勾股定理地十六种证明方法

1 4 ab
b a2
c2
∴2
.
∴ a2 b2 c2 .
【 证法 4】（1876 年美国总统 Garfield 证明 ）
以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角
1 ab
形的面积等于 2 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，
一条直线上 .
∵ Rt Δ EAD≌ Rt Δ CBE,
边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形， 使 E、A、
C三点在一条直线上 . 过点 Q作 QP∥BC，交 AC于点 P.
过点 B 作 BM⊥PQ，垂足为 M；再过点
E
b
a
F 作 FN⊥ PQ，垂足为 N.
F
∵ ∠BCA = 90o ，QP∥ BC，
∴ ∠MPC = 90o ，
∵ Rt Δ GDH≌ Rt Δ HAE,
c b
F
c
a
∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o ,
AaE
bB
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o .
又∵ ∠GHE = 90o ,
∴ ∠DHA = 90o + 90 o = 180 o .
∴ ABCD是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于
a
b
2
.
a b2
4
1 ab
c2
∴
2
.
∴ a2 b2 c2.
文档
实用标准文案
【 证法 3】（ 赵爽证明 ）
D
以 a、 b 为直角边 （ b>a）， 以 c 为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1 ab
三角形的面积等于 2 . 把这四个直角三
c
b
GF C
角形拼成如图所示形状 . ∵ Rt Δ DAH≌ Rt Δ ABE,
a 2 b2 4 1 ab c 2 4 1 ab
2
2 ， 整理得
a2 b2
c2 .
【 证法 2】（邹元治证明 ）
以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角
1 ab
形的面积等于 2 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使 A、E、B 三点在
一条直线上， B、F、C三点在一条直线上， C、G、 D 三点在一条直线上 .
∴ Rt Δ BMQ≌ Rt Δ BCA.
文档
实用标准文案
同理可证 Rt ΔQNF≌ Rt ΔAEF. 从而将问题转化为 【 证法 4】（梅文鼎证明） .
【 证法 7】（欧几里得证明 ）
做三个边长分别为 a、 b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使
B 三点在一条直线上，连结
G
BF、CD. 过 C 作 CL⊥DE，
∵ BM⊥ PQ，
∴ ∠BMP = 90o ，
c
∴ BCPM是一个矩形，即∠ MBC = 90o .
∵ ∠QBM +∠MBA = ∠ QBA = 90o ，
c
A
P
b
M
c
C N
a
∠ABC + ∠MBA = ∠ MBC = 90o ， Q
c
B
∴ ∠QBM =∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90o ，∠ BCA = 90o ，BQ = BA = c ，
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠ AHE = ∠BEF.
D
b
Ga C
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o , ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90 o . ∴ ∠HEF = 180o ― 90o = 90 o .
a
c
H
b c
∴ 四边形 EFGH是一个边长为 c 的 正方形 . 它的面积等于 c2.
实用标准文案
勾股定理的证明
【证法 1】（ 课本的证明 ）
a
b
b
a
a
a
c
a
a
c
a
b
b c
bc
b
b
b
c
c
a
a
b
a
b
Hale Waihona Puke Baidu
做 8 个全等的直角三角形， 设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，
再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 .
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等 . 即
b
c
C
a
H b
a
b
c D
a
A
c
B
∴ BDPC是一个边长为 a 的正方形 .
同理， HPFG是一个边长为 b 的正方形 .
设多边形 GHCBE的面积为 S，则
a 2 b2 S 2 1 ab, 2
c2 S 2 1 ab 2,
∴ a2 b2 c2 .
【 证法 6】（项明达证明 ）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a） ，斜
∴ AD∥ BC.
1
2
ab
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 2
.
1 a b2 2 ∴2 ∴ a2 b2 c2 .
1 ab 2
1 c2 2.
文档
实用标准文案
【 证法 5】（梅文鼎证明 ）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为
c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上 . 过 C 作 AC
D
使 A、E、B 三点在 C
∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o , ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o .
a
c
c
b
∴ ∠DEC = 180o ― 90o = 90 o . ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
A
b
Ea B
1 c2 它的面积等于 2 .
又∵ ∠DAE = 90o , ∠EBC = 90o ,
的延长线交 DF于点 P.
∵ D 、E、F 在一条直线上 , 且 RtΔGEF ≌ Rt ΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠ GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
F
∴ ∠BEG =180o ―90o = 90 o . 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，
A
a HE
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o ，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o ， ∴ ABCD是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2.
B
∵ EF = FG =GH =HE = b ― a ,
∠ HEF = 90o .
∴ EFGH是一个边长为 b―a 的正方形，它的面积等于 b a 2 .
∴ ABEG是一个边长为 c 的正方形 .
b
a
G
c
E
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o .
P
∵ Rt Δ ABC≌ Rt Δ EBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o . 即 ∠CBD= 90o . 又∵ ∠BDE = 90o ，∠ BCP = 90o ，
BC = BD = a .
交 AB于点 M，交 DE于点