2019-2020学年高中数学 专题强化训练4 函数应用 北师大版必修1

专题强化训练(四) 函数应用
(教师独具)
一、选择题
1．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是( )

A．a>15 B．a>15或a<－1

C．－1B [依题意，f(－1)·f(1)<0，即(－5a＋1)(a＋1)<0，解得a>15，或a<－1.]
2．已知函数f(x)＝ 2x－1，x≤1，1＋log2x，x>1，则函数f(x)的零点为( )
A.12，0 B．－2,0
C.12 D．0
D [f(x)＝0，即 x≤1，2x－1＝0，或 x>1，1＋log2x＝0，
解得x＝0，故选D.]
3．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )

A.0，18 B．18，14

C.14，12 D．12，1
C [∵f14＝π4－2<0，f12＝π2－1>0，
∴f(x)在区间14，12内至少有一个零点．]
4．设方程|x2－3|＝a的解的个数为k，则k不可能等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [依题意，k为函数y＝|x2－3|与y＝a的图像交点的个数．
由图可知，k≠1.]
5．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．
时间 1 2 3 4
利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A．y＝log2x B．y＝2x
C．y＝x2 D．y＝2x
B [画出散点图(图略)，由散点图可知，这种空调的函数模型为y＝2x.]
二、填空题
6．已知函数f(x)为奇函数，且有3个零点，则这3个零点之和等于________．
0 [因为奇函数的图像关于原点对称，所以，其零点之和为零．]
7．若等腰三角形的周长为20，则底边y关于腰长x的函数解析式为________．
y＝20－2x(5，

由 x>020－2x>02x>20－2x，得5所以，其解析式为y＝20－2x(58．已知m∈R，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，则实数a的取值范围是________．
－1≤a≤1 [当m＝0时，a∈R，
当m≠0时，Δ＝1＋4m(m＋a)≥0，
4m2＋4am＋1≥0，
∴16a2－16≤0，
∴－1≤a≤1.
综上得，－1≤a≤1.]
三、解答题
9．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2 012x＋log2 012x，试确定f(x)
在R上的零点个数．
[解] ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.

∴f12 0122＜0，f12 012＞0，
∴f(x)＝2 012x＋log2 012x在区间12 0122，12 012内存在零点．
易知f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
∴f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，
根据奇函数的对称性可知，
函数f(x)在(－∞，0)内有且只有一个零点．
综上可知函数在R上的零点个数为3.
10．某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点
(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数
据如下表所示：
第t天 4 10 16 22
Q(万股) 36 30 24
18

(1)根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系
式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第
几天日交易额最大，最大值是多少？
[解] (1)由图像知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易

求得直线方程为P＝15t＋2；

从第20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P＝－
1
10

t
＋8，

故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为：

P
＝ 15t＋2，0≤t≤20，t∈N＋，－110t＋8，20

(2)由图表易知Q与t满足一次函数关系，
即Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N＋.
(3)由(1)(2)可知
y
＝ 15t＋2－t＋40，0≤t≤20，t∈N＋，－110t＋8－t＋40，20

＝ －15t－152＋125，0≤t≤20，t∈N＋，110t－602－40，20当0≤t≤20，t＝15时，ymax＝125，
当20所以在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元．
[等级过关练]
1．设方程3x＝|lg(－x)|的两个根为x1，x2，则( )
A．x1x2<0 B．x1x2＝1
C．x1x2>1 D．0D [函数y＝3x与函数y＝|lg(－x)|的图像如图所示，由图示可设x1<－1

则0<3x1<3x2<1，
且 3x1＝lg－x1，3x2＝－lg－x2，可得
3x1－3x2＝lg(－x1)＋lg(－x2)＝lgx1x2，
∵3x1－3x2<0，∴02．在10枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有
一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
3 [先分2组，每组5枚，用天平称出质量较轻的一组，再把5枚分成一组2枚，另一
组也2枚，把两组放入托盘中，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若平衡，则假币
一定在较轻的那2枚硬币里面，然后用天平称出轻的一枚即可，故最多称3次即可．]
3．函数f(x)＝ex＋2x－6(e≈2.718)的零点属于区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.
1 [因为f(1)＝e－4<0，f(2)＝e2－2>0，
所以，函数f(x)的零点，属于区间(1,2)，故n＝1.]
4．已知函数f(x)＝mx2－2(m＋n)x＋n，(m≠0)满足f(0)·f(1)>0，设x1，x2是方程f(x)
＝0的两根，则|x1－x2|的取值范围是________．

[3，2) [由f(0)·f(1)>0可得n(m＋n)<0，nm2＋nm<0.设t＝nm即t2＋t<0，得t∈(－
1,0)．因为m≠0，所以Δ＝[－2(m＋n)]2－4mn＝4m＋n22＋3n2>0.
则 x1＋x2＝2m＋nm，x1x2＝nm，
|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝2
＝2t2＋t＋1，
令g(t)＝t2＋t＋1，t∈(－1,0)，可得g(t)∈34，1，
故|x1－x2|∈[3，2)．]
5．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与

投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M＝14x，N＝34x－1(x≥1)．今有8万元资金投入
经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品
的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？
[解] 设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为(8－x)万元，共获得
利润

y＝M＋N＝14(8－x)＋34x－1(1≤x
≤8)．

令x－1＝t(0≤t≤7)，则x＝t2＋1，
∴y＝14(7－t2)＋34t＝－14t－322＋3716.

故当t＝32时，可获最大利润3716万元．
此时，投入乙种商品的奖金为134万元，甲种商品的资金为194万元．