2018届长春市高三一模理数

（D）求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1010 项和
（D） 13
开始
S = 0,n =1 S = S + 2n −1
n=n+2
n 2018 否
是
输出S
结束
（11） 已知 O 为坐标原点，设 F1, F2 分别是双曲线 x2 − y2 = 1的左、右焦点，点 P 为双 曲线上任一点，过点 F1 作 F1PF2 的平分线的垂线，垂足为 H ，则 OH =
ab − c
数学试题卷（理科） 第4页（共 4 页）
（A）
（B） 2
（C） 3
（D） 4
数学试题卷（理科） 第2页（共 4 页）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.
（13） 已知角, 满足 − − ， 0 + ，则 3 − 的取值范围是
2
2
__________.
（14） 已知平面内三个不共线向量 a,b, c 两两夹角相等，且 a = b = 1, c = 3 ，则
级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根 据图像，给出下列结论： ①一班的的成绩始终高于年级平均水平，整 体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
y
100
一班
90
80 年级
二班
70
③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水
三班
60
平，但在稳步提升. 其中正确结论的个数为
0
ห้องสมุดไป่ตู้1 23
4 5 6x
（A） 0
则需要花费 40 分钟进行剪辑，若点击量在区间 (1000,3000] 内，则需要花费 20 分钟进
行剪辑，点击量超过 3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的 6 节课中随机取出 2 节课
进行剪辑，求剪辑时间 X 的分布列与数学期望.
（19） （本小题满分 12 分）
P
如图，四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，
已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(−1,0), F2 (1,0) ，且经过点 E(
3,
3). 2
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点（点 A 位于 x 轴上方），若 AF1 = F1B ， 且 2 ≤ 3，求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
（21） （本小题满分 12 分）
7 69 8 13676 9 2941586 10 3 1
11 4
（6） 若角 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 y = − 3x 上，
则角 的取值集合是
（A）{ | = 2k − , k Z} （B）{ | = 2k + 2 , k Z}
3
3
（C）{ | = k − 2 , k Z} 3
（B）1
（C） 2
（D） 3
（4） （5）
等差数列{an}中，已知 a6 = a11 ，且公差 d 0 ，则其前 n 项和取最小值时的 n
的值为
（A） 6
（B） 7
（C） 8
（D） 9
已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数
和众数分别为
（A）95，94
（B）92，86
（C）99，86
（D）95，91
a + b + c = __________.
（15） 在 ABC 中，三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 (1 b − sin C) cos A = 2
sin AcosC ，且 a = 2 3 ， ABC 面积的最大值为___________.
（16） 已知圆锥的侧面展开图是半径为 3 的扇形，则圆锥体积的最大值为__________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. （17） （本小题满分 12 分）
（D）{ | = k − , k Z} 3
数学试题卷（理科） 第1页（共 4 页）
（7） （8）
已知 x 0, y 0 ，且 4x + y = xy ，则 x + y 的最小值为
（A）8
（B）9
（C）12
（D）16
《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有
刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
（22） （本小题满分 10 分） 选修 4－4：坐标系与参数方程选讲
以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 P 的直
角坐标为 (1, 2) ，点 M 的极坐标为 (3, ) ，若直线 l 过点 P ，且倾斜角为 ，圆 C 以 M
2
6
为圆心， 3 为半径．
（Ⅰ）求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点，求| PA| | PB | .
（23） （本小题满分 10 分） 选修 4－5：不等式选讲
设不等式 | x +1| − | x −1| 2 的解集为 A .
（Ⅰ）求集合 A ； （Ⅱ）若 a,b,c A，求证：| 1− abc | 1.
的第二季名师云课中，数学学科共计推出 36 节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生， 现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量 [0,1000] (1000,3000] (3000,+)
节数
6
18
12
（Ⅰ）现从 36 节云课中采用分层抽样的方式选出 6 节，求选出的点击量超过 3000 的 节数.
（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间 [0,1000] 内，
长春市普通高中 2018 届高三质量监测（一）
数学试题卷(理科)
考生须知：
1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号. 3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效. 4. 考试结束，只需上交答题卡. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.
（1） 设 i 为虚数单位，则 (−1+ 2i)(2 − i) =
（A） 5i
（B） −5i
（2） 集合{a,b, c} 的子集的个数为
（C） 5
（D） −5
（A） 4
（B） 7
（C） 8
（D）16
（3） 右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩 y 关于测
试序号 x 的函数图像，为了容易看出一个班
高一丈，问积几何. 刍甍：底面为矩形的屋脊
状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，
设网格纸上每个小正方形的边长为 1 丈），那
么该刍甍的体积为
（A） 4 立方丈 （B） 5 立方丈
（C） 6 立方丈 （D）12 立方丈
（9） 已知矩形 ABCD的顶点都在球心为 O, 半径为 R 的球面上，AB = 6, BC = 2 3 ，
已知数列{an}的前 n 项和 Sn = 2n+1 + n − 2 .
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 bn
=
log2 (an
−1) ，求证：
1 b1b2
+
1 b2b3
+
1 b3b4
+ ... +
1 bnbn+1
1.
（18） （本小题满分 12 分） 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出
（A）1
（B） 2
（C） 4
（D） 1 2
（12） 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f (x) 满 足 f (x + ) = f (−x) ， 当 x [0, ] 时 ， 2
f (x) = x ，则函数 g(x) = (x − ) f (x) −1在区间[− 3 ,3 ] 上所有零点之和为 2
且四棱锥 O − ABCD的体积为 8 3 ，则 R 等于
（A）4
（B） 2 3
（C） 4 7 9
（10） 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是
（A）求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2017 项和
（B）求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2018 项和
（C）求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1009 项和
已知函数 f (x) = ex ， g(x) = ln(x + a) + b . （Ⅰ）若函数 f (x) 与 g(x) 的图像在点 (0,1) 处有相同的切线，求 a,b 的值； （Ⅱ）当 b = 0 时， f (x) − g(x) 0 恒成立，求整数 a 的最大值；
（Ⅲ）证明： ln 2 + (ln 3 − ln 2)2 + (ln 4 − ln 3)3 + ... +[ln(n +1) − ln n]n e . e −1
PA ⊥ 平面 ABCD ， E 为 PD 的中点.
（Ⅰ）证明： PB // 平面 AEC ；
（Ⅱ）设 PA = 1，ABC = 60 ，三棱锥 E − ACD
A
的体积为 3 ，求二面角 D − AE − C 的余弦值. 8
B
E D
C
数学试题卷（理科） 第3页（共 4 页）
（20） （本小题满分 12 分）