一元二次方程根的分布情况归纳完整版

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二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

1、一元二次方程

02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2

00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=,方程的

根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)

表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)

布情况

两个负根即两根都小于0

()120,0x x << 两个正根即两根都大于0

()120,0x x >>

一正根一负根即一个根小于0,一个大于0()120x x <<

大致图象(

>a )

得出的结论

()00200b a f ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪>⎪⎩ ()0

0200

b a f ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪>⎪⎩ ()00

致图象(

得出的结论

()00200b a f ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪<⎪⎩ ()0

0200

b a f ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f

合结论(不讨论

a

()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨

⎪⋅>⎪⎩ ()0

0200

b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨

⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a

布情况

两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ,一个大于k 即

21x k x <<

大致图象(

>a )

得出的结论

()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪>⎪⎩ ()0

20

b k a f k ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪>⎪⎩ ()0

致图象(

得出的结论

()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪<⎪⎩ ()0

20

b k a f k ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f

合结论(不讨论

a

()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨

⎪⋅>⎪⎩ ()0

20

b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨

⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a

k

k

k

布情况

两根都在()n m ,

两根有且仅有一根在()n m ,

(图象有两种情况,只画了一种) 一根在()n m ,,另一根在()q p ,,

q p n m <<<

大致图象(

>a )

得出的结论

()()0002f m f n b m n

a ∆>⎧⎪

>⎪⎪

>⎨⎪⎪<-<⎪⎩

()()0<⋅n f m f

()()()()0

000f m f n f p f q ⎧>⎪

<⎪⎨<⎪⎪>⎩

或()()()()0

0f m f n f p f q <⎧⎪⎨

<⎪

⎩ 大致图象(

得出的结论

()()0002f m f n b m n

a ∆>⎧⎪

<⎪⎪

<⎨⎪⎪<-<⎪⎩

()()0<⋅n f m f

()()()()0000

f

m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩

或()()()()0

0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩

综合结论(不讨论

a

——————

()()0<⋅n f m f

()()()()⎪⎩⎪

⎧<<0

0q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间()n m ,外,即在区间两侧12,x m x n <>,(图形分别如下)需满

足的条件是

(1)0a >时,()()00f m f n <⎧⎪⎨

<⎪⎩; (2)0a <时,()()0

f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况:

若()0f m =或()0f n =,则此时()()0f m f n <不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间()n m ,,从而可以求出参数的值。如方程()2220mx m x -++=在区间

()1,3上有一根,因为()10f =,所以()()()22212mx m x x mx -++=--,另一根为

2

m

,由213m <<得22

3m <<即为所求;

方程有且只有一根,且这个根在区间()n m ,,即0∆=,此时由0∆=可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程2

4260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-,求m 的取值范围。分析:①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15

314

m -<<-;②由0∆=即()2

164260m m -+=得出1m =-或3

2

m =

,当1m =-时,根()23,0x =-∈-,即1m =-满足题意;当32m =时,根()33,0x =∉-,故3

2

m =不满足题意;综上分析,得出15314m -<<-或1m =-

根的分布练习题

例1、已知二次方程()()2

21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根,求实数m 的取值范围。

解:由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<,从而得1

12

m -

<<即为所求的范围。 例2、已知方程()2

210x m x m -++=有两个不等正实根,求实数m 的取值范围。 解:由

()()0102200m f ∆>⎧⎪

-+⎪->⎨⎪>⎪⎩

⇒ ()2

18010m m m m ⎧+->⎪>-⎨

⎪>⎩ ⇒ 322322

0m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩或⇒

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