连续函数的性质

第八节 连续函数的性质
一 连续函数的运算性质 二 闭区间上连续函数的性质
一、连续函数的运算性质
1. 四则运算的连续性 定理1
若函数 f ( x ), g ( x ) 在点 x0 处连续,
f ( x) 则 f ( x ) g ( x ), f ( x ) g ( x ), ( g ( x0 ) 0) g( x) 在点 x0处也连续。
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) f ( ) n
x 0 1 x
1 x
ln[lim ( 1 x ) ] x 0
ln e 1
ex 1 例2 求 lim x 0 x
解： 令 e x 1 y, 则 x ln(1 y),
当 x 0 时, y 0
y 原式 lim lim y 0 ln(1 y ) y0
有 m f ( x) M ,
取 K max{ m , M },
则有 f ( x ) K 函数f ( x )在[a, b]上有界
2.
介值定理
定义 如果存在 x0 使 f ( x 0 ) = 0 则 x0 称
为函数 f ( x ) 的零点。
定理 3(零点定理) 设函数 f ( x )在闭区间 a , b 上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) f (b ) 0 ), 那末在开区间a , b 内至少有函数 f ( x )的一个零 点,即至少有一点 (a b )，使 f ( ) 0
y
M B y f ( x) C a o x1 1 A m
且 (a ) f (a ) C A C,
2 3 x2 b
x
(b) f (b) C B C ,
(a ) (b) 0,
由零点定理, (a, b), 使
( ) 0, 即 ( ) f ( ) C 0, f ( ) C
(均在其定义域内连续 ) 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的。 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是
连续的。
定义区间是指包含在定义域内的区间。
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续。
例如,
y cos x 1,
D : x 0,2,4,
这些孤立点的邻域内没有定义。
则有 lim f [ ( x )] f ( a ) f [lim ( x )]
x x0 x x0
证： f (u)在点 u a连续,
0, 0, 使当 u a 时, 恒有 f ( u) f ( a ) 成立
又 lim ( x ) a
即方程 f ( x ) 0 在 (a , b )内至少存在一个实根
几何解释
y
y f ( x)
a o
1 2
3
b x
连续曲线弧 y f ( x ) 的两个端点位 于 x 轴的不同侧, 则曲线弧与 x 轴至 少有一个交点。
定理 4(介值定理) 设函数 f ( x )在闭区间
a , b上连续，且在这区间的端点取
注意 定理4是定理3的特殊情况。
1 例如, u 在 ( , 0) ( 0, )内连续, x y sin u 在 ( , )内连续, 1 y sin 在 ( , 0) ( 0, )内连续。 x
3. 初等函数的连续性
1） 三角函数及反三角函数在它们的定义域
2
x 1
x 1
lim f ( x ) lim x 1
x 1 x 1
lim f ( x ) f ( 1 ) 1 lim f ( x ) x 1

x 1

f ( x ) 在 x 1处连续 , 从而函数 f ( x )
的连续区间为 ( ,1) 和 ( 1, ) 。
内是连续的。
2） 指数函数 y a
x
( a 0, a 1)
在( , )内单调且连续。
3） 对数函数
y log a x ( a 0, a 1)
在(0, )内单调且连续 。
log y x a 4）
a
x
y a u , u log a x
在(0, )内连续 , 讨论不同值。
lim f [ ( x )] f (a ) f [ lim ( x )]
x x0
x x0
意义 1) 极限符号可以与函数符号互换；
2)变量代换( u ( x ))的理论依据。
ln(Leabharlann Baidu x ) 例1 求 lim x 0 x
解： 原式 lim ln(1 x )
x x0
对于 0, 0, 使当 0 x x0 时,
恒有 ( x ) a u a 成立
将上两步合起来:
0, 0, 使当0 x x0 时,
f ( u) f (a ) f [ ( x )] f (a ) 成立
o
a
2
1 b
x
注意 1) 若区间是开区间, 定理不一定成立; 2) 若区间内有间断点, 定理不一定成立。
y
y f ( x)
1
y
y f ( x)
o
2
x
o
1
2
x
定理2(有界性定理)在闭区间上的连续函数一定 在该区间上有界。
证：设函数 f ( x )在[a, b]上连续 x [a , b],
x 1 x 1
的连续性，并求出连续区间。
解：由初等函数分段定义的函数，在分段区间 的内部（开区间）函数是连续的，但对各段分 界点处可能连续，可能间断。需要从计算左右 极限入手进行讨论。由于
x x 1 2 f ( x) x 1 x 1 x x 1
x 1 x 1
不同的函数值 f ( a ) A 及 f ( b ) B , 那末,对于 A与 B 之间的任意一个数
C ，在开区间a , b 内至少有一点 ，
使得 f ( ) C ( a b )
证： 设 ( x ) f ( x ) C ,
则 ( x )在[a, b]上连续,
f ( b ) b，证明 ( a, b ), 使得 f ( )
证： 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续，
而 F (a ) f (a ) a 0
F (b) f (b) b 0
由零点定理, ( a, b) 使
解： 原式 sin e1 1 sin e 1 例4
1 x2 1 求 lim x 0 x
( 1 x 2 1)( 1 x 2 1) 解： 原式 lim x 0 x( 1 x 2 1)
x 0 lim 2 x 0 1 x 1
例5
研究函数
2 x f ( x) x
几何解释
连续曲线弧 y f ( x )与水平 直线 y C至少有一个交点。
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M 与最小值 m 之间的任何值。 例6 证明方程 x 3 4 x 2 1 0在区间
(0,1)内至少有一根。
证： 令f ( x ) x 3 4 x 2 1, 则f ( x )在[0,1]上连续,
同理可得
1 ln(1 y )
1 y
1
ax 1 lim ln a x 0 x
定理4
设函数 u ( x ) 在点 x x0 连续, 且
( x0 ) u0 , 而函数 y f ( u) 在点 u u0 连续, 则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x x0也连续。
F ( ) f ( ) 0
即 f ( )
例8
若 f ( x ) 在 a, b 上连续，且
则在 a x1 x2 ... xn b，
( x1 , xn ) 内至少有一点 ，使
f x1 f x2 ... f xn f n 证： 因为 f x 在 a , b上连续,从而在 x1 , x n 上
y x 2 ( x 1) 3 ,
D : x 0, 及x 1,
函数在0点的邻域内没有定义，在区间上 [1, )连续
注意 2.初等函数求极限的方法可用代入法。
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
( x0 定义区间 )
例3
求 limsin e x 1
x 1
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(0,1), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
方程x 3 4 x 2 1 0在( 0,1)内至少有一根
例7 设函数 f ( x )在区间[a, b]上连续 , 且f ( a ) a,
二、闭区间上连续函数的性质
1. 最大值和最小值定理 定义 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ),
如果有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的 最大(小)值。 例如, y 1 sin x , 在 [0, 2 ] 上,
故y arcsin x在[1,1]上也是单调增加且连续 ；
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续；
y arctan x在( , )上单调增加且连续 。
反三角函数在其定义域内皆连续。
定理3 若 lim ( x ) a, 函数 f ( u)在点a连续,
x x0
例如,
sin x , cos x在 ( ,)内连续,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 。
2. 反函数与复合函数的连续性
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的
连续反函数。
例如,
y sin x在[ , ]上单调增加且连续 , 2 2

ymax 2
ymin 0
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上的连 续函数一定有最大值和最小值。
若 f ( x ) C[a, b], 则 1 , 2 [a, b], 使得 x [a, b], 有 f ( 1 ) f ( x ),
y
y f ( x)
f ( 2 ) f ( x )
连续,那么 f x 在 x1 , x n 上一定有最大
值 M ，最小值 m 。
m min f ( x )
x1 x xn
M max f ( x )
x1 x xn
显然
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) m M n
根据介质定理的推论，至少存在 一点 x1 , xn 使
分界点为 x 1
lim f ( x ) lim x 1
x 1
lim f ( x ) lim x 2 1
x 1
x 1
x 1
lim f ( x ) lim f ( x )
所以 f ( x ) 在 x 1 处间断。
lim f ( x ) lim x 1