2021届吉林省长春市东北范大附中高三上学期一模考试数学(理)试题Word版含解析

2021届吉林省长春市东北范大附中高三上学期一模考试

数学（理）试题

一、单选题

1．若i 是虚数单位,在复平面内复数21i

i

-+表示的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】D

【解析】运用复数除法的运算法则,化简复数21i

i

-+,最后选出正确答案. 【详解】

因为2(2)(1)131(1)(1)22i i i i i i i --⋅-==-++⋅-,所以复平面内复数21i i

-+表示的点的坐标为13

(,)22-,该点在第四象限. 故选：D 【点睛】

本题考查了复数除法的运算法则.考查了复数在复平面表示点的位置问题.

2．若全集{}

*2

560U x N x x =∈--≤,集合{}2,3A =,{}0,1,5B =,则()U B A ⋂（ ）

A ．{}0,1,5

B ．{}1,5

C ．∅

D ．{}0,1,4,5,6

【答案】B

【解析】解一元二次不等式,并求出正整数解集,化简全集的表示,根据补集、交集的定义,求出

()U B A ⋂. 【详解】

{}{

}

{}*2*560161,2,3,4,5,6U x N x x x N x =∈--≤=∈-≤≤=.

因为{}2,3A =,所以{}1,4,5,6U

A =,因此(){}1,5U

B A ⋂=.

故选：B 【点睛】

本题考查了集合的补集运算、并集运算,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.

3．下列函数中,既是偶函数,又在()0,∞+上单调递增的函数是（ ） A ．32

y x = B ．x y e -= C ．21lg y x =- D ．6y x =+

【答案】D

【解析】对选项中的四个函数,先求定义域,再判断是不是偶函数,当()0,x ∈+∞时,化简函数的解析式,再判断单调性即可选出正确答案. 【详解】

选项A ：函数3

2y x =的定义域为全体非负实数集,故该函数不具有奇偶性,不符合题意； 选项B ：函数()x y f x e -==的定义域为全体实数集. ()()x x f x e e f x ----===,所以该函数是

偶函数, 当()0,x ∈+∞时, 1()()x x

x f x e e e --===,因为101e <<,所以该函数此时是减函数,不

符合题意；

选项C ：函数2()1lg y f x x ==-的定义域为非零的全体实体集,

22()1lg()1lg ()y f x x x f x =-=--=-=,所以该函数是偶函数,

当()0,x ∈+∞时, 2()1lg 12lg f x x x =-=-,根据单调性的性质可知：该函数此时单调递减,不符合题意；

选项D ：函数()6y f x x ==+的定义域为全体实数集, ()66()f x x x f x -=-+=+=,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, ()6y f x x ==+,符合题意. 故选：D 【点睛】

本题考查了函数的奇偶性、单调性,属于基础题.

4．设50.3a =,0.35b =,0.3log 5c =,则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>

C ．c a b >>

D ．b a c >>

【答案】D

【解析】根据对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法,可以比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】

因为函数0.3x y =是全体实数集上的减函数,所以有5000.30.31<<=；

因为函数5x y =是全体实数集上的增函数,所以有0.30551>=；

因为函数0.3log y x =是正实数集上的减函数,所以有0.30.3log 5log 10<=,因此有b a c >>. 故选：D 【点睛】

本题考查了对数式、指数式的比较,运用对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法是解题的关键.

5．素数也叫质数,部分素数可写成“21n -”的形式（n 是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“21n -”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第51个梅森素数是8258993321P =-,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数为3121P =-,第9个梅森素数为6121Q =-,则Q

P

约等于（参考数据：lg 20.3≈）（ ） A ．710 B ．810

C ．910

D ．1010

【答案】C

【解析】根据,P Q 两数远远大于1, Q P 的值约等于613122,设61

3122k =,运用指数运算法则,把指数

式转化对数式,最后求出k 的值. 【详解】

因为,P Q 两数远远大于1,所以Q P 的值约等于61

3122,设6130303122lg 2lg 2k k k =⇒=⇒=,

因此有930lg 2lg lg 910k k k =⇒=⇒=. 故选：C 【点睛】

本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题. 6．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为

，所以排除

选项；当

时，有一零点，设

为，当时，

为减函数，当

时，

为增函数．故选D

7．“22a -≤≤”是“关于x 的不等式2

1

0ax ax a

-+

≥的解集为R ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】先判断不等式2

1

0ax ax a

-+

≥的解集为R 成立的条件,然后根据充分性、 必要性的定义选 出正确答案. 【详解】

因为关于x 的不等式2

10ax ax a -+

≥的解集为R ,所以有：0a >且21

()40a a a

--⋅≤, 所以有02a <≤,显然由22a -≤≤不一定能推出02a <≤,但由02a <≤一定能推出

22a -≤≤,故“22a -≤≤”是“关于x 的不等式21

0ax ax a

-+≥的解集为R ”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】

本题考查了必要不充分条件的判断,解决不等式恒成立问题是解题的关键.

8．已知函数()3211,0

log ,0

x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩,若()1f a ≤,则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[)3,3,2⎛⎤-∞-+∞

⎥⎝⎦

B ．3,32⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

C ．(]3,00,32⎡⎫-⎪

⎢⎣⎭

D ．[]4,2-

【答案】B

【解析】根据分段函数的解析式,分类讨论解不等式,最后求出实数a 的取值范围.