B ＝{1}，∴(A ∩B )∪C＝{0，1，2，4}．故选C.18．(2022·新高考Ⅰ卷)设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4} 答案 C解析 A ∪B ＝[1，3]∪(2，4)＝[1，4).故选C.19．(2022·全国Ⅰ卷)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4 答案 B 解析 ∵A ＝{x |x2－4≤0}＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，∴－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.20．(2022·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 C解析 由题意，A ∩B 中的元素满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4，所以A ∩B 中的元素有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，共4个．故选C.三、模拟小题21．(2022·江苏镇江市第一中学高三上学期期初考试)已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈N }，集合B ＝{x |x 2＋x －6＝0}，则A ∩B ＝( )A ．{2}B ．{－3，2}C ．{－3，1}D ．{－3，0，1，2}答案 A解析集合A＝{x||x|≤2，x∈N}＝{0，1，2}，集合B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，所以A∩B＝{2}．故选A.22．(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)已知全集U＝R，设集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－1<0}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{x|x≤3} B．{x|－3≤x<1}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|1≤x≤3}答案 D解析由题意得，A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<1}，∴∁U B＝{x|x≥1}，∴A∩(∁U B)＝{x|1≤x≤3}．故选D.23．(2022·新高考八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪(∁R N)＝()A．∅B．M C．N D．R答案 B解析解法一：∵∁R M⊆N，∴M⊇∁R N，据此可得M∪(∁R N)＝M.故选B.解法二：如图所示，设矩形区域ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合∁R M，矩形区域CDFG表示集合N，满足∁R M⊆N，结合图形可得M∪(∁R N)＝M.故选B.24．(2022·河南南阳模拟)设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P ∪Q＝()A．{3，0} B．{3，0，1}答案 B解析 ∵P ∩Q ＝{0}，∴log 2a ＝0，∴a ＝1，从而b ＝0，∴P ∪Q ＝{3，0，1}．故选B.25．(2022·河北沧州第一中学等十五校高三上摸底考试)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪y ＝ x －4x －7，集合B ＝{3，4，5，6，7}，则A ∩B ＝( ) A ．(3，4) B ．{3，4} C ．[3，4] D ．{3，4，7} 答案 B解析 由x －4x －7≥0得⎩⎨⎧（x －4）（x －7）≥0，x ≠7，得x ≤4或x >7，所以A ＝{x |x ≤4或x >7}，因为B ＝{3，4，5，6，7}，所以A ∩B ＝{x |x ≤4或x >7}∩{3，4，5，6，7}＝{3，4}．故选B.26．(2022·湖北襄阳五中高三开学考试)已知集合M ＝{x |1－a <x <2a }，N ＝(1，4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，0]C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，2答案 C解析 因为M ⊆N ，而∅⊆N ，所以当M ＝∅时，2a ≤1－a ，则a ≤13；当M ≠∅时，M ⊆N ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－a <2a ，1－a ≥1，2a ≤4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >13，a ≤0，a ≤2，无解．综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13.故选C.27．(2022·湖南长沙长郡中学高三上开学考试)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪12<2x ＋1<16，B＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若1∈A ∩B ，则A ∪B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4}答案 D 解析由题可知，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪12<2x ＋1<16，即2－1<2x ＋1<24，解得－2<x <3，又x ∈N ，所以A ＝{0，1，2}．因为1∈A ∩B ，则1∈B ，所以1－4＋m ＝0，解得m ＝3，所以B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}．故选D.28．(多选)(2022·江苏沭阳如东中学测试)设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值可以为( )A ．15B ．0C ．3D ．13 答案 ABD解析 ∵x 2－8x ＋15＝0的两个根为3和5，∴A ＝{3，5}，∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{3}或B ＝{5}或B ＝{3，5}，当B ＝∅时，满足a ＝0即可，当B ＝{3}时，满足3a －1＝0，∴a ＝13，当B ＝{5}时，满足5a －1＝0，∴a ＝15，当B ＝{3，5}时，显然不符合条件，∴实数a 的值可以是0，13，15.故选ABD.29．(多选)(2022·山东滨州模拟)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题中的真命题有( )A ．集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集B ．若S 为封闭集，则一定有0∈SC ．封闭集一定是无限集D ．若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集 答案 AB解析 因为两个复数的和是复数，两个复数的差是复数，两个复数的积也是复数，所以集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集，A 正确；当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，B 正确；集合S ＝{0}显然是封闭集，但S 是有限集，C 错误；取S ＝{0}，T ＝{0，1}，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0－1＝－1不属于T ，故T 不是封闭集，D 错误．故选AB.30．(多选)(2022·湖南衡阳模拟)对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎨⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合M ，N ，定义集合M ⊗N ＝{x |f M (x )·f N (x )＝－1}．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{1，2，4}，则下列结论正确的是( )A ．1∈A ⊗B B ．2∈A ⊗BC ．4∉A ⊗BD ．A ⊗B ＝B ⊗A 答案 ACD解析 由题意知，f A (x )＝⎩⎨⎧－1，x ∈{2，4，6}，1，x ∉{2，4，6}，f B (x )＝⎩⎨⎧－1，x ∈{1，2，4}，1，x ∉{1，2，4}．当x ＝1时，f A (1)＝1，f B (1)＝－1，所以f A (1)f B (1)＝1×(－1)＝－1，故1∈A ⊗B ，A 正确；当x ＝2时，f A (2)＝－1，f B (2)＝－1，所以f A (2)f B (2)＝(－1)×(－1)＝1，故2∉A ⊗B ，B 错误；当x ＝4时，f A (4)＝－1，f B (4)＝－1，所以f A (4)f B (4)＝(－1)×(－1)＝1，故4∉A ⊗B ，C 正确；由定义及乘法的交换律可知，D 正确．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2022·江西南昌高三模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2≤x ≤4}．(1)求A ∩(∁U B )；(2)若集合C ＝{x |a ≤x ≤4a ，a >0}，满足C ∪A ＝A ，C ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意，得A ＝{x |－1≤x ≤5}，∁U B ＝{x |x <2或x >4}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x <2或4<x ≤5}．(2)由C ∪A ＝A 得C ⊆A ，则⎩⎨⎧a ≥－1，4a ≤5，解得－1≤a ≤54.由C ∩B ＝B 得B ⊆C ，则11 / 11 ⎩⎨⎧a ≤2，4a ≥4，解得1≤a ≤2. 从而实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪1≤a ≤54. 2．(2022·云南师大附中月考)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤2x ≤4，B ＝{x |x 2＋(b －a )x －ab ≤0}． (1)若A ＝B 且a ＋b <0，求实数a ，b 的值；(2)若B 是A 的子集，且a ＋b ＝2，求实数b 的取值范围． 解 (1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤2x ≤4＝{x |－1≤x ≤2}， ∵a ＋b <0，∴a <－b ，∴B ＝{x |(x －a )(x ＋b )≤0}＝{x |a ≤x ≤－b }，∵A ＝B ，∴a ＝－1，b ＝－2.(2)∵a ＋b ＝2，∴B ＝{－b ≤x ≤2－b }，∵B 是A 的子集，∴－b ≥－1且2－b ≤2，解得0≤b ≤1，即实数b 的取值范围为[0，1].。
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第 1 页 阿伏加德罗常数 关于阿伏加德罗常数的20个问题汇总。下表中各种说法是否正确？简要解释原因。 叙述 解释 结论 ①2.24 L CO2中含有、 的原子数为0.3NA ②0.1 L 3.0 mol·L－1的 NH4NO3溶液中含有的 NH＋4数目为0.3NA ③5.6 g铁粉与硝酸反应 失去的电子数一定为0.3NA ④4.5 g SiO2晶体中含有 的硅氧键数目为0.3NA ⑤常温下11.2 L甲烷气体 含有甲烷分子数为0.5NA个 ⑥5.6 g铁与足量的稀硫 酸反应失去电子数为0.3NA个 ⑦2 mol钠与过量稀盐酸 反应生成NA个H2分子 ⑧30 g甲醛中含共用电子 对总数为4NA ⑨标准状况下，22.4 L氦 气与22.4 L氟气所含原子 数均为2NA
⑩相同条件下，N2和O3的 混合气体与等体积的N2所 含原子数相等 ⑪1.0 L 1.0 mol·L－1 CH3COOH 溶液中，CH3COOH分子数为 NA ⑫Na2O2与CO2反应生成 11.2 L O2(标准状况)，反 第 2 页
应中转移的电子数为2NA ⑬46 g NO2和N2O4的混合 物含有的原子数为3NA ⑭10 g 46%的乙醇水溶液 中所含H原子个数为0.6NA ⑮2 mol SO2和1 mol O2在 一定条件下充分反应后， 混合物的分子数为2NA ⑯常温常压下，3.2 g O3
所含的原子数为0.2NA
⑰18 g D2O所含的电子 数为10NA ⑱1 L 1 mol·L－1饱和FeCl3
溶液滴入沸水中完全水解
生成Fe(OH)3胶粒NA个 ⑲1 mol Na2O2固体中含 离子总数为4NA ⑳标准状况下，22.4 L己 烷中含共价键数目为19NA
2．NA代表阿伏加德罗常数，下列叙述错误的是 ( ) A．10 mL质量分数为98%的H2SO4，用水稀释至100 mL，H2SO4的质量分数为9.8% B．在H2O2＋Cl2===2HCl＋O2反应中，每生成32 g氧气，则转移2NA个电子 C．标准状况下，分子数为NA的CO、C2H4混合气体体积约为22.4 L，质量为28 g D．一定温度下，1 L 0.50 mol·L－1 NH4Cl溶液与2 L 0.25 mol·L－1 NH4Cl溶液含NH＋4的物质的量不同
3．用NA表示阿伏加德罗常数的值，下列说法中正确的是 ( ) A．4.0 g重水(D2O)中所含质子数为0.4NA B．4.48 L N2与CO的混合物中所含分子数为0.2NA C．6.2 g白磷与红磷的混合物中所含磷原子数为0.2NA D．12.5 mL 16 mol·L－1浓硫酸与足量铜反应，转移电子数为0.2NA 第 3 页
配制溶液 1．实验中需要2 mol·L－1的Na2CO3溶液950 mL，配制时，你认为应该选用的容量瓶的规格和称取的碳酸钠质量分别是 ( ) A．1 000 mL,212 g B．950 mL,201.4 g C．500 mL,286 g D．任意规格，572 g
2．实验室用密度为1.25 g·mL－1，质量分数为36.5%的浓盐酸配制240 mL 1.0 mol·L－1的盐酸，请回答下列问题： (1)浓盐酸的物质的量浓度为____________。 (2)配制240 mL 0.1 mol·L－1的盐酸 应量取浓盐酸体积/mL 应选用容量瓶的规格/mL
(3)配制时，其正确的操作顺序是(字母表示，每个字母只能用一次)________。 A．用30 mL水洗涤________2～3次，洗涤液均注入容量瓶，振荡 B．用量筒准确量取所需的浓盐酸的体积，沿玻璃棒倒入烧杯中，再加入少量水(约30 mL)，用玻璃棒慢慢搅动，使其混合均匀 C．将已冷却的盐酸沿玻璃棒注入容量瓶中 D．将容量瓶盖紧，振荡，摇匀 E．改用________加水，使溶液凹液面恰好与刻度线相切 F．继续往容量瓶内小心加水，直到液面接近刻度线______处 (4)操作A中，将洗涤液都移入容量瓶，其目的是___________________________________。
3、配制一定物质的量浓度的NaOH溶液的下列操作可引起的误差是（ 偏高 偏低 无影响）： （1）称取NaOH时间过长或用滤纸称量________； （2）未冷却至室温而注入定容________； （3）定容时加水超过刻度线，再用滴管吸出________； （4）定容时仰视刻度线________； （5）定容摇匀后液面下降低于刻度线________； （6）若称量固体溶质时操作无误，但是所用的砝码生锈________。 第 4 页
滴定实验 1．用已知浓度的NaOH溶液测定某H2SO4溶液的浓度，参考如图所示从下表中选出正确选项 ( )
锥形 瓶中 溶液 滴定 管中 溶液 选用 指示剂 选用 滴定管 A 碱 酸 石蕊 乙 B 酸 碱 酚酞 甲
C 碱 酸 甲基橙 乙 D 酸 碱 酚酞 乙
2．实验室中有一未知浓度的稀盐酸，某学生在实验室中进行测定盐酸的浓度的实验。请完成下列填空： (1)配制100 mL 0.1 mol·L－1 NaOH标准溶液。 ①主要操作步骤：计算→称量→溶解→______(冷却后)→洗涤(并将洗涤液移入容量瓶)→______→______→将配制好的溶液倒入试剂瓶中，贴上标签。 ②称量________g氢氧化钠固体所需仪器有：托盘天平(带砝码、镊子)、________、________。 第 5 页
(2)取20.00 mL待测盐酸放入锥形瓶中，并滴加2～3滴酚酞作指示剂，用自己配制的NaOH标准溶液进行滴定。重复上述滴定操作2～3次，记录数据如下。
实验编号 NaOH溶液的 浓度(mol·L－1) 滴定完成时NaOH溶 液滴入的体积(mL)
待测盐酸
的体积(mL) 1 0.10 22.62 20.00 2 0.10 22.72 20.00 3 0.10 22.80 20.00
①滴定达到终点的标志是___________________________________________________ ________________________________________________________________________。 ②根据上述数据，可计算出该盐酸的浓度约为____________________________________ (保留两位有效数字)。 ③排去碱式滴定管中气泡的方法应采用如图所示操作中的________，然后轻轻挤压玻璃球使尖嘴部分充满碱液。
④在上述实验中，下列操作(其他操作正确)会造成测定结果偏高的有________(填字母序号)。 A．滴定终点读数时俯视 B．酸式滴定管使用前，水洗后未用待测盐酸润洗 C．锥形瓶水洗后未干燥 D．碱式滴定管尖嘴部分有气泡，滴定后消失
3、用已知浓度的酸滴定未知浓度的碱溶液时，在下列情况中 ： a、酸式滴定管用蒸馏水洗涤后未用标准液润洗 b、锥形瓶用蒸馏水洗涤后，又用待测液润洗 第 6 页
c、配制碱液时称量后固体吸湿 d、滴定前酸式滴定管尖嘴部分有气泡，而在滴定过程中气泡被赶走 e、读数时，滴定前仰视，滴定后俯视 会导致待测液的浓度测定结果偏低的操作有_______，偏高的有_______，无影响的有_______。 4、草酸晶体的组成可用H2C2O4·XH2O表示，为了测定x值，进行如下实验： ① 称取Wg草酸晶体，配成100.00mL水溶液； ② 取25.00ml所配制的草酸溶液置于锥形瓶内，加入适量稀硫酸后，用浓度为a mol/L的KMnO4溶液滴定至KMnO4不再褪色为止，所发生的反应为： 2 KMnO4 ＋ 5 H2C2O4 ＋ 3H2SO4 = K2SO4 + 10 CO2↑+
2MnSO4 + 8H2O a、实验中，标准液KMnO4溶液应装在___________中，因为____________________________。 b、在滴定过程中若用去a mol/L的KMnO4溶液V mL，则所配制的草酸溶液的物质的量浓度为______，由此可以计算出x的值是________。若用碘水作滴定剂，应选用________作指示剂。 第 7 页
离子反应 1.有一无色透明溶液，欲确定是否含有下列离子：K＋、Mg2＋、Al3＋、Fe2＋、Ba2＋、NO－3、SO2－4、Cl－、I－、HCO－3，实验如下： 实验步骤 实验现象 (1)取少量该溶液，加入几滴石蕊 溶液变红 (2)取少量该溶液，加入Cu片和浓硫酸，加热 有无色气体产生，气体遇空气可以变成红棕色 (3)取少量该溶液，加入BaCl2溶液 有白色沉淀生成 (4)取(3)中反应后的上层清液，加入AgNO3
溶液 有稳定的白色沉淀生成，且不溶于稀硝酸
(5)取少量该溶液，加入NaOH溶液 有白色沉淀生成，当NaOH过量时，沉淀部分溶解 由此判断： (1)溶液中一定存在的离子是______________；溶液中肯定不存在的离子是__________。 (2)为了进一步确定其他离子，应该补充的实验及对应欲检验离子的名称(如为溶液反应，说明使用试剂的名称，不必写详细步骤)________________________________________。
2．常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是 ( ) A．1.0 mol·L－1的KNO3溶液：H＋、Fe2＋、Cl－、SO2－4 B．能使石蕊呈红色的溶液：NH＋4、Ba2＋、[Al(OH)4] －、Cl－ C．pH＝12的溶液：K＋、Na＋、CH3COO－ 、Br－ D．与铝反应产生大量氢气的溶液：Na＋、K＋、CO2－3、NO－3
3．室温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是 ( ) A．饱和氯水中 Cl－、NO－3、Na＋、SO2－3 B．c(H＋)＝1.0×10－13mol·L－1溶液中CH3COO－、K＋、SO2－4、Br－ C．Na2S溶液中 SO2－4、K＋、Cl－、Cu2＋ D．pH＝12的溶液中 NO－3、I－、Na＋、Al3＋